西藏林芝某中學2021-2022學年高二上學期期末數學試卷（理科）解析版

西藏林芝第二高級中學2021-2022學年高二上學期期末

數學試卷（理科）解析版

一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。）

1.在等差數列｛即｝中，若“2=1,公差d=2,則46=

下列函數中，最小值是2&的是（

9

A.y=x+—B?尸Vx+r-

XVx

C.y=~+―-—D.y=/+_?_

X~43

3.“xVO”是“xER且xWO”的（）

A.充分條件

B.必要條件

C.充要條件

D.既不是充分條件也不是必要條件

4.以b（0,1）為焦點的拋物線的標準方程是（）

A./=4yB.x^=2yC.y2=4xD.y2=2x

5.在△ABC中，〃=30,b=25,A=150°,則△ABC的解的個數為（）

A.一個解B.兩個解C.無解D.無法確定

6.“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”最先出自《易經》，太極是可以無限二分的，

“分陰分陽，迭用柔剛”，經過三次二分形成八卦，六次二分形成六十四卦.設經過〃次

二分形成即卦，則〃3+。4+。5+。6=（）

A.120B.122C.124D.128

7.在△A3C中，ZA=30°,〃邊的長度為1,則該三角形外接圓的半徑為（）

A.1B.AC.2D.3

8.若變量％,y滿足約束條件2x-y<l，則z=3x-y的最大值為（

K1

A.-7B.-1C.1D.2

9.命題“V無>2,/-3>0”的否定是()

A.3xo^2,刈2-3W0B.Vx>2,/-3W0

C.3xo>2,xo2-3W0D.VxW2,x2-3W0

10.已知拋物線C：y2=8x的焦點為F,點尸是拋物線C上一動點，則線段FP的中點。的

軌跡方程是（）

A./=4（y-1）B.y2=4xC.y2—4（x-1）D./=4y

11.在△ABC中，若V^asiriB=c-bcosA,則B=（）

A.—B.—C.2L或2兀D.2L或3兀

633366

12.等比數列｛詞中，ai—1,。5=4。3,S為｛<?〃｝的前n項和.若Sm—63,則m的值是（）

A.6B.7C.8D.不存在

二、填空題：（本大題4小題，每小題5分，共20分。）

13.已知命題p：關于x的方程％2-依+。+3=0有實數根，命題0機-lWaW〃z+l,p是q

的必要非充分條件，則實數機的取值范圍是.

14.若x>0,則^^的最大值是

2

X+4

15.在△ABC中，若a=l,b=M，A+C=2B,則△ABC的面積是.

16.在等比數列｛外｝中，已知。2=2,優(yōu)=8,則a3a5+。8=.

三、解答題：（本大題6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

17.（12分）設遞增等差數列｛坳｝的前〃項和為S”,已知03=1,。4是03和。7的等比中項,

（I）求數列｛而｝的通項公式；

（II）求數列｛麗｝的前〃項和S.

18.（12分）在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且acosB+bcosA=2a.

（1）求卓區(qū)■的值；

sinA

（2）若b=4+l,c—b+2,求cosC的值.

19.（12分）設｛斯｝是公比不為1的等比數列，。5為。6,。7的等差中項，44=-8.

（I）求｛麗｝的通項公式;

（II）設氏=。2”-1-。2〃，求數列｛a｝的前〃項和7k

20.（12分）焦點在X軸上的橢圓的方程為/f=1，點P（點，1）在橢圓上.

4m

（1）求相的值.

(2)依次求出這個橢圓的長軸長、短軸長、焦距、離心率.

2222

21.(12分)已知雙曲線C：2_-2_=1(a>0,6>0)與雙曲線工_-2_=1有相同的

2,242

ab"乙

漸近線，且經過點-V2).

(I)求雙曲線C的方程；

(II)求雙曲線C的實軸長，離心率，焦點到漸近線的距離.

22.(10分)已知拋物線C：/=2px(p>0)的準線與無軸交于點M(-1,0).

(1)求拋物線C的方程；

(2)若過點M的直線/與拋物線C相切，求直線/的方程.

參考答案與試題解析

一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。）

1.在等差數列｛?！ǎ?，若〃2=1,公差d=2,則〃6=（）

A.9B.11C.3D.6

【分析】利用等差數列的通項公式直接求解.

【解答】解：在等差數列｛礪｝中，〃2=1,公差d=2,

ae—〃2+4d=1+8=9.

故選：A.

【點評】本題考查等差數列項的求法，考查等差數列的性質等基礎知識，考查運算求解

能力，是基礎題.

2.下列函數中，最小值是2&的是（）

o—o

A.y=x+—B.y=十:

xVx

C.y=x2+―-—D.y=/+_?_

x2+q4x3

【分析】選項A,當x<0時，y<0,可排除；

選項8,直接利用基本不等式，可判斷；

選項C,配湊可得>=/+4+上―-4,再結合對勾函數的單調性，得解;

X2+4

選項。，當x<0時，y<0,可排除.

