七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)壓軸題攻略湘教版-專題01 解題技巧專題：與二元一次方程組解法有關(guān)的問(wèn)題壓軸題五種模型全攻略(解析版)

專題01解題技巧專題：與二元一次方程組解法有關(guān)的問(wèn)題壓軸題五種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一求二元一次方程的正整數(shù)解】 1【考點(diǎn)二解二元一次方程組】 2【考點(diǎn)三二元一次方程組的錯(cuò)解復(fù)原問(wèn)題】 5【考點(diǎn)四二元一次方程組的特殊解法】 8【考點(diǎn)五新定義型二元一次方程組問(wèn)題】 11【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 14【典型例題】【考點(diǎn)一求二元一次方程的正整數(shù)解】例題：二元一次方程2x＋3y＝11的正整數(shù)解有（

）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【答案】B【分析】把x看做已知數(shù)求出y，即可確定出正整數(shù)解．【詳解】解：方程2x＋3y＝11，解得：y＝，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3；x＝4時(shí)，y＝1，則方程的正整數(shù)解有2組，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是將x看做已知數(shù)求出y．【變式訓(xùn)練】1．二元一次方程的正整數(shù)解有（

）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【答案】C【分析】用含x的式子表示出y，求出所有的正整數(shù)解即可得出答案．【詳解】解：由得：，當(dāng)x＝1時(shí)，；當(dāng)x＝2時(shí)，；當(dāng)x＝3時(shí)，；∴二元一次方程的正整數(shù)解有3組，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解，能夠求出所有的正整數(shù)解是解題的關(guān)鍵．2．方程的所有正整數(shù)解為______．【答案】【分析】先用x將y表示出來(lái)，然后根據(jù)x、y均為正整數(shù)運(yùn)用列舉法即可求解．【詳解】解：由可得y=，∵x、y均為正整數(shù)，∴＞0，即x＜5當(dāng)x=2時(shí)，y=4，∴方程4x+3y=20的正整數(shù)解為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的特殊解，用一個(gè)未知數(shù)表示成另一個(gè)未知數(shù)是解答本題題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二解二元一次方程組】例題：解二元一次方程組(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用代入消元法即可求解；（2）利用加減消元法即可求解．【詳解】（1）解：，把①代入②，得，解這個(gè)方程，得，把代入①，得，解得，所以這個(gè)方程組的解是；（2）解：，①×3，得③，②+③，得，解得，把代入①，得，解得，所以這個(gè)方程組的解是．【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．解方程組：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）解方程組，采用加減消元法，由得：，求出的值，再代入式中，即可求得的值，從而得到答案；（2）解方程組，采用代入消元法，由得：，將代入得，，求出的值，再將的值代入即可求得的值，從而得到答案．【詳解】（1）解：，由得：，解得：，將代入得：，解得：，方程組的解為；（2）解：，由得：，將代入得，，解得：，把代入得，，方程組的解為．【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，解二元一次方程組的解法有加減消元法和代入消元法，根據(jù)方程組的特點(diǎn)，選取合適的方法是解題的關(guān)鍵．2．解方程組：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）運(yùn)用加減消元法解答即可；（2）整理后，運(yùn)用加減消元法解答即可．【詳解】（1）解：，由得：，解得：，代入中，解得：，所以，原方程組的解為；（2），由①得：③，③②得：解得：，將代入②得：，所以，原方程組的解為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組，二元一次方程組的基本解法有代入消元法和加減消元法．【考點(diǎn)三二元一次方程組的錯(cuò)解復(fù)原問(wèn)題】例題：（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下面是馬小虎同學(xué)解二元一次方程組的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的問(wèn)題：解方程組：解：①×2，得6x－2y＝8．③…第一步②－③，得－y＝2，…第二步解得y＝－2．…第三步把y＝－2代入①，得3x－（－2）＝4．…第四步解得x＝2．…第五步∴(1)這種求解二元一次方程組的方法叫做________法，以上求解步驟中，馬小虎同學(xué)從第________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；(2)請(qǐng)寫出此題正確的解答過(guò)程．【答案】(1)加減消元，五(2)【詳解】（1）加減消元

