長沙某中學(xué)2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期八年級(jí)期中考試

數(shù)學(xué)試題卷

考試時(shí)間：2024年11月6日14：00—16：00

注意事項(xiàng)：

1.答題前，請(qǐng)先將自己的姓名、班級(jí)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫清楚；

2.必須在答卷上答題，在草稿紙、試題卷上答題無效；

3.答題時(shí)，請(qǐng)考生注意各大題號(hào)后面的答題提示；

4.請(qǐng)注意卷面，保持字體工整、筆跡清晰、卷面清潔；

5.答卷上不準(zhǔn)使用涂改液、涂改膠和貼紙；

6.本試卷時(shí)量120分鐘，滿分120分.

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分.每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)）

1.剪紙窗花不僅是藝術(shù)品，更是文化的傳承與創(chuàng)新.它們通過諧音、象征等手法，構(gòu)成富于寓意的藝術(shù)畫

面.下面是某學(xué)校部分學(xué)生的作品，其中不是軸對(duì)稱圖形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的識(shí)別.根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重

合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可.

【詳解】解：A、B、D選項(xiàng)中的圖形都能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分

能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；

C選項(xiàng)中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以

不是軸對(duì)稱圖形；

故選：C.

2.如圖是某公園的一滑梯側(cè)面圖，已知NAC8=30。，滑梯架的高A3為2m,則滑梯AC長為（）

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A.4mB.5mC.6mD.7m

【答案】A

【解析】

【分析】此題主要考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊

等于斜邊的一半.利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：V在RtAABC中，ZACB=30°,AB=2m,

AC=2AB=4m,

故選：A.

3.蜜蜂的蜂巢的優(yōu)美形狀，是自然界最有效勞動(dòng)的代表，如圖，它是由很多個(gè)大小幾乎相同的正六邊形蜂

房組成.正六邊形的每個(gè)外角是（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了正多邊形外角和定理，正多邊形的每個(gè)外角的度數(shù)都相等，且它們的度數(shù)之和為

360度，據(jù)此求解即可.

360°

【詳解】解：--=60°,

6

正六邊形的每個(gè)外角是60°,

故選：C.

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4.如圖，點(diǎn)E在CD延長線上，下列條件中能判定ABDCE的是（）

A.Z5=ZCB.Z1=Z2C.NB=NCD.ZC+ZCAB=180°

【答案】D

【解析】

【分析】此題主要考查了平行線的判定，正確掌握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵.直接利用平行線的判定方

法分別判斷得出答案.

【詳解】解：A、當(dāng)N5=NC時(shí)，可得：AC//BD,不合題意；

B、；當(dāng)N1=N2時(shí)，可得：AC//BD,不合題意；

C、當(dāng)=時(shí)，不能判定ABDCE,不符合題意；

D、當(dāng)NC+NC45=180°時(shí)，可得：ABHCE,符合題意.

故選：D.

5.下列式子計(jì)算正確的是（）

A.（2ab『=4/B.（一；/）=-y6C.x2[Jx3=x5D.xy74-xy3=xy4

【答案】C

【解析】

【分析】此題考查了同底數(shù)累的乘法，積的乘方以及幕的乘方，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是掌握募

的有關(guān)運(yùn)算法則.根據(jù)同底數(shù)募的乘法，積的乘方以及塞的乘方，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，逐個(gè)求解即可.

【詳解】解：A、（2.6）2=4/〃，原選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、（-y3）2=/,原選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C、X2DC3=%5,正確，符合題意；

D、孫7十孫3=y4,原選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：C.

6.如圖，已知。是的中點(diǎn)，AE,AF分別是AABC的角平分線、高線，則下列結(jié)論正確的是。

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A.AD=CDB.ZCAE=~ZBACC,ZAEB=90°D.DF=CF

2

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了三角形的中線、角平分線和高，熟記定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)三角形的中線、角平分線、

高線的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、?.?AD是AABC的中線，

BD=CD,

故此選項(xiàng)不符合題意；

B、「AE是△A3C的角平分線，

:.ZCAE=-ZBAC,

2

故此選項(xiàng)符合題意；

C、?.?AE是△A3C的高線，

ZAFC=90°,

由外角性質(zhì)得NAEB>ZAFB=ZAFC=90°,

NAEB豐90°,

故此選項(xiàng)不符合題意；

D、從現(xiàn)有條件無法證得。尸=CT,

故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

7.如圖是一風(fēng)箏的骨架圖，其中點(diǎn)E為BD中點(diǎn)，且AC垂直于BD,若AB=2cm,四邊形A3CD的周長

為16cm,則CD的長為（）

A.2cmB.6cmC.7cmD.14cm

【答案】B

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【解析】

【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，四邊形的周長等知識(shí).首先根據(jù)已知可得AC是線段BD

的垂直平分線，進(jìn)而可得AD=AB=2cm,BC=CD,由此即可求解.