【解答】解：選項A,當x<0時，y=x+2<0,最小值不可能是2加,即A錯誤;

因為4>。，所以>=當且僅當4=2

選項3,4v4

即x=2時，等號成立，即8正確;

選項C,因為—+4三4,所以y=/+--—=/+4+----4^4+A-4—A,當且僅當

22

X+4X+442

x=0時，等號成立，即C錯誤；

選項。，當x<0時，>=尤3+±<0,最小值不可能是2、及，即。錯誤.

X

故選：B.

【點評】本題考查基本不等式的應用，理解基本不等式“一正二定三相等”的使用條件

是解題的關鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎題.

3.“x<0”是“X6R且xWO”的（）

A.充分條件

B.必要條件

C.充要條件

D.既不是充分條件也不是必要條件

【分析】根據充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

【解答】解：當x<0時，滿足X6R且xWO,即充分性成立，

當x>0口寸，滿足xeR且尤WO,但x<0不成立，即必要性不成立，

則x<0"是“xCR且無WO”的充分不必要條件，

故選：A.

【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據充分條件和必要條件的定義是

解決本題的關鍵，是基礎題.

4.以尸（0,1）為焦點的拋物線的標準方程是（）

A.7=4yB./=2yC.y2—4xD.y2—2x

【分析】由題意和拋物線的性質判斷出拋物線的開口方向，并求出p的值，即可寫出拋

物線的標準方程.

【解答】解：因為拋物線的焦點坐標是（0,1）,

所以拋物線開口向上，且p=2,

則拋物線的標準方程/=4?

故選：A.

【點評】本題考查拋物線的標準方程以及性質，屬于基礎題.

5.在△A8C中，a=30,b=25,A=150°,則△ABC的解的個數為（）

A.一個解B.兩個解C.無解D.無法確定

【分析】由正弦定理求得sinB=_",由題意可得2為銳角，故滿足條件的角B有唯一

12

個，故△ABC的解的個數為1.

【解答】解：在AABC中，a=30,b=25,A=150°,則由正弦定理可得

----3-0-7-=--2-5--，

sinl50sinB

解得sinB=

12

由于B為銳角，故滿足條件的角2有唯一個，故△ABC的解的個數為1,

故選：A.

【點評】本題主要考查正弦定理的應用，三角形的內角和公式，以及大邊對大角，判斷

三角形的解的個數方法，屬于中檔題.

6.“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”最先出自《易經》，太極是可以無限二分的，

“分陰分陽，迭用柔剛”，經過三次二分形成八卦，六次二分形成六十四卦.設經過w次

二分形成4"卦，則。3+。4+。5+。6=（）

A.120B.122C.124D.128

【分析】依題意可得｛即｝是首項為2,公比為2的等比數列，寫出通項公式，然后求和.

【解答】解：依題意可得｛即｝是首項為2,公比為2的等比數列，

貝（J。3+〃4+〃5+〃6=8+16+32+64=120.

故選：A.

【點評】本題主要考查了歸納推理和等比數列的通項公式，屬于基礎題.

7.在△A3C中，ZA=30°,〃邊的長度為1,則該三角形外接圓的半徑為（）

A.1B.1C.2D.3

2

【分析】根據正弦定理可得可得，F—=2凡代入數據可得結果.

sinA

【解答】解：在△ABC中，/A=30°,。邊的長度為1,

設三角形外接圓的半徑為R，

由正弦定理可得，-A_=27?,

sinA

所以:"二？；?，解得R=l,

7

故選：A.

【點評】本題主要考查正弦定理，屬于基礎題.

8.若變量x,y滿足約束條件，2x-y<b貝Uz=3x-y的最大值為（）

y<l

A.-7B.-1C.1D.2

【分析】由題意作出其平面區(qū)域，將z=3x-y化為y=3x-z,-z相當于直線y=3x-z

的縱截距，由幾何意義可得.

x+y》-l

【解答】解：由題意作出約束條件，2x-y<l的平面區(qū)域,

將z=3x-y化為y=3x-z,-z相當于直線y=3尤-z的縱截距，貝岫［丫口解得,

［2x-y=l

x=l,y=l,A(1,1),

則z=3x-y的最大值為：3X1-1=2,

【點評】本題考查了簡單線性規(guī)劃，作圖要細致認真，屬于中檔題.

9.命題“Vx>2,/-3>0”的否定是()

A.xo2-3^0B.Vx>2,7-3W0

C.3xo>2,xo2-3W0D.x2-3W0

【分析】根據含有量詞的命題的否定即可得到結論.

【解答】解：命題為全稱命題，則命題的否定為xo2-3W0,

故選：C.

