七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步學(xué)與練（蘇科版）-第01講 探索直線平行的條件（3大考點(diǎn)+7種題型+強(qiáng)化訓(xùn)練）（原卷版）

第01講探索直線平行的條件（3大考點(diǎn)+7種題型+強(qiáng)化訓(xùn)練）1.能夠正確判斷同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角；2.利用直線平行的條件判斷兩條直線平行；3.建立平面圖形基本推理和思考能力。知識(shí)點(diǎn)1：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角1、同位角：如圖所示，具有∠1和∠6這樣位置關(guān)系的角稱為同位角，同位角還有∠2和∠5。同位角的特征：①在被截兩直線的同一方；②在截線的同側(cè)。2、內(nèi)錯(cuò)角：如圖所示，具有∠1和∠3這樣位置關(guān)系的角稱為內(nèi)錯(cuò)角，內(nèi)錯(cuò)角還有∠2和∠4。內(nèi)錯(cuò)角的特征：①在被截兩直線之間；②在截線的兩側(cè)。3、同旁內(nèi)角：具有∠1和∠4這樣位置關(guān)系的角稱為同旁內(nèi)角，同旁內(nèi)角還有∠2和∠3。同旁內(nèi)角的特征：①在被截兩直線之間；②在截線的同側(cè)。知識(shí)點(diǎn)2：兩條直線平行的條件兩條直線平行的條件1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。簡(jiǎn)稱為：同位角相等，兩直線平行。兩條直線平行的條件2：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行。簡(jiǎn)稱為：內(nèi)錯(cuò)角角相等，兩直線平行。兩條直線平行的條件3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。簡(jiǎn)稱為：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。知識(shí)點(diǎn)3：平行線基本公理過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行②平行于同一條直線的兩條直線平行題型一：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角【例1】．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，與，與各是哪兩條直線被哪一條直線所截而形成的什么角？

圖①

圖②【變式1】．（2023下·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，與構(gòu)成同位角的是（）A． B． C． D．【變式2】．（2023下·廣東河源·七年級(jí)期中）如圖，a，b，c三條直線兩兩相交，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）

A．與是同位角 B．與是內(nèi)錯(cuò)角C．與是對(duì)頂角 D．與是同旁內(nèi)角題型二：平行公理的應(yīng)用【例2】．（2023上·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）小明與小剛在討論數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有如下對(duì)話：小明：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)A有且只有一條直線與已知直線m平行．小剛：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)A有且只有一條直線與已知直線m垂直．對(duì)于兩個(gè)人的說(shuō)法，正確的是（

）A．小明對(duì) B．小剛對(duì) C．兩人均對(duì) D．兩人均不對(duì)【變式1】．（2023上·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)的5條不同的直線中，與直線相交的直線至少有（）A．2條 B．3條 C．4條 D．5條【變式2】．（2023下·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：a、b、c為平面內(nèi)三條不同的直線，若，，則a、b的位置關(guān)系為．題型三：平行公理推論的應(yīng)用【例3】．（2023上·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為(

)（1）過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與已知直線平行（2）如果，那么（3）如果兩線段不相交，那么它們就平行（4）如果兩直線不相交，那么它們就平行A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1】．（2023上·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）已知，若由此得出，則直線a和c應(yīng)滿足的位置關(guān)系是（

）A．在同一個(gè)平面內(nèi)B．不相交 C．平行或重合 D．不在同一平面內(nèi)【變式2】．（2023上·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）是直線，下列說(shuō)法正確的是()A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則題型四：同位角相等兩直線平行【例4】已知：如圖，直線與被所截，．求證：．

【變式1】．（2023下·江蘇·七年級(jí)期中）如圖所示，直線，相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，使得平分．(1)若，求的度數(shù)；(2)連接，若，求證：．【變式2】已知：如圖，，和互余，于點(diǎn)，求證：．

