變分法與最優(yōu)控制

講變分法與最優(yōu)控制

2021/6/271主要內(nèi)容2.1變分法概述2.2無約束最優(yōu)化問題無約束固定端點泛函極值必要條件無約束自由端點泛函極值必要條件2.3等式約束最優(yōu)化問題2.4變分法求解最優(yōu)控制問題引入哈密頓函數(shù)求解拉格朗日問題求解綜合型（波爾扎）問題2021/6/2722.1變分法概述

1、泛函定義

2、泛函的連續(xù)性

3、泛函的極值

4、線性泛函

5、泛函的變分

6、泛函變分的求法

7、泛函變分的規(guī)則

8、泛函極值的條件2021/6/2732.1變分法概述1、泛函定義定義：如果變量y對于某一函數(shù)類中的每一個函數(shù)x(t)，都有一個確定的值與之對應(yīng)，那么就稱變量y為依賴于函數(shù)x(t)的泛函，記為：y=J[x(t)]。說明：由于函數(shù)的值是由自變量的選取而確定的，而泛函的值是由自變量的函數(shù)的選取而確定的，所以將泛函理解為“函數(shù)的函數(shù)”。2021/6/274【例2.1】

是一個泛函。變量J的值是由函數(shù)x(t)

的選取而確定。當(dāng)時,有。當(dāng)時,有。2021/6/275【例2.2】曲線的弧長求：平面上連接給定兩點A(x0，y0)和B(x1，y1)的曲線的弧長J。

A、B兩點間的曲線方程為：y=f(x)

A、B兩點間的弧長為：2021/6/276

泛函的上述概念，可以推廣到含有幾個函數(shù)的泛函的情況，例如：求一般函數(shù)極值微分法求泛函極值變分法2021/6/2772、泛函的連續(xù)性函數(shù)相近(零階相近)

當(dāng)函數(shù)x(t)與

x0(t)之差的絕對值，即

∣x(t)-x0(t)∣,t1

t

t2

對于x(t)的定義域中的一切t（t1

t

t2）都很小時，稱函數(shù)x(t)與函數(shù)x0(t)是相近的，也稱為零階相近。2021/6/278一階相近

當(dāng)函數(shù)x(t)與

x0(t)之差的絕對值以及它們的一階導(dǎo)數(shù)和之差的絕對值，即

t1

t

t2

都很小，稱函數(shù)x(t)與函數(shù)x0(t)是一階相近的。注意：一階相近的兩個函數(shù)，必然是零階相近，反之不成立。K階相近當(dāng)

t1

t

t2都很小時，稱函數(shù)x(t)與函數(shù)x0(t)是k階相近的。2021/6/279函數(shù)間距離

在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。在函數(shù)空間C[a，b]（在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離：

在函數(shù)空間Ck[a，b]（在區(qū)間[a，b]上連續(xù)且具有連續(xù)的k階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，任意兩個函數(shù)間的距離定義為：

顯然，式（2.1）定量地表示兩個函數(shù)之間的零階相近度，而式（2.1）定量地表示兩個函數(shù)之間的k階相近度。（2.1）（2.2）零階距離零階距離函數(shù)間距離

在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。在函數(shù)空間C[a，b]（在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離：

在函數(shù)空間Ck[a，b]（在區(qū)間[a，b]上連續(xù)且具有連續(xù)的k階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，任意兩個函數(shù)間的距離定義為：

（2.1）零階距離零階距離函數(shù)間距離

在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。在函數(shù)空間C[a，b]（在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離：

在函數(shù)空間Ck[a，b]（在區(qū)間[a，b]上連續(xù)且具有連續(xù)的k階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，任意兩個函數(shù)間的距離定義為：

函數(shù)間距離

在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。在函數(shù)空間C[a，b]（在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離：

在函數(shù)空間Ck[a，b]（在區(qū)間[a，b]上連續(xù)且具有連續(xù)的k階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，任意兩個函數(shù)間的距離定義為：

