上海市楊浦區(qū)2024-2025學年八年級上學期數(shù)學期中試卷（五四學制）帶答案

楊浦區(qū)2024學年度第一學期初三期中質(zhì)量調(diào)研

數(shù)學學科試卷

2024.11

（測試時間：90分鐘，滿分：100分）

考生注意：

1、本試卷含三個大題，共25題，答題時，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，

在草稿紙、本試卷上答題一律無效.

2、除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出證明或計

算的主要步驟.

一、選擇題：（本大題共6題，每題3分，滿分18分）

【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙

的相應(yīng)位置上】

x_5

1.已知丁3,，。一3那么下列等式不感義的是（）

x+y8%-v2x+55x+35

A.——^=-B.——-=-C.——-=-D.--=-

y3y3y+33y+33

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的性質(zhì)：內(nèi)項之積等于外項之積是解決問題的關(guān)鍵.根據(jù)比

例的性質(zhì)對各選項進行判斷.

x5

【詳解】解：由一=彳得3x=5y,

y3

A、匯匕=?,則8y=3x+3y,

y3

；.3x=5y,故不符合題意；

x—y2

B、-----,則3x—3y=2y,

y3

；.3x=5y,故不符合題意;

x+55__~?一

C、----=—,貝！J3x+15=5y+15,

v+33

；.3x=5y,故不符合題意；

D、》■!=!■,則3x+9=5y+15,

y+33

3x=5y+6,故符合題意，

故選：D.

2.下列圖形，一定相似的是（）

A.兩個等邊三角形B.兩個等腰三角形C.兩個矩形D.兩個菱形

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)相似圖形定義，結(jié)合圖形，對選項一一分析.

【詳解】解：A、兩個等邊三角形的三個角對應(yīng)相等均為60。，故一定相似，符合題意；

B、兩個等腰三角形的頂角不一定相等，不一定相似，不符合題意；

C、兩個矩形的邊不一定成比例，不一定相似，不符合題意；

D、兩個菱形的角不一定對應(yīng)相等，不一定相似，不符合題意；

故選：A.

【點睛】本題考查的是相似圖形的概念，掌握對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的多邊形，叫做相似多邊形是解

題的關(guān)鍵.

3.已知在中，ZC=90°,AB=n,那么下列關(guān)系式正確的是（）

A.AC=ra-sinAB.AC-n-cosA

C.AC=n-tanAD.AC=n-cotA

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了求角的余弦值，等式的性質(zhì)等知識點，牢記余弦的定義是解題的關(guān)鍵.

ArAr

根據(jù)余弦的定義可得cosA=——=—,然后利用等式的性質(zhì)即可得出答案.

ABn

【詳解】解：如圖,

cosA=^=^

ABn

/.AC=ncosA,

故選：B.

4.已知向量°與非零向量Z方向相同，且其長度為c長度的3倍；向量〃與c方向相反，且其長度為c長

度的6倍，那么下列等式中成立的是（）

A.a--B.a=C.a=2bD.a=—2b

【答案】B

【解析】

【分析】此題考查的是向量的數(shù)乘運算，根據(jù)向量的方向和模的關(guān)系找出各向量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

111r1r

根據(jù)向量的方向和模的關(guān)系可得。r=3。乃=-6c，從而可得。=——b,即可求出結(jié)論.

6

【詳解】解：由題意可知：a-3c,b——6c?

r]r

c=—b>

6

故選：B.

5.已知VABC的三邊都不相等，如果VABC與相似，且那么下列等式一定不成立的

是（）

ABBCABBCABBCABAC

A.-----=B.-----C.------D.------

DE~DFDF~~DEDE~EFDE~EF

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查相似三角形的判定條件：（1）兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；（2）夾角相等，對應(yīng)邊成比

例，兩三角形相似；（3）三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似，（4）斜邊和直角邊對應(yīng)成比例的兩直角三角形相

似，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.本題中結(jié)合題意根據(jù)相似三角形的判定定理逐一判斷

即可得到答案.

