數(shù)列的概念（解析版）-2025年天津高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第24講數(shù)列的概念

（9類核心考點(diǎn)精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

2024年天津卷，第19題,15由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等

分比數(shù)列前n項(xiàng)和裂項(xiàng)相消法求前n項(xiàng)和

2023年天津卷，第19題,15等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等差

分?jǐn)?shù)列前n項(xiàng)和寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

2023年天津卷，第5題,5等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)

2022年天津卷，第18題,15等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算錯(cuò)位

分相減法求和分組（并項(xiàng)）法求和

2021年天津卷，第19題,15等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算由定義判定等比數(shù)列錯(cuò)位相減法求和

分?jǐn)?shù)列不等式恒成立問(wèn)題

2020年天津卷，第19題,15等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等差數(shù)列前n項(xiàng)和等比數(shù)列通項(xiàng)公

分式的基本量計(jì)算分組（并項(xiàng)）法求和

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較高，分值為15分

【備考策略】L理解、掌握數(shù)列的概念

2.能掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式

3.具備數(shù)形類比遞推的思想意識(shí)，會(huì)借助函數(shù)求解數(shù)列的最值與單調(diào)性

4.會(huì)解數(shù)列中的規(guī)律問(wèn)題

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和問(wèn)題。

Il?考點(diǎn)梳理—

1.數(shù)列

2.數(shù)列的項(xiàng)考點(diǎn)一、數(shù)列的周期性

/考點(diǎn)二、數(shù)列的單調(diào)性

r知識(shí)點(diǎn)一.數(shù)列的有關(guān)概念《3.通項(xiàng)公式

4.遞推公式考點(diǎn)三、數(shù)列的最值

5.數(shù)列的前項(xiàng)和

考點(diǎn)四、與的關(guān)系求通項(xiàng)公式

1.項(xiàng)數(shù)

知識(shí)點(diǎn)二.數(shù)列的分類考點(diǎn)五、累加法求通項(xiàng)公式

2.項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系

考點(diǎn)六、累乘法求通項(xiàng)公式

數(shù)列的概念

考點(diǎn)七、數(shù)列恒成立

知識(shí)點(diǎn)三.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系考點(diǎn)八、遞推數(shù)列問(wèn)題

考點(diǎn)九、數(shù)列中的規(guī)律

知識(shí)點(diǎn)四.數(shù)列常用的結(jié)論

知識(shí)點(diǎn)五.數(shù)列的兩種常用表示方法

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一.數(shù)列的有關(guān)概念

1.數(shù)列：按照確定的順序排列的一列數(shù)

2.數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)

3.通項(xiàng)公式：如果數(shù)列｛即｝的第n項(xiàng)與與它的序號(hào)門之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子

叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式

4.遞推公式：如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)

數(shù)列的遞推公式

5.數(shù)列的前n項(xiàng)和：把數(shù)列｛an｝從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，記作工,

即％=<21+a2+…+C1n

知識(shí)點(diǎn)二.數(shù)列的分類

1.項(xiàng)數(shù)：

（1）有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限

（2）無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限

2.項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系：

（1）遞增數(shù)列：an+l>an

（2）遞減數(shù)列：an+i<an

（3）常數(shù)列：an+1=an

（4）擺動(dòng)數(shù)列：從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列（其中〃GN*）

知識(shí)點(diǎn)三.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

數(shù)列｛斯｝是從正整數(shù)集N*（或它的有限子集｛1,2,…，而）到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號(hào)”,對(duì)應(yīng)的函

數(shù)值是數(shù)列的第〃項(xiàng)a?,記為斯=/缶）.

知識(shí)點(diǎn)四.數(shù)列常用的結(jié)論

1.已知數(shù)列｛以｝的前幾項(xiàng)和貝&=L2r

2.在數(shù)列｛詼｝中，若斯最大，則伊翌…（?>2,wGN*）；若a”最小，則巴咤（4，〃GN*）.

（a九r_un+i（a九—a九+1

知識(shí)點(diǎn)五.數(shù)列的兩種常用表示方法

（1）通項(xiàng)公式：如果數(shù)列｛““｝的第〃項(xiàng)與序號(hào)”之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這

個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（2）遞推公式：如果己知數(shù)列｛%｝的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開(kāi)始的任一項(xiàng)與它的

前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.