【詳解】解：???點(diǎn)E為BD中點(diǎn)，且AC工5。，即AC是3。的垂直平分線，

AD=AB=2cm,BC=CD,

■：四邊形ABCD的周長為16cm,即A。+AB+CD+BC=16cm,

故選B.

8.“一亭幽絕費(fèi)平章，峽口清風(fēng)贈(zèng)晚涼.前度桃花斗紅紫，今來?xiàng)魅~染丹黃.饒將春色輸秋色，迎過朝陽送

夕陽.此地四時(shí)可乘興，待誰招鶴共翱翔.”其中“一亭”指的是具有一座悠久歷史的古典園林建筑一

“愛晚亭”.如圖，“愛晚亭”的頂端可看作等腰三角形ABC,AB=AC,。是邊5c上的一點(diǎn).下列條

件不能說明AD是AABC的角平分線的是（）

A.NDAB=NDACB.ADLBD

C.BC=2ADD.△A3。與口4儀＞的周長相等

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形三線合一，是解題的關(guān)鍵.根據(jù)等腰三角

形“三線合一”逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.-：ZDAB=ZDAC,

，AD平分NA4C,即AD是△ABC的角平分線，故A不符合題意；

B.VAB=AC,ADLBD,

???AD平分NB4C,即AD是△ABC的角平分線，故B不符合題意；

C.根據(jù)BC=2AD不能判斷AD是的角平分線，故C符合題意；

D.?.?△A3。與口4口＞的周長相等，

AB+BD+AD-AC+CD+AD,

BD=CD,

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,?AB=AC,

AD平分NR4C,即AD是△ABC的角平分線，故D不符合題意.

故選：C.

9.如圖，已知△ABC2則下列結(jié)論不正確的是（）

B

E

A.AB=DEB.AB//DE

C.AF=DCD.ZBCD=ZDFE

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì).熟練掌握全等三角形的性質(zhì)定理，是解決問題的關(guān)鍵.

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】A、?.?△A3C2

AB=DE,

；.A正確，不符合題意；

B、:LABC名ADEF,

ZA=ZD,

：.AB//DE,

；.B正確，不符合題意；

C、V^ABC^ADEF,

：.AC=DF,

：.AC-CF^DF-CF,

：.AF=DC,

AC正確，不符合題意；

D、；AABC@ADEF,

：.ZACB=ZDFE,

ZBCDHZDFE.

D不正確，符合題意.

故選：D.

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10.如圖，在△ABC中，A3=AC,點(diǎn)C是5。上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作NACE=NB,交AD于點(diǎn)孔連接

AE,CE,且AE=AC,則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()

①5c=DE,?ZACB=ZCFD,③NCED=ACAD,?CD=DE.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理及其推論、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明

□AOE會(huì)□ABC是解題的關(guān)鍵.證明DADEaABC,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行

推導(dǎo)即可.

【詳解】解：=AE=AC,

:.NB=NADB,ZACE=ZAEC,

NACE=ZB,

ZB=NADB=ZACE=ZAEC,

ZBAD=180°-ZB-ZADB,ZCAE=1800-ZACE-ZAEC,

NCAE=ZBAD,

:.AEIAE=BAC,

在△ADE和△ABC中，

AE=AC

<ZDAE=ABAC,

AD=AB

.-.OADE^OABC(SAS),

BC=DE,故①正確，符合題意；

???ZAFE=180°—NEAF-NAEF,NACB=180。一ABAC-NB

NAFE=ZACB,

,：ZAFE=ZCFD

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:.NACB=NCFD,故②正確，符合題意；

ZFDE=ZB,

???ZB=ZACF,

ZFDE=ZACF,

vZAFC與NDFE互為對(duì)頂角，

ZAFC=ZDFE,

■：ZDEC=180°-ZFDE-ZDFE,ZDAC=1800-ZACF-ZAFC,

ZDEC=ZDAC,故③正確，符合題意；

從題目現(xiàn)有條件無法證出CO=3E,故④錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：C.