【詳解】解:如圖,

ABBC

A、----=-----，ZB=ZD，故△BACs△DEF,不符合題意;

DEDF

ABBC

B、----=----，ZB=ZD，故△BACS^DFE,,不符合題意;

DFDE

ABBC

C、=,夾角不對應(yīng)相等，故不能證明相似，符合題意；

DEEF

ABAC

D、=，若NB="=90°,則Rt/\ABCsRt八EDF,不符合題意,

DEEF

故選：C.

AG3

6.如圖，已知在VABC中，點G是中線上一點，且——=—，點。、E分別在邊AB、AC上，DE

AH4

經(jīng)過點G,那么下列結(jié)論中，錯誤的是（）

A.如果40=38。，那么。

B.如果點E與點C重合，那么4。：5。=3:2

ABAC,,,?..

——+——的和是一個定值

ADAE

ADAE...?..

D.—+—的和是一個定值

ABAC

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中線、梯形中位線等知識點，靈活運用相似三角

形的判定與性質(zhì)為解題的關(guān)鍵.

根據(jù)平行線分線段成比例定理可判斷A；作即〃AH交的延長線于點F,由廠sAGO,

一CGHS/FB得煞=禁箸=黑=3'結(jié)合器=4可判斷B；把苦+寫變形得

2+——+——,作作交ED的延長線于點F,作。交DE的延長線于點M,證明

ADAE

BDFs.AGD,CMEjAGE得"=吧,烏=也，然后證明GH是梯形5cMF的中位

ADAGAEAG

A(Z3

線，結(jié)合，＞=2可判斷C；由排除法可判斷D.

AH4

【詳解】解：A.'：AD=3BD,

.AD3

"AB"4

AG3

F屋

.ADAG

'*AB-AH；

DG//BH,

C.DE//BC,即該選項正確，符合題意;

B.如圖，作所交。的延長線于點F,

BDF。AGD,.CGHs.CFB,

ADAGGHCH1

BD—BF'BF~BC~2'

BF=2GH.

AG_3

AH-4)

AG=3GH,

ADAG3GH3

BD―BF-2GH~2'

AD:50=3:2,即該選項正確；

ABACAD+BDAE+CE

C.1-------------1-------------

ADAEADAE

,BD、CE~BDCE

=1++1+——=2++——.

ADAEADAE

作作跖〃AH交ED的延長線于點F,作CM〃AH交DE的延長線于點M,

A

BD2_AGD,_CMES_AGE,

.BDBFCECM

"AD~AG'AE~AG'

BDCEBFCMBF+CM

----1--------—I--------------

,ADAEAGAG2AG

:BF〃AH，CM//AH,

?.四邊形5QKF是梯形，

.,AH中線，

?.GH是梯形3Q0F的中位線，

BF+CM=2GH.

.AG3

'AH"4'

?.AG=3GH,

ABAC>BDCE>BF+CM。2GH8

--------------1-------------------/—I-----------------1—--------------/—I-------------------------------------/—I-----------------------------

ADAEADAE2AG3GH3

4RA.C'2

—+—上=2為定值，故該選項正確;

ADAE3

An4/7

D.VA,B,C正確，由排除法可知一+——的和是一個定值不正確，符合題意.

ABAC

故選D.

二、填空題：（本大題共12題，每題3分，滿分36分）

【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置】

7.計算：tan600+cos30°=.

【答案】-V3

2

【解析】

【分析】本題考查了求一個角的余弦值和正切值，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進行計算，即可作答.

【詳解】解：tan60°+cos30°=-A/3,

22

故答案為：―6

2

8.計算：3（3沙一2。）+2（“一2人）=

【答案】5b—

【解析】

【分析】此題考查了平面向量的運算.直接利用平面向量的加減運算法則求解即可求得.

【詳解】解：3（3〃—2a）+2（a—2））

=9b-6a+2a-4b

=5b-4a，

故答案為：5b-4a-

9.已知線段c是線段a、%的比例中項，a-4cm,c=6cm,那么線段6=cm.

【答案】9

【解析】

【分析】本題考查線段的比例中項，根據(jù)線段比例中項定義得到°2=ab是解答的關(guān)鍵.根據(jù)線段的比例中

項定義求解即可.