【變式3】．（2023下·江蘇·七年級(jí)期中）如圖，在四邊形中，，，，分別是，的平分線．(1)與有什么關(guān)系，為什么？(2)，有什么位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；【變式4】．（2023下·江蘇南京·七年級(jí)南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┱?qǐng)完成下面的推理過(guò)程并在括號(hào)里填寫(xiě)推理依據(jù)：，，，與平行嗎？為什么？解：．理由如下：∵（已知），∴°即（）又∵（），且，∴＝（）∴（）題型五：內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行【例5】．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，直線過(guò)點(diǎn)若，，，試判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

【變式1】．（2022下·江蘇常州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）將下列證明過(guò)程補(bǔ)充完整：已知：如圖，點(diǎn)E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求證：．證明：∵CE平分∠ACD（已知），∴∠2＝∠（）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠（）．∴（）．【變式2】．（2022下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在上，已知，平分，平分．請(qǐng)說(shuō)明的理由．解：因?yàn)?已知)，(______)，所以(______)．因?yàn)槠椒?，所?______)．因?yàn)槠椒?，所以______，得(等量代換)，所以______(______)．【變式3】．（2023下·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知點(diǎn)O在直線AB上，射線OE平分∠AOC，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥OE，G是射線OB上一點(diǎn)，連接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．(1)求證：∠AOE=∠ODG；(2)若∠ODG=∠C，試判斷CD與OE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式4】．（2023下·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)在上，已知平分平分，請(qǐng)說(shuō)明的理由．解：因?yàn)椋╛_________），（________________），所以（________________）．因?yàn)槠椒?，所以________（___________）．因?yàn)槠椒郑訽________，得________（____________），所以________（____________）．題型六：同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行【例6】．（2022下·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線與射線相交于點(diǎn)O，，直線與平行嗎？為什么？【變式1】．（2023下·江蘇徐州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)題意將下列空格補(bǔ)充完整：如圖，∠DEH+∠EHG＝180°，∠1=∠2，∠C＝∠A．求證：∠AEH＝∠F．證明：∵∠DEH+∠EHG＝180°∴ED_________（________________）∴∠1＝∠C（______________________________）∠2＝___________（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠1=∠2，∠C＝∴∠A＝__________∴ABDF（___________________________）∴∠AEH＝∠F（________________）【變式2】．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知、分別是、的平分線，且．求證：．【變式3】．（2023下·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，與、相交于點(diǎn)A、C，平分交于點(diǎn)E，，．試判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．題型七：垂直于同一直線的兩直線平行【例7】．（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）下列命題是真命題的是（

）A．相等的角是對(duì)頂角 B．垂直于同一直線的兩條直線平行C．同角的余角互補(bǔ) D．經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行【變式1】．（2023下·江蘇·七年級(jí)階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)課上，老師要求同學(xué)們利用一副三角板任作兩條平行線．小明的作法如下：如圖，（1）任取兩點(diǎn)A，B，畫(huà)直線．（2）分別過(guò)點(diǎn)A，B作直線的兩條垂線；則直線即為所求．老師說(shuō)：“小明的作法正確．”請(qǐng)回答：小明的作圖依據(jù)是．【變式2】．（2021上·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在如圖，所示的方格紙中不用量角器與三角尺，僅用直尺．（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)畫(huà)的平行線．（2）過(guò)點(diǎn)，畫(huà)的垂線．（3）過(guò)點(diǎn)，畫(huà)的垂線．（4）請(qǐng)直接寫(xiě)出、的位置關(guān)系．一、單選題1．（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列圖中，不是同位角的是（

）A． B． C． D．2．（2023下·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，與是（

）形成的內(nèi)錯(cuò)角．A．直線、被直線所截 B．直線、被直線所截C．直線、被直線所截 D．直線、被直線所截3．（2023下·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，與∠1是同旁內(nèi)角的是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠54．（2023下·江蘇蘇州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，給出了過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線的方法，其依據(jù)是（

）

A．同位角相等，兩直線平行 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 D．兩直線平行，同位角相等5．（2023下·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，兩直線、被直線所截，，下列結(jié)論正確的是（）

A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．（2023下·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊，，上，則下列條件中，能判定的是（）

A． B． C． D．7．（2023上·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）若直線a，b，c，d有下列關(guān)系，則推理正確的是（）A．∵，∴ B．∵，∴C．∵，∴ D．∵，∴8．（2023下·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，下列條件中能判斷的是（

