專題11 導數(shù)的概念、運算及幾何意義9-2025年高考數(shù)學二輪復習考點突破(原卷)

高中數(shù)學精編資源2/2專題11導數(shù)的概念、運算及幾何意義9題型分類一、導數(shù)的概念和幾何性質1.概念函數(shù)在處瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導數(shù)，記作或．注：①增量可以是正數(shù)，也可以是負，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；②當時，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在一個常數(shù)與無限接近；③導數(shù)的本質就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率．如瞬時速度即是位移在這一時刻的瞬間變化率，即．2.幾何意義函數(shù)在處的導數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點處的切線的斜率．3.物理意義函數(shù)在點處的導數(shù)是物體在時刻的瞬時速度，即；在點的導數(shù)是物體在時刻的瞬時加速度，即．二、導數(shù)的運算1.求導的基本公式基本初等函數(shù)導函數(shù)（為常數(shù)）2.導數(shù)的四則運算法則（1）函數(shù)和差求導法則：；（2）函數(shù)積的求導法則：；（3）函數(shù)商的求導法則：，則．3.復合函數(shù)求導數(shù)復合函數(shù)的導數(shù)和函數(shù)，的導數(shù)間關系為：4.導數(shù)的幾何意義（1）在點的切線方程切線方程的計算：函數(shù)在點處的切線方程為，抓住關鍵．（2）過點的切線方程設切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，又因為切線方程過點，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．（一）導數(shù)的定義對所給函數(shù)式經(jīng)過添項.拆項等恒等變形與導數(shù)定義結構相同，然后根據(jù)導數(shù)定義直接寫出．題型1：導數(shù)的定義1-1．（2024高二下·北京·期中）已知函數(shù)的圖象如圖所示，函數(shù)的導數(shù)為，則（

）A． B．C． D．1-2．（2024高三上·云南楚雄·期末）已知某容器的高度為20cm，現(xiàn)在向容器內注入液體，且容器內液體的高度h（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數(shù)關系式為，當時，液體上升高度的瞬時變化率為3cm/s，則當時，液體上升高度的瞬時變化率為（

）A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s1-3．（2024高二下·天津·期中）已知函數(shù)的導函數(shù)是，若，則（）A． B．1 C．2 D．41-4．（2024高二下·重慶·階段練習）若函數(shù)在處可導，且，則（

）A．1 B． C．2 D．1-5．（2024高三·全國·課后作業(yè)）若在處可導，則可以等于（

）．A． B．C． D．（二）求函數(shù)的導數(shù)對所給函數(shù)求導，其方法是利用和.差.積.商及復合函數(shù)求導法則，直接轉化為基本函數(shù)求導問題．題型2：求函數(shù)的導數(shù)2-1．（2024·湖北武漢·三模）已知函數(shù)，則.2-2．（2024高三下·河南·階段練習）已知函數(shù)的導函數(shù)為，且，則．2-3．（2024高三·全國·專題練習）求下列函數(shù)的導數(shù)．(1)；(2)；(3)(4)；2-4．（2024高三·全國·課后作業(yè)）求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．（三）導數(shù)的幾何意義函數(shù)在點處的導數(shù)，就是曲線在點處的切線的斜率．這里要注意曲線在某點處的切線與曲線經(jīng)過某點的切線的區(qū)別．（1）已知在點處的切線方程為．（2）若求曲線過點的切線方程，應先設切點坐標為，由過點，求得的值，從而求得切線方程．另外，要注意切點既在曲線上又在切線上．題型3：在某點處的切線方程3-1．（2024·廣東廣州·三模）曲線在點處的切線方程為．3-2．（2024·全國）函數(shù)的圖像在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．3-3．（2024高三上·陜西·階段練習）曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．3-4．（2024·全國）曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．3-5．（2024·全國）曲線y=2sinx+cosx在點(π，–1)處的切線方程為A． B．C． D．題型4：過某點的切線方程4-1．（2024·湖南·模擬預測）過點作曲線的切線，則切點的橫坐標為，這條切線在x軸上的截距為．4-2．（2024高三下·重慶沙坪壩·階段練習）曲線過坐標原點的兩條切線方程為，.4-3．（山東新高考聯(lián)合質量測評2023-2024學年高三上學期9月聯(lián)考數(shù)學試題）過點作曲線的兩條切線，切點分別為，，則（

