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2025屆安徽省定遠(yuǎn)縣第二中學(xué)高考數(shù)學(xué)一模試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.用一個(gè)平面去截正方體,則截面不可能是()A.正三角形 B.正方形 C.正五邊形 D.正六邊形2.已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a5=16,a3a4=﹣32,則S8=()A.﹣21 B.﹣24 C.85 D.﹣853.若數(shù)列為等差數(shù)列,且滿足,為數(shù)列的前項(xiàng)和,則()A. B. C. D.4.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題;“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次后腳痛遞減半,六朝才得到其關(guān),要見(jiàn)每朝行里數(shù),請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思為:“有一個(gè)人走了378里路,第一天健步走行,從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地,求該人每天走的路程.”由這個(gè)描述請(qǐng)算出這人第四天走的路程為()A.6里 B.12里 C.24里 D.48里5.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B.2 C.4 D.36.設(shè)非零向量,,,滿足,,且與的夾角為,則“”是“”的().A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.設(shè)不等式組,表示的平面區(qū)域?yàn)椋趨^(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn),則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式的概率為A. B.C. D.8.設(shè)全集U=R,集合,則()A. B. C. D.9.已知函數(shù)(,且)在區(qū)間上的值域?yàn)?,則()A. B. C.或 D.或410.是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.已知數(shù)列滿足:)若正整數(shù)使得成立,則()A.16 B.17 C.18 D.1912.已知等差數(shù)列中,若,則此數(shù)列中一定為0的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)在區(qū)間(-∞,1)上遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____14.曲線在處的切線的斜率為_(kāi)_______.15.某種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布,且.某用戶購(gòu)買了件這種產(chǎn)品,則這件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間之外的產(chǎn)品件數(shù)為_(kāi)________.16.如圖,已知扇形的半徑為1,面積為,則_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,并在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),α為直線的傾斜角).(1)寫(xiě)出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲線C有唯一的公共點(diǎn),求角α的大?。?8.(12分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,an+1=2Sn+1(1)求數(shù)列{an}(2)設(shè)cn=bnan,求數(shù)列19.(12分)設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列,其前項(xiàng)和為,,若,,成等比數(shù)列.(1)求及;(2)設(shè),設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和,證明:.20.(12分)設(shè)函數(shù),其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(Ⅰ)若在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍;(Ⅱ)若,函數(shù)與函數(shù)的圖象交于,且線段的中點(diǎn)為,證明:.21.(12分)已知在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,的面積為.(1)求證:;(2)若,求的值.22.(10分)已知拋物線的焦點(diǎn)為,直線交于兩點(diǎn)(異于坐標(biāo)原點(diǎn)O).(1)若直線過(guò)點(diǎn),,求的方程;(2)當(dāng)時(shí),判斷直線是否過(guò)定點(diǎn),若過(guò)定點(diǎn),求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過(guò)定點(diǎn),說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析:畫(huà)出截面圖形如圖顯然A正三角形,B正方形:D正六邊形,可以畫(huà)出五邊形但不是正五邊形;故選C.考點(diǎn):平面的基本性質(zhì)及推論.2、D【解析】
由等比數(shù)列的性質(zhì)求得a1q4=16,a12q5=﹣32,通過(guò)解該方程求得它們的值,求首項(xiàng)和公比,根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解答即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,∵a5=16,a3a4=﹣32,∴a1q4=16,a12q5=﹣32,∴q=﹣2,則,則,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,根據(jù)等比數(shù)列建立條件關(guān)系求出公比是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
利用等差數(shù)列性質(zhì),若,則求出,再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得【詳解】解:因?yàn)?,由等差?shù)列性質(zhì),若,則得,.為數(shù)列的前項(xiàng)和,則.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)與等差數(shù)列前項(xiàng)和.(1)如果為等差數(shù)列,若,則.(2)要注意等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用,如.4、C【解析】
設(shè)第一天走里,則是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,由題意得,求出(里,由此能求出該人第四天走的路程.【詳解】設(shè)第一天走里,則是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,由題意得:,解得(里,(里.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的某一項(xiàng)的求法,考查等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是基礎(chǔ)題.5、A【解析】
由復(fù)數(shù)除法求出,再由模的定義計(jì)算出模.【詳解】.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法法則,考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
利用數(shù)量積的定義可得,即可判斷出結(jié)論.【詳解】解:,,,解得,,,解得,“”是“”的充分必要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
