圓錐曲線中的參數范圍及最值問題（學生版）-2025年高考數學一輪復習專練（新高考專用）

重難點32圓錐曲線中的參數范圍及最值問題【七大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1弦長最值及范圍問題】.................................................................2

【題型2離心率的取值范圍問題】...............................................................2

【題型3三角形（四邊形）面積的最值及范圍問題】..............................................3

【題型4長度（距離）的最值及范圍問題】......................................................5

【題型5斜率的最值及范圍問題】...............................................................5

【題型6向量數量積的最值及范圍問題】........................................................7

【題型7參數的取值范圍問題】.................................................................8

?命題規(guī)律

1、圓錐曲線中的參數范圍及最值問題

圓錐曲線中的參數范圍及最值問題是高考的重點、熱點內容，從近幾年的高考情況來看，此類問題考

查頻率較高，此類問題一般有長度、距離、面積、數量積、離心率等幾何量的范圍或最值問題，各類題型

都有考查，在解答題中考查時難度較高；復習時要加強此類問題的訓練，靈活求解.

?方法技巧總結

【知識點1圓錐曲線中的最值問題】

1.處理圓錐曲線最值問題的求解方法

圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：

（1）幾何法：若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決.

（2）代數法：若題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數，則可首先建立目標函數，再求這個函數的最

值，求函數最值的常用方法有配方法、判別式法、基本不等式法及函數的單調性法等.

2.圓錐曲線中的最值問題的解題思路

（1）建立函數模型，求解函數的值域或最值（切莫忘記定義域的考查）；

（2）構建不等關系.

【注意】若求解長度、距離、面積、數量積、離心率等具有具體幾何意思的量的范圍或最值問題時，

一般可采用函數模型；若求解參量（諸如展加等）、離心率等范圍或最值問題時，一般可采用構造不等關系

的方法解決.當然以上的區(qū)分并不是絕對的，當一個思路不能解決或不好解決時，應及時切換成另一思路.

【知識點2圓錐曲線中的參數范圍問題】

1.圓錐曲線中的參數范圍問題的求解策略：

結合題目條件，構建所求幾何量的含參函數，并且進一步找到自變量的范圍，進而求出其值域，即所

求參數的范圍.

?舉一反三

【題型1弦長最值及范圍問題】

【例1】（2024?湖北武漢?模擬預測）設拋物線C:y=4/的焦點為F,過焦點尸的直線與拋物線C相交于4B

兩點，則的最小值為（）

A.1B.-C.-D.-

248

【變式1-11（2024?云南昆明?模擬預測）已知直線/是圓C：/+y2=1的切線，且/與橢圓￡：9+f=1

交于4,2兩點，則的最大值為（）

A.2B.V3C.V2D.1

【變式1-2］（2024?河南?模擬預測）已知橢圓C:》，=l（a>b>0）的左、右焦點分別為FL，點P（B，句

為橢圓C上一點，且△PF42的面積為2份.

（1）求橢圓C的標準方程；

⑵若傾斜角為強直線/與C相交于兩個不同的點4B,求|A8|的最大值.

4

【變式1-3］（2024?安徽?一模）已知雙曲線C：?一《=1（。>0,6>0）的離心率為2.且經過點（2,3）.

（1）求。的方程；

（2）若直線/與C交于/,2兩點，且瓦？?礪=0（點O為坐標原點），求|48|的取值范圍.

【題型2離心率的取值范圍問題】

22

【例2】（2024?河南濮陽?模擬預測）點M是橢圓宗+力=l（a〉b>0）上的點，以M為圓心的圓與x軸相切

于橢圓的焦點F,圓M與y軸相交于P,Q兩點，若aPQM是銳角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是（）

