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屯溪一中2025屆高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè),若函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,則點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為()A.2 B.3 C.4 D.53.過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)的直線過(guò)的上頂點(diǎn),且與橢圓相交于另一點(diǎn),點(diǎn)在軸上的射影為,若,是坐標(biāo)原點(diǎn),則橢圓的離心率為()A. B. C. D.4.已知符號(hào)函數(shù)sgnxf(x)是定義在R上的減函數(shù),g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),則()A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnxC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]5.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則()A.23 B.25 C.28 D.296.已知是兩條不重合的直線,是兩個(gè)不重合的平面,下列命題正確的是()A.若,,,,則B.若,,,則C.若,,,則D.若,,,則7.已知拋物線:,直線與分別相交于點(diǎn),與的準(zhǔn)線相交于點(diǎn),若,則()A.3 B. C. D.8.函數(shù)在上為增函數(shù),則的值可以是()A.0 B. C. D.9.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有四個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.10.如圖,在△ABC中,點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn),將△ABM沿著AM翻折成△AB'M,且點(diǎn)B'不在平面AMC內(nèi),點(diǎn)P是線段B'C上一點(diǎn).若二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等,則直線AP經(jīng)過(guò)△AB'CA.重心 B.垂心 C.內(nèi)心 D.外心11.設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(,)C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重比為58.79kg12.已知函數(shù),若函數(shù)的極大值點(diǎn)從小到大依次記為,并記相應(yīng)的極大值為,則的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知橢圓的左焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方,若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,為半徑的圓上,則直線的斜率是_______.14.請(qǐng)列舉用0,1,2,3這4個(gè)數(shù)字所組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字且比210大的所有三位奇數(shù):___________.15.已知集合,則____________.16.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知離心率為的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)薦橢圓的右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓分別交于,若直線、、的斜率成等差數(shù)列,請(qǐng)問(wèn)的面積是否為定值?若是,求出此定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.18.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上最小值.19.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為矩形,側(cè)面底面,為棱的中點(diǎn),為棱上任意一點(diǎn),且不與點(diǎn)、點(diǎn)重合..(1)求證:平面平面;(2)是否存在點(diǎn)使得平面與平面所成的角的余弦值為?若存在,求出點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.20.(12分)已知函數(shù).(1)若,求不等式的解集;(2)若“,”為假命題,求的取值范圍.21.(12分)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足,,,(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式﹔(2)設(shè),求證:.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和曲線的普通方程;(2)若P,Q分別為曲線,上的動(dòng)點(diǎn),求的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】令,可得.在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)的圖象(如圖所示).當(dāng)時(shí),.由得.設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象切于點(diǎn),則有,解得.所以當(dāng)直線與函數(shù)的圖象切時(shí).又當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),有,解得.結(jié)合圖象可得當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍是.即函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍是.選D.點(diǎn)睛:已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)的方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫(huà)出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解,對(duì)于一些比較復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題常用此方法求解.2、D【解析】試題分析:拋物線焦點(diǎn)在軸上,開(kāi)口向上,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為,因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,所以點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離為,因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離,所以點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離為5.考點(diǎn):本小題主要考查應(yīng)用拋物線定義和拋物線上點(diǎn)的性質(zhì)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評(píng):拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離,這條性質(zhì)在解題時(shí)經(jīng)常用到,可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.3、D【解析】

求得點(diǎn)的坐標(biāo),由,得出,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的坐標(biāo),代入橢圓的方程,可得出關(guān)于、、的齊次等式,進(jìn)而可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意可得、.由,得,則,即.而,所以,所以點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,則,整理可得,所以,所以.即橢圓的離心率為故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解,解答的關(guān)鍵就是要得出、、的齊次等式,充分利用點(diǎn)在橢圓上這一條件,圍繞求點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)求解,考查計(jì)算能力,屬于中等題.4、A【解析】

根據(jù)符號(hào)函數(shù)的解析式,結(jié)合f(x)的單調(diào)性分析即可得解.【詳解】根據(jù)題意,g(x)=f(x)﹣f(ax),而f(x)是R上的減函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),x<ax,則有f(x)>f(ax),則g(x)=f(x)﹣f(ax)>0,此時(shí)sgn[g(x)]=1,當(dāng)x=0時(shí),x=ax,則有f(x)=f(ax),則g(x)=f(x)﹣f(ax)=0,此時(shí)sgn[g(x)]=0,當(dāng)x<0時(shí),x>ax,則有f(x)<f(ax),則g(x)=f(x)﹣f(ax)<0,此時(shí)sgn[g(x)]=﹣1,綜合有:sgn[g(x)]=sgn(x);故選:A.【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)新定義問(wèn)題,涉及函數(shù)單調(diào)性辨析,關(guān)鍵在于讀懂定義,根據(jù)自變量的取值范圍分類討論.5、D【解析】