畫(huà)出不等式組表示的區(qū)域,求出其面積,再得到在區(qū)域內(nèi)的面積,根據(jù)幾何概型的公式,得到答案.【詳解】畫(huà)出所表示的區(qū)域,易知,所以的面積為,滿足不等式的點(diǎn),在區(qū)域內(nèi)是一個(gè)以原點(diǎn)為圓心,為半徑的圓面,其面積為,由幾何概型的公式可得其概率為,故選A項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查由約束條件畫(huà)可行域,求幾何概型,屬于簡(jiǎn)單題.8、A【解析】
求出集合M和集合N,,利用集合交集補(bǔ)集的定義進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】,,則,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算,考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
對(duì)a進(jìn)行分類討論,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及值域求解.【詳解】分析知,.討論:當(dāng)時(shí),,所以,,所以;當(dāng)時(shí),,所以,,所以.綜上,或,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的值域問(wèn)題,指數(shù)函數(shù)的值域一般是利用單調(diào)性求解,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).10、B【解析】
分別判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】所以(逆否命題)必要性成立當(dāng),不充分故是必要不充分條件,答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件,屬于簡(jiǎn)單題.11、B【解析】
計(jì)算,故,解得答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,即,且.故,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.12、A【解析】
將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式,由此確定數(shù)列為的項(xiàng).【詳解】由于等差數(shù)列中,所以,化簡(jiǎn)得,所以為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域列不等式組,解不等式求得的取值范圍.【詳解】由二次函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得解得.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義令,即可求出切線斜率.【詳解】,,,即曲線在處的切線的斜率.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
直接計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:則質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間之外的產(chǎn)品件數(shù):故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查正太分布中原則,審清題意,簡(jiǎn)單計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.16、【解析】
根據(jù)題意,利用扇形面積公式求出圓心角,再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出,利用向量的數(shù)量積公式求出.【詳解】設(shè)角,則,,所以在等腰三角形中,,則.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積公式和向量的數(shù)量積公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)當(dāng)時(shí),直線l方程為x=-1;當(dāng)時(shí),直線l方程為y=(x+1)tanα;x2+y2=2x(2)或.【解析】
(1)對(duì)直線l的傾斜角分類討論,消去參數(shù)即可求出其普通方程;由,即可求出曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程,根據(jù)條件Δ=0,即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),直線l的普通方程為x=-1;當(dāng)時(shí),消去參數(shù)得直線l的普通方程為y=(x+1)tanα.由ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,所以x2+y2=2x,即為曲線C的直角坐標(biāo)方程.(2)把x=-1+tcosα,y=tsinα代入x2+y2=2x,整理得t2-4tcosα+3=0.由Δ=16cos2α-12=0,得cos2α=,所以cosα=或cosα=,故直線l的傾斜角α為或.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程,極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程,考查直線與曲線的關(guān)系,屬于中檔題.18、(1)an=(2)Tn【解析】
(1)利用an與Sn的遞推關(guān)系可以an的通項(xiàng)公式;P點(diǎn)代入直線方程得b【詳解】(1)由an+1=2S兩式相減得an+1-a又a2=2S1+1=3,所以a由點(diǎn)P(bn,bn+1則數(shù)列{bn(2)因?yàn)閏n=b則13兩式相減得:23所以Tn【點(diǎn)睛】用遞推關(guān)系an=Sn-19、(1),;(2)證明見(jiàn)解析.【解析】
(1)根據(jù)題中條件求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差,然后根據(jù)首項(xiàng)和公差即可求出數(shù)列的通項(xiàng)和前項(xiàng)和;(2)根據(jù)裂項(xiàng)求和求出,根據(jù)的表達(dá)式即可證明.【詳解】(1)設(shè)的公差為,由題意有,且,所以,;(2)因?yàn)椋裕?【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列基本量的求解,裂項(xiàng)求和法,屬于基礎(chǔ)題.20、(Ⅰ);(Ⅱ)詳見(jiàn)解析.【解析】
(Ⅰ)依題意在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),等價(jià)于在有兩個(gè)不等實(shí)根,由參變分類可得,令,利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性、極值,從而得到參數(shù)的取值范圍;(Ⅱ)由題解得,,要證成立,只需證:,即:,只需證:,設(shè),即證:,再分別證明,即可;【詳解】解:(Ⅰ)由題意可知,,在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),等價(jià)于在有兩個(gè)不等實(shí)根,由可得,,令,則,令,可得,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,且當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;所以是的極大值也是最大值,又當(dāng),當(dāng)大于0趨向與0,要使在有兩個(gè)根,則,所以的取值范圍為;(Ⅱ)由題解得,,要證成立,只需證:即:,只需證:設(shè),即證:要證,只需證:令,則在上為增函數(shù),即成立;要證,只需證明:令,則在上為減函數(shù),,即成立成立,所以成立.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,屬于難題;21、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】
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