武漢部分重點中學(xué)2024年高二11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

武漢市部分重點中學(xué)2024-2025學(xué)年度上學(xué)期期中聯(lián)考

高二數(shù)學(xué)試卷

本試卷共4頁，19題.滿分150分.考試用時120分鐘.

考試時間：2024年11月12日下午14：00—16：00

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注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼貼在

答題卡上的指定位置.

2,選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫

在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿

紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的)

1.直線3x-y-2=0在y軸上的截距為()

22

A.—2B.2C.—D.----

33

2.已知直線4：y=x-1繞點(0,-1)逆時針旋轉(zhuǎn)得萬，得到直線小則乙不過第象限.

A.四B.三C.二D.一

3.已知某種設(shè)備在一年內(nèi)需要維修的概率為0.2.用計算器進行模擬實驗產(chǎn)生1?5之間的隨機數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)

隨機數(shù)1時，表示一年內(nèi)需要維修，其概率為0.2,由于有3臺設(shè)備，所以每3個隨機數(shù)為一組，代表3

臺設(shè)備一年內(nèi)需要維修的情況，現(xiàn)產(chǎn)生20組隨機數(shù)如下：

412451312531224344151254424142

435414135432123233314232353442

據(jù)此估計一年內(nèi)這3臺設(shè)備都不需要維修的概率為()

A.0.4B.0.45C.0.5D.0.55

4.已知事件A,B互斥,它們都不發(fā)生的概率為:，且尸(A)=3尸(8),則尸(耳)=()

5.現(xiàn)有一段底面周長為12兀厘米和高為15厘米的圓柱形水管，AB是圓柱的母線，兩只螞蟻分別在水管

內(nèi)壁爬行，一只從A點沿上底部圓弧順時針方向爬行2兀厘米后再向下爬行5厘米到達(dá)尸點，另一只從B

沿下底部圓弧逆時針方向爬行2兀厘米后再向上爬行4厘米爬行到達(dá)。點，則此時線段尸。長（單位：厘

米）為（）

A.6A/2B.12C.12V2D.12V3

6.概率論起源于博弈游戲17世紀(jì)，曾有一個“賭金分配”的問題：博弈水平相當(dāng)?shù)募?、乙兩人進行博弈

游戲，每局比賽都能分出勝負(fù)，沒有平局.雙方約定：各出賭金210枚金幣，先贏3局者可獲得全部贖

金.但比賽中途因故終止了，此時甲贏了2局，乙贏了1局，問這420枚金幣的賭金該如何分配？數(shù)學(xué)家

費馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概率”的知識，合理地給出了賭金分配方案.該分配方案是（）

A.甲315枚，乙105枚B.甲280枚，乙140枚

C.甲210枚，乙210枚D.甲336枚，乙84枚

7.在平面直角坐標(biāo)系中，點P的坐標(biāo)為圓。：必―lOx+y?—5y+號=0,點T?,0）為x軸上

一動點.現(xiàn)由點尸向點T發(fā)射一道粗細(xì)不計的光線，光線經(jīng)x軸反射后與圓C有交點，貝U的取值范圍為

（）

8.如圖所示，四面體ABC。的體積為V,點M為棱BC的中點，點E,尸分別為線段。M的三等分點，

點N為線段AF的中點，過點N的平面。與棱ASAC,AL（分別交于0,P,Q,設(shè)四面體AOP。的體積

V

為V',則工的最小值為（）

V

11

C.—D.

1627

二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）

9.給出下列命題，其中是真命題的是（）

.已知他力￡｝是空間的一個基底，若兩=2彳+3&,則日力，而｝也是空間的一個基底

B.平面a經(jīng)過三點A(2,l,0),8(—1,3,1),C(2,2,-l),向量為=(1,MJ)是平面。的法向量，則

u+1=2

c.若五〉o,則〈落3〉是銳角

D.若對空間中任意一點O,有麗='函+’礪灰，則M,A,B,C四點不共面

362

10.下列命題正確的是()

A.設(shè)A,B是兩個隨機事件，且P(A)=！，P(B)=~,若P(A3)=L,則A,B是相互獨立事件

236

B.若P(A)>0,尸(8)>0,則事件A,2相互獨立與A,B互斥有可能同時成立

C.若三個事件A,B,C兩兩相互獨立，則滿足「(ABC)=P(A)尸(8)尸(C)

D.若事件A,B相互獨立，P(A)=0.4,尸(8)=0.2,則尸(A耳U48)=0.44

11.平面內(nèi)到兩個定點A,8的距離比值為一定值2(471)的點P的軌跡是一個圓，此圓被稱為阿波羅尼

斯圓，俗稱“阿氏圓已知平面內(nèi)點4(2,0),8(6,0),動點P滿足品=：,記點P的軌跡為「，則

下列命題正確的是()

A.點P的軌跡7■的方程是必+丁―3%=o

B.過點N(l,l)的直線被點尸的軌跡7所截得的弦的長度的最小值是1

C.直線2x—y+2=0與點尸的軌跡7相離

D.已知點E1!,o1,點M是直線/:2x—267+7=0上的動點，過點V作點P的軌跡7的兩條切

線，切點為C,D,則四邊形ECMD面積的最小值是3

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)

12.同時推擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，則兩顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和為6的概率為.