由可求,再求公差,再求解即可.【詳解】解:是等差數(shù)列,又,公差為,,故選:D【點(diǎn)睛】考查等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、運(yùn)算求解能力和推理論證能力,是基礎(chǔ)題.6、B【解析】

根據(jù)空間中線線、線面位置關(guān)系,逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng),若,,,,則或與相交;故A錯(cuò);B選項(xiàng),若,,則,又,是兩個(gè)不重合的平面,則,故B正確;C選項(xiàng),若,,則或或與相交,又,是兩個(gè)不重合的平面,則或與相交;故C錯(cuò);D選項(xiàng),若,,則或或與相交,又,是兩個(gè)不重合的平面,則或與相交;故D錯(cuò);故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查與線面、線線相關(guān)的命題,熟記線線、線面位置關(guān)系,即可求解,屬于??碱}型.7、C【解析】

根據(jù)拋物線的定義以及三角形的中位線,斜率的定義表示即可求得答案.【詳解】顯然直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)如圖,過(guò)A,M作準(zhǔn)線的垂直,垂足分別為C,D,過(guò)M作AC的垂線,垂足為E根據(jù)拋物線的定義可知MD=MF,AC=AF,又AM=MN,所以M為AN的中點(diǎn),所以MD為三角形NAC的中位線,故MD=CE=EA=AC設(shè)MF=t,則MD=t,AF=AC=2t,所以AM=3t,在直角三角形AEM中,ME=所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查求拋物線的焦點(diǎn)弦的斜率,常見(jiàn)于利用拋物線的定義構(gòu)建關(guān)系,屬于中檔題.8、D【解析】

依次將選項(xiàng)中的代入,結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),在上不單調(diào),故A不正確;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,故B不正確;當(dāng)時(shí),在上不單調(diào),故C不正確;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,故D正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性,涉及到誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,是一道容易題.9、A【解析】

函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的解,設(shè),方程可化為,即或,求出的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和最值,由此可根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)得出的范圍.【詳解】由題意得有四個(gè)大于的不等實(shí)根,記,則上述方程轉(zhuǎn)化為,即,所以或.因?yàn)?,?dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;所以在處取得最小值,最小值為.因?yàn)?,所以有兩個(gè)符合條件的實(shí)數(shù)解,故在區(qū)間上恰有四個(gè)不相等的零點(diǎn),需且.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn).考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的解,方程的解再轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì),本題考查了學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.10、A【解析】

根據(jù)題意P到兩個(gè)平面的距離相等,根據(jù)等體積法得到SΔPB'M【詳解】二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等,故P到兩個(gè)平面的距離相等.故VP-AB'M=VP-ACM,即故B'P=CP,故P為CB'中點(diǎn).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了二面角,等體積法,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.11、D【解析】根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71,則=0.85>0,y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系,A正確;回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(),B正確;該大學(xué)某女生身高增加1cm,預(yù)測(cè)其體重約增加0.85kg,C正確;該大學(xué)某女生身高為170cm,預(yù)測(cè)其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg,D錯(cuò)誤.故選D.12、C【解析】

對(duì)此分段函數(shù)的第一部分進(jìn)行求導(dǎo)分析可知,當(dāng)時(shí)有極大值,而后一部分是前一部分的定義域的循環(huán),而值域則是每一次前面兩個(gè)單位長(zhǎng)度定義域的值域的2倍,故此得到極大值點(diǎn)的通項(xiàng)公式,且相應(yīng)極大值,分組求和即得【詳解】當(dāng)時(shí),,顯然當(dāng)時(shí)有,,∴經(jīng)單調(diào)性分析知為的第一個(gè)極值點(diǎn)又∵時(shí),∴,,,…,均為其極值點(diǎn)∵函數(shù)不能在端點(diǎn)處取得極值∴,,∴對(duì)應(yīng)極值,,∴故選:C【點(diǎn)睛】本題考查基本函數(shù)極值的求解,從函數(shù)表達(dá)式中抽離出相應(yīng)的等差數(shù)列和等比數(shù)列,最后分組求和,要求學(xué)生對(duì)數(shù)列和函數(shù)的熟悉程度高,為中檔題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn),利用三角形中位線定理,將線段長(zhǎng)度用坐標(biāo)表示成圓的方程,與橢圓方程聯(lián)立可進(jìn)一步求解.利用焦半徑及三角形中位線定理,則更為簡(jiǎn)潔.【詳解】方法1:由題意可知,由中位線定理可得,設(shè)可得,聯(lián)立方程可解得(舍),點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方,求得,所以方法2:焦半徑公式應(yīng)用解析1:由題意可知,由中位線定理可得,即求得,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系,利用數(shù)形結(jié)合思想,是解答解析幾何問(wèn)題的重要途徑.14、231,321,301,1【解析】

