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文檔簡介
江蘇省如皋、如東2025屆高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若sin(α+3π2A.-12 B.-132.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)利用暑假游玩某風(fēng)景名勝大峽谷,四人各自去景區(qū)的百里絕壁、千丈瀑布、原始森林、遠(yuǎn)古村寨四大景點(diǎn)中的一個(gè),每個(gè)景點(diǎn)去一人.已知:①甲不在遠(yuǎn)古村寨,也不在百里絕壁;②乙不在原始森林,也不在遠(yuǎn)古村寨;③“丙在遠(yuǎn)古村寨”是“甲在原始森林”的充分條件;④丁不在百里絕壁,也不在遠(yuǎn)古村寨.若以上語句都正確,則游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁3.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,則不可能為()A. B. C. D.4.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,且,若數(shù)列是遞增數(shù)列,則的取值范圍為()A. B. C. D.5.記其中表示不大于x的最大整數(shù),若方程在在有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍()A. B. C. D.6.設(shè)a,b∈(0,1)∪(1,+∞),則"a=b"是"logA.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.設(shè)點(diǎn),,不共線,則“”是“”()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件8.設(shè)全集,集合,,則()A. B. C. D.9.函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A. B.C. D.10.框圖與程序是解決數(shù)學(xué)問題的重要手段,實(shí)際生活中的一些問題在抽象為數(shù)學(xué)模型之后,可以制作框圖,編寫程序,得到解決,例如,為了計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差,設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖,其中輸入,,,,,,,則圖中空白框中應(yīng)填入()A., B. C., D.,11.如圖示,三棱錐的底面是等腰直角三角形,,且,,則與面所成角的正弦值等于()A. B. C. D.12.已知全集,集合,,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,己知半圓的直徑,點(diǎn)是弦(包含端點(diǎn),)上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在弧上.若是等邊三角形,且滿足,則的最小值為___________.14.在平行四邊形中,已知,,,若,,則____________.15.設(shè)滿足約束條件且的最小值為7,則=_________.16.為激發(fā)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作,敢于拼搏,不言放棄的精神,某校高三5個(gè)班進(jìn)行班級(jí)間的拔河比賽.每兩班之間只比賽1場,目前(—)班已賽了4場,(二)班已賽了3場,(三)班已賽了2場,(四)班已賽了1場.則目前(五)班已經(jīng)參加比賽的場次為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在三棱柱中,平面ABC.(1)證明:平面平面(2)求二面角的余弦值.18.(12分)已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)若數(shù)列為等比數(shù)列,求數(shù)列的公比的值;(2)設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,且.①求數(shù)列的通項(xiàng)公式;②求證:.19.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)若函數(shù)的最小值為,求的最小值.20.(12分)誠信是立身之本,道德之基,我校學(xué)生會(huì)創(chuàng)設(shè)了“誠信水站”,既便于學(xué)生用水,又推進(jìn)誠信教育,并用“”表示每周“水站誠信度”,為了便于數(shù)據(jù)分析,以四周為一周期,如表為該水站連續(xù)十二周(共三個(gè)周期)的誠信數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì):第一周第二周第三周第四周第一周期第二周期第三周期(Ⅰ)計(jì)算表中十二周“水站誠信度”的平均數(shù);(Ⅱ)若定義水站誠信度高于的為“高誠信度”,以下為“一般信度”則從每個(gè)周期的前兩周中隨機(jī)抽取兩周進(jìn)行調(diào)研,計(jì)算恰有兩周是“高誠信度”的概率;(Ⅲ)已知學(xué)生會(huì)分別在第一個(gè)周期的第四周末和第二個(gè)周期的第四周末各舉行了一次“以誠信為本”的主題教育活動(dòng),根據(jù)已有數(shù)據(jù),說明兩次主題教育活動(dòng)的宣傳效果,并根據(jù)已有數(shù)據(jù)陳述理由.21.(12分)已知,,為正數(shù),且,證明:(1);(2).22.(10分)已知橢圓的左頂點(diǎn)為,左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為,是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與左、右頂點(diǎn)重合),且的周長為6,點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,直線交于點(diǎn).(1)求橢圓方程;(2)若直線與橢圓交于另一點(diǎn),且,求點(diǎn)的坐標(biāo).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡即可.【詳解】因?yàn)閟inα+3π2=3故選B【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式,靈活掌握公式是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