【詳解】解：?.?線段c是線段。、6的比例中項，

c2=ab，

又a=4cm,c=6cm,

b--=-=9（cm].

a4l）

故答案為：9.

10.如果兩個相似三角形的相似比是4:9,那么它們的周長比是.

4

【答案】4:9##-

9

【解析】

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形周長的比等于相似比是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比解答即可.

【詳解】解：兩個相似三角形的相似比是4:9,

.-?這兩個相似三角形的周長比是4:9,

故答案為：4:9.

11.己知在VA3C中，點。是邊A3的中點，ZACD^ZB,BD=4,那么AC的長是

【答案】4A/2

【解析】

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證明出△ACDSAZRC是解題的關(guān)鍵.證明

AACD^AABC,利用對應(yīng)邊成比例即可求解.

【詳解】解:如圖，

:點。是邊AB中點，BD=4,

AD=4,AB=8,

VZACD=ZB,ZA=Z4,

，AACD^AABC,

,ACAD

??二,

ABAC

.AC4

??一,

8AC

解得：AC=472（舍負）,

故答案為：4c.

12.如圖，已知/[〃〃4，AB:BC=1:2,如果。尸=10,那么QE=

【答案】當

3

【解析】

【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，等式的性質(zhì)，解一元一次方程等知識點，熟練掌握平行

線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵.

由平行線分線段成比例定理可得r>E:EF=AB:5C=l:2,進而可得所=2。石，根據(jù)

￡m=DE+Eb=10列方程求解，即可求得。E的長.

【詳解】解：?.，〃“〃射

：.DE:EF=AB:BC=1:2,

:.EF=2DE，

又?DF^DE+EF=DE+2DE=3DE=10,

解得：DE=—,

3

故答案為：—.

3

2

13.已知點尸位于第一象限內(nèi)，OP=6,且0P與％軸正半軸夾角的正弦值為一，那么點尸的坐標是

3

【答案】（2百,4）

【解析】

【分析】本題考查了勾股定理以及坐標與圖形，解直角三角形，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.先得

pA2

出sin/POA=—=—，代入。。=6,則/%=4,然后運用勾股定理列式計算，即可作答.

OP3

【詳解】解：依題意，如圖：過點尸作2軸：

2

VOP與x軸正半軸夾角的正弦值為一，

3

PA2

...sinZPOA=—=-,

OP3

,:OP=6,

；?PA=4,

則OA=4P（f-P曾=V36-16=245，

.-.P（2A/5,4）,

故答案為：（2A/5,4）.

14.如圖，在VABC中，正方形內(nèi)接于VABC,點。、E分別在邊AB、AC上，點G、F在邊

BC±,如果AB=AC=10,BC=12,那么OE的長是

【解析】

【分析】過點A作交于點,先通過等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求出=8,

根據(jù)正方形的性質(zhì)確定平行線，繼而確定根據(jù)矩形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)列比例式

DEAP、.

---=----計算DE■

BCAH

【詳解】解：過點A作交DE,BC于點P,〃

,：AB=AC=10,BC=12,

:?BH=CH=6,

RtAABH中，由勾股定理得A”=7AB2-BH2=8，

:正方形。EFG,

Z.DEFG,DE=DG=FG=EF,ZEDG=ZDGH=90°

：.AADE^ABC,

?/AHLBC,

VAHLDE,四邊形DGHP是矩形，

DEAP

：.——=——,DG=HP=DE,

BCAH

.DE3—DE

"12~-8-'

24

解得：DE==

故答案為：y.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，

勾股定理，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，已知點P在等邊三角形ABC的邊的延長線上，NPAQ=120。，射線AQ與CB的延長線

交于點。，如果BC=3,CQ=8,那么CP=.

【解析】

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外角定理，熟練掌握知識點是

解題的關(guān)鍵.通過等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合外角證明即可求解.

【詳解】解：如圖，

AB=AC=BC=3,Z3=Z4=Z5=60°

Z7=Z6=180°-60°=120°,

：NPAQ=120。，

AZl+Z2=ZPAQ-Z3=60°,

?.?N4=N1+NQ=6O。，

N2=NQ,

：.AQBA^AACP,

,QBAB

I*AC-cF

.8-33

>?-----=—，

3CP

9

解得：CP=-,

9

故答案為：—.