函數(shù)間距離

在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。在函數(shù)空間C[a，b]（在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離：

在函數(shù)空間Ck[a，b]（在區(qū)間[a，b]上連續(xù)且具有連續(xù)的k階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，任意兩個函數(shù)間的距離定義為：

函數(shù)間距離

在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。在函數(shù)空間C[a，b]（在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離：

在函數(shù)空間Ck[a，b]（在區(qū)間[a，b]上連續(xù)且具有連續(xù)的k階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，任意兩個函數(shù)間的距離定義為：

函數(shù)間距離

在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。在函數(shù)空間C[a，b]（在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離：

在函數(shù)空間Ck[a，b]（在區(qū)間[a，b]上連續(xù)且具有連續(xù)的k階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，任意兩個函數(shù)間的距離定義為：

函數(shù)間距離

在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。在函數(shù)空間C[a，b]（在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離：

在函數(shù)空間Ck[a，b]（在區(qū)間[a，b]上連續(xù)且具有連續(xù)的k階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，任意兩個函數(shù)間的距離定義為：

k階距離k階距離k階距離k階距離k階距離k階距離k階距離k階距離k階距離k階距離k階距離k階距離k階距離k階距離函數(shù)間距離

在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。在函數(shù)空間C[a，b]（在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離：

在函數(shù)空間Ck[a，b]（在區(qū)間[a，b]上連續(xù)且具有連續(xù)的k階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，任意兩個函數(shù)間的距離定義為：

零階距離零階距離k階距離k階距離k階距離k階距離k階距離k階距離k階距離k階距離k階距離k階距離k階距離k階距離k階距離k階距離函數(shù)間距離

在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。在函數(shù)空間C[a，b]（在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離：

在函數(shù)空間Ck[a，b]（在區(qū)間[a，b]上連續(xù)且具有連續(xù)的k階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的全體構(gòu)成的函數(shù)空間）中，任意兩個函數(shù)間的距離定義為：

2021/6/2710泛函的連續(xù)性如果對于任意給定的正數(shù)

，可以找到這樣一個

>0，當(dāng)

d[x(t)，x0(t)]<

時，存在

∣J[x(t)]－J[x0(t)]∣<

那么，就說泛函J在點x0(t)處是連續(xù)的。

根據(jù)所采用的函數(shù)之間距離定義的不同，對應(yīng)的泛函分別稱為零階連續(xù)泛函(2.1)或k階連續(xù)泛函(2.2)。2021/6/27113、泛函的極值如果 是在與 僅僅具有零階接近度的曲線 的泛函中比較得出的極值，稱為強極值。如果 是在與 具有一階或一階以上接近度的曲線 的泛函中比較得出的極值，則稱為弱極值。2021/6/27124、線性泛函

連續(xù)泛函如果滿足下列條件：（1）疊加原理：

J[x1(t)+x2(t)]=J[x1(t)]+J[x2(t)]

（2）齊次性：

J[cx(t)]=c

J[x(t)]其中，c是任意常數(shù)，就稱為線性泛函。例如：都滿足上述兩個條件，故均為線性泛函。2021/6/27135、泛函的變分宗量的變分若函數(shù)x(t)是變量J的自變量函數(shù)，則稱x(t)為泛函J[x(t)]的宗量函數(shù)。

宗量的變分是指在同一函數(shù)類中的兩個宗量函數(shù)間的差：2021/6/2714也就是說，泛函的變分是泛函增量的線性主部。當(dāng)一個泛函具有變分時，稱該泛函是可微的。泛函的變分當(dāng)宗量x(t)有變分時，泛函的增量可以表示為其中，L[x(t)，

x(t)]是關(guān)于

x(t)的線性連續(xù)泛函；

r[x(t)，

x(t)]是關(guān)于

x(t)的高階無窮小；

L[x(t)，

x(t)]稱為泛函的變分，記為線性主部2021/6/27156、泛函變分的求法定理2－1

連續(xù)泛函J(x)的變分，等于泛函對α的導(dǎo)數(shù)在α=0時的值.即定理2－2

連續(xù)泛函J(x)的二次變分定義為（證明略）（證明略）2021/6/27167、泛函變分的規(guī)則2021/6/2717求泛函的變分。【例2.3】2021/6/27188、泛函極值的條件泛函極值的必要條件：定理2－3