）A． B． C． D．3題型5：已知切線求參數(shù)問題5-1．（2024·重慶·三模）已知直線y＝ax－a與曲線相切，則實數(shù)a＝（

）A．0 B． C． D．5-2．（2024·全國）設曲線y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x，則a=A．0 B．1 C．2 D．35-3．（2024·全國）曲線在點處的切線的斜率為，則．5-4．（2024·全國）已知曲線在點處的切線方程為，則A． B． C． D．題型6：切線平行、垂直、重合問題6-1．（2024·安徽六安·三模）若函數(shù)與的圖象有一條公共切線，且該公共切線與直線平行，則實數(shù)（

）A． B． C． D．6-2．（2024·湖南長沙·一模）已知直線與曲線相交于，且曲線在處的切線平行，則實數(shù)的值為（

）A．4 B．4或-3 C．-3或-1 D．-36-3．（2024高三上·浙江·期中）若函數(shù)的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則實數(shù)的值是（

）A． B． C． D．6-4．（2024高三·江西撫州·開學考試）已知曲線在點處的切線互相垂直，且切線與軸分別交于點，記點的縱坐標與點的縱坐標之差為，則（

）A． B．C． D．6-5．（2024高三上·河北邯鄲·階段練習）設函數(shù)在處的切線與直線平行，則（

）A． B．2 C． D．16-6．（2024高二下·湖南·期中）已知曲線在點P處的切線與直線垂直，則點P的橫坐標為（

）A．1 B． C．2 D．題型7：公切線問題7-1．（2024·山東煙臺·三模）若曲線與曲線有兩條公切線，則的值為．7-2．（2024·全國）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則．7-3．（2024高二下·浙江杭州·期中）若直線與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為.題型8：切線的條數(shù)問題8-1．（2024高二下·福建廈門·期中）若曲線過點的切線有且僅有兩條，則實數(shù)的取值范圍是.8-2．（2024·福建廈門·模擬預測）若曲線有兩條過的切線，則的范圍是．8-3．（2024高三上·福建漳州·階段練習）已知函數(shù)，若過點可作曲線的三條切線，則的取值范圍是．8-4．（2024高三上·河北·階段練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．題型9：最值問題9-1．（2024·江蘇）在平面直角坐標系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線x+y=0的距離的最小值是.9-2．（2024·山東聊城·三模）若直線與曲線相切，則的最大值為（）A．0 B．1 C．2 D．9-3．（2024·湖北·模擬預測）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A．16 B．12 C．8 D．49-4．（2024高三·全國·專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則最小值為（

）A． B．C． D．9-5．（2024高三·全國·專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．9-6．（2024·四川·一模）若點是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．一、單選題1．（2024·云南保山·二模）若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．（2024·海南·模擬預測）已知偶函數(shù)在點處的切線方程為，則（

）A． B．0 C．1 D．23．（2024高二下·四川成都·階段練習）已知是曲線上的任一點，若曲線在點處的切線的傾斜角均是不小于的銳角，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2024高三·全國·專題練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．5．（2024·湖南·二模）若經(jīng)過點可以且僅可以作曲線的一條切線，則下列選項正確的是（

）A． B． C． D．或6．（2024高三上·上海閔行·期末）若函數(shù)的圖像上存在兩個不同的點，使得在這兩點處的切線重合，則稱為“切線重合函數(shù)”，下列函數(shù)中不是“切線重合函數(shù)”的為（

）A． B．C． D．7．（2024高二·江蘇·專題練習）已知A，B是函數(shù)，圖象上不同的兩點，若函數(shù)在點A、B處的切線重合，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2024高三·全國·專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．9．（2024高三·全國·專題練習）已知實數(shù)，，，滿足，則的最小值為（

）A． B．8 C．4 D．1610．（2024高三·全國·專題練習）設函數(shù)，其中，．若存在正數(shù)，使得成立，則實數(shù)的值是（

）A． B． C． D．111．（2024·寧夏銀川·一模）已知實數(shù)滿足，，則的最小值為（

）A． B． C． D．12．（2024·全國）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．13．（2024·全國）若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+14．（2024高二下·四川宜賓·期末）已知為函數(shù)圖象上一點，則曲線在點處切線斜率的最小值為（