16.如圖，在VA5C中，DE//BC,連接C。，如果AC=8,那么AE=

【答案】46-4##-4+46

【解析】

【分析】本題考查平行線分線段成比例及相似三角形的性質(zhì)和判定，利用相似三角形的性質(zhì)和判定得到

ApAT

——=—,是解決本題的關(guān)鍵.

CEAE

AEAC

作即，A3于尸，作CG1_AB于G,設(shè)A￡=x，則CE=8—x,證明△ADEsAABC,得——=——

CEAE

再解方程即可.

【詳解】解：作石尸，AB于凡作CGLAB于G,

設(shè)=則CE=8—%,

DE//BC,

ApAD

ADES_ABC,—

CEBD

?：EFCG,

AAFE^AGC,

ACCG

,AE-EF）

S^BCD=S^ADE，

:.-ADEF=-BDCG,

22

ADCG

一而一而‘

.AEAC

"~CE~~AE'

8x

??=f

x8—x

.1.%2+8x—64=0>

；.%=4-\/5—4,X2=-4-\/5—4（舍）,

故答案為4行-4.

17.為了測量校門口路燈A3的高度，小明準備了兩根標桿C。、跖和皮尺，按如圖的方式放置，己知

CE>=Eb=1.5米，在路燈的照射下，標桿的頂端C在標桿所留下的影子為G,標桿所在地面上

的影長是經(jīng)測量得FG=0.5米，。尸=1.5米，F(xiàn)H=3米，那么燈桿的長是米.

【解析】

3

【分析】延長CG交口于小先證明?MW，得出再分別證明.切―和

.耳得出器=￡,誓=金，將數(shù)值代入，進行計算，即可作答.此題考查相似三角形的

DMCDFHEF

應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答.

【詳解】解：如圖，延長CG交EH于

ZGMF=ZCMD,ZGFM=ZCDM=90°,

GFMsCDM,

.GFFM

'~CD~~DM

設(shè)FM為。米，貝!ja=(a+1.5)x,

3

解得：a=—,

4

設(shè)皮)=%米，AB=y米，

/GMF=NCMD,ZABM=ZCDM=9Q0,

:…CMD^AMB,

.BMAB

同理得.跖

.BHAB

*

3

x+（L5+：）

1.5

可得，＜L5+4

x+4.5_y

=—x+

3

整理得:

=—x+

2

9

x=—

解得：j2,

7=2

9

AB=—米.

2

9

故答案為：一.

2

18.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=6C=7,點。在邊4B上，絲=3,點￡在射線3C

BD4

上，將沿著OE翻折，點3落在點尸處，如果點A、E、歹在同一直線上，那么3E=.

c

【答案】16±40

【解析】

【分析】本題考查了勾股定理，翻折的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)三角形的面積公式與

AT)3S3

——=—,可求出L些=;1■，根據(jù)翻折與己知可得出=根據(jù)角平分線性質(zhì)定理和

BD4SBDE4

三角形面積公式可求出空==,設(shè)BE=4x,則A￡=3x,CE=|4x—7],在RtACE中，根據(jù)勾股

BE411

定理求出X即可求解，根據(jù)題意正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，

設(shè)E到的距離為人，

BD4

SBDELBD.h

2

由翻折的性質(zhì)可知，ZBED=/FED,

：A、E、廠在同一直線上，

ZAED=ZFED=ZBED,

...點。到AE、BE距離相等，設(shè)此距離為/,

AElae

SADE23

則d=i-=前="

QBDE±BE'IDCj

2

設(shè)6E=4x,則AE=3x,CE=|4x-7|,

VZACB=90°,AC=7,

；?AE2^AC2+CE2,即（3x）2=72+14%—7「，

解得x=4土五，

3E=16±4也，

故答案為：16±4行.

三、解答題：（本大題共7題，滿分46分）

19.如圖，在VABC中，點E為AC中點，點。在邊AB上，ZAED=ZB,AB=9,AC=6.