五（2）①×2，得6x－2y＝8，③②－③，得－y＝2，解得y＝－2．把y＝－2代入①，得3x－（－2）＝4，解得，故原方程組的解為【變式訓(xùn)練】1．（2023下·浙江臺(tái)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小明解二元一次方程組的過(guò)程如下：解：第1步：①兩邊同乘以2，得，③（______）第2步：③－②，得，（______）第3步：．第4步：把代入①，得，．第5步：所以原方程組的解是(1)請(qǐng)?jiān)谛∶鹘夥ǖ那皟刹胶竺娴睦ㄌ?hào)內(nèi)填上方程變形的依據(jù)．(2)小明解方程組的結(jié)果正確嗎？如果你認(rèn)為正確，請(qǐng)代入原方程組檢驗(yàn)；如果你認(rèn)為不正確，請(qǐng)指出他解題過(guò)程中最早在哪一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，并求出該方程組的正確解．【答案】(1)等式性質(zhì)2，等式性質(zhì)1(2)不正確，第②步錯(cuò)誤，見解析【分析】（1）根據(jù)等式性質(zhì)即可得出答案；（2）根據(jù)加減消元法解方程組的步驟進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）解：①兩邊同乘以2，得，③，該步驟利用的是等式性質(zhì)2；，得，該步驟利用的是等式性質(zhì)1；故答案為：等式性質(zhì)2；等式性質(zhì)1；（2）錯(cuò)誤，他解題過(guò)程中最早在第2步出現(xiàn)錯(cuò)誤，正確步驟如下：兩邊同乘以2，得：③，得：，解得：，將代入①得：，解得：，故原方程組的解為．【點(diǎn)睛】本題考查加減消元法解二元一次方程組，熟練掌握解方程組的方法是解題的關(guān)鍵．2．（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下面是小彬同學(xué)解二元一次方程組的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．解方程組：解：①，得．③第一步②③，得．第二步．第三步代入①，得．第四步所以，原方程組的解為．第五步填空：①以上求解步驟中，第一步的依據(jù)是；②第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”變?yōu)椤耙辉保诖诉^(guò)程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（填序號(hào)）；A．?dāng)?shù)形結(jié)合B．類比思想C．轉(zhuǎn)化思想D．分類討論③小彬同學(xué)的解題過(guò)程從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，直接寫出該方程組的正確解：．【答案】①等式的性質(zhì)2②C③二；【分析】①根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；②將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”，進(jìn)而得到解決；③利用二元一次方程組的解法求解即可．【詳解】解：①把的兩邊都乘以3得，根據(jù)是等式的性質(zhì)2，故答案為：等式的性質(zhì)2；②第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”變?yōu)椤耙辉?，在此過(guò)程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想，故答案為：C；③小彬同學(xué)的解題過(guò)程從第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，正確的解答如下：解：①，得③，②③，得，，代入①，得，所以，原方程組的解為，故答案為：二，．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的解，解二元一次方程組，掌握解二元一次方程組的解法是正確解答的前提．【考點(diǎn)四二元一次方程組的特殊解法】例題：（2023下·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，解答問(wèn)題：材料：解方程組，若設(shè)，，則原方程組可變形為，用加減消元法得，所以，在解這個(gè)方程組得，由此可以看出，上述解方程組過(guò)程中，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)字母去代替它，我們把解這個(gè)方程組的方法叫換元法．問(wèn)題：請(qǐng)你用上述方法解方程組．【答案】【分析】設(shè)，，方程變形后，利用加減消元法求出與的值，進(jìn)而確定出與的值即可．【詳解】解：設(shè)，，方程組變形得：，整理得：，得：，即，把代入得：，，解得：．