）A．1 B． C． D．415．（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)的圖像上有一動點，則在此動點處切線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．16．（2024·全國）曲線在點處的切線的傾斜角為（

）A．30° B．45° C．60° D．135°17．（2024高二下·陜西西安·期中）設函數(shù)是上以5為周期的可導偶函數(shù)，則曲線在處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．18．（2024·山東）若函數(shù)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱具有性質．下列函數(shù)中具有性質的是A． B． C． D．19．（2024高二下·河南鄭州·期中）若曲線在處的切線與直線垂直，則實數(shù)（

）A．1 B． C． D．220．（2024·湖南郴州·模擬預測）定義：若直線l與函數(shù)，的圖象都相切，則稱直線l為函數(shù)和的公切線．若函數(shù)和有且僅有一條公切線，則實數(shù)a的值為（

）A．e B． C． D．21．（2024·全國）已知函數(shù)，若，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題22．（2024·安徽蕪湖·模擬預測）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程根的一種解法.具體步驟如下：設是函數(shù)的一個零點，任意選取作為的初始近似值，過點作曲線的切線，設與軸交點的橫坐標為，并稱為的1次近似值；過點作曲線的切線，設與軸交點的橫坐標為，稱為的2次近似值.一般地，過點（）作曲線的切線，記與軸交點的橫坐標為，并稱為的次近似值.對于方程，記方程的根為，取初始近似值為，下列說法正確的是（

）A． B．切線：C． D．23．（2024高二下·江蘇宿遷·期末）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法一牛頓法.首先，設定一個起始點，如圖，在處作圖象的切線，切線與軸的交點橫坐標記作：用替代重復上面的過程可得；一直繼續(xù)下去，可得到一系列的數(shù)，，，…，，…在一定精確度下，用四舍五入法取值，當，近似值相等時，該值即作為函數(shù)的一個零點.若要求的近似值(精確到0.1)，我們可以先構造函數(shù)，再用“牛頓法”求得零點的近似值，即為的近似值，則下列說法正確的是（

）A．對任意，B．若，且，則對任意，C．當時，需要作2條切線即可確定的值D．無論在上取任何有理數(shù)都有24．（2024·海南海口·一模）直線是曲線的切線，則實數(shù)的值可以是（

）A．3π B．π C． D．三、填空題25．（2024·海南·模擬預測）在等比數(shù)列中，，函數(shù)，則．26．（2024·遼寧大連·一模）已知可導函數(shù)，定義域均為，對任意滿足，且，求.27．（2024高三·全國·專題練習）曲線在點處的切線方程為．28．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，為的導函數(shù).若的圖象關于直線x＝1對稱，則曲線在點處的切線方程為29．（2024·湖南·模擬預測）若函數(shù)是奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為．30．（2024·江西·模擬預測）已知過原點的直線與曲線相切，則該直線的方程是．31．（2024·浙江金華·模擬預測）已知函數(shù)，過點存在3條直線與曲線相切，則實數(shù)的取值范圍是.32．（2024·浙江紹興·模擬預測）過點作曲線的切線，寫出一條切線方程：.33．（2024·海南?？凇つM預測）過軸上一點作曲線的切線，若這樣的切線不存在，則整數(shù)的一個可能值為．34．（2024·全國·模擬預測）過坐標原點作曲線的切線，則切點的橫坐標為.35．（2024·河南商丘·模擬預測）若過點有條直線與函數(shù)的圖象相切，則當取最大值時，的取值范圍為.36．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，其導函數(shù)為，則曲線過點的切線方程為．37．（2024·河北邯鄲·三模）若曲線與圓有三條公切線，則的取值范圍是．38．（2024·湖南長沙·模擬預測）若曲線和曲線恰好存在兩條公切線，則實數(shù)a的取值范圍為．39．（2024·江蘇南京·模擬預測）已知曲線與曲線有且只有一條公切線，則．40．（2024·福建南平·模擬預測）已知曲線和曲線有唯一公共點，且這兩條曲線在該公共點處有相同的切線l，則l的方程為．41．（2024·江蘇·模擬預測）若曲線有兩條過的切線，則a的范圍是.42．（2024高三上·陜西西安·階段練習）若曲線的某一切線與直線平行，則切點坐標為，切