數(shù)據(jù)的分析 知識(shí)歸納與題型突破（六類題型清單） （原卷版）-2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)（北師版）

第六章數(shù)據(jù)的分析知識(shí)歸納與題型突破（六類題型清單）

01思維導(dǎo)圖

02知識(shí)速記

一、算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)

一般地，對(duì)于〃個(gè)數(shù)X1、/、七、…天，我們把!（不出2出3+…+%）叫做這〃個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，簡

n

稱平均數(shù)，記作了.計(jì)算公式為亍=工（西+%2+%3+…+工〃）?

n

要點(diǎn)：

平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的“平均水平”，反映了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).

（1）當(dāng)一組數(shù)據(jù)較大時(shí)，并且這些數(shù)據(jù)都在某一常數(shù)。附近上、下波動(dòng)時(shí)，一般選用簡化計(jì)算公式

元=元，+。.其中三為新數(shù)據(jù)的平均數(shù)，。為取定的接近這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的較“整”的數(shù).

（2）平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里的每個(gè)數(shù)據(jù)均有關(guān)系，其中任一數(shù)據(jù)的變動(dòng)都會(huì)相應(yīng)引起平均數(shù)的變動(dòng).

所以平均數(shù)容易受到個(gè)別特殊值的影響.

若〃個(gè)數(shù)七、的權(quán)分別是％、叫、…、叱,貝I]"I"+"2叱+—+X'叱.叫做這.個(gè)數(shù)的加權(quán)

W]+TV2+...+TV“

平均數(shù).

要點(diǎn)：

(1)相同數(shù)據(jù)玉的個(gè)數(shù)叱叫做權(quán)，叱越大，表示玉的個(gè)數(shù)越多，“權(quán)”就越重.數(shù)據(jù)的權(quán)能夠反映數(shù)據(jù)的

相對(duì)“重要程度”.

(2)加權(quán)平均數(shù)實(shí)際上是算術(shù)平均數(shù)的另一種表現(xiàn)形式，是平均數(shù)的簡便運(yùn)算.

二、中位數(shù)和眾數(shù)

1.中位數(shù)

一般地，n個(gè)數(shù)據(jù)按照大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做

這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

要點(diǎn)：

(1)一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是唯一的；一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定出現(xiàn)在這組數(shù)據(jù)中.

(2)由一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可以知道中位數(shù)以上和以下數(shù)據(jù)各占一半.

2.眾數(shù)

一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

要點(diǎn)：

(1)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)一定出現(xiàn)在這組數(shù)據(jù)中；一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止一個(gè).

(2)眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)而不是數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù).

三、平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別

聯(lián)系：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都是用來描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量，其中以平均數(shù)最為重要.

區(qū)別：平均數(shù)的大小與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)，任何一個(gè)數(shù)的波動(dòng)都會(huì)引起平均數(shù)的波動(dòng)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中

有個(gè)別數(shù)據(jù)太高或太低，用平均數(shù)來描述整體趨勢(shì)則不合適，用中位數(shù)或眾數(shù)則較合適.中位數(shù)與數(shù)據(jù)排列

位置有關(guān)，個(gè)別數(shù)據(jù)的波動(dòng)對(duì)中位數(shù)沒影響；眾數(shù)主要研究各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中不少數(shù)據(jù)多

次重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，可用眾數(shù)來描述.

四、極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差

1.極差

一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差，稱為極差，極差=最大數(shù)據(jù)一最小數(shù)據(jù).

要點(diǎn)：

極差是最簡單的一種度量數(shù)據(jù)波動(dòng)情況的量，它受極端值的影響較大.一組數(shù)據(jù)極差越小，這組數(shù)據(jù)就

越穩(wěn)定.

2.方差

方差是各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的平方的平均數(shù).方差/的計(jì)算公式是：

2222

S=—[(xj-X)+(x2-x)+...+(%?-X)],其中，又是xrX2，…Xn的平均數(shù).

n

要點(diǎn)：

(1)方差反映的是一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況.方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越

小.

(2)一組數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)都加上(或減去)同一個(gè)常數(shù)，所得的一組新數(shù)據(jù)的方差不變.