考點(diǎn)一、數(shù)列的周期性

典例引領(lǐng)

1.（?湖南?高考真題）已知數(shù)列｛即｝滿足的=0,廝+1=等鳥(niǎo)（716%+）,貝b20=（）

y/3an+l

A.0B.-V3

C.V3D.—

2

【答案】B

【分析】計(jì)算出｛&J的前四項(xiàng)的值，可得出an+3=anSeN+）,由此可求得a2。的值.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛冊(cè)｝滿足％=0,既+1=等斗5eN+）,a2=等二與=-V3,

V3nn+1yj3Cli+l

由上可知，對(duì)任后、的?16N卡,%i+3=^71f。20=。3'6+2=。2=—

故選：B.

2.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列｛a九｝中，an>0fat=1,a2=V2,若對(duì)V。EN*,a%+a^+1+a^+2=10,

則。2024=（）

A.V2B.1C.V3D.V5

【答案】A

【分析】根據(jù)遞推公式得出%i+3=。小進(jìn)而。2024=。2021=…=。2=直即可.

【詳解】由成+1+成+2+an+3=10與W+an+l+an+2=1。相減得：成+3-成=。，

aaf

即（（1rl+3—。n）（冊(cè)+3+n）=0，又口n>0,故的i+3=n所以。2024=。2021=…=。2=V2.

故選：A.

即時(shí)檢測(cè)

I__________________

1.（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）已知首項(xiàng)為2的數(shù)列｛即｝滿足4冊(cè)+i-5an+1an-2an=2,當(dāng)｛時(shí)｝的前幾項(xiàng)和%>16

時(shí)，則九的最小值為（）

A.40B.41C.42D.43

【答案】B

【分析】通過(guò)計(jì)算得到｛冊(cè)｝為一個(gè)周期為4的數(shù)列，從而計(jì)算出S41=10（%+的+。3+*）+2=17,得

到答案.

【詳解】由題意得%=2,4a2--2al=2,解得g=-1,

同理4a3—5a3a2—2a2=2,解得的=0，

4a4-5a4a3—2a3=2,解得。4=j,

4a5—5a5a4—2。4=2,角牛=2,

故｛。九｝為一^個(gè)周期為4的數(shù)列，且與+（12+。3+。4=2—1+0+3=|,

故S40=10（。]++。3+。4）=15,S41=10（CL]++。3+。4）+2=17,

故九的最小值為41.

故選：B

2.（2024?山東濟(jì)寧?三模）已知數(shù)列中，的=2,a2=1,an+1=an-an_r（n>2,neN*）,貝1」。2024=

（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】利用數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的周期，即可求解.

【詳解】由=2,。2=一。九-1（九之2,71EN*）,得

=1，

=03—=—2，

@5=0403=1，

。6=—。4=1，

。7=。6—。5=2,

CLQ—CLy—。6=1，

則｛5｝是以6為周期的周期數(shù)列，

所以。2024=a337X6+2=。2=>

故選：C

3.（2024?陜西榆林?三模）現(xiàn)有甲乙丙丁戊五位同學(xué)進(jìn)行循環(huán)報(bào)數(shù)游戲，從甲開(kāi)始依次進(jìn)行，當(dāng)甲報(bào)出1,

乙報(bào)出2后，之后每個(gè)人報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)數(shù)的乘積的個(gè)位數(shù)字，則第2024個(gè)被報(bào)出的數(shù)應(yīng)該

為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【分析】列舉出部分?jǐn)?shù)字觀察其周期即可得解.

【詳解】報(bào)出的數(shù)字依次是1,2,2,4,8,2,6,2,2,4,8,2,6…，除了首項(xiàng)以外是個(gè)周期為6的周期數(shù)列.

去掉首項(xiàng)后的新數(shù)列第一項(xiàng)為2,

因?yàn)?023=337x6+1,所以原數(shù)列第2024個(gè)被報(bào)出的數(shù)應(yīng)該為2.

故選：A.

4.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列｛廝｝中，a1=4,42=3,=——（nG.N*,n>2）,則aiooo的值為（）

~an-i

134

A.-B.-C.3D.-

443

【答案】A

【分析】根據(jù)遞推公式代入檢驗(yàn)可知數(shù)列｛gJ是以6為周期的周期數(shù)列，結(jié)合周期性分析求解即可.