根據(jù)演繹推理進(jìn)行判斷.【詳解】由①②④可知甲乙丁都不在遠(yuǎn)古村寨,必有丙同學(xué)去了遠(yuǎn)古村寨,由③可知必有甲去了原始森林,由④可知丁去了千丈瀑布,因此游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是丁.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查演繹推理,掌握演繹推理的定義是解題基礎(chǔ).3、D【解析】
依題意,設(shè),由,得,再一一驗(yàn)證.【詳解】設(shè),因?yàn)?,所以,?jīng)驗(yàn)證不滿足,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義,還考查了推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
先根據(jù)已知條件求解出的通項(xiàng)公式,然后根據(jù)的單調(diào)性以及得到滿足的不等關(guān)系,由此求解出的取值范圍.【詳解】由已知得,則.因?yàn)?,?shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,所以,則,化簡得,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式求解以及根據(jù)數(shù)列單調(diào)性求解參數(shù)范圍,難度一般.已知數(shù)列單調(diào)性,可根據(jù)之間的大小關(guān)系分析問題.5、D【解析】
做出函數(shù)的圖象,問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象在有7個(gè)交點(diǎn),而函數(shù)在上有3個(gè)交點(diǎn),則在上有4個(gè)不同的交點(diǎn),數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示,由圖可知方程在上有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則在上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,當(dāng)直線經(jīng)過時(shí),;當(dāng)直線經(jīng)過時(shí),,可知當(dāng)時(shí),直線與的圖象在上有4個(gè)交點(diǎn),即方程,在上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù),利用函數(shù)零點(diǎn)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)零點(diǎn)問題的基本思想,屬于中檔題.6、A【解析】
根據(jù)題意得到充分性,驗(yàn)證a=2,b=1【詳解】a,b∈0,1∪1,+∞,當(dāng)"a=b當(dāng)logab=log故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和推斷能力.7、C【解析】
利用向量垂直的表示、向量數(shù)量積的運(yùn)算,結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由于點(diǎn),,不共線,則“”;故“”是“”的充分必要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查向量垂直的表示,考查向量數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
可解出集合,然后進(jìn)行補(bǔ)集、交集的運(yùn)算即可.【詳解】,,則,因此,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集和交集的運(yùn)算,涉及一元二次不等式的求解,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
根據(jù)定義域排除,求出的值,可以排除,考慮排除.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象得定義域?yàn)椋圆缓项}意;選項(xiàng),計(jì)算,不符合函數(shù)圖象;對(duì)于選項(xiàng),與函數(shù)圖象不一致;選項(xiàng)符合函數(shù)圖象特征.故選:B【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇合適的解析式,主要利用函數(shù)性質(zhì)分析,常見方法為排除法.10、A【解析】
依題意問題是,然后按直到型驗(yàn)證即可.【詳解】根據(jù)題意為了計(jì)算7個(gè)數(shù)的方差,即輸出的,觀察程序框圖可知,應(yīng)填入,,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查算法與程序框圖,考查推理論證能力以及轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
首先找出與面所成角,根據(jù)所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值,再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出所成角的正弦值.【詳解】由題知是等腰直角三角形且,是等邊三角形,設(shè)中點(diǎn)為,連接,,可知,,同時(shí)易知,,所以面,故即為與面所成角,有,故.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
直接利用集合的基本運(yùn)算求解即可.【詳解】解:全集,集合,,則,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
建系,設(shè),表示出點(diǎn)坐標(biāo),則,根據(jù)的范圍得出答案.【詳解】解:以為原點(diǎn)建立平面坐標(biāo)系如圖所示:則,,,,設(shè),則,,,,,,,顯然當(dāng)取得最大值4時(shí),取得最小值1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,坐標(biāo)運(yùn)算,屬于中檔題.14、【解析】
設(shè),則,得到,,利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算,即可求解.【詳解】由題意,如圖所示,設(shè),則,又由,,所以為的中點(diǎn),為的三等分點(diǎn),則,,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的共線定理以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算,其中解答中熟記向量的線性運(yùn)算法則,以及向量的共線定理和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式,準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.15、3【解析】