連續(xù)可微泛函J(x)

在x0(t)上達(dá)到極值的必要條件為：J(x)在x=x0處必有泛函極值的充要條件：定理2－4

設(shè)可微泛函J(x)存在二次變分，

則在x=x0處達(dá)到極小值的充要條件為：同理，設(shè)可微泛函J(x)存在二次變分，則在x=x0處達(dá)到極大值的充要條件為：2021/6/2719主要內(nèi)容2.1變分法概述2.2無約束最優(yōu)化問題無約束固定端點泛函極值必要條件無約束自由端點泛函極值必要條件2.3等式約束最優(yōu)化問題2.4變分法求解最優(yōu)控制問題引入哈密頓函數(shù)求解拉格朗日問題求解綜合型（波爾扎）問題2021/6/27202.2無約束最優(yōu)化問題1、無約束固定端點泛函極值必要條件問題2-1無約束固定終端泛函極值問題為:其中,及x(t)在[t0,tf]上連續(xù)可微，t0及tf固定，求滿足上式的極值軌線x*(t)。x(t0)=x0，x(tf)=xf，2021/6/2721定理2－5

若給定曲線x(t)的始端x(t0)=x0和終端x(tf)=xf，則泛函達(dá)到極值的必要條件是，曲線x(t)滿足歐拉方程其中x(t)應(yīng)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則至少應(yīng)是二次連續(xù)可微的。歐拉(Euler)方程（證明略）邊界條件或2021/6/2722歐拉方程的全導(dǎo)數(shù)形式

在中，第二項為全導(dǎo)數(shù)

令

得歐拉方程的全導(dǎo)數(shù)形式或2021/6/2723【例2.4】

求泛函在邊界條件下的極值曲線及極值.2021/6/2724幾種特殊的歐拉方程（可以得到封閉形式的解）被積函數(shù)L不依賴于，即被積函數(shù)L不依賴于x，即

被積函數(shù)L不依賴于t，即

在這種情況下，歐拉方程的首次積分為

其中c是待定的積分常數(shù)。實際上，將上式左邊對t求全導(dǎo)數(shù)，有被積函數(shù)L

線性地依賴于，即2021/6/2725【例2.5】最速降線(又稱捷線)問題

設(shè)在豎直平面內(nèi)有兩點A和B，它們不在同一條鉛垂線上?，F(xiàn)有一質(zhì)點受重力的作用自較高的A點向較低的B點滑動，如果不考慮各種阻力的影響，問應(yīng)取怎樣的路徑，才能使所經(jīng)歷的時間最短？在A、B兩點所在的豎直平面內(nèi)選擇一坐標(biāo)系，如上圖所示。A點為坐標(biāo)原點，水平線為x軸，鉛垂線為y軸。結(jié)論:最速降線是一條圓滾線。2021/6/2726

對于向量空間的泛函，也存在著歐拉方程，不過是歐拉方程組（即向量歐拉方程）。定理2－6

在n維函數(shù)空間中，若極值曲線X(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T的始端X(t0)=[x1(t0),x2(t0),…,xn(t0)]T和終端X(tf)=[x1(tf),x2(tf),…,xn(tf)]T是給定的，則泛函達(dá)到極值的必要條件是曲線X(t)滿足向量歐拉方程其中X(t)應(yīng)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，而

則至少應(yīng)是二次連續(xù)可微的。向量歐拉方程或2021/6/2727向量歐拉方程向量歐拉方程可寫成標(biāo)量方程組2021/6/2728【例2.6】