【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校╅喿x材料：善于思考的樂(lè)樂(lè)同學(xué)在解方程組時(shí)，采用了一種“整體換元”的解法，把，分別看成一個(gè)整體，設(shè)，，則原方程組可化為，解得，即，解得．請(qǐng)你模仿樂(lè)樂(lè)同學(xué)的“整體換元”的方法，解下列方程組：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查了整體代換法解二元一次方程組的解法．（1）設(shè)，，利用加減消元法求得，即，再利用加減消元法即可求解；（2）設(shè)，，利用加減消元法求得，即，再利用加減消元法即可求解．【詳解】（1）解：，設(shè)，，則原方程組可化為，得，解得，將代入②，得，解得，解得，即，解得；（2）解：，設(shè)，，則原方程組可化為，得，解得，將代入②，得，解得，解得，即，解得．2．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀題：解方程組，解：設(shè)，，則原方程組可化為解得，即，所以這種解方程組的方法叫換元法．(1)運(yùn)用上述方法解方程組，(2)已知關(guān)于x，y的方程組的解是，請(qǐng)你直接寫出關(guān)于x，y的方程組的解．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查解二元一次方程組，根據(jù)題意采取換元法兩次解二元一次方程，（1）參照題干提供的換元思路，利用換元法進(jìn)行計(jì)算即可解的答案；（2）將方程組變形后采取換元法進(jìn)行計(jì)算即可；【詳解】（1）解：設(shè)，，則方程組可化為，解得：，即，所以；（2）根據(jù)題意得：，，解得：．【考點(diǎn)五新定義型二元一次方程組問(wèn)題】例題：（2023下·福建廈門·七年級(jí)廈門市湖濱中學(xué)?？计谥校┪覀兌x：若整式與滿足：為整數(shù)，我們稱與為關(guān)于的平衡整式．例如，若，我們稱與為關(guān)于的平衡整式．(1)若與為關(guān)于的平衡整式，求的值；(2)若與為關(guān)于的平衡整式，與為關(guān)于的平衡整式，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意得，，解方程即可作答；（2）由題意得，解方程組即可作答．【詳解】（1）由題意得，，解得；（2）由題意得，解得，則．【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次方程，解二元一次方程組，掌握加減消元法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于有理數(shù)x、y定義一種新運(yùn)算“※”：規(guī)定※，等式右邊是通常的四則運(yùn)算．例如：2※．(1)若1※，3※，求a、b的值；(2)若運(yùn)算“※”滿足交換律，即對(duì)于任意有理數(shù)x、y且，都滿足※※，求a、b之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)定義的新運(yùn)算可得，，從而可得，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）利用定義的新運(yùn)算得出等式，利用因式分解變形，即可解答．【詳解】（1）解：※，※，，，即，解得：，的值為，的值為；（2），，※※，，，，，，，、之間的數(shù)量關(guān)系為．【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，理解定義的新運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·湖北十堰·七年級(jí)校考階段練習(xí)）對(duì)于有理數(shù)x，y，定義新運(yùn)算：，，其中a，b是常數(shù).例如，．(1)若關(guān)于x，y的方程組的解也滿足方程，求m的值；(2)若關(guān)于x，y的方程組的解為，求關(guān)于x，y的方程組的解．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，求出方程組的解，再代入方程求解即可；（2）根據(jù)定義新運(yùn)算得出相關(guān)方程組，根據(jù)方程組的解的定義，利用整體代入的方法求解即可．【詳解】（1）解：依題意得，解得：，∵，∴，解得：．（2）解：由題意得：的解為，由方程組得：，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組、二元一次方程組的解等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)新定義列出二元一次方程組、利用方程組的解列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023下·浙江溫州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）二元一次方程的正整數(shù)解共有（