（1）求A￡）的長;

（2）設(shè)AB=a，BC=b用向量3、b表示向量。E，即。E=

【答案】（1）2（2）—aH—b

182

【解析】

ADAE

【分析】（1）運用NAED=Nfi,/4=//4,證明/\74￡06八48。，再把48=9,AE=3代入——=——,

ACAB

進行計算，即可作答.

2

（2）求出AT>=§。，AC=a+b>再利用三角形法則求解.

本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，平面向量，三角形法則等知識，解題的關(guān)鍵是掌握三角形法則，屬于中

考?？碱}型.

【小問1詳解】

VZAED=ZB，ZA=ZA，

/.AAED^AABC，

,ADAE

??一,

ACAB

:點E為AC中點，AB=9,AC=6.

/.AE=3

解得AD=2.

【小問2詳解】

解：由（1）得AO=2，

AD2

??——,

AB9

AD=-AB,

9

,**AB-a，BC-b，

,2

??AD=—a,AC=a+by

?E是AC的中點，

AE=EC=-AC,

2

AC=—ciH—b,

22

則DE—DA+AE——6/+1-uH—b\——aH—b.

9（22J182

故答案為：-^-a+^-b.

Io2

3

20.如圖，在VABC中，ZC=120°,BC=4,sinB=-f求AC的長.

［答案］32百+24

13

【解析】

【分析】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，過點A作交6。的延長線于點H,則

ZAHB=90°,先求出tanNACH=tan600=-----=J3,進而求出左，可得百左+4=4左，再進一步

CH

求解即可求出結(jié)論.

【詳解】解：如圖，過點A作交6。的延長線于點”，則NAHB=90°.

A

:.ZACH=60°,

AHr-

tanZACH=tan60°=-----=V3,

CH

???

?sinBn--A--H-——3,

AB5

設(shè)AH=3左，則AB=5左，

:.BH=4k,CH=瓜，

，瓜+4=4左，

解得：4=16+4』,

13

._48+12百

,?AH—3K---------------,

13

.sAH27348+12百32百+24

sin60031313

21.如圖，AC與3。相交于點。，將△A。。、ABO、3OC的面積分別記為向、邑、S3,當

">〃3c時，試探究S］、S］、S3有怎樣的等量關(guān)系，并說明理由.

【答案】S］@=S；,理由見解析

【解析】

【分析】本題主要考查了三角形的面積公式，相似三角形的判定與性質(zhì)，等式的性質(zhì)等知識點，熟練掌握三

角形的面積公式及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

S,ODS,OA

根據(jù)三角形的面積公式可得消=",=--由可證得一AODs二COB,進而可得

o2OBo3C7C

OAOD工曰折、丁

女=筋，于是得證.

【詳解】解：5?S3=S；,理由如下:

點A到OD、08的距離相等，

c<Lt?。?點芯的距離八八

S

2SABOLOB?點原Jo硼距離OB

2

點3到Q4、OC的距離相等，

<<LOA?點8到。4的距離~

S3SBOCLoc點6到oc的距離OC

2

ADBC,

AOD^COB,

OAOD

女一礪'

.S2=S]

"53"S2,

S]?S3=s；.

22.在學習“三角形的重心”一課時，小王向同桌小劉提出這樣一個問題：四邊形有沒有重心，如果四邊

形有重心，它的重心如何確定呢？小劉在周末查閱了相關(guān)資料，得到如下的信息：①四邊形也有重心；

②在平面內(nèi)，圖形A與圖形3拼成一個圖形C,那么圖形。的重心一定在圖形A的重心與圖形3的重心

連接的線段上.根據(jù)以上信息，解決下列問題：

如圖，有兩張全等的直角三角形紙片，其中一張記為ABC,C為直角頂點，cotB=-,將這兩個三

2

角形拼成一個四邊形，使得斜邊重合.

A

（1）請畫出所有符合要求的四邊形，并作出所作四邊形的重心G；（不用寫作法，保留痕跡，寫出結(jié)論）

（2）直接寫出線段AG與線段之比的比值.

【答案】（1）見解析;

3

（2）1或一.