【詳解】因?yàn)榈?4,g=3,a=（nEN*,n>2）,

n+1an-l

令九=2,可得@3=笠=|;令九=3,可得口4=余=[;

令71=4,可得05=9=3令九=5,可得。6=%=°；

3。43

令九=6,可得。7=%=4；令幾=7,可得@8=幺=3；

可知數(shù)列｛&J是以6為周期的周期數(shù)列，

所以。1000=Q166X6+4=。4=7

故選：A.

考點(diǎn)二、數(shù)列的單調(diào)性

1.（2024?貴州模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足與="尸（卜eR），貝數(shù)列是遞增數(shù)列”的充要條件是（）

A./c<0B.fc<1C.fc>0D.fc>1

【答案】B

【分析】根據(jù)條件，利用遞增數(shù)列滿足即+i>即，即可求解.

【詳解】因?yàn)閍n="i（keR）,所以即+1-即=*—生匕=片

由a“+i—%=前言>0,得到k<1,所以“數(shù)列｛即｝是遞增數(shù)列”的充要條件是k<1,

故選：B.

2.(2024?天津南開(kāi)?二模)設(shè)數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式為即=1+.，若數(shù)列｛即｝是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)b的

取值范圍為().

A.(—3,+8)B.(-2,+8)C.[-2,+8)D.[-3,+8)

【答案】A

【分析】由遞增數(shù)列定義可得廝+i-%>0,代入計(jì)算即可得解.

22

【詳解】由題意可得。九+1—ccn>。恒成立，即(九+I)+b(n+1)—n—=2n+1+6>0,

即b>—2n-1,又九>1,—2n—1<—3,故b6(—3,+oo).

故選：A.

即時(shí)檢測(cè)

1.(2024?北京西城?三模)對(duì)于無(wú)窮數(shù)列｛廝｝,定義4=an+1-an(n=1,2,3,…)，則為遞增數(shù)列”是“｛d"

為遞增數(shù)列''的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】由遞增數(shù)列的性質(zhì)，分別判斷充分性和必要性即可.

【詳解】｛即｝為遞增數(shù)列時(shí)，有勰=an+1-an>0,不能得到｛%｝為遞增數(shù)列，充分性不成立；

｛%｝為遞增數(shù)列時(shí)，不一定有以>0,即不能得到｛an｝為遞增數(shù)列，必要性不成立.

所以“｛即｝為遞增數(shù)列”是“｛dn｝為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

2.(2024?江西?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛&J滿足即=幾-a(aeR),則“aW1”是｛|%J｝是遞增數(shù)列的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】當(dāng)a<1時(shí)即=n-a>0,則=\n-a\=n-a,

所以|%+1|-|a"=n+l-a-(n-d)=l>0,即|廝+11>l&J，所以｛|冊(cè)|｝是遞增數(shù)列,故充分性成立；

uIClI~>n—1

4

當(dāng)a=5時(shí)1|=%一：=5，則同<㈤<出1<…，所以｛1即1｝是遞增數(shù)列，

(n-/22

所以當(dāng)數(shù)列｛|即|｝是遞增數(shù)列，a可以大于1,所以必要性不成立，

所以“a<1”是｛|即|｝是遞增數(shù)列的充分不必要條件.

故選：B

3.(2024.四川雅安?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛%｝滿足即+2=3即+1-2廝，a1=A,a2=2,｛a"單調(diào)遞增,則4

的取值范圍為.

【答案】(一8,2)

a2a

【分析】根據(jù)％1+2=3an+1-2tln可得的1+2-n+l=(n+l-%i)，再結(jié)合單調(diào)遞增以及等比數(shù)列定義

可求出an+i-an,則由cin+1->0即可得解.

【詳角牛1因?yàn)?i+2=34九+1-2cLn，所以a^+2—an+i=2(a“+i—%i),

又因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以廝+1-廝>0,

所以數(shù)列5+1—即｝是以&2-的=2-2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以Cln+1—=(2-4),2nT,

所以(2-4),2n-1>。即2—2>0今/1<2,

則久的取值范圍為(一8,2),

故答案為：(-8,2).

4.(2024.河南信陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))在數(shù)列｛&；｝中，a1=2an+1—an+n+2.