(3)一組數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)據(jù)都變?yōu)樵瓉淼淖蟊?，則所得的一組新數(shù)據(jù)的方差變?yōu)樵瓉淼淖?倍.

3.標(biāo)準(zhǔn)差

方差的算術(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，用符號(hào)s表示，即:

S=￡[5一-三/+…+&-I）?]；標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)量單位與原數(shù)據(jù)一致.

4.極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的聯(lián)系與區(qū)別

聯(lián)系：極差與方差、標(biāo)準(zhǔn)差都是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的特征數(shù).

區(qū)別：極差表示一組數(shù)據(jù)波動(dòng)范圍的大小，它受極端數(shù)據(jù)的影響較大；方差反映了一組數(shù)據(jù)與其平均

值的離散程度的大小.方差越大，穩(wěn)定性也越?。环粗?，則穩(wěn)定性越好.所以一般情況下只求一組數(shù)據(jù)的

波動(dòng)范圍時(shí)用極差，在考慮到這組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性時(shí)用方差.

五、用樣本估計(jì)總體

在考察總體的平均水平或方差時(shí)，往往都是通過抽取樣本，用樣本的平均水平或方差近似估計(jì)得到總

體的平均水平或方差.

要點(diǎn)：

（1）如果總體數(shù)量太多，或者從總體中抽取個(gè)體的試驗(yàn)帶有破壞性，都應(yīng)該抽取樣本.取樣必須具有盡可

能大的代表性.

（2）用樣本估計(jì)總體時(shí)，樣本容量越大，樣本對(duì)總體的估計(jì)也越精確.樣本容量的確定既要考慮問題本身

的需要，又要考慮實(shí)現(xiàn)的可能性所付出的代價(jià).

03題型歸納

題型一平均數(shù)

例題

1.一組數(shù)據(jù)10,9,10,12,9的平均數(shù)是（）

A.11B.12C.9D.10

鞏固訓(xùn)練

2.若一組數(shù)1,3,xj5,6的平均數(shù)為4,則工的值為（）

A.3B.4C.5D.6

3.在一次編程比賽中，8位評(píng)委給參賽選手小李的打分如下:

9.0,9.0,9.2,10.0,9.0,9.2,9.0,9.2.

規(guī)定去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后的平均值做為選手的最后得分.小李的最后得分是（）

A.9.0B.9.1C.9.2D.9.3

4.某次射擊訓(xùn)練中，一個(gè)小組的成績?nèi)缦卤硭荆?/p>

環(huán)數(shù)789

人數(shù)23

已知該小組的平均成績?yōu)?.1環(huán)，那么成績?yōu)?環(huán)的人數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.7

5.在一次演講比賽中，甲的演講內(nèi)容90分、演講能力80分、演講效果90分，若按照演講內(nèi)容占50%,演

講能力占40%,演講效果占10%,計(jì)算選手的綜合成績，則該選手的綜合成績?yōu)?

6.有m個(gè)數(shù)的平均數(shù)是x,n個(gè)數(shù)的平均數(shù)是y,則這（m+n）個(gè)數(shù)的平均數(shù)為（）

A%+ycmx+Dmx+ny

2m+nm+n2

7.有20個(gè)數(shù)據(jù)，其中8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為11,另12個(gè)數(shù)的平均數(shù)是12,則這20個(gè)數(shù)的平均數(shù)是（）

A.11.5B.11.6C.23.2D.232

題型二中位數(shù)和眾數(shù)

例題

8.已知一組數(shù)據(jù)：15,13,15,16,17,16,14,15,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與眾數(shù)分別是（）

A.14,15B.15,15C.14,16D.15,16

鞏固訓(xùn)練

9.在學(xué)校的體育訓(xùn)練中，小杰投實(shí)心球的7次成績就如統(tǒng)計(jì)圖所示，則這7次成績的中位數(shù)和眾數(shù)分別是

D.9.8m,9.8m

10.一組數(shù)據(jù)1,2,5,3,。的平均數(shù)是3,則中位數(shù)是.