根據(jù)約束條件畫出可行域,再把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為,對(duì)參數(shù)a分類討論,當(dāng)時(shí)顯然不滿足題意;當(dāng)時(shí),直線經(jīng)過可行域中的點(diǎn)A時(shí),截距最小,即z有最小值,再由最小值為7,得出結(jié)果;當(dāng)時(shí),的截距沒有最小值,即z沒有最小值;當(dāng)時(shí),的截距沒有最大值,即z沒有最小值,綜上可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)約束條件畫出可行域如下:由,可得出交點(diǎn),由可得,當(dāng)時(shí)顯然不滿足題意;當(dāng)即時(shí),由可行域可知當(dāng)直線經(jīng)過可行域中的點(diǎn)A時(shí),截距最小,即z有最小值,即,解得或(舍);當(dāng)即時(shí),由可行域可知的截距沒有最小值,即z沒有最小值;當(dāng)即時(shí),根據(jù)可行域可知的截距沒有最大值,即z沒有最小值.綜上可知滿足條件時(shí).故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題,約束條件和目標(biāo)函數(shù)中都有參數(shù),要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.16、2【解析】
根據(jù)比賽場次,分析,畫出圖象,計(jì)算結(jié)果.【詳解】畫圖所示,可知目前(五)班已經(jīng)賽了2場.故答案為:2【點(diǎn)睛】本題考查推理,計(jì)數(shù)原理的圖形表示,意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題的能力,屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)證明平面即平面平面得證;(2)分別以所在直線為x軸,y軸.軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,再利用向量方法求二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:因?yàn)槠矫鍭BC,所以因?yàn)?所以.即又.所以平面因?yàn)槠矫?所以平面平面(2)解:由題可得兩兩垂直,所以分別以所在直線為x軸,y軸.軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,則,所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由.得令,得又平面,所以平面的一個(gè)法向量為.所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何位置關(guān)系的證明,考查二面角的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.18、(1);(2)①;②詳見解析.【解析】
(1)依題意可表示,,相減得,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)與公比,解得答案,并由其都是正項(xiàng)數(shù)列舍根;(2)①由題意可表示,,兩式相減得,由其都是正項(xiàng)并整理可得遞推關(guān)系,由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得答案;②由已知關(guān)系,表示并相減即可表示遞推關(guān)系,顯然當(dāng)時(shí),成立,當(dāng),時(shí),表示,由分組求和與正項(xiàng)數(shù)列性質(zhì)放縮不等式得證.【詳解】解:(1)依題意可得,,兩式相減,得,所以,因?yàn)椋?,且,解?(2)①因?yàn)?,所以,兩式相減,得,即.因?yàn)?,所以,?而當(dāng)時(shí),,可得,故,所以對(duì)任意的正整數(shù)都成立,所以數(shù)列是等差數(shù)列,公差為1,首項(xiàng)為1,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.②因?yàn)?,所以,兩式相減,得,即,所以對(duì)任意的正整數(shù),都有.令,而當(dāng)時(shí),顯然成立,所以當(dāng),時(shí),,所以,即,所以,得證.【點(diǎn)睛】本題考查由前n項(xiàng)和關(guān)系求等比數(shù)列公比,求等差數(shù)列通項(xiàng)公式,還考查了由分組求和表示數(shù)列和并由正項(xiàng)數(shù)列放縮證明不等式,屬于難題.19、(1)(2)【解析】
(1)用分類討論思想去掉絕對(duì)值符號(hào)后可解不等式;(2)由(1)得的最小值為4,則由,代換后用基本不等式可得最小值.【詳解】解:(1)討論:當(dāng)時(shí),,即,此時(shí)無解;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所求不等式的解集為(2)分析知,函數(shù)的最小值為4,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.的最小值為4.【點(diǎn)睛】本題考查解絕對(duì)值不等式,考查用基本不等式求最小值.解絕對(duì)值不等式的方法是分類討論思想.20、(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)兩次活動(dòng)效果均好,理由詳見解析.【解析】
(Ⅰ)結(jié)合表中的數(shù)據(jù),代入平均數(shù)公式求解即可;(Ⅱ)設(shè)抽到“高誠信度”的事件為,則抽到“一般信度”的事件為,則隨機(jī)抽取兩周,則有兩周為“高誠信度”事件為,利用列舉法列出所有的基本事件和事件所包含的基本事件,利用古典概型概率計(jì)算公式求解即可;(Ⅲ)結(jié)合表中的數(shù)據(jù)判斷即可.【詳解】(Ⅰ)表中十二周“水站誠信度”的平均數(shù).(Ⅱ)設(shè)抽到“高誠信度”的事件為,則抽到“一般信度”的事件為,則隨機(jī)抽取兩周均為“高誠信度”事件為,總的基本事件為共15種,事件所包含的基本事件為共10種,由古典概型概率計(jì)算公式可得,.(Ⅲ)兩次活動(dòng)效果均好.理由:活動(dòng)舉辦后,“
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