⑴記％=即一加證明：｛%｝為等比數(shù)列;

⑵記％為｛%J的前兀項(xiàng)和，若｛Sn+2+加｝是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

【答案】(1)證明見(jiàn)詳解

(2)(-2,+00)

【分析】(1)根據(jù)遞推公式結(jié)合等比數(shù)列定義分析證明；

(2)由⑴可得%=幾+表，進(jìn)而可得Sn+表+&=濟(jì)+/22+1加+1,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)分析求

解.

【詳解】(1)因?yàn)?廝+1=an+n+2>即a9+i=|an+|n+l,

則瓦=%_1=工力0,且皿=—+LS+D=J"+》+—("+1)=1

一,

2bnan-nan-nan-n2

所以數(shù)列｛篇｝是以首項(xiàng)為5公比為:的等比數(shù)列.

⑵由⑴可知："i=a九一九=弟即時(shí)=九+最？

所以％=(1+―+(2+蠢)+..?+(幾+募)=(1+2+???+n)+6+蠢+…+￡)

九(九+1)+北⑨L%2+~+I-

2222n

可知Sn+—+An=—n?+—(24+l)n+1,

若脩+聯(lián)+叫是遞增數(shù)列,結(jié)合二次函數(shù)對(duì)稱性可得一a+m<i，解得4>-2,

所以實(shí)數(shù)4的取值范圍為(-2,+00).

考點(diǎn)三、數(shù)列的最值

典例引領(lǐng)

1.(2020?北京?高考真題)在等差數(shù)列｛a九｝中，的=—9,a5=—1.i&Tn=a1a2…a九(九=1,2,…),則數(shù)列｛”｝

().

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

C.無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

【答案】B

【分析】首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合數(shù)列中各個(gè)項(xiàng)數(shù)的符號(hào)和大小即可確定數(shù)列中是否存在最大

項(xiàng)和最小項(xiàng).

【詳解】由題意可知，等差數(shù)列的公差d=『=三=2,

5-15-1

則其通項(xiàng)公式為：冊(cè)=的+(九—l)d=—9+(n—1)X2=2n—11,

注意到的<gV。3<。4<@5V0V。6=1V。7<…，

且由75<0可知￡<0(i>6J6N),

由n=a；>l(i>7,i6N)可知數(shù)列｛6｝不存在最小項(xiàng)，

Ti-1

ill丁，a1—9,a2=7,a3=5,44—3,a5—1,tig=1,

故數(shù)列｛七｝中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：72=63,n=63x15=945.

故數(shù)列｛及｝中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為。.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列中項(xiàng)的符號(hào)問(wèn)題，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，屬

于中等題.

2.(?遼寧?高考真題)已知數(shù)列｛an｝滿足的=33,廝+1-廝=2小則手的最小值為.

【答案】y

【分析】先利用累加法求出an=33+n2-n,所以&=史+八一1,設(shè)f(n)=^+n—1,由此能導(dǎo)出n=5

nnn

或6時(shí)f(n)有最小值.借此能得到包的最小值.

n

【詳解】解：Van+1-an=2n,當(dāng)n>2時(shí)，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+...+(a2-al)+al=

2[l+2+…+(n-1)]+33=n2-n+33

且對(duì)n=l也適合，所以an=n2-n+33.

從而回=史+n—1

nn

設(shè)f(n)=-+n-l,令F(n)=^+l>0,

nnz

則f(n)在(每，+8)上是單調(diào)遞增，在(0,商)上是遞減的，

因?yàn)閚《N+,所以當(dāng)n=5或6時(shí)f(n)有最小值.

又因?yàn)?=免，生=絲=衛(wèi)，

55662

所以出的最小值為等=?

n62

故答案為y-

【點(diǎn)睛】本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了累加法.還考查函數(shù)的思想，構(gòu)造函數(shù)利用

導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性.

即反颯

1.(24-25高三上?江蘇南通?階段練習(xí))在遞增數(shù)列中，的=9sin(%t)=cos(an+1).已知%表示前

n項(xiàng)和的最小值，貝！Jsin(Sg)=()

A.BC.D.-坦

2222

【答案】c

【分析】由題意依次確定數(shù)列的前9項(xiàng)的值，結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，即可得答案.