A.（2-73,1）B6

C.胃1）D.（用雪）

【變式2-1］（2024?廣東東莞?模擬預測）若雙曲線。馬―。=l（a>0）的右支上存在力（亞,丫1）,83/2）01中

CL4

4）到點P（5a,0）的距離相等，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）

A.（1,V5）B.（而,+8）

C.（1,V3）D.（b,+8）

【變式2-2］（2024?陜西?模擬預測）已知橢圓的:捺+，=1（a>b>0）的左、右焦點分別為％（—c,0）,4（G0），

拋物線0：%2=2py（p>0）,橢圓Ci與拋物線C2相交于不同的兩點4B,且四邊形四尸出的外接圓直徑為手，

若b>c,則橢圓Ci的離心率的取值范圍是（）

A.得當B.仔甯C.得甯D.修,1）

【變式2-3］（2024?四川德陽?模擬預測）己知雙曲線/:《一9=1（0>°/>0）的焦距為2口右頂點為力,

過/作x軸的垂線與￡的漸近線交于M、N兩點，若SMONN*?,則E的離心率的取值范圍是（）

A.樣間B.［竽網C.［V2-V3］D.［V3,2］

【題型3三角形（四邊形）面積的最值及范圍問題】

【例3】（2024?全國?模擬預測）己知雙曲線C:?—，=1（（1>0,6>0）過點七（午5）（其中c=Q不"）,

且雙曲線C上的點到其兩條漸近線的距離之積為噤.

（1）求雙曲線C的標準方程；

（2）記。為坐標原點，雙曲線C的左、右頂點分別為45P為雙曲線C上一動點（異于頂點），M為線段AP的中

點，Q為直線x=<上一點，且力P〃OQ,過點Q作QN1OM于點N,求△4BN面積的最大值.

【變式3-1］（2024?陜西安康?模擬預測）已知橢圓C：《+）/2=i（a>1）的離心率為雪，橢圓C的動弦48

過橢圓C的右焦點F,當4B垂直x軸時，橢圓C在4B處的兩條切線的交點為M.

（1）求點M的坐標；

(2)若直線AB的斜率為5,過點M作無軸的垂線1,點N為1上一點，且點N的縱坐標為-直線NF與橢圓C交

于P，Q兩點，求四邊形力PBQ面積的最小值.

【變式3-2](2024?陜西寶雞?三模)已知橢圓E：5+，=1(a>b>0)和圓C：x2+y2=1,C經過E

的右焦點尸，點43為￡的右頂點和上頂點，原點。到直線46的距離為爭.

(1)求橢圓￡的方程；

(2)設。，“是橢圓￡的左、右頂點，過下的直線/交E于M,N兩點(其中M點在x軸上方)，求

與^DNF的面積之比的取值范圍.

【變式3-3](2024?甘肅白銀?模擬預測)已知拋物線C:/=2py(p>0),4為第一象限內C上任意一點，以A

為切點作C的切線I與久軸交于點B,與y軸交于點M,過點B作垂直于，的直線廠交C于D,E兩點，其中點。在第

一象限，設廠與y軸交于點K.

(1)若點4的坐標為(2,1),求切線2的方程；

⑵若|KM|=4|K川,求4的值；

(3)當p=2時，連接。。,。民力K,4D,記△OKEJOKD,△力KD的面積分別為Si，S2，S3，求的最小

值.

【題型4長度（距離）的最值及范圍問題】

【例4】（2024?河南信陽?三模）已知橢圓?+%2=1,尸為橢圓上任意一點，過點尸分別作與直線%:y=3x

和12：y=—3x平行的直線，分別交％，匕交于M，N兩點，則|MN|的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式4-1]（2024?黑龍江?三模）已知點P是拋物線=4x準線上的一點，過點P作C的兩條切線，切點

分別為48,則原點。到直線4B距離的最大值為（）

A.B.-C.-D.1

432

【變式4-2]（2024?四川自貢?三模）已知橢圓是?+，=l（a>6>0）的左、右焦點分別為F2,上、

下頂點分別為公、42，四邊形公尸遇2/2的面積為2國且4尸遇1/2=今

（1）求橢圓E的方程；

⑵過點4（1,3）的直線與橢圓E相交于兩點P、Q（P在Q上方），線段PQ上存在點M使得需=解,求|M%|+

IMF2I的最小值.

（x+y2=

【變式4-3]（2024?陜西咸陽?模擬預測）在平面直角坐標系xOy中,圓%:2產+4,F2（2,0）,P

是圓片上的一個動點，線段的垂直平分線?與直線P%交于點M.記點M的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

1，

（2）若動直線Z與曲線C相交于Q、N兩點，設（2（久為），N（x2iy2）,且句>0,%2>0,71（-1,0）,記直線4Q、

AN的斜率分別為自、的，若的的=-2,求點2到直線1的距離d的取值范圍.