）組A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)二元一次方程的解的概念：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解即可求出答案．【詳解】解：由題意可知：，∵x與y是正整數(shù)，∴，∴，∴，∴或2或3或4，對(duì)應(yīng)的或9或6或3，∴二元一次方程的所有正整數(shù)解有：，，，，共4組，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程，掌握二元一次方程正整數(shù)解的概念是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·浙江·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，定義關(guān)于“”的一種運(yùn)算如下：．例如．若，且，則的值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】利用題中的新定義化簡(jiǎn)已知等式列出方程組，求出方程組的解即可求出所求．【詳解】解：根據(jù)題中的新定義得：，①②得：．故選A．【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．3．（2023下·黑龍江牡丹江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，滿足方程組，則的值是（

）A．4 B． C．3 D．【答案】C【分析】此題考查了解二元一次方程組．方程組兩方程相加，再整理即可求出的值．【詳解】解：，得：，∴，即，故選：C．二、填空題4．（2021下·上海浦東新·六年級(jí)上海中學(xué)東校?？计谥校┒淮畏匠痰恼麛?shù)解是．【答案】【分析】將x看做已知數(shù)表示出y，分別令x為正整數(shù)，確定出y為正整數(shù)，即為方程的正整數(shù)解．【詳解】解：方程，變形得：，由于x和y為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程，解題的關(guān)鍵是將x看做已知數(shù)，求出y．5．（2023下·四川·七年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于實(shí)數(shù)，定義關(guān)于“”的一種運(yùn)算：，例如：．若，，則的值是．【答案】1【分析】根據(jù)新定義建立關(guān)于x，y的方程組，兩式相加即可求出的值．【詳解】解：∵，，，∴，，得，∴．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，解二元一次方程組，根據(jù)新定義建立關(guān)于x，y的方程組是解答本題的關(guān)鍵．6．（2023上·安徽安慶·七年級(jí)安徽省安慶市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為則關(guān)于x，y的方程組的解為．【答案】【分析】本題考查二元一次方程組的解，根據(jù)題意可得的解為，即可．【詳解】解：∵的解為∴的解為，即：；故答案為：．三、解答題7．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）解方程組：(1)(2)【答案】(1)(2)【詳解】解：（1）將①化簡(jiǎn)，得，③②＋③，得．將代入②，得，所以原方程組的解是（2）由①得，③②－③，得，解得．把代入②，得．解得．故原方程組的解是8．（2023上·山東青島·八年級(jí)校考階段練習(xí)）解方程組：(1)；(2)．(3)（限用代入法）(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查解二元一次方程組．（1）運(yùn)用加減消元法求解；（2）運(yùn)用代入消元法求解；（3）根據(jù)要求運(yùn)用代入消元法求解；（4）令，，采用換元法進(jìn)行求解更簡(jiǎn)便．【詳解】（1），得，解得：，把代入①，得，解得：，∴方程組的解為．（2），由①，得，把③代入②中，得，解得：，把代入③，得，∴方程組的解為．（3），由①，得③，把③代入②中，得，解得：，把代入③，得，∴方程組的解為．（4）令，，則方程組可化為，解得：，∴，解得：，∴原方程組的解為．9．（2023上·河南鄭州·八年級(jí)?？计谀┫旅媸切∪A同學(xué)解方組的過(guò)程，請(qǐng)你觀察計(jì)算過(guò)程，回答下面問(wèn)題．解得：②得：③．．．．．．．．．．．．．．．．．（1）①+③得：．．．．．．．．．（2）將代入②得：．．．．．．．．．．．．．．．．．（3）所以該方程的解是．．．．．．．．．．．．．．．．．（4）(1)以上過(guò)程有兩處關(guān)鍵性錯(cuò)誤，第一次出錯(cuò)在______步（填序號(hào)），第二次出錯(cuò)在______步（填序號(hào)）；(2)請(qǐng)你幫小華同學(xué)寫出正確的解題．【答案】(1)（1）（2）(2)見解析【分析】（1）根據(jù)加減消元法的步驟判斷即可；（2）利用加減消元法正確求解．【詳解】（1）解：第一次出錯(cuò)在（1）步，第二次出錯(cuò)在（2）步，故答案為：（1），（2）；（2）正確的過(guò)程為：解方程組：，解：②得：③，③+①得：，解得：，將代入②得：，所以原方程組的解為．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的求解能力，關(guān)鍵是鍵是能熟練運(yùn)用加減消元法．10．（2023下·貴州遵義·七年級(jí)校聯(lián)考期中）下面是穎穎同學(xué)解二元一次方程組的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)：解方程組：，解：①×2，得③…第一步；②﹣③，得；將代入①，得…第二步；所以，原方程組的解為…第三步；(1)這種求解二元一次方程組的方法叫做法，以上求解步驟中，第一步的依據(jù)是；(2)第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，具體錯(cuò)誤是；(3)直接寫出該方程組的正確解：．【答案】(1)加減消元，等式的基本性質(zhì)(2)二，合并同類項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤(3)【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)及加減消元法的概念即可得出答案；（2）根據(jù)解方程的方法即可得出答案；（3）根據(jù)②﹣①×2，求出的值再代入①即可得出答案．【詳解】（1）這種求解二元一次方程組的方法叫做加減消元法法，以上求解步驟中，第一步的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)；（2）第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，具體錯(cuò)誤是合并同類項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；（3）①×2，得③②﹣③，得，整理可得，將代入①，得，解得，所以，原方程組的解為．【點(diǎn)睛】本題考查了加減消元法求解二元一次方程組，需滿足其中一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù)，若不具備這種特征，則根據(jù)等式的性質(zhì)將其中一個(gè)方程變形或?qū)蓚€(gè)方程都變形，使其具備這種形式．11．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）在學(xué)習(xí)了二元一次方程組的解法后，課堂上老師又寫出了一個(gè)題目：小華思考一會(huì)兒后寫出了他的做法（不完整）如下：解：設(shè)，，則原方程組可化為解方程組，得即解得(1)請(qǐng)你把小華的做法填寫完整；(2)請(qǐng)你根據(jù)小華的做法，解方程組：【答案】(1)1，2，，11(2)【詳解】解：（1）1

2

11（2）設(shè)，，則原方程組可化為解方程組，得即解得12．（2023下·廣西南寧·七年級(jí)南寧市第四十七中學(xué)?？计谀╅喿x材料：善于思考的樂(lè)樂(lè)同學(xué)在解方程組時(shí)，采用了一種“整體換元”的解法．把，看成一個(gè)整體，設(shè)，，則原方程組可化為，解得，即，解得．(1)學(xué)以致用，模仿樂(lè)樂(lè)同學(xué)的“整體換元”的方法，解方程組．(2)拓展提升，已知關(guān)于x，y的方程組的解為，請(qǐng)直接寫出關(guān)于m、n的方程組的解是______．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)題意所給材料可令，則原方程組可化為，解出m，n，代入，再解出關(guān)于x，y的方程組即可；（2）根據(jù)題意所給材料可得出，再解出這個(gè)方程組即可．【詳解】（1）解：對(duì)于，令，則原方程組可化為，解得