【詳解】由題意在遞增數(shù)列｛即｝中，的=gsin(czn)=cos(an+1),

貝fjcos(a九+i)=sin(an),故cos(@2)=sin(ai)=

則。2=|+2包keZ或g=y+2女兀,kEZ,結(jié)合題意取Q2=g；

又cos(Q3)=sin(a)=—,則％=-+2kji,k6Z或%=—+2kji,fcGZ,

2266

結(jié)合題意取的=手；

同理cos(G4)=sin(a3)=—|,貝U*=g+2kn,kGZ或以=y+2kn,kEZ,

結(jié)合題意取。4=y+2兀，

同理cos(ci5)=sin(a4)=—?則。5=-+2kgkGZ或劭=—+2kji,kE.Z,

結(jié)合題意取。5=*+2兀，

同理cos(a6)=sin(a5)=—貝U%=y+2kn,k6Z或%=y+2kTi,kEZ,

結(jié)合題意取與=—+4兀，同理可得的=—+4兀，a=—+6兀，a=—+6兀，

363869

故｛5｝前9項(xiàng)和的最小值59建+：+3+管+2兀)+”+2兀)+售+4兀)

/1171\/2兀\/I

+什+4兀)+(9+6兀)+島1K+6兀\)

=—+2471,

6

可得sin(S9)=-p

故選：C

2.(24-25高三上?山西大同?期末)等比數(shù)列｛斯｝中，Sn為其前n項(xiàng)和,由=1,且4詢,2a2,成等差數(shù)列，

則手仇6N*)的最小值為()

A.-D.1

2

【答案】D

【分析】先根據(jù)等差中項(xiàng)及等比數(shù)列得通項(xiàng)求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出％,判斷出數(shù)列

囹的單調(diào)性即可得解.

【詳解】設(shè)公比為q,

由4aL2a2,%成等差數(shù)列，得4a2=4al+a3,

又?jǐn)?shù)列｛冊(cè)｝為等比數(shù)列，所以得4@』=4%+口12,解得q=2,

n

所以衿y中)_2-1

n(l-Q)n

人心2n-l

令bn=1T，

則-—絲二_"=與智>0,

n±±nn+1nn(n+l)

所以數(shù)歹w?4遞增數(shù)列，

所以當(dāng)n=l時(shí)，包取得最小值1.

n

故選：D.

3.(2024?山東濟(jì)南.二模)已知｛即｝是各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，｛廝｝前幾項(xiàng)和為Sn,若%=2024,當(dāng)打取

最大值時(shí)，廝的最大值為()

A.63B.64C.71D.72

【答案】C

【分析】因?yàn)閟n=2024是定值，要使當(dāng)九取最大值時(shí)即也取得最大值，｛&J需滿足前m(rn=n-1)項(xiàng)是首

相為1,公差為1的等差數(shù)列，通過(guò)計(jì)算｛&J的前63項(xiàng)和與Sn=2024作比較，前64項(xiàng)和與%=2024作比較

即可得出a“的最大值.

【詳解】因?yàn)?=2024是定值，要使當(dāng)n取最大值時(shí)廝也取得最大值，｛斯｝需滿足各項(xiàng)盡可能取到最小值，

又因?yàn)椋麖P｝是各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以的=1,。2=2,。3=3,…，am=m，即｛為3是首相為1,

公差為1的等差數(shù)列，其中m=n-1；｛a?J的前m項(xiàng)和為7=嗎3；

當(dāng)加=63時(shí)，763=6"6；+1)=2016<2024；

當(dāng)爪=64時(shí)，T64=64(6：+。=2080>2024；

又因?yàn)?024-2016=8<63,

所以九的最大值為63,此時(shí)的=1,a2=2,a3=3,…，a62=62,a九取得最大值為%3=63+8=71.

故選：C.

4.(2024.天津和平.二模)已知數(shù)列｛5｝滿足沁+凝2+-+^an=n(nGN*),則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為

冊(cè)=_____,若數(shù)列｛a,J的前幾項(xiàng)和為又，記Rn=絲且旦(neN*),則數(shù)列法“｝的最大項(xiàng)為第______項(xiàng).

an+l

【答案】2"3

【分析】當(dāng)幾=1時(shí)求出。1，當(dāng)九之2時(shí)，酒+京。2+…+盛7%1-1=九一1，作差即可求出｛%J的通項(xiàng)公

式，從而求出%,即可表示出時(shí),再由基本不等式求出數(shù)列｛R"的最大項(xiàng).