求泛函

滿足邊界條件的極值函數(shù)。思考：能否利用MATLAB符號工具箱求解微分方程組？2021/6/2729當(dāng)極值曲線x*(t)的端點變化時，要使泛函

達(dá)到極小值，

x*(t)首先應(yīng)當(dāng)滿足歐拉方程：若端點固定,可以利用端點條件:確定歐拉方程中的兩個待定的積分常數(shù)。問題：若端點可變，如何確定這兩個積分常數(shù)？2.2無約束最優(yōu)化問題2、無約束自由端點泛函極值必要條件（橫截條件）2021/6/2730圖形分析<1>,都固定，圖a即

即

<2>固定,自由

圖

b即

因為自由所以終端僅在

上滑動

求出最優(yōu)

許多狀態(tài)軌線

2021/6/2731<3>自由，固定，圖c

則橫截條件變?yōu)椋?/p>

始端僅在

上滑動

<4>端點變動的情況：自由端點，無約束條件的變分，如圖:始點在曲線上變動

終點在曲線上變動

)(tx2021/6/2732問題描述：假定極值曲線的始端A(t0，x0)是固定的，而終端B(tf，xf)是可變的，并沿著給定的曲線現(xiàn)在的問題是：需要確定一條從給定的點A(t0，x0)到給定的曲線上的某一點B(tf，xf)的連續(xù)可微的曲線x(t)，使得泛函達(dá)到極小值。變動，如右下圖所示。2021/6/2733橫截條件定理2-7

若曲線x(t)由一給定的點(t0，x0)到給定的曲線x(tf)=

(tf)上的某一點(tf，xf)，則泛函達(dá)到極值的必要條件是，

x(t)滿足歐拉方程和橫截條件其中x(t)應(yīng)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，

則至少應(yīng)是二次連續(xù)可微的，而

(t)

則應(yīng)有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)。（證明略）2021/6/2734若極值曲線的始端不是固定的，并沿著曲線變動，則同樣可以推導(dǎo)出始端的橫截條件定理2-7擴(kuò)展2021/6/2735

根據(jù)定理2-7和上式，可得到端點可變時，Lagrange問題的解，除有歐拉方程外，還有橫截條件：(1)始端、終端可變，即x(t0)=

(t0)，x(tf)=

(tf)，則橫截條件為：(2)當(dāng)t0、

tf

可變，而x(t0)與x(tf)固定時，則橫截條件為：(3)當(dāng)t0、

tf

固定，而x(t0)與x(tf)可變時，即始端與終端分別在t=t0、t=tf上滑動，則橫截條件為：橫截條件總結(jié)2021/6/2736定理2-7和以上幾種情況的橫截條件，都可以將其推廣到n維函數(shù)向量X(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T的泛函的情形。定理2-8在n維函數(shù)空間中，若曲線X(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T的始端X(t0)=[x1(t0),x2(t0),…,xn(t0)]T是固定的，而終端X(tf)=[x1(tf),x2(tf),…,xn(tf)]T是可變的，且在曲面X(tf)=

(tf)上變動，則泛函達(dá)到極值的必要條件是，曲線X(t)滿足向量歐拉方程和橫截條件2021/6/2737

若曲線X(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T的始端不是固定的，而是可變的，并在給定的曲面上變動，其中，則同樣可以推導(dǎo)出始端的橫截條件為：2021/6/2738【例2.7】

泛函求極值若x(0)與x(2)任意，求極值曲線x*及極值J(x*).2021/6/2739【例2-8】求固定點A（0，1）到給定直線的弧長最短的曲線方程2021/6/2740主要內(nèi)容2.1變分法概述2.2無約束最優(yōu)化問題無約束固定端點泛函極值必要條件無約束自由端點泛函極值必要條件2.3等式約束最優(yōu)化問題2.4變分法求解最優(yōu)控制問題引入哈密頓函數(shù)求解拉格朗日問題求解綜合型（波爾扎）問題2021/6/2741回顧等式約束條件下函數(shù)極值問題的解法