2

【解析】

【分析】（1）當兩個直角三角形拼成一個矩形時，兩個三角形的重心連接的線段與斜邊4B的交點就是拼成

的四邊形的重心；當兩個直角三角形拼成一個任意四邊形時，四邊形的兩條對邊線把四邊形分成兩對三角

形，ABC與，的重心連接的線段與，與.的重心連接的線段的交點就是四邊形

ACBH的重心;

（2）根據(jù)重心的定義，可知四邊形的重心是兩個直角三角形的重心與直角三角形斜邊的交點，分兩種情況

求出AG與的比值.

【小問1詳解】

解：①如下圖所示,

直角ABC的重心是直角三角形三條中線的交點，

兩個完全相同直角三角形拼成一個矩形，

當兩個的直角三角形的斜邊重合時，兩個直角三角形的重心連接的線段與斜邊4B的交點就是四邊形的重

心;

②如下圖所示,

直角_ABC的重心是直角三角形三條中線的交點M,

直角,AHB的重心是直角三角形三條中線的交點N,

由題意可知一ACH和6cH是等腰三角形且AC=AH,BC=BH,

：._ACH和二3cH的重心都在ZB邊上，

四邊形AC陽的重心是線段MN與4B的交點；

【小問2詳解】

解：當兩個直角三角形拼成一個矩形時，

如下圖所示，

矩形對角線互相平分,

AG=BG,

AG,

---二1.

BG

當直角三角形拼成如下圖所示的四邊形時,

A

AM=AN，

.?.AB是MN的垂直平分線，

cotB=—,

2

BC1

??—9

AC2

設(shè)5C=2a,則AC=4a,

AB=VAC2+BC2=J(2a『+(4a)2=2小a，

AE=yl(4a)2+a2=后a，BF=小(2a?+(2af=2垃a，

點M是重心，

AMBM2

.AE―BF-3’

：.AM=^-a，BM=3也a,

33

設(shè)AG-x，

則有MG?=AA/2—AG?-X2,

MG2=BM2-BG2

-x2,

整理得：4〃2=-20a2+4y/5ax，

解得：x=6非a，

5

BG=AB—AG=2下a—^^a=^^a，

55

6亞

AG_3

"BG~一5.

----a

5

3

綜上所述線段AG與線段BG的比值是1或士.

2

【點睛】本題主要考查了四邊形的重心、三角形的重心、三角形的中線和勾股定理.解決本題的關(guān)鍵是根

據(jù)三角形的重心是三角形三條中線的交點，兩個三角形拼成的四邊形的中心是兩個三角形重心連接的線段

的中點.

23.已知：如圖，在VABC中，=點。在邊CB的延長線上，點E在線段A。上，

DE=CE.

(1)求證：—EAFs_ECA；

(2)如果CF=3EF,連接座，求證：EBLCD.

【答案】(1)見詳解(2)見詳解

【解析】

【分析】(1)根據(jù)三角形外角性質(zhì)，得"A5=NAfiC—NE。。,結(jié)合等邊對等角，得NABC=NACfi,

ZCDE=ZDCE,故NZMB=NACE,因為NA￡E=NCE4,所以證明人E4/口_瓦14；

AF1

(2)因為_E4尸s.石口4,所以AE2=EF?EC，結(jié)合B=3跖，則AE=2印，—因為“

AC2

是EC的中點，所以EH=CH=gcE,故FH=EF，證明—防4烏HFB，則EH=BH=CH,由

等邊對等角以及三角形內(nèi)角和得出NHEB+/HBE+NHBC+"CB=180°,整理得NCBE=90。，即

可作答.

【小問1詳解】

解：在△AB。中，ZABC=ZDAB+ZEDC

：.ZDAB=ZABC-ZEDC,

AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

?：DE=CE,

NCDE=/DCE,

?：ZACE=ZBCA-ZDCE,

ZDAB^ZACE,

?：ZAEF=ZCEA,

：._EAF^_ECA；

【小問2詳解】

解：連接EB，取EC的中點連接如圖:

.AEEFAF

"EC-AE-AC'

AE?=EF-EC，

,：CF=3EF,

/.CE=4EF,

則AE2=4EF2，

：.AE=2EF,

..EFAF

'AE-AC'

.AF_1

"AC"2"

■:AB=AC,

.AF_1

'*AB-2)