【詳解】因?yàn)?電+—?■。九=九（九eN*）,

當(dāng)九=1時(shí)，|^=1,解得Q1=2;

當(dāng)九之2時(shí)，1^1+^-?2■1------=n—1,

兩式相減得/冊(cè)=1，即廝=2n（n>2）,

經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)九=1時(shí)％=2rl也成立，所以冊(cè)=2n；

因?yàn)閮?cè)=2%所以%="享=2九+1—2,

1—2

所以品=65了」=65X2：鬻22…+2=65-g+2n）<65-2J2nxM=49,

當(dāng)且僅當(dāng)次=裝，即71=3時(shí)取等號(hào).

所以數(shù)列｛Rn｝的最大項(xiàng)為第3項(xiàng).

故答案為：2"；3.

考點(diǎn)四、%與著的關(guān)系求通項(xiàng)公式

典例引領(lǐng)

1.（2024?山東濟(jì)南?三模）若數(shù)列｛廝｝的前幾項(xiàng)和匕=n（>+1）,則等于（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】C

【分析】根據(jù)廝與心關(guān)系求解即可.

【詳解］=$6-55=6x7-5x6=12.

故選：C.

2.（2024?貴州遵義?二模）已知數(shù)列｛時(shí)｝的前n項(xiàng)和%=層+n-1,則的+。9m（）

A.16B.17C.18D.19

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用廝=5“一571-1，幾22求出￡19,即可計(jì)算即得.

22

【詳解】依題意，的=Si=1,a9=S9-S8=（9+9-1）-（8+8-1）=18,

所以a】+cig-19.

故選：D

即時(shí)檢測(cè)

1.(2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模)數(shù)列｛廝｝的前n項(xiàng)和為%=3—2an/WN*,則S5=()

A16D

A.—-§

81B?答cS

【答案】B

【分析】由%,與的關(guān)系可得｛廝｝是以1為首項(xiàng)，以|為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式即可求解.

【詳解】因?yàn)镾九=3—2@九，所以，nN2時(shí)，Sn,!=3-2an_r,

兩式相減得，a—2。九一1—2a,即——=n>2,

nnan-l§

因?yàn)镾i=3-2%,即%=1,

所以數(shù)列｛an｝是以1為首項(xiàng)，以|為公比的等比數(shù)列，

則S5=4=^?

3

故選:B.

n+1

2.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和為%,an+1=Sn+2,的=2,貝=

【答案】n-2n

【分析】根據(jù)已知式子應(yīng)用廝+1=Sn+i-5?得出等差數(shù)列，最后應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)榧?1=Sn+2n+1,則無(wú)+1-sn=Sn+21+1,整理得粼一1=1,

又因?yàn)榈?2狽玲=1,

因此數(shù)列｛票｝是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，

則黑=1+(n-1)x1=n,

所以Sn=n-2T

故答案為：n-2".

3.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))在數(shù)列中，%=3前n項(xiàng)和Sn=n(2?i-l)an,則數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式

為.

【答案】an=(2n_i；2n+l)

【分析】當(dāng)n22時(shí)，由已知的等式可得SnT=(n-l)(2n-3)a“_i，與已知的等式相減化簡(jiǎn)可得上=當(dāng)

Clfi-i271+1

然后利用累乘法可求出冊(cè).

【詳解】由于數(shù)列中，ar=前幾項(xiàng)和Sn=九(2九一l)an,

所以當(dāng)九之2時(shí)，Sn_i=5—1)(2幾一3)冊(cè)_1，

兩式相減可得：an=n(2n-l)an-(n-l)(2n-3)。九t，

2

所以(九一1)(2九-3)%1T=(2n-n-l)an,

(n—l)(2n-3)an_i=(n—l)(2n+l)an,

所以(2n—3)an_!=(2n+l)an,

所以上=汽

an_x2n+l

所以。九=a1,—,—.......“n

%。2an-1

1132n-52n-31

=—X-X-X???X-------X---------=----------------------

3572n-l2n+l(2n-l)(2n+l)

@1=1符合上式,

i

因止匕a九=

(2n-l)(2n+l)

i

故答案為：a=

n(2n-l)(2n+l)

