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遼寧省沈陽(yáng)九中2025屆高考數(shù)學(xué)必刷試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)()的最小值為0,則()A. B. C. D.2.已知為定義在上的奇函數(shù),若當(dāng)時(shí),(為實(shí)數(shù)),則關(guān)于的不等式的解集是()A. B. C. D.3.函數(shù)(或)的圖象大致是()A. B. C. D.4.已知拋物線和點(diǎn),直線與拋物線交于不同兩點(diǎn),,直線與拋物線交于另一點(diǎn).給出以下判斷:①以為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相離;②直線與直線的斜率乘積為;③設(shè)過(guò)點(diǎn),,的圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為,則.其中,所有正確判斷的序號(hào)是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③5.復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)等于()A. B. C.2 D.-26.設(shè)F為雙曲線C:(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn).若|PQ|=|OF|,則C的離心率為A. B.C.2 D.7.將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,在把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B.C. D.8.在中,角所對(duì)的邊分別為,已知,則()A.或 B. C. D.或9.在中,角的對(duì)邊分別為,若,則的形狀為()A.直角三角形 B.等腰非等邊三角形C.等腰或直角三角形 D.鈍角三角形10.已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),且,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.11.下圖是來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊、直角邊,已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為,記,則()A. B. C.1 D.12.已知,函數(shù),若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn),則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則的值為_(kāi)_________.14.已知均為非負(fù)實(shí)數(shù),且,則的取值范圍為_(kāi)_____.15.“今有女善織,日益功疾,初日織五尺,今一月共織九匹三丈.”其白話意譯為:“現(xiàn)有一善織布的女子,從第2天開(kāi)始,每天比前一天多織相同數(shù)量的布,第一天織了5尺布,現(xiàn)在一個(gè)月(按30天計(jì)算)共織布390尺.”則每天增加的數(shù)量為_(kāi)___尺,設(shè)該女子一個(gè)月中第n天所織布的尺數(shù)為,則______.16.在三棱錐中,三條側(cè)棱兩兩垂直,,則三棱錐外接球的表面積的最小值為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知等比數(shù)列中,,是和的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記,求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.(12分)已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,.(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)若在上恒成立,求的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí),求函數(shù)的極值;(2)為的導(dǎo)函數(shù),當(dāng),時(shí),求證:.21.(12分)某商場(chǎng)以分期付款方式銷(xiāo)售某種商品,根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì),顧客購(gòu)買(mǎi)該商品選擇分期付款的期數(shù)的分布列為:2340.4其中,(Ⅰ)求購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中,恰有2位選擇分2期付款的概率;(Ⅱ)商場(chǎng)銷(xiāo)售一件該商品,若顧客選擇分2期付款,則商場(chǎng)獲得利潤(rùn)l00元,若顧客選擇分3期付款,則商場(chǎng)獲得利潤(rùn)150元,若顧客選擇分4期付款,則商場(chǎng)獲得利潤(rùn)200元.商場(chǎng)銷(xiāo)售兩件該商品所獲的利潤(rùn)記為(單位:元)(?。┣蟮姆植剂校唬áⅲ┤?,求的數(shù)學(xué)期望的最大值.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線是圓心在極軸上,且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的圓.已知曲線上的點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù),射線與曲線交于點(diǎn).(1)求曲線,的直角坐標(biāo)方程;(2)若點(diǎn)A,B為曲線上的兩個(gè)點(diǎn)且,求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

設(shè),計(jì)算可得,再結(jié)合圖像即可求出答案.【詳解】設(shè),則,則,由于函數(shù)的最小值為0,作出函數(shù)的大致圖像,結(jié)合圖像,,得,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.2、A【解析】

先根據(jù)奇函數(shù)求出m的值,然后結(jié)合單調(diào)性求解不等式.【詳解】據(jù)題意,得,得,所以當(dāng)時(shí),.分析知,函數(shù)在上為增函數(shù).又,所以.又,所以,所以,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3、A【解析】

確定函數(shù)的奇偶性,排除兩個(gè)選項(xiàng),再求時(shí)的函數(shù)值,再排除一個(gè),得正確選項(xiàng).【詳解】分析知,函數(shù)(或)為偶函數(shù),所以圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),排除B,C,當(dāng)時(shí),,排除D,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,解題時(shí)可通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性等,研究特殊的函數(shù)的值、函數(shù)值的正負(fù),以及函數(shù)值的變化趨勢(shì),排除錯(cuò)誤選項(xiàng),得正確結(jié)論.4、D【解析】