設(shè)有函數(shù)（2.2）現(xiàn)在需要求函數(shù)Z在以下約束條件下的極值。（2.1）（1）消元法：從約束條件（2.2）中將y解出來。用x表示y，即y=y(x)然后將y(x)代入g(x,y)中，得到

Z=g[x,y(x)]（2.3）這樣，函數(shù)Z只含有一個自變量x.等式(2.2)約束條件下的函數(shù)(2.1)極值問題

無約束條件的函數(shù)(2.3)極值問題存在兩個問題：①從方程(2.2)中將y解出來往往很困難；②對x和y這兩個自變量未能平等看待。2021/6/2742（2）拉格朗日乘子法（Lagrangefactor）

步驟如下：①作一個輔助函數(shù)F=g(x,y)+f(x,y)

式中，

是待定常數(shù)，稱為拉格朗日乘子；(2.4)

③聯(lián)立求解方程（2.2）和（2.4），求出駐點（x0

，y

0）和待定常數(shù)

值;④判斷（x0

，y

0）是否是函數(shù)g(x,y)的極值點。（2.2）約束條件②求輔助函數(shù)F的無條件極值，即令Lagrange函數(shù)等式約束條件下的函數(shù)極值問題

無約束條件的函數(shù)極值問題2021/6/2743（2）拉格朗日乘子法（Lagrangefactor）

擴(kuò)展：1、拉格朗日乘子法對于求n元函數(shù)

Z=g（x1，x2，…，xn）在約束條件下的極值問題，同樣適用。2、拉格朗日乘子法對于求在多個約束方程

fi（x1，x2，…，xm）=0，i=1，2，…，m；下的極值問題，同樣適用。3、m<n是必要的。向量函數(shù)向量方程約束2021/6/27442.3等式約束最優(yōu)化問題1、等式約束固定終端泛函極值必要條件問題2-2等式約束固定端點泛函極值問題為:情況下的極值軌線X*(t)。（2.5）求泛函在約束方程為和端點條件為（2.6）向量形式2021/6/2745【解決方法】

引入拉格朗日向量乘子，將等式約束泛函極值問題轉(zhuǎn)化為無約束泛函極值問題。

步驟如下：（1）構(gòu)造輔助泛函

其中

(t)=[

1(t),

2(t),…,

m(t)]T是m維待定向量乘子。（2.7）無約束條件的泛函（2.7）極值問題有約束條件（2.6）的泛函（2.5）極值問題2021/6/2746（2）令寫出歐拉方程

（3）聯(lián)立求解歐拉方程（2.8）和約束方程（2.6），可以得到n維向量函數(shù)X(t)和m維向量乘子

(t)。（4）利用端點條件確定歐拉方程解中的2n個積分常數(shù)，得到候選函數(shù)X*(t)

。（5）檢驗候選函數(shù)X*(t)是否使泛函（2.7）達(dá)到極值，以及是極大值還是極小值。（2.8）2021/6/2747定理2-9

如果n維向量函數(shù)X(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T

能使泛函在等式約束條件下達(dá)到極值，這里f是m維向量函數(shù)，m<n，必存在適當(dāng)?shù)膍維向量函數(shù)

(t)=[

1(t),

2(t),…,

m(t)]T

使泛函達(dá)到無條件極值。即函數(shù)X(t)是上述泛函J0的歐拉方程的解，其中而X(t)和

(t)由歐拉方程和約束方程共同確定。2021/6/2748無約束條件的泛函J0極值問題有約束條件的泛函J極值問題等價證明：2021/6/2749取極小值。給定的邊界條件為例2-9

已知受控系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)如圖所示。求最優(yōu)控制u*(t)及最優(yōu)軌線x*(t)