13.已知曲線y=l+與直線y=x+。有兩個相異的交點，那么實數(shù)b的取值范圍是.

14.在空間直角坐標(biāo)系中，。(0,0,0),A(0,a,3),8(3,0,a),C(a,3,0),。|3,3,|],尸為△ABC所

確定的平面內(nèi)一點，設(shè)|尸。-尸。|的最大值是以a為自變量的函數(shù)，記作/(a).若0<a<3,則/(a)

的最小值為.

四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟)

15.(本題滿分13分)

“體育強則中國強，國運興則體育興”.為備戰(zhàn)2025年杭州舉辦的國際射聯(lián)射擊世界杯，某射擊訓(xùn)練隊制

訂了如下考核方案：每一次射擊中10環(huán)、中8環(huán)或9環(huán)、中6環(huán)或7環(huán)、其他情況，分別評定為A,B,

C,。四個等級，各等級依次獎勵6分、4分、2分、0分.假設(shè)評定為等級A,B,C的概率分別是工，

2

，一?

48

(1)若某射擊選手射擊一次，求其得分低于4分的概率；

(2)若某射擊選手射擊兩次，且兩次射擊互不影響，求這兩次射擊得分之和為8分的概率.

16.(本題滿分15分)

已知△ABC的頂點4(4,2),邊AB上的中線C。所在直線方程為7x+2y—5=0,邊AC上的高線BE所

在直線方程為x+y—4=0.

(1)求邊所在直線的方程；

(2)求△BCD的面積.

17.(本題滿分15分)

如圖所示，已知斜三棱柱ABC—44。中，AB=a,AC=b,福=5,在AC；上和上分別有一

點”和N且加=左恁，BN=kBC,其中0W左W1.

(1)求證：MN,a,亍共面；

(2)若|菊=出|=片|=2,Ag=3且NB4C=ZB4C=60。，設(shè)P為側(cè)棱8片上靠近點片的三等分點,

求直線PG與平面ACCiA所成角的正弦值.

18.(本題滿分17分)

已知在平面直角坐標(biāo)系中，A(—l,0),8(—7,0),平面內(nèi)動點P滿足|PB|=2|PA|.

(1)求點P的軌跡方程；

(2)點P軌跡記為曲線C,若曲線C與x軸的交點為M,N兩點，。為直線/:%=17上的動點，直線

MQ,NQ與曲線C的另一個交點分別為E,F,求|EF|的最小值.

19.(本題滿分17分)

對于三維向量為=(/,”,zJK，”**eN,攵=0,1,2,…)，定義“F變換"：怎+i=F(a&),其中，

現(xiàn)+1=員一力|，%+i=|%—zj,zk+l=\zk-xk\.記(4)=%丁4'值|=勾+”+2廣

(1)若4=(2,3,1),求卜2〉及卜2卜

(2)證明：對于任意工，必存在keN*,使得彳經(jīng)過左次F變換后，有@)=0；

(3)已知q=(p,2,q)(q2°),卜寸=2024,將q再經(jīng)過根次F變換后，卜,J最小，求機的最小值.

武漢市部分重點中學(xué)2024-2025學(xué)年度上學(xué)期期中聯(lián)考

高二數(shù)學(xué)試卷參考答案與評分細(xì)則

題號1234567891011

答案ADCDBADCABADACD

12.—13.[3,272+1）14.—

362

15.解：（1）設(shè)事件A,B,C,。分別表示“被評定為等級A,B,C,D".

由題意得，事件A,B,C,D兩兩互斥，所以P(D)=1--------=-.

2488

所以P(CU0)=P(C)+P(D)=g+g=；.

因此其得分低于4分的概率為工；

4

(2)設(shè)事件4，4，c.,R表示”第i次被評定為等級A,B,C,D,i=l,2.

(2)設(shè)事件4，B.,C.,2表示“”第i次被評定為等級A,B,C,D,i=l,2.

則“兩次射擊得分之和為8分”為事件(4與川(4。2)11(4。1)，且事件4與，4。2，4cl互斥,

P(BBj=-x-=—,P(ACJ=P(A,C.)=-x-=—,

v1274416V7、"2816

所以兩次射擊得分之和為8分的概率

P=P[(92)U(AC2)U(4CJ]=P(B.)+P(AG)+P(4G)=[+，2=3.