對(duì)于①,利用拋物線的定義,利用可判斷;對(duì)于②,設(shè)直線的方程為,與拋物線聯(lián)立,用坐標(biāo)表示直線與直線的斜率乘積,即可判斷;對(duì)于③,將代入拋物線的方程可得,,從而,,利用韋達(dá)定理可得,再由,可用m表示,線段的中垂線與軸的交點(diǎn)(即圓心)橫坐標(biāo)為,可得a,即可判斷.【詳解】如圖,設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),以線段為直徑的圓為,則圓心為線段的中點(diǎn).設(shè),到準(zhǔn)線的距離分別為,,的半徑為,點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,顯然,,三點(diǎn)不共線,則.所以①正確.由題意可設(shè)直線的方程為,代入拋物線的方程,有.設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,,則,.所以.則直線與直線的斜率乘積為.所以②正確.將代入拋物線的方程可得,,從而,.根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知,,兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),所以過(guò)點(diǎn),,的圓的圓心在軸上.由上,有,,則.所以,線段的中垂線與軸的交點(diǎn)(即圓心)橫坐標(biāo)為,所以.于是,,代入,,得,所以.所以③正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.5、B【解析】

通過(guò)復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算,化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)滿足,∴,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的概念,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

準(zhǔn)確畫(huà)圖,由圖形對(duì)稱(chēng)性得出P點(diǎn)坐標(biāo),代入圓的方程得到c與a關(guān)系,可求雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)與軸交于點(diǎn),由對(duì)稱(chēng)性可知軸,又,為以為直徑的圓的半徑,為圓心.,又點(diǎn)在圓上,,即.,故選A.【點(diǎn)睛】本題為圓錐曲線離心率的求解,難度適中,審題時(shí)注意半徑還是直徑,優(yōu)先考慮幾何法,避免代數(shù)法從頭至尾,運(yùn)算繁瑣,準(zhǔn)確率大大降低,雙曲線離心率問(wèn)題是圓錐曲線中的重點(diǎn)問(wèn)題,需強(qiáng)化練習(xí),才能在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)事半功倍,信手拈來(lái).7、A【解析】

根據(jù)y=Acos(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,求得g(x)的解析式,根據(jù)定義域求出的范圍,再利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),求得ω的取值范圍.【詳解】函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,可得的圖象,再將圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象,∴周期,若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn),∴,∴,,解得,又,解得,當(dāng)k=0時(shí),解,當(dāng)k=-1時(shí),,可得,.故答案為:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)y=Acos(ωx+φ)的圖象變換及零點(diǎn)問(wèn)題,此類(lèi)問(wèn)題通常采用數(shù)形結(jié)合思想,構(gòu)建不等關(guān)系式,求解可得,屬于較難題.8、D【解析】

根據(jù)正弦定理得到,化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】由,得,∴,∴或,∴或.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理解三角形,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.9、C【解析】

利用正弦定理將邊化角,再由,化簡(jiǎn)可得,最后分類(lèi)討論可得;【詳解】解:因?yàn)樗运运运运援?dāng)時(shí),為直角三角形;當(dāng)時(shí)即,為等腰三角形;的形狀是等腰三角形或直角三角形故選:.【點(diǎn)睛】本題考查三角形形狀的判斷,考查正弦定理的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

根據(jù)題意求得參數(shù),根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】依題意,得,故,故,,,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,考查推理論證能力,屬基礎(chǔ)題.11、D【解析】

根據(jù)以直角邊為直徑的半圓的面積之比求得,即的值,由此求得和的值,進(jìn)而求得所求表達(dá)式的值.【詳解】由于直角邊為直徑的半圓的面積之比為,所以,即,所以,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,考查二倍角公式,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

當(dāng)時(shí),最多一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性畫(huà)函數(shù)草圖,根據(jù)草圖可得.【詳解】當(dāng)時(shí),,得;最多一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),,,當(dāng),即時(shí),,在,上遞增,最多一個(gè)零點(diǎn).不合題意;當(dāng),即時(shí),令得,,函數(shù)遞增,令得,,函數(shù)遞減;函數(shù)最多有2個(gè)零點(diǎn);根據(jù)題意函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn),在,上有2個(gè)零點(diǎn),如圖:且,解得,,.故選.【點(diǎn)睛】遇到此類(lèi)問(wèn)題,不少考生會(huì)一籌莫展.由于方程中涉及兩個(gè)參數(shù),故按“一元化”想法,逐步分類(lèi)討論,這一過(guò)程中有可能分類(lèi)不全面、不徹底.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、56【解析】

根據(jù)已知條件求等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比,再代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可得到答案.【詳解】,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.14、【解析】