11.李老師為了了解本班學(xué)生每周課外閱讀文章的數(shù)量，抽取了7名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下（單位:

篇/周）：4,25,543,其中有一個(gè)數(shù)據(jù)不小心被墨跡污損.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4,那么這組數(shù)據(jù)

的眾數(shù)與中位數(shù)分別為（）

A.5,4B.3,5C.4,4D.4,5

12.一組數(shù)據(jù)4,6,4,x的眾數(shù)只有一個(gè)，則x的值不能為.

13.某校初中三個(gè)年級(jí)進(jìn)行衛(wèi)生大評(píng)比，其中一個(gè)評(píng)委對(duì)初三年級(jí)20個(gè)班的成績匯總并繪制如下表格:

平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差

9.29.09.10.7

學(xué)校規(guī)定三個(gè)年級(jí)評(píng)比要求：去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分進(jìn)行評(píng)比，去掉后表中數(shù)據(jù)一定不發(fā)生變

化的是（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差

14.兩臺(tái)/、2型號(hào)的大米自動(dòng)封裝機(jī)包裝的質(zhì)量為50km的袋食品中各封裝了10袋大米，測(cè)得其實(shí)際質(zhì)量

如下表（單位：km）：

A50.150.650.849.750.849.650.550.349.549.9

B50.550.249.850.149.950.349.850.250.149.9

由上表可以判斷______型號(hào)自動(dòng)封裝機(jī)性能更好.

題型三數(shù)據(jù)的離散程度

例題

15.在某次射擊訓(xùn)練中，甲、乙、丙、丁4人各射擊10次，平均成績相同，方差分別是品=0.32,

^=0.15,S需=0.26,4=0.47,這4人中成績發(fā)揮最穩(wěn)定的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

鞏固訓(xùn)練

16.為了解同一型號(hào)50輛汽車每耗油1L所行駛路程的情況，現(xiàn)從中抽出5輛汽車在同一條件下進(jìn)行耗油1L

所行路程的試驗(yàn)，得到如下數(shù)據(jù)（單位：km）：11,15,9,12,13.該樣本的方差是（）

A.20B.12C.4D.2

17.某班級(jí)舉辦了一次背誦古詩競(jìng)賽，滿分100分，這次競(jìng)賽中，甲、乙兩組學(xué)生成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?

甲：40,60,70,90,90,100；乙：60,60,80,80,80,90其中90分以上為優(yōu)秀，則下列說法正確的

是（）

A.甲組平均成績高于乙組

B.甲組成績比乙組更穩(wěn)定

C.甲組成績中位數(shù)與乙組相同

D.乙組成績優(yōu)秀率更高

18.小明同學(xué)分析某小組成員身高的數(shù)據(jù)（單位：cm）：155,162,173,162,17>,160,發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)

數(shù)據(jù)的個(gè)位數(shù)被墨水抹黑了，則以下統(tǒng)計(jì)量不受影響的是（）

A.中位數(shù)B.眾數(shù)C.平均數(shù)D.方差

19.九（2）班要在甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中選擇一個(gè)代表班級(jí)參加學(xué)?！按杭具\(yùn)動(dòng)會(huì)”的50米跑項(xiàng)目，班

委利用課余時(shí)間對(duì)4位同學(xué)進(jìn)行了50米跑的選拔.將四位同學(xué)的測(cè)試數(shù)據(jù)整理在下表中，為了選出一名成

績較好且穩(wěn)定的同學(xué)為班級(jí)爭光，應(yīng)該選擇（）

甲乙丙T

平均用時(shí)/秒8.27.97.98.2

方差2.21.42.41.4

A.甲B.乙C.丙D.丁

題型四利用統(tǒng)計(jì)圖分析數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度

例題

20.下面是甲、乙兩人10次射擊成績（環(huán)數(shù)）的條形統(tǒng)計(jì)圖，通常新手的成績不太確定，根據(jù)圖中的信息,

估計(jì)這兩人中的新手是

甲10次射擊成績統(tǒng)計(jì)圖乙10次射擊成績統(tǒng)計(jì)圖

次數(shù)次數(shù)

f0lil

訕誠/環(huán)

8910成績/環(huán)8910

鞏固訓(xùn)練

21.七（1）班舉行投籃比賽,每人投5球.如圖是全班學(xué)生投進(jìn)球數(shù)的扇形統(tǒng)計(jì)圖，則投進(jìn)球數(shù)的眾數(shù)

是.