）A． B．C． D．9．（2023下·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列條件：①，②，③，其中能判斷的有（）個(gè)．A．0 B．1 C．2 D．310．（2023下·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，以下條件能判定的是（）A． B． C． D．二、填空題11．（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們用兩個(gè)大小、形狀都相同的三角板畫(huà)平行線，并要說(shuō)出自己做法的依據(jù)．小奇、小妙兩位同學(xué)的做法如圖：小奇說(shuō)：“我做法的依據(jù)是：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．”小妙做法的依據(jù)是：．12．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使，（只需填上你認(rèn)為正確的一個(gè)條件），你添加的條件是

13．（2023下·江蘇連云港·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在同一平面內(nèi)，若，則與的位置關(guān)系是．14．（2023下·江蘇鹽城·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線、被直線所截，與相交于點(diǎn)，若，當(dāng)時(shí)，．15．（2023下·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線與相交，，，要使直線與平行，則直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度至少是°．

16．（2023下·江蘇蘇州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在下列四組條件中：①，②，③，④，能判定的是（填序號(hào)）．

17．（2023下·江蘇鹽城·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，a、b、c三根木棒釘在一起，，，現(xiàn)將木棒a、b同時(shí)繞著自身與c相交的交點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，速度分別為12度/秒和2度/秒，兩根木棒都停止時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束，則從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)

秒時(shí)木棒a，b平行．18．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，直線上有兩點(diǎn)A、C，分別引兩條射線、，，，射線、分別繞A點(diǎn)，C點(diǎn)以1度/秒和4度/秒的速度同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，在射線轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，使得與平行所有滿足條件的時(shí)間＝．

三、解答題19．（2023下·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，，，點(diǎn)E、F分別在DC、AB上，且BE、DF分別平分∠ABC、∠ADC，判斷BE、DF是否平行，并說(shuō)明理由．20．（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）（1）在學(xué)習(xí)“平行線的判定”時(shí)，課本首先通過(guò)以下的“思考”欄目，得到了平行線的判定方法1，即________．（2）平行線的另外兩個(gè)判定方法都可以根據(jù)平行線的判定方法1進(jìn)行證明．請(qǐng)根據(jù)平行線的判定方法1證明判定方法3．已知：如圖1，直線和直線被直線所截，且．求證：．（3）平行線的判定在實(shí)際生活中有許多應(yīng)用：在鋪設(shè)鐵軌時(shí)，兩條直軌必須是互相平行的．如圖2，是直角，那么，都可以通過(guò)度量圖中已標(biāo)出的哪個(gè)角，來(lái)判斷兩條直軌是否平行？為什么？21．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知，平分，試說(shuō)明．

證明：因?yàn)槠椒郑ㄒ阎裕ń瞧椒志€的定義）．又因?yàn)椋ㄒ阎?，所以＝（等量代換）．所以（

）．22．（2023下·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，．求證：．（要寫(xiě)出每一步的依據(jù)）

23．（2023上·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，在6×6的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1，點(diǎn)M、N、P、Q均為格點(diǎn)（格點(diǎn)是指每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)），線段MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．(1)過(guò)點(diǎn)P畫(huà)線段AB，使得線段AB滿足以下兩個(gè)條件：①AB⊥MN；②；(2)過(guò)點(diǎn)Q畫(huà)MN的平行線CD，CD與AB相交于點(diǎn)E；(3)若格點(diǎn)F使得△PFM的面積等于4，則這樣的點(diǎn)F共有個(gè)．24．（2023下·七年級(jí)單元測(cè)試）按邏輯填寫(xiě)步驟和理由，將下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整如圖，直線MN分別與直線AC、DG交于點(diǎn)B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分線BE交直線DG于點(diǎn)E，∠BFG的角平分線FC交直線AC于點(diǎn)C．求證：．證明：∵∠1＝∠2（已知）∠ABF＝∠1（對(duì)頂角相等）∠BFG＝∠2（____________）∴∠ABF＝______（等量代換）∵BE平分∠ABF（已知）∴______（____________）∵FC平分∠BFG（已知）∴______（____________）∴∠EBF＝______∴（____________）25．