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）

11.數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān)，在下列三個(gè)生活中常見的物品中，具有穩(wěn)定性的是.（填序號(hào)）

①自行車的三角形車架，②起重機(jī)的三角形吊臂，③相機(jī)三腳架.

【答案】①②③

【解析】

【分析】此題考查了三角形的特性：穩(wěn)定性，應(yīng)注意在實(shí)際生活中的應(yīng)用.只要三角形的三邊確定，則三角

形的大小唯一確定，即三角形的穩(wěn)定性.

【詳解】解：①自行車的三角形車架，利用了三角形的穩(wěn)定性；

②起重機(jī)的三角形吊臂，利用了三角形的穩(wěn)定性；

③相機(jī)三腳架，利用了三角形的穩(wěn)定性；

故利用了三角形穩(wěn)定性的有①②③.

故答案為：①②③.

12.公路邊上的很多汽車警示標(biāo)志形狀都是等邊三角形.我們知道等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有

條對(duì)稱軸.

【答案】3

【解析】

【分析】本題考查的是軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，等

邊三角形有3條對(duì)稱軸.等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有3條對(duì)稱軸，就是三條角平分線所在的直線.

【詳解】解：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有3條對(duì)稱軸，就是三條角平分線所在的直線.

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故答案為：3.

13.如圖，在△A3C中，ZACD=80°,ABAC=45°,則48='

【答案】35

【解析】

【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求解即可.

【詳解】解：：ZACD=80°,ABAC=45°，

：.ZB=ZACD-ABAC=80°-45°=35°.

故答案為：35.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(0,5),8(—3,0),若△AO3/△OCD,那點(diǎn)。的坐標(biāo)是

【答案】(5,-3)

【解析】

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出OC,CD是解答

關(guān)鍵.

根據(jù)A(0,5),8(—3,0)可得到AO=5,03=3,再利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，求出CD,OC即可求

解.

【詳解】解：?.?&((),5),8(—3,0),

AO—5,OB—3.

■,^AOB^OCD,

,-.CD=OB=3,OC=AO=5,

.?.0(5,—3).

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故答案為：。（5,—3）.

15.如果。+36-2=0,那么3"x27"的值為.

【答案】9

【解析】

【分析】把題目所給等式和所求代數(shù)式進(jìn)行等價(jià)變形，再代入計(jì)算即可.

【詳解】解：,??a+Bb-2=0,

a+3b=2.

：.3"x27"=3"x（33）"=3"x33b=3a+ib=32=9.

【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)幕的乘法，幕的乘方運(yùn)算，正確進(jìn)行等價(jià)變形是解題關(guān)鍵.

16.如圖，在中，NA5C=90。，NC=60°,AB=2。，BC=2,點(diǎn)。是邊AC上一動(dòng)點(diǎn).連

接3。，將△ABD沿5。折疊，得到其中點(diǎn)A落在E處，BE交AC于點(diǎn)F,當(dāng)為直角

三角形時(shí)，EE的長度是.

【答案】2百-2或6

【解析】

【分析】分兩種情況：當(dāng)NEDR=90°時(shí)，可證得△BCF是等邊三角形，得出BF=BC=2,再由

EF=BE—BF,即可求得；當(dāng)NDEE=90。時(shí)，利用直角三角形性質(zhì)可得.13R=工A3=百，再由

2

EF=BE-BF,即可求得跳7長.

【詳解】解：???/ABC=90°,NA=30°,AB=26BC=2,

.-.zc=60°,

由折疊知，NE=NA=30°,EB=AB=273-

當(dāng)NEDF=90°時(shí)，ZDFE=90°-ZE=60°,

ZBFC=ZDFE=60°=ZC,

；RBCF是等邊三角形，

BF=BC=2,

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;.EF=BE-BF=2C-2;

當(dāng)ZDFE=90°時(shí)，NBFA=180°-NDFE=90°,

在RtDABE中，

???NA=30°,

BF=-AB=43,

2

:.EF=EB-BF=6

綜上所述，ER的長度為26-2或G.

故答案為：26-2或

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形折疊，熟練掌握直角三角形性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，折疊變換

的性質(zhì)，含30°的直角三角形性質(zhì)，分類討論，是解題關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第

22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證

明過程或演算步驟）

17.計(jì)算：

（1）-|2-A/3|；

（2）（-1）2024+（22）2-^/27.

【答案】（1）V3-1

（2）14

【解析】

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，理解零指數(shù)累，絕對(duì)值的性質(zhì)，立方根，幕的乘方等相關(guān)知識(shí)是解答關(guān)鍵.