4.(2024高三.全國(guó).專題練習(xí))已知數(shù)列｛即｝的前幾項(xiàng)和為%,若%=2"T-5則數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式為

【答案】4=2九-2

【分析】利用數(shù)列的前幾項(xiàng)和S九與冊(cè)的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng);

n1

【詳解】Sn=2--|

當(dāng)九=1時(shí)，=S-L=2°--=

1122

n-1n2n2

當(dāng)n22時(shí)，0n=Sn-Sn_]=2—2~=2~,a[=(也滿足,

所以數(shù)列｛a"的通項(xiàng)公式為=2n-2.

n2

故答案為：an=2-.

考點(diǎn)五、累加法求通項(xiàng)公式

典例引領(lǐng)

1.(2024?重慶?三模)已知數(shù)列的前幾項(xiàng)和為分,%=l,Sn+Sn+i=彥+l(neN*),S24=()

A.276B.272C.268D.266

【答案】A

【分析】令n=1得S2=1,當(dāng)n22時(shí)，結(jié)合題干作差得S』一S…=2"一1,從而利用累加法求解S24=即

可.

2

【詳解】%=Si=1,又Sn+Sn+1=n+1,

當(dāng)九二1時(shí)，Si+S2=I?+1=2,解得S2=1；

2

當(dāng)九22時(shí)，Sn_1+Sn=(n-1)+1,作差得S九+i-S九_(tái)1=2n一1,

—

?.?S24=(524S22)+(5122-^o)+—卜⑸一*5*2)+$2=2(23+21+—F3)—11+1=276.

故選：A

2.(2024?河北保定?三模)設(shè)出九｝是公差為3的等差數(shù)列，且匕=廝+1+。九，若的=1,則的1=()

A.21B.25C.27D.31

【答案】D

【分析】由bn=&1+1+導(dǎo)＞7l+l=%l+2+%1+1，從而可得byi+1-力九=。?1+2—=3,進(jìn)而可求解.

aa9aa9=a

【詳解】由生=n+l+n得＞九+1=n+2+n+l則匕+1~n+2~CLn=39

從而。21=。21—。19+。19—。17+…+。3—%+Q1=3X10+1=31.

故選：D

即時(shí)性W

1.（2024?陜西咸陽(yáng)?三模）在數(shù)列｛&J中，的=1,an+1=an+2n-1,則與=（）

A.43B.46C.37D.36

【答案】C

a

【分析】由遞推公式冊(cè)+i=an+2n-1用累加法公式=（an-。n_1）+（an_x-。九_(tái)2）+…+（。2-i）+

ar（n>2）求出冊(cè)，再求的即可.

【詳解】法—：由題得CLn二（a九一。九-1）+（。九-1一-2）+…+（。2—01）+=（2荏-3）+（2n—

5）+…+3+1+1=（nT）K；-3）+i|+1=砂一2n+2522）,

所以<17=72-2x7+2=37.

?去—-:=1,。九+1—=272—19

所以為=（。7—。6）+（。6—的）+…+（。2—。1）+。1=11+9+7+5+3+1+1=37.

故選：C.

2.（2024?湖南衡陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛廝｝滿足：的=1,a=a_+n（n>2）,且勾=則數(shù)列｛g｝前

nnran

n項(xiàng)的和無(wú)為（）

A.S=—B.S=—C.S=—D.S=—

nn+lnn+1nn+2n71n+2

【答案】B

【分析】由疊加法求出數(shù)列Sn｝通項(xiàng)公式，再代入加=工，求出數(shù)列｛%｝通項(xiàng)公式，再由列項(xiàng)相消法求出治.

an

【I半神?！坑蒩九=。九一1+n（TtN+2,CL^—ct2+3,ct^,—（Z3+4,。九一1—。九一2+九—1,二

Qn-i+n（JlN2）,

疊加得a九=+2+3+4+...+九=1+2+3+4+…+幾="二。（荏之2）,

由題可知的=1也適合上式，故與="節(jié)2

所以獨(dú)=高=就不=2（；一言），

則數(shù)列也｝前n項(xiàng)的和Sn=瓦+尻+以+…+勾一1+bn=2（1-|+1++Z77）

=2（1--）=—.