，使目標(biāo)泛函2021/6/27502.3等式約束最優(yōu)化問題2、等式約束自由端點泛函極值必要條件如何求解？2021/6/2751主要內(nèi)容2.1變分法概述2.2無約束最優(yōu)化問題無約束固定端點泛函極值必要條件無約束自由端點泛函極值必要條件2.3等式約束最優(yōu)化問題2.4變分法求解最優(yōu)控制問題引入哈密頓函數(shù)求解拉格朗日問題求解綜合型（波爾扎）問題2021/6/27522.4變分法求解最優(yōu)控制問題

當(dāng)狀態(tài)變量和控制變量均不受約束，即X(t)

Rn，U(t)

Rm時，最優(yōu)控制問題是個在等式約束條件下求泛函極值的變分問題，因此，可以利用在上一節(jié)中介紹的拉格朗日乘子法來求解。在這一節(jié)中，利用拉格朗日乘子法求解最優(yōu)控制問題時，將引入哈密頓（Hamilton）函數(shù)，推導(dǎo)出幾種典型的最優(yōu)控制問題應(yīng)滿足的必要條件。2021/6/27532.4變分法求解最優(yōu)控制問題1、引入哈密頓函數(shù)求解拉格朗日問題(2.10)初始條件(2.9)終端條件：tf固定，X(tf)自由和性能泛函(2.11)給定系統(tǒng)狀態(tài)方程要求從容許控制U(t)

Rm中確定最優(yōu)控制U*(t)，使系統(tǒng)（2.9）從給定的初態(tài)X(t0)轉(zhuǎn)移到某個終態(tài)X(tf)，并使性能泛函（2.11）達(dá)到極小值。這是拉格朗日問題，又稱為積分型最優(yōu)控制問題。問題2-32021/6/2754

解：將狀態(tài)方程（2.9）改寫為(2.12)最優(yōu)控制問題微分方程（2.12）在約束條件下求泛函

極值的變分問題。2021/6/2755利用拉格朗日乘子法，引入n維拉格朗日乘子向量

(t)=[

1(t),

2(t),…,

n(t)]T

(t)稱為協(xié)態(tài)變量，以便與狀態(tài)變量相對應(yīng)。(2.13)求泛函在等式

約束條件下的極值問題求泛函（2.13）J0的無約束條件的極值問題。構(gòu)造輔助泛函：2021/6/2756定義哈密頓（Hamilton）函數(shù)為：輔助泛函標(biāo)量函數(shù)哈密頓函數(shù)與輔助函數(shù)之間關(guān)系為：2021/6/2757將代入歐拉方程，得

協(xié)態(tài)方程（共軛方程）狀態(tài)方程規(guī)范方程（正則方程）控制方程利用變分法寫出輔助泛函的歐拉方程2021/6/2758初始狀態(tài)為由于終端時刻tf固定，終端狀態(tài)X(tf)自由，所以橫截條件為

得聯(lián)立求解規(guī)范方程可以得到兩個未知函數(shù)X(t)和

(t)。由邊界條件確定積分常量：混合邊界問題或兩點邊界值問題。2021/6/2759求解兩點邊值問題步驟：由控制方程求得

U=U[X(t)，

(t)，t]

；將上式代入規(guī)范方程消去其中的U(t)，得到利用邊界條件聯(lián)立求解方程以上方程，可得唯一確定的解X(t)和

(t)；將所求得的X(t)和

(t)代入U=U[X(t)，

(t)，t]

，求得相應(yīng)的U(t)。說明：利用引入哈密頓函數(shù)的方法求解拉格朗日型最優(yōu)控制問題，是將求泛函在等式約束條件下對控制函數(shù)U(t)的條件極值問題轉(zhuǎn)化為求哈密頓函數(shù)H對控制變量U(t)的無條件極值問題。這種方法稱為哈密頓方法。2021/6/2760定理2-10