（1）根據(jù)零指數(shù)幕的運(yùn)算法則，絕對(duì)值的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算求解；

（2）根據(jù)乘方，哥的乘方和立方根的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算求解.

【小問1詳解】

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解：（兀—

=1_（2-G）

=l-2+V3

=V3-1?

【小問2詳解】

解：（—1）2024+02）2—場

=1+42—3

=1+16-3

=14.

3（x—l）+y=0

⑴解方程組：口-2（；-2）=7

4x-l>2x

（2）解不等式組：］12.

——x<——

I23x

x=114

【答案】（1）<c（2）-<%<-

y=023

【解析】

【分析】本題主要考查了解二元一次方程組和不等式組，熟練掌握解二元一次方程組和不等式組的方法，是

解題的關(guān)鍵.

（1）用加減消元法解二元一次方程組;

（2）先求出兩個(gè)不等式的解集，然后再求出不等式組的解集即可.

3（x-l）+y=0①

【詳解】解：（1）＜

3x-2（y-2）=7（2）

3x+y=3③

將方程組整理得＜

3x-2y=3@

@-（4）,得y=0,

將＞=。代入③，得x=l,

&=1

...該方程組的解為《八

[y=o

第12頁/共24頁

4x-l>2XD

⑵1J

—xV—x（2）

[23

解不等式①得》>!，

2

4

解不等式②得x4一,

3

14

/.該不等式組的解集為一<x<一.

23

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系X?！分校琙SABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（—3,5）,5（-1,2）,C（-4,l）.

（1）請(qǐng)畫出ZSABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1BG；

（2）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)與，C的坐標(biāo)；

（3）請(qǐng)求出△ABC的面積.

【答案】（1）見解析（2）耳（1,2）,G（4,1）

（3）5.5

【解析】

【分析】本題主要考查作圖一軸對(duì)稱變換，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱變換的定義與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).

（1）分別作出點(diǎn)A,B,C關(guān)于〉軸的對(duì)稱點(diǎn)，再順次連接即可得；

（2）根據(jù)圖形分別寫出各點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（3）利用割補(bǔ)法求解可得.

【小問1詳解】

解：如圖所示，△4與q即為所求.

第13頁/共24頁

解:瓦(1,2)，G(4,1)；

【小問3詳解】

=

解：SaABC3x4——xlx4——xlx3——x2x3

=12-2-1.5-3

=5.5.

20.先化簡，再求值：

(1)+x(5—x)—0r2,其中x=3；

(2)(2y)~+(x+2y)(x-y)-x5其中％=?。，y=2.

【答案】(1)5x—x2;6

(2)2y2+xy：10

【解析】

【分析】此題考查了整式的四則混合運(yùn)算一化簡求值，募的運(yùn)算法則及零指數(shù)幕，熟練掌握運(yùn)算法則是解本

題的關(guān)鍵.

(1)原式利用塞的乘方、同底數(shù)幕相乘及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，進(jìn)行計(jì)算得到最簡結(jié)果，把x=3的值代入

計(jì)算即可求出值；

(2)原式利用積的乘方、同底數(shù)幕相除及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則進(jìn)行化簡，把刀與丁的值代入計(jì)算即可求出

值.

【小問1詳解】

解：原式=%6+5X-X?

第14頁/共24頁

=5%-x2,

當(dāng)x=3時(shí)，

原式=5x3-3?=6;

【小問2詳解】

解：=4y2+x2-xy+2xy-2y2-x2

=2y2+xy，

當(dāng)x=?°=i，y=2時(shí),

原式=2x2?+1x2=10?

21.如圖，已知AC=5。，ZA=ZB,NE=NF.

(1)證明：□ADE竺BCE；

(2)若NA=40°,ZE=20°,求N1的度數(shù).

【答案】(1)證明見解析

(2)60°

【解析】

【分析】此題考查全等三角形的判定及三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)AAS證明口4￡/空方CE.

(1)根據(jù)AAS證明△ADF與DBCE全等即可；

(2)利用三角形外角的性質(zhì)解答即可.

【小問1詳解】

AC=BD,

：.AC-CD^BD-CD,

?：AD=BC,

在△AOE和DBCE中，

NF=NE

<ZA=ZB,

AD=BC

第15頁/共24頁

.-.□ADF^OBCE(AAS)；

【小問2詳解】

：NB=NA=40°,NE=20°,

Z1=ZB+ZE=40°+20°=60°.