七（1）班學(xué)生投進(jìn)

球數(shù)的扇形統(tǒng)計(jì)圖

22.某住宅小區(qū)六月份中1日至6日每天用水量變化情況如圖所示，那么這6天的平均用水量是噸.

用水量/噸

37--------------------,

34r

32

I-

31

I-

30Ia-

期

s日

23.如圖是根據(jù)某次射擊比賽中甲、乙兩人5次射擊的成績（環(huán)數(shù)）制作的折線統(tǒng)計(jì)圖，成績更穩(wěn)定的是

()

A.甲B.一■樣C.乙D.不能確定

24.甲、乙兩地今年4月份前5天的日最低氣溫如圖所示，則下列描述正確的是（）

B.甲地最低氣溫的眾數(shù)是4°C

C.乙地最低氣溫相對(duì)比較穩(wěn)定D.乙地最低氣溫的平均數(shù)是5°C

題型五數(shù)據(jù)的分析難點(diǎn)

例題

25.如果將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都減去25,那么所得的一組新數(shù)據(jù)（）

A.眾數(shù)改變，方差改變B.眾數(shù)不變，平均數(shù)改變

C.中位數(shù)改變，方差不變D.中位數(shù)不變，平均數(shù)不變

鞏固訓(xùn)練

26.已知一組數(shù)據(jù)即，a2,的，..，。"的方差為3,則另一組數(shù)田+1,a2+\,a3+l,....,的方差

為

27.已知一組數(shù)據(jù)為,%2，苫3，匕，%的平均數(shù)是4,方差是3,那么另一組數(shù)據(jù)2%-3,2X2-3,2X3-3,

2匕-3,2%-3的平均數(shù)和方差分別是（）

A.5,12B.5,3C.6,12D.6,3

28.五個(gè)互不相等的正偶數(shù)X],x2,七，x4,X5的平均數(shù)和中位數(shù)都是A,且六個(gè)數(shù)X],X],演，看，

天，〃2的眾數(shù)是6,平均數(shù)還是A,則這五個(gè)互不相等的正偶數(shù)為，X”x3,5，X5的方差為.

題型六解答綜合題

例題

29.某公司要在甲、乙兩人中招聘一名職員，對(duì)兩人的學(xué)歷、能力、經(jīng)驗(yàn)這三項(xiàng)進(jìn)行了測(cè)試，各項(xiàng)滿分均

為10分，成績高者被錄用.圖1是甲、乙兩人測(cè)試成績的條形統(tǒng)計(jì)圖.

圖2

圖1

(1)分別計(jì)算甲、乙兩人三項(xiàng)成績之和，則一會(huì)被錄用;

(2)若將甲、乙兩人的三項(xiàng)測(cè)試成績，分別按照扇形統(tǒng)計(jì)圖(圖2)各項(xiàng)所占之比進(jìn)行計(jì)算，甲成績?yōu)橐环?

乙成績?yōu)橐环?，則一會(huì)被錄用.

鞏固訓(xùn)練

30.“直播+電商”作為新興銷售形式，對(duì)于拓寬農(nóng)特產(chǎn)品銷售渠道，助力鄉(xiāng)村振興起到了重要作用、某農(nóng)村

合作社幫助該村農(nóng)民利用網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)計(jì)劃銷售1000箱蘋果，為確保蘋果質(zhì)量，檢測(cè)人員隨機(jī)抽取20箱進(jìn)行

測(cè)量，每箱蘋果的質(zhì)量統(tǒng)計(jì)如下:

抽測(cè)蘋果的質(zhì)量統(tǒng)計(jì)圖每箱4.9kg的蘋果的箱數(shù)

(1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.