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

為將系統(tǒng)從給定的初態(tài)轉(zhuǎn)移到終端時刻

tf固定，終端狀態(tài)X(tf)自由的某個終態(tài)，并使性能泛函達(dá)到極小值的最優(yōu)控制應(yīng)滿足的必要條件是：

2021/6/2761（1）設(shè)U*(t)是最優(yōu)控制，

X*(t)是對應(yīng)于U*(t)的最優(yōu)軌線，則必存在一與U*(t)和X*(t)相對應(yīng)的n維協(xié)態(tài)變量

(t)

，使得X(t)與

(t)

滿足規(guī)范方程其中（2）邊界條件為（3）哈密頓函數(shù)H對控制變量U(t)（t0

t

tf）取極值，即2021/6/2762*沿著最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線，哈密頓函數(shù)H對時間t求全導(dǎo)數(shù)，得若H不顯含t時，則有

H(t)=常數(shù)

t[t0，tf];也就是說，當(dāng)H不顯含t時，哈密頓函數(shù)H是不依賴于t的常數(shù)。2021/6/2763取極小值。給定的邊界條件為解法2：哈密頓方法例2-9

已知受控系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)如圖所示。求最優(yōu)控制u*(t)及最優(yōu)軌線x*(t)

，使目標(biāo)泛函2021/6/2764取極小值。給定的邊界條件為自由例2-10

已知受控系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)如圖所示。求最優(yōu)控制u*(t)及最優(yōu)軌線x*(t)

，使目標(biāo)泛函2021/6/2765由例2-9哈密頓方法：由協(xié)態(tài)方程得：由控制方程得：由狀態(tài)方程得：｛｛2021/6/2766例2-11

已知系統(tǒng)方程和邊界條件為（1）求使性能泛函為極小值的最優(yōu)控制函數(shù)與最優(yōu)軌線?？梢岳肕ATLAB符號工具箱求解微分方程（2）若終端條件為x1(1)=0，x2(1)自由，求該最優(yōu)控制問題。2021/6/27672.4變分法求解最優(yōu)控制問題2、求解綜合型（波爾扎）問題(2.10)初始條件(2.9)和性能泛函(2.14)給定系統(tǒng)狀態(tài)方程要求從容許控制U(t)

Rm中確定最優(yōu)控制U*(t)，使系統(tǒng)（2.9）從給定的初態(tài)X(t0)轉(zhuǎn)移到某個終態(tài)X(tf)，并使性能泛函（2.14）達(dá)到極小值。這是波爾扎問題，又稱為復(fù)合型最優(yōu)控制問題。問題2-4注意：給定的端點條件不同，上述最優(yōu)控制問題的解將不同。2021/6/2768

1.終端時刻tf固定，終端狀態(tài)X(tf)

自由的情況

構(gòu)造輔助泛函為：若令哈密頓函數(shù)為（2.15）（2.16）并對式（2.15）積分號內(nèi)第三項進(jìn)行分部積分，則輔助泛函變?yōu)?021/6/2769（2.17）求上式對狀態(tài)變量X(t)和控制變量U(t)的變分，得（2.19）由于泛函J0達(dá)到極值的必要條件為（2.18）由于

X(t0)=0，

X(tf)≠0，

X(t)≠0，

U(t)≠0，則由式（2.18）和（2.19）可得上述波爾扎型最優(yōu)控制問題的解應(yīng)2021/6/2770終端時刻tf固定，終端狀態(tài)X(tf)自由的波爾扎型最優(yōu)控制問題的解應(yīng)滿足的必要條件為：這些關(guān)系與拉格朗日型最優(yōu)控制問題的完全相同，所不同的只是橫截條件，即協(xié)態(tài)變量的終端值2021/6/2771

2.終端時刻tf固定，終端狀態(tài)X(tf)

受約束的情況

設(shè)終端狀態(tài)受到如下等式的約束（2.20）其中

為r（當(dāng)L=0，r

n-1；當(dāng)L0，r

n