22.秋季由于氣候干燥，天氣轉(zhuǎn)冷，用火用電情況大量增加，起火原因增多，火災(zāi)危險(xiǎn)性加大.為了加強(qiáng)秋

季防火用電安全，提高同學(xué)們的安全防范意識(shí)，某學(xué)校組織了“用電安全”知識(shí)競賽，對(duì)表現(xiàn)優(yōu)異的班級(jí)進(jìn)

行獎(jiǎng)勵(lì)，學(xué)校購買了若干支鋼筆和中性筆.購買5支鋼筆和10支中性筆共需110元；購買8支鋼筆和6支中

性筆共需126元.

（1）求購買1支鋼筆和1支中性筆各需多少元；

（2）若學(xué)校購買鋼筆和中性筆共200支，其中鋼筆的數(shù)量不得少于中性筆數(shù)量的工，且總支出不超過

3

1364元，那學(xué)校有哪幾種購買方案？

【答案】（1）12元；5元

（2）3種，方案見解析

【解析】

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用和一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出之

間的數(shù)量關(guān)系，列出二元一次方程組和一元一次不等式組.

（1）設(shè)購買一支鋼筆需x元，一支中性筆需丁元，根據(jù)購買5支鋼筆和10支中性筆共需110元；購買8支

鋼筆和6支中性筆共需126元.可得出方程組，解出即可.

（2）設(shè)購買。支鋼筆，則購買（200-a）支中性筆，根據(jù)鋼筆的數(shù)量不得少于中性筆數(shù)量的;，且總支

出不超過1364元，列不等式組求出。的取值范圍，即可得出購買方案.

【小問1詳解】

解：設(shè)購買一支鋼筆需刀元，一支中性筆需丁元.

"5x+10y=110

由題意,得<

8x+6y=126

x=12

解得

>=5

答：購買一支鋼筆需12元，一支中性筆需5元.

【小問2詳解】

解：設(shè)購買〃支鋼筆，則購買（200-〃）支中性筆.

第16頁/共24頁

a2g（200一a）

由題意，得＜

12t?+5（200-a）<1364

解得50＜。＜52.

為整數(shù)，

A=50,51,52.

有以下3種購買方案:

①當(dāng)購買鋼筆的數(shù)量為50支時(shí)，中性筆數(shù)量為200-50=150（支）;

②當(dāng)購買鋼筆的數(shù)量為51支時(shí)，中性筆數(shù)量為200-51=149（支）;

③當(dāng)購買鋼筆的數(shù)量為52支時(shí)，中性筆數(shù)量為200-52=148（支）.

23.如圖，AE平分NCAO,N為AE反向延長線上的一點(diǎn)，AEUBC,AN=CM.

（1）求證：DABC為等腰三角形；

（2）若NCAD=120。，AN=2,且求AC的長.

【答案】（1）證明見解析

（2）4

【解析】

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可證，NC=NCAE、ZABC=ZDAE,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可證

NCAE=ZDAE,等量代換可得NC=ZABC,根據(jù)等角對(duì)等邊可證口ABC是等腰三角形；

（2）根據(jù)NCAD=120?？梢郧蟪鯝BAC=60°,根據(jù)有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形可得

□ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三線合一定理可得=CM=AN,從而求出AC的長度.

【小問1詳解】

證明：如下圖所示，

第17頁/共24頁

￡

???AEUBC,

ZC=ZCAE,ZABC=ZDAE,

???AE平分NCA￡）,

ZCAE=NDAE,

ZC=ZABC,

AB=AC>

mABC是等腰三角形；

【小問2詳解】

解：?.?NCAD=120°,

ABAC=60°,

:口ABC是等腰三角形，

.汨ABC是等邊三角形，

AB=BC=AC,

AM1BC,

BM=CM=AN=2,

BC=BM+CM=4,

AC=4.

故答案為4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、等邊三角形的判定和性質(zhì).解決本題的關(guān)鍵

是根據(jù)平行線的性質(zhì)找到角之間的關(guān)系；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)找到邊之間的關(guān)系.

24.“2024ESG全球領(lǐng)導(dǎo)者大會(huì)”于10月在上海黃浦區(qū)舉行.大會(huì)圍繞能源與雙碳、綠色金融、可持續(xù)發(fā)

展、科技與公益等前沿議題，推動(dòng)全球ESG合作、發(fā)展與共贏.我們規(guī)定，在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)

4（加,"）作如下"可持續(xù)發(fā)展”變換：若初之〃，則作它關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)；若根<〃，則作它關(guān)于y軸的

對(duì)稱點(diǎn).點(diǎn)片作第一次“可持續(xù)發(fā)展”變換得到點(diǎn)片，再將點(diǎn)《作第二次“可持續(xù)發(fā)展”變換得到點(diǎn)巴.若

用與2重合，我們稱點(diǎn)片為“可持續(xù)發(fā)展點(diǎn)”；若與與巴不重合，我們稱點(diǎn)與為“合作共贏點(diǎn)”.