：.AF=BF,

：H是EC的中點，

：.EH=CH=-CE,

2

-ZEF=-CE,

4

FH=EH-EF=-CE,

4

:.FH=EF，

,/ZEFA=ZHFB，

:?一EFA^.HFB，

：.AE=BH=2EF=-EC,

2

則EH=BH=CH,

：.ZHEB=ZHBE,ZHBC=ZHCB,

■：ZHEB+ZHBE+ZHBC+ZHCB=180°,

ZHBE+ZHBC=-x180°=90°,

2

即NCBE=90。,

：.EBLCD.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)和內(nèi)角和，等邊對等角，全等三角形的判定

與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，在銳角VABC中，AD是高，tan/ABC=3,點E是AB的中點.

(1)求NBED的正切值；

(2)點尸在線段磯)的延長線上，且連接由L如果吩=C獷，求段的值.

AC

3

【答案】(1)-

4

⑵—

13

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正切定義可得——=3,設(shè)BD=a,則A。=3a,根據(jù)勾股定理求出A3=JI金，根

BD

據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出￡>￡=4￡=2石=工筋=巫。，根據(jù)正切定義得出里=3,在

22BF

Rt△網(wǎng)廳中，根據(jù)勾股定理求出2尸=巫°,DF=^-a,進而求出=馬何。，然后根據(jù)正切定義

10105

求解即可；

(2)過尸作于H,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出3G=CG=L3C,ZFBC=ZFCB,

2

/FAD=/F,DA,根據(jù)余角的性質(zhì)可得出NADE=4CF\則ZEAD=ZEDA=ZFBC=NFCB,證明

AED^BFC,得出NAED=/BFC,根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得出NEBB=NEFC=90。，由（1）中可

知tanZB￡O="=』，可求出3歹=2叵證明Nfi/7f=/4BC,貝hanNB/歸=tan/4BC=3,得出

BE48

BH3995

——=3,在RtZkB/7/中，根據(jù)勾股定理求出m=—a,BH=—a,則BC=—a,CD=-a,在

FH8844

13

RJADC中根據(jù)勾股定理求出AC=：a,即可求解.

【小問1詳解】

解：過。作。FLAB于R

:，AD是IWJ,tanXABC-3,

ATJ

：.tanZABD=—=3,

BD

設(shè)BD=Q,則AD-3a,

由勾股定理得AB=Ji6a，

:點E是AB的中點，

，DE=AE=BE=-AB=—a,

22

DF

*.*tanAABD=----=3,

BF

：.DF=3BF,

BD-=BF2+DF^

：.a-=BF-+（3BF）",

.小歷

??Dr-a

10

.sn口叩27103M

510

DF3

tan/BED=---二—；

EF4

【小問2詳解】

解：如圖，過尸作FHLBC于H,

A

BF=CF,

ABG=CG=-BC,NFBC=NFCB,

2

?：CFLED,AD±BC,

：.ZADC=ZEFC=90。,

：.ZADE=90°-Z.CDF=ZBCF,

由（1）知：AE=DE,

:.ZEAD=ZEDA,

Z.ZEAD=NEDA=ZFBC=NFCB,

：.AED^BFC,

ZAED=ZBFC,

?/ZAED=ZEBF+ZBFE,ZBFC=ZEFC+ZBFE,

：.ZEBF=ZEFC=90°,

VtanZB￡D=—=BE=-a,

BE42

?_3A/W

??RliFr----a,

8

,/ZBFH=900-ZFBC=ZABCf

tanZBFfZ=tanNABC=3,

??.明,

FH

CD=-a,

4

AC=yjAD2+CD2=~a,

4

9

.BC4fl_9

AC=13-=13'

—a

4

【點睛】本題考查了正切的定義，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾

股定理等知識，明確題意，添加合適輔助線,利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解題的關(guān)鍵.

25.如圖1,已知梯形ABC。，AD//BC,AB=AD=CD,AB<BC.

C

（2）作的垂直平分線交射線A3于點E,交于點孔

①如圖2,當點E與點B重合時，求/C的余弦值;

AD

②當所經(jīng)過5c的中點時，求一的值.

BC