分個(gè)位數(shù)字是1、3兩種情況討論,即得解【詳解】0,1,2,3這4個(gè)數(shù)字所組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字比210大的所有三位奇數(shù)有:(1)當(dāng)個(gè)位數(shù)字是1時(shí),數(shù)字可以是231,321,301;(2)當(dāng)個(gè)位數(shù)字是3時(shí)數(shù)字可以是1.故答案為:231,321,301,1【點(diǎn)睛】本題考查了分類計(jì)數(shù)法的應(yīng)用,考查了學(xué)生分類討論,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)并集的定義計(jì)算即可.【詳解】由集合的并集,知.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查集合的并集運(yùn)算,屬于容易題.16、80.【解析】

只需找到展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令,則,故的展開(kāi)式中的系數(shù)為80.故答案為:80.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,涉及到展開(kāi)式中的特殊項(xiàng)系數(shù),考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道容易題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)是,【解析】

(1)根據(jù)及可得,再將點(diǎn)代入橢圓的方程與聯(lián)立解出,即可求出橢圓的方程;(2)可設(shè)所在直線的方程為,,,,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,用根與系數(shù)的關(guān)系求出,然后將直線、、的斜率、、分別用表示,利用可求出,從而可確定點(diǎn)恒在一條直線上,結(jié)合圖形即可求出的面積.【詳解】(1)因?yàn)闄E圓的離心率為,所以,即,又,所以,①因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,②由①②解得,所以橢圓C的方程為.(1)可知,,可設(shè)所在直線的方程為,由,得,設(shè),,,則,,設(shè)直線、、的斜率分別為、、,因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以,即,所以,又,因?yàn)橹本€、、的斜率成等差數(shù)列,所以,即,化簡(jiǎn)得,即點(diǎn)恒在一條直線上,又因?yàn)橹本€方程為,且,所以是定值.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程,直線與橢圓的位置關(guān)系及橢圓中的定值問(wèn)題,屬于中檔題.18、(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值是;當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值是【解析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù),并且解出它的零點(diǎn)x=,再分區(qū)間討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù),即可得到函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)分三種情況加以討論,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)值的大小比較,即可得到當(dāng)0<a<ln2時(shí),函數(shù)f(x)的最小值是-a;當(dāng)a≥ln2時(shí),函數(shù)f(x)的最小值是ln2-2a.【詳解】函數(shù)的定義域

為.

因?yàn)?,令,可得?/p>

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,綜上所述:可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng),即時(shí),函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),

的最小值是當(dāng),即時(shí),函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),的最小值是當(dāng),即時(shí),函數(shù)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).

又,

當(dāng)時(shí),的最小值是;

當(dāng)時(shí),的最小值為綜上所述,結(jié)論為當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值是;

當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值是.【點(diǎn)睛】求函數(shù)極值與最值的步驟:(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù);(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根;(4)列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號(hào),如果左正右負(fù)(左增右減),那么在處取極大值,如果左負(fù)右正(左減右增),那么在處取極小值.(5)如果只有一個(gè)極值點(diǎn),則在該處即是極值也是最值;(6)如果求閉區(qū)間上的最值還需要比較端點(diǎn)值的函數(shù)值與極值的大小19、(1)證明見(jiàn)解析(2)存在,為中點(diǎn)【解析】

(1)證明面,即證明平面平面;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸正方向,為軸正方向,為軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.利用向量方法得,解得,所以為中點(diǎn).【詳解】(1)由于為中點(diǎn),.又,故,所以為直角三角形且,即.又因?yàn)槊?,面面,面面,故面,又面,所以面面.?)由(1)知面,又四邊形為矩形,則兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸正方向,為

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