\n+17n+l

故選：B.

3.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛a九｝滿足的=3,g=15,且an+2-2an+i+an=8,若［%］表示不超過(guò)%

403440344034'

的最大整數(shù)，則-----1------1--n------)

a2024

A.2016B.2017C.4032D.4034

【答案】A

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可證數(shù)列｛an+i-%J是等差數(shù)列，進(jìn)而利用累加法求出通項(xiàng)an,再利用裂項(xiàng)相消法

求出吏+照+…+絲收，結(jié)合條件求得結(jié)果.

a2024

【詳解】由a九+2—2/2+I+(zn=8,可得(。九+2—%i+i)—(Q/i+i—=8,又

a2-a1=15-3=12,故數(shù)列一是以12為首項(xiàng)，8為公差的等差數(shù)列,

則a九+i—ctn=12+(?i-1)X8=8九+4,g—%=8+4,ct^—Q2=8X2+4,

4-“3=1=

。8x3+4,…,dn—。九―8(71—1)+4(九之2),

故當(dāng)?1>2時(shí)，a九一的=8+8x2+8x3+…+8x(n—1)+4(n-1)=4n2—4,

22

則當(dāng)幾之2時(shí)，an=4n—1,又的=3適合上式，故a九=4九一1,neN*,

1iii

4n2-l(2n-l)(2n+l)2

an

40344034

-----=------X=2017x

an2

403440344034/11111

-----+-----+…+-----=2017x+

a

的a220242X2024-12X2024+1

=2。"義(1一短).

/痂『4034.4034,.40341

又2016<2017x(1-焉)<Q2n0i1f7,故----1---------1■…H-------=2016.

L0-2。2024」

故選：A.

4.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和為無(wú),且%=/+3幾，若首項(xiàng)為1的數(shù)列｛e｝滿足

"—；=則數(shù)列｛配｝的前2024項(xiàng)和為（）

bn+lbn

A101220252023

A.-----D.---------C.—D?黑

202320242024

【答案】D

i

【分析】已知數(shù)列｛&J的前n項(xiàng)和為治,做差法計(jì)算數(shù)列｛a,J的通項(xiàng)公式，代入甘一-a,累加法求出

%+1n

數(shù)列｛,｝的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消即可求出數(shù)列協(xié)/的前2024項(xiàng)和.

2

【詳解】解：：Sn=n+3n,an=Sn-S九=2n+2(n>2),

當(dāng)71=1時(shí)，的=4,符合廝=2九+2,

所以數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式為冊(cè)=2幾+2.

1111

---=2九+2,

bn+ibn+i匕?i

即工一工=4,

b2%

---=6,

匕2

1a=2n,又;2,累加法可得：…+小

bn

11

即%=西=花而，

nn+l

設(shè)數(shù)列｛g｝的前n項(xiàng)和為貝怩024=OO…+（總一募）2024

2025

故選：D

考點(diǎn)六、累乘法求通項(xiàng)公式

典例引領(lǐng)

1.（2024.西藏模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛廝｝對(duì)任意k6N*滿足以?以+i=2"，則的?。2024=（）

A.21012B.21013C,22°24口.22025

【答案】A

【分析】由ak-ak+i=2k,得以+「%+2=2上+】，從而-=2,再利用累乘法求解.

ak

【詳解】解：由耿?縱+1=2上，得以+i?以+2=2k+1,

所以嗎=2,

ak

所以。2024.。2022.02020…血.血.翌_21011,即做。24_21。11①.

a2022a2020a2018a6a4a2

又因?yàn)榈?a2=2②，

①②兩式相乘，得的“2024=21012.

故選：A.

2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛aj滿足黑=篙，其中的=1,則。8=（）

A.28B.220C.225D.228

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，由累乘法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意，得a=1x2］，%=2x22,…，望=2x27.

2。23。78

由累乘法，得也x也x-x-^=ix2xx-x22X-X—x2“T,

—123TL

121+2+…+77（1+7）-

n273

即泡=1x2】x2X-X2=---—=2—-=225,

3

ar82

又=1,所以他=225.

故選：C.

即時(shí)笆測(cè)

1.（2024高三下?全國(guó)?專題練習(xí)）在數(shù)列｛an｝中，的=土前兀項(xiàng)和％=以2n-1）。?,則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公

式