【點評】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎.

10.已知拋物線Cy=81的焦點為凡點尸是拋物線c上一動點，則線段儀的中點。的

軌跡方程是()

A./=4(y-1)B.y2=4xC.y2=4(x-1)D.x2=4y

【分析】利用中點的坐標公式，結合代入法進行求解即可.

【解答】解：設。(％,y),P(xi,yi),則y；=8x］，

又F(2,0),。為尸尸的中點,

2+X[

由中點坐標公式得＜“2Xj=2x-2

從而＜

y「2y

代入y；=8x「得(2y)2=8⑵-2),

即y2—4(x-1).

故選：C.

【點評】本題考查了動點的軌跡方程，屬于基礎題.

11.在△ABC中，若J^asinB=c-bcosA,則B=()

A.—B.—C.三或2兀D.匹或$兀

633366

【分析】根據正弦定理，三角函數恒等變換的應用化簡已知等式可得其退=tanB=逅，

C0SD3

結合范圍Be(0,n),即可得解8的值.

【解答】解：根據正弦定理,可知a=2RsinA,6=2RsinB,c=2RsinC,

代入原式可得愿sinAsinB=sinC-sinBcos/，

又?.?A+8+C=TI,

/.sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

貝IJ^sinAsinB=sinAcosE，

VsinA^O,

...sinB粵,

cosBo

:.Be(0,Tt),得R=2￡

6

故選：A.

【點評】本題主要考查了正弦定理，三角函數恒等變換在解三角形中的應用，考查了計

算能力和轉化思想，屬于基礎題.

12.等比數列｛麗｝中，＜21=1,05=4。3,Sn為｛。“｝的前n項和.右Sm=63,則機的值是()

A.6B.7C.8D.不存在

【分析】根據題意，由等比數列的通項公式可得q=±2,結合等比數列的前”項和公式,

分2種情況討論，分析可得答案.

【解答】解：根據題意,等比數列解“｝中,ai=l,a5=4a3,

則/=效=4,則鄉(xiāng)=±2,

a3

當q=2時，若S”=63,則有.I,,(2/1)=63,解可得機=6；

2-1

當q=-2時，若Sm=63,則有I'((二2)21)_=63,變形可得：(-2)"=-168,

(-2)-1

無解；

故機=6；

故選：A.

【點評】本題考查等比數列的前〃項和公式，注意”的取值范圍，屬于基礎題.

二、填空題：(本大題4小題，每小題5分，共20分。)

13.已知命題p：關于x的方程x?-or+a+3=0有實數根，命題q：機-1WaW〃z+l,p是q

的必要非充分條件，則實數機的取值范圍是(-8,-3]57,+8).

【分析】先求出命題0對應的機的范圍，然后根據充分，必要條件的定義以及集合的包

含關系建立不等式，由此即可求解.

【解答】解：命題p：由題意可得A=/-4(a+3)20,解得或aW-2,

因為p是q的必要不充分條件，

貝"機-1,m+1]^(-8,-2]U[6,+8),

所以只需機-126或機+1W-2,解得m，7或mW-3,

所以實數機的范圍為(-8,-3]U[7,+8),

故答案為：(-8,-3]U[7,+8).

【點評】本題考查了充分，必要條件的定義，考查了學生的運算轉化能力，屬于基礎題.

14.若x>0,則的最大值是1

2

X+4-2

【分析】變形可得一緝2，再利用基本不等式，得解.

2x4

X+4

X

【解答】解：因為x>0,所以3-1,當且僅當x=4,即X

22X

X+4

=2時，等號成立,

所以的最大值為1.

2

X+42

故答案為：1.

2

【點評】本題考查基本不等式的應用，考查運算求解能力，屬于基礎題.

15.在△ABC中，若a=l,6=我，A+C=2B,則△ABC的面積是返.

—2—

【分析】由已知先求出8,然后結合余弦定理可求c,再由三角形面積公式可求.

【解答】解：因為A+C=28且A+B+Cnit,

所以2=三，

3

由余弦定理可得，b2=a2+c2-2accosB,

即3=l+c2-2C*COS-ZL,

3

整理得c?-c-2=0,

解得c=2或c=-1（舍），

所以△ABC的面積S=-^-acsinB=~~XIX2X^^~=

故答案為：返.

2

【點評】本題主要考查了余弦定理及三角形面積公式的應用，屬于基礎題.

16.在等比數列｛〃〃｝中，已知〃2=2,06=8,則〃3。5+。8=32.

【分析】根據已知條件，結合等比數列的性質，求出/=2,即可求解.

【解答】解：設等比數列的公比為q,

q4=9=4，則『=2,

a2

2=32

所以。3。5+。8=a2a6+a6q=2X8+8X2-

故答案為：32.

【點評】本題主要考查等比數列的通項公式，屬于基礎題.