(2)抽取20箱蘋果質(zhì)量的中位數(shù)為,眾數(shù)為

(3)經(jīng)調(diào)查，蘋果市場(chǎng)的售價(jià)為6元/kg,若這批蘋果全部售完，請(qǐng)估計(jì)這批蘋果的總銷售額.

31.為了進(jìn)一步了解七年級(jí)學(xué)生的身體素質(zhì)情況，體育老師對(duì)七年級(jí)(1)班45名學(xué)生進(jìn)行1分鐘跳繩次

數(shù)測(cè)試，以測(cè)試數(shù)據(jù)為樣本，繪制頻數(shù)分布直方圖如圖所示.已知七年級(jí)學(xué)生1分鐘跳繩次數(shù)(x)達(dá)標(biāo)要求

是：x<120為不合格，120Wx<140為合格，140Wx<160為良好，xN160為優(yōu)秀.

(1)求80<100這一組數(shù)據(jù)的頻率及七年級(jí)(1)班1分鐘跳繩的優(yōu)良率(包括良好和優(yōu)秀).

(2)求出這45名學(xué)生1分鐘跳繩次數(shù)的中位數(shù)所在組的組中值，并結(jié)合各數(shù)據(jù)段分布情況對(duì)七年級(jí)(1)班

的同學(xué)提出一些合理的建議.

32.為了讓同學(xué)們了解自己的體育水平，八年級(jí)1班的體育老師對(duì)全班45名學(xué)生進(jìn)行了一次體育模擬測(cè)試

(得分均為整數(shù))，成績滿分為10分，1班的體育委員根據(jù)這次測(cè)試成績，制作了統(tǒng)計(jì)圖和分析表如下:

八年級(jí)1班全體女生體育測(cè)試成績八年級(jí)1班全體男生體育測(cè)試

分布扇形統(tǒng)計(jì)圖成績條形統(tǒng)計(jì)圖

八年級(jí)1班體育模擬測(cè)試成績分析表

平均數(shù)方差中位數(shù)眾數(shù)

男生287

女生7.921.998

根據(jù)以上信息，解答下列問題:

(1)這個(gè)班共有男生一人，共有女生一人;

(2)補(bǔ)全八年級(jí)1班體育模擬測(cè)試成績分析表;

(3)你認(rèn)為在這次體育測(cè)試中，1班的男生隊(duì)，女生隊(duì)哪個(gè)表現(xiàn)更突出一些？并寫出你的看法的理由.

33.某校初一開展英語拼寫大賽，愛國班和求知班根據(jù)初賽成績，各選出5名選手參加復(fù)賽，兩個(gè)班各選

出的5名選手的復(fù)賽成績?nèi)鐖D所示:

分?jǐn)?shù)

班級(jí)平均數(shù)（分）中位數(shù)（分）眾數(shù)（分）

愛國班a85C

求知班85b100

（1）根據(jù)圖本直接寫出。、6、c的值；

（2）結(jié)合兩班復(fù)賽成績的平均數(shù)和中位數(shù)，分析哪個(gè)班級(jí)的復(fù)賽成績比較好？

（3）已知愛國班復(fù)賽成績的方差是70,請(qǐng)求出求知班復(fù)賽成績的方差，并說明哪個(gè)班成績比較穩(wěn)定？（計(jì)算

方差的公式：$2=—［（*—苫）+（X2—X）H-----F（Xa—X）］）

34.某校為了了解初一年級(jí)共480名同學(xué)對(duì)環(huán)保知識(shí)的掌握情況，對(duì)他們進(jìn)行了環(huán)保知識(shí)測(cè)試.現(xiàn)隨機(jī)抽

取甲、乙兩班各15名同學(xué)的測(cè)試成績（滿分100分）進(jìn)行整理分析，過程如下：

【收集數(shù)據(jù)】

甲班15名學(xué)生測(cè)試成績分別為：78,83,85,87,89,90,92,93,94,96,97,98,99,100,100

乙班15名學(xué)生測(cè)試成績中804x<95的成績?nèi)缦拢?0,91,92,93,94

【整理數(shù)據(jù)工

班級(jí)75<x<8080<x<8585<x<9090<x<9595<x<100

甲11346

乙123