設(shè),可得的取值范圍,分別利用基本不等式和,把用代換,結(jié)合的取值范圍求關(guān)于的二次函數(shù)的最值即可求解.【詳解】因?yàn)?,令,則,因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,,即,令則函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為,所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有最大值為,即.當(dāng)且,即,或,時(shí)取等號(hào);因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,令,則函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)有最小值為,即,當(dāng),且時(shí)取等號(hào),所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式與二次函數(shù)求最值相結(jié)合求代數(shù)式的取值范圍;考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;基本不等式:和的靈活運(yùn)用是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型、難度大型試題.15、52【解析】

設(shè)從第2天開(kāi)始,每天比前一天多織尺布,由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出,由此利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式能求出.【詳解】設(shè)從第2天開(kāi)始,每天比前一天多織d尺布,

則,

解得,即每天增加的數(shù)量為,

,故答案為,52.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的求和公式,意在考查利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.16、【解析】

設(shè),可表示出,由三棱錐性質(zhì)得這三條棱長(zhǎng)的平方和等于外接球直徑的平方,從而半徑的最小值,得外接球表面積.【詳解】設(shè)則,由兩兩垂直知三棱錐的三條棱的棱長(zhǎng)的平方和等于其外接球的直徑的平方.記外接球半徑為,∴當(dāng)時(shí),.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積,解題關(guān)鍵是掌握三棱錐的性質(zhì):三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐的外接球的直徑的平方等于這三條側(cè)棱的平方和.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)用等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比分別表示出已知條件,解方程組即可求得公比,代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果;(2)把(1)中求得的結(jié)果代入bn=an?log2an,求出bn,利用錯(cuò)位相減法求出Tn.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公比為,由題意知:,∴,即.∴,即.(2),∴.①.②①-②得∴.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)的概念以及錯(cuò)位相減法求和,考查運(yùn)算能力,屬中檔題.18、(1);(2)【解析】

(1)設(shè)數(shù)列的公差為d,由可得,,由即可解得,故,由,即可解得,進(jìn)而求得.(2)由(1)得,,利用分組求和及錯(cuò)位相減法即可求得結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公差為d,數(shù)列的公比為q,由可得,,整理得,即,故,由可得,則,即,故.(2)由(1)得,,,故,所以,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,設(shè)①,則②,②①得,綜上,數(shù)列的前n項(xiàng)和為.【點(diǎn)睛】本題考查求等差等比的通項(xiàng)公式,考試分組求和及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和,考查學(xué)生的計(jì)算能力,難度一般.19、(1);(2)【解析】

(1),對(duì)函數(shù)求導(dǎo),分別求出和,即可求出在點(diǎn)處的切線方程;(2)對(duì)求導(dǎo),分、和三種情況討論的單調(diào)性,再結(jié)合在上恒成立,可求得的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)?所以,所以,則,故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(2)因?yàn)?所以,①當(dāng)時(shí),在上恒成立,則在上單調(diào)遞增,從而成立,故符合題意;②當(dāng)時(shí),令,解得,即在上單調(diào)遞減,則,故不符合題意;③當(dāng)時(shí),在上恒成立,即在上單調(diào)遞減,則,故不符合題意.綜上,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了曲線的切線方程的求法,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了不等式恒成立問(wèn)題,利用分類(lèi)討論是解決本題的較好方法,屬于中檔題.20、(1)極大值,極小值;(2)詳見(jiàn)解析.【解析】

首先確定函數(shù)的定義域和;(1)當(dāng)時(shí),根據(jù)的正負(fù)可確定單調(diào)性,進(jìn)而確定極值點(diǎn),代入可求得極值;(2)通過(guò)分析法可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明,設(shè),令,利用導(dǎo)數(shù)可證得,進(jìn)而得到結(jié)論.【詳解】由題意得:定義域?yàn)椋?,?)當(dāng)時(shí),,當(dāng)和時(shí),;當(dāng)時(shí),,在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,極大值為,極小值為.(2)要證:,即證:,即證:,化簡(jiǎn)可得:.,,即證:,設(shè),令,則,在上單調(diào)遞增,,則由,從而有:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用,涉及到函數(shù)極值的求解、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問(wèn)題;本題不等式證明的關(guān)鍵是能夠?qū)⒍鄠€(gè)變量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量的問(wèn)題,通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問(wèn)題.21、(Ⅰ)0.288(Ⅱ)(?。┮?jiàn)解析(ⅱ)數(shù)學(xué)期望的最大值為280【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題意,設(shè)購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中,選擇分2期付款的人數(shù)為,由獨(dú)立重復(fù)事件的特點(diǎn)得

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