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（1）將點(diǎn)4（3,2）作如上“可持續(xù)發(fā)展”變換，則點(diǎn)《的坐標(biāo)為，點(diǎn)8的坐標(biāo)為,由

此，點(diǎn)片為“點(diǎn)”（填”可持續(xù)發(fā)展”或“合作共贏”）；

（2）若點(diǎn)外（加，力為第三象限中的一點(diǎn)，求證：凡必為“合作共贏點(diǎn)”，且用砧生=2〃z〃；

（3）若點(diǎn)弓（〃“）為第三象限中的一點(diǎn)，且外片=18,S口砧舄=18,若/為實(shí)數(shù)，m>n,當(dāng)

廠一加”一機(jī)=10+〃時(shí)，求出f的值和凡的坐標(biāo).

【答案】⑴（3,-2）；（3,2）；可持續(xù)發(fā)展

（2）證明見解析（3）±3；（-1,-9）

【解析】

【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化，新定義問題和三角形的面積，深入理解“可持續(xù)發(fā)展”變換是解決問

題的關(guān)鍵，

（1）根據(jù)“可持續(xù)發(fā)展”變換的定義及“可持續(xù)發(fā)展點(diǎn)”的定義進(jìn)行求解即可；

（2）分為①當(dāng)〃三m<0時(shí)，②當(dāng)相<“<0時(shí)，兩種情況結(jié)合新定義求解即可；

（3）先根據(jù)新定義求得m=-l,〃=-9,即用的坐標(biāo)為（-1,-9）,再由『一機(jī)”—機(jī)=10+〃，求得y士3,

即可求解.

【小問1詳解】

解：?.?此（3,2）中,3>2,

???點(diǎn)用作第一次“可持續(xù)發(fā)展”變換，即關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)片（3,-2）,

?.■《（3,—2）中，3>-2,

二點(diǎn)耳作第二次“可持續(xù)發(fā)展”變換，即關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)鳥（3,2）,

與與鳥重合，

4（3,2）為“可持續(xù)發(fā)展點(diǎn)”,

故答案為：（3,2）；可持續(xù)發(fā)展；

【小問2詳解】

解：①當(dāng)〃三m<0時(shí)，作點(diǎn)《關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)4（機(jī),一〃），

*.*n<m<0,

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/.-n>m,

??.作點(diǎn)《關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P2,

/.P^PX--2n,PXP2--2m,且P^PX_LPXP2,

S口貼尸2=1《4/鳥=；x(—2〃)x(-2m)=2mn；

②當(dāng)加<〃<0時(shí)，作點(diǎn)4關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)《(一加,〃)；

m<n<0,

/.-m>n,

???作點(diǎn)《關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P2(—叫—口，

PQPi=-2m,PXP2=-2n,且P^PX_LPXP2,

S口外松由6=1-X(-2m)X(-2n)=2mn,

綜上所述，玲(加,")與g(-根,-〃)不重合，

必為“合作共贏點(diǎn)”，且S口昂股=2mn.

【小問3詳解】

解：m>n,

工作點(diǎn)《關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)<(加,-")，

PQP}=—In=18,

n=—9,

又由(2)可知，SnPoPiP2=2mn,

S口PgPip2=2mn=18,

求得m=-1,n=-9,

即用的坐標(biāo)為(-1,-9),

V\t'-mr^-m=10+n,

：.|/2-9|=0,

/=±3.

.?"=±3,凡的坐標(biāo)為(-1,-9).

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2

25.如圖①所示，在平面直角坐標(biāo)系中，若A（a,O）,6（0,。），5.（0-4）+=0.

(1)求A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)若以A3為直角邊作等腰直角三角形ABC,請(qǐng)直接寫出所有可能的點(diǎn)C的坐標(biāo);

(3)如圖②，在（2）中，若點(diǎn)C為第三象限的點(diǎn)，且AC與y軸交于點(diǎn)N,5c與x軸交于點(diǎn)連接

MN,過點(diǎn)C作CPLAC交x軸于點(diǎn)P,求點(diǎn)C到"N的距離.

【答案】（1）A（4,0）,8（0,8）