Iolo10

.解：(1)因為ACL6E,所以設(shè)直線AC的方程為：x-y+m=O,

將4(4,2)代入得加=—2,所以直線AC的方程為：x—y—2=0,

聯(lián)立AC,CD所在直線方程：\,解得C(l,-1),

設(shè)5(%,%)，因為。為的中點，所以。]1且,一)，

因為光)在直線BE上，。在CD上，

所以/+%—4=0,7x^|^+2x^t^-5=0,

10-(-1)11

解得升=—6,%=10,所以8(—6,10),kBC=——」=——,

-6-17

所以BC所在直線的方程為：y+l=-y(x-l),即llx+7y—4=0.

I—n+7>6—4|

(2)由(1)知點。(—1,6)到直線BC的距離為：d=

Vno

___________________1DQ___OQ

2

又|BC|=1(—6—1)-+(10+1)=J170,所以S^BCD=—x/——xJ170=—.

2V1702

17.(1)證明：因為砌=左離=揚+左0,

AN=AB+BN=a+kBC=a+k(-a+b)=(l-k)a+kb,

所以而=頡—?=Q—k)G+kB—kB-反=Q—k)G—反.

由共面向量定理可知，MN,a,1共面.

(2)取BC的中點為。，在中，AO=B0=6AB1=3,

由余弦定理可得cosZAOB,=(-戶尸=

2xV3xJ32

2兀

所以NAOB]=T，依題意△ABC,均為正三角形，所以BCLA。，BC1Bi0,

又4。口4。=0，B]Ou平面4A。，AOu平面片40,

所以平面4。4，因為BCu平面ABC,

所以平面AOBl1平面ABC,所以在平面AOB,內(nèi)作Oz_L。4,則Oz1平面ABC,

以O(shè)A,OC,Oz所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

則與,8(0,—1,0),A(V3,0,0),C(0,l,0),Q,A

設(shè)方=(x,%z)是平面ACQA的一個法向量,

(3731

AC=(-V3,l,0),AQ=

122j

-V3x+y=0

n-AC=Q

則《_.,即43也3,取z=1得方=(—,

n-Aq=0-------x+2y+—z=0

I22

—?2—?

依題意可知5尸二—Bg,

3

貝3m+麗=m+酒：孚—3,曰+|*：—和,2=”一2

設(shè)直線PG與平面ACGA所成角為氏

9

故直線PC】與平面ACQA所成角的正弦值為—.

18.解：(1)設(shè)動點坐標(biāo)P(x,y),因為動點P滿足|PB|=2|PA|,且4(—1,0),8(—7,0),

所以"(%+7)2+y2—2J(%+1)2+9,

化簡可得，X2+/-2X-15=0,即(%―1)2+/=16,

所以點尸的軌跡方程為(X-1)2+丁=16.

(2)曲線C:(x—1)2+/=16中，令y=0,可得(％—1>=16,

解得x=—3或x=5,可知M(—3,0),N(5,0),

當(dāng)直線即為斜率為0時，|EK|+|FK|即為直徑，長度為8,

當(dāng)直線所為斜率不為。時，設(shè)匹的直線方程為x=町;+f,E（X[,%），F(xiàn)（x2,y2）,

;二;I'/=16消去x可得：的+"I)?+V=16,

聯(lián)立

化簡可得；(1+1)J/+2(?-l)ny+?+3)(?-5)=0

2(1-t)n

%+%=

?2+1

由韋達(dá)定理可得《

?+3)Q—5)

%%=川+1

因為F(x2,y2),M(—3,0),N(5,0),

所以EM,FN的斜率為kEM=一^,kFN=

玉+3x2-5

又點E（Xi，yJ在曲線C上，所以（占―iy+y；=i6,

可得％2=]6_(%_1)2=(3+XJ(5_XJ,所以超”=弋=J

石+3%

所以EM,FN的方程為y=22(x+3),y=^^(x—5),

%%-5

令x=]7可得30=20(5—化簡可得；

%%-5

3yly2+5(玉一5)(々—5)=0,又￡1(%,%),川與^^在直線工二幾丁+%上，

可得X1=孫+/,x2=ny2+t,所以3%%+5(〃/+1-5)(〃%+1—5)=0,

化簡可得；(51+3)%%+—5)(%+%)+5(/—5)2=0,

2(1-/)〃

%+%=

力+1

又＜代入可得(5〃2+3嚴(yán)?[J)+5心5)2(；；〃+5?—5)2=0,

Q+3)?—5)

%%="+i

化簡可得(5/+3)?+3)(/-5)+10?2(/-5)(1-?)+5。-5)2(?2+1)=0,

?-5)(3/+9+5〃)+15〃2+10〃2-10n2t+5n2t+5t-25n~-25)=0,

?—5)(8f—16)=0,所以f=2或f=5,

當(dāng)t=5時EF為x="y+5,必過(5,0),不合題意，

當(dāng)/=2時EE為x=/zy+2,必過(2,0),

又I