三、解答題：（本大題6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

17.（12分）設遞增等差數列｛斯｝的前〃項和為S”已知43=1,。4是。3和47的等比中項，

（I）求數列｛而｝的通項公式；

（II）求數列｛麗｝的前n項和S”.

【分析】（I）設等差數列｛即｝的首項為公差為d（d>0）,由03=1,。4是。3和。7

的等比中項列方程組，然后求解等差數列的首項和公差，則通項公式可求；

（II）直接代入等差數列的前〃項和公式即可.

【解答】解：（I）設等差數列｛斯｝的首項為m,公差為d（1>0）,

由43=1得，ai+2d=1①，由44是〃3和〃7的等比中項得，

(%+3d)"(a[+2d)(%+6d)②，

整理②得，2a管+3d2=0，因為力＞0,所以2m+3d=0③，

聯立①③得：〃i=-3,d=2.

所以an=a\+(n-1)d=-3+2(n-1)=2n-5.

4n

(II)數列｛〃〃｝的前n項和Sn=na[十二'\1)~=-3n+2n=$~-

【點評】本題考查了等差數列的通項公式，考查了等比中項的概念，考查了等差數列的

前〃項和，是基礎題.

18.(12分)在△A3C中，內角A,B,。所對的邊分別為處b,c,且〃cos8+bcosA=2〃.

(1)求s：nC的值;

sinA

(2)若c=b+2,求cosC的值.

【分析】(1)直接利用三角函數的關系式的恒等變換和正弦定理的應用求出結果；

(2)利用(1)的結論和余弦定理的應用求出結果.

【解答】解：(1)在△ABC中，內角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,且〃cos5+bcosA

=2〃，

利用正弦定理：sinAcosB+sinBcosA=2sinA,

整理得：sin(A+B)=sinC=2sinA,

所以：sin1

sinA

(2)由于(1)得：c=2a,

且滿足b=〃+l,c=Z?+2,

b=a+l(a=3

整理得：＜c=2a，解得,b=4，

c=a+3c=6

a2+b2-c29+16-3611

利用余弦定理：Q='

C0S2X3X4-24

【點評】本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變換，正弦定理和余弦定理，主

要考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于基礎題.

19.(12分)設｛斯｝是公比不為1的等比數列，45為。6,。7的等差中項，04=-8.

(I)求｛斯｝的通項公式;

（II）設阮=。2”-1.1a23,求數列｛岳｝的前〃項和北.

【分析】（I）設等比數列｛斯｝的公比為q（qWl）,由等差數列的中項性質和等比數列的

通項公式，解方程可得公比，進而得到所求；

（II）求得為，可得｛加｝是以3為首項，4為公比的等比數列，由等比數列的求和公式,

可得所求和.

【解答】解：（I）設等比數列｛斯｝的公比為4（q3l）,

因為。5為。6,47的等差中項，

所以2。5=。6+〃7，即2a『az+aRq'

又因為Q5W0,所以2=#/,

即q2+q-2=0,

因為qNl,

所以q=~2.

所以an=a4qn7=-8X（-2）n-4=（-2）nH-

nn2n

（II）由（I）得ya2n_「a2n=（一2）2~2_（一2產T=22_2+2-1=3乂產1，

所以｛加｝是以3為首項，4為公比的等比數歹!J,

【點評】本題考查等差數列的中項性質和等比數列的通項公式和求和公式的運用，考查

方程思想和運算能力，屬于基礎題.

20.（12分）焦點在x軸上的橢圓的方程為日工=1，點P?歷，1）在橢圓上.

4m

（1）求機的值.

（2）依次求出這個橢圓的長軸長、短軸長、焦距、離心率.

【分析】（1）把P（加，1）代入橢圓的方程，解得m.

（2）由（1）知橢圓的方程為/+式=1,即可得出答案.

42

【解答】解：（1）把尸（加,1）代入橢圓的方程.（泥）2.+>=1,

4m

解得m=2.

（2）由（1）知橢圓的方程為幺+上一=1,

42

22

所以。=2,b=A/2>c=yja-]y=V4-2=V2>

所以橢圓的長軸長為2a=4,短軸長為26=2A/5,焦距2c=2A/5，離心率e=￡=垂

a2

【點評】本題考查橢圓的性質，屬于基礎題.

2222

21.（12分）已知雙曲線C：工_=1（a>0,b>0）與雙曲線-2_=1有相同的

a2,b24±42

漸近線，且經過點M（加,-V2）.

（I）求雙曲線C的方程；

（II）求雙曲線C的實軸長，離心率，焦點到漸近線的距離.

【分析】（I）由題意設雙曲線的方程，代入M的坐標，即可求解雙曲線方程.

（II）利用雙曲線方程，然后求解雙曲線C的實軸長，離心率，焦點到漸近線的