【題型5斜率的最值及范圍問題】

【例51（2024?內蒙古?三模）已知。為坐標原點,尸是拋物線C:y2=2Px（p>0）的焦點,M是C上一點，且|MF|=

2

|M0|=|

⑴求C的方程；

(2)4B是C上兩點(4B異于點。),以AB為直徑的圓過點。，。為4B的中點，求直線0Q斜率的最大值.

【變式5-1](2024?湖北?模擬預測)已知橢圓￡：《+，=1(a>h>0),直線匕與￡交于M(-4,0),N(-2,2)

兩點，點P在線段MN上(不含端點)，過點P的另一條直線％與￡交于48兩點.

⑴求橢圓E的標準方程；

(2)若MP=PN,Q=(7—4b)而，點/在第二象限，求直線%的斜率；

(3)若直線M4,八四的斜率之和為2,求直線％的斜率的取值范圍.

【變式5-2](2024?全國?模擬預測)設拋物線C:/=2py(p>0),直線x-y+1=0與C交于力，B兩點，

S.\AB\=8.

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知點P為久2+(y+1)2=1上一點，過點P作拋物線C的兩條切線PD,PE,設切點分別為D,E,試求直

線PD,PE斜率之積的最小值.

【變式5-3](2024?安徽?模擬預測)已知雙曲線(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F2,

離心率為2,P是E的右支上一點，且△PF/2的面積為3.

(1)求E的方程；

(2)若E的左、右頂點分別為/,B,過點尸2的直線/與E的右支交于N兩點，直線和的斜率分

別即為A4M和心山求四”+|/CBN的最小值.

【題型6向量數量積的最值及范圍問題】

【例6】(23-24高二上?北京?期中)已知橢圓M:f+y2=1的上、下頂點為4,8,過點P(0,2)的直線/與橢

圓M相交于兩個不同的點C,D(C在線段PD之間)，則瓦?命的取值范圍為()

A.(-1,16)B.[-1,16]C.(-l,y)D.[-l,y)

【變式6-1](2024?湖北黃石?三模)已知M(出,yo)為雙曲線好—y2=4上的動點，xo>0,y0>0,直線4：

-y°y=4與雙曲線的兩條漸近線交于P,Q兩點(點P在第一象限)，R與Q在同一條漸近線上，則而?麗

的最小值為()

A.—8B.—4C.0D.—2

【變式6-2](2024?福建廈門?二模)已知4(-2,0),5(2,0),P為平面上的一個動點.設直線力P,BP的斜率分

別為口，七，且滿足燈?七=-；記P的軌跡為曲線匚

4

(1)求r的軌跡方程；

(2)直線P4PB分別交動直線x=t于點C,D,過點C作PB的垂線交久軸于點兒近?麗是否存在最大值？若存

在，求出最大值；若不存在，說明理由.

【變式6-3](2023?上海奉賢?一模)已知橢圓《+/=l(a>6>0)的焦距為2舊，離心率為白，橢圓的左

右焦點分別為Fi、F2,直角坐標原點記為。.設點P(O,t),過點P作傾斜角為銳角的直線，與橢圓交于不同的

兩點8、C.

(1)求橢圓的方程；

(2)設橢圓上有一動點T,求可?(花-花)的取值范圍；

(3)設線段BC的中點為M,當t2迎時，判別橢圓上是否存在點Q,使得非零向量而與向量而平行，請說明

理由.

【題型7參數的取值范圍問題】

22_

【例7】(23-24高二上?北京平谷?期末)已知橢圓。%+%=19>6>0)的左右頂點距離為2返，離心率

為當

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設過點(0,1),斜率存在且不為0的直線2與橢圓。交于4B兩點，求弦垂直平分線的縱截距的取值范圍.

【變式7-1](2024?浙江溫州?一模)已知拋物線/=4y的焦點為F,拋物線上的點久無。,即)處的切線為人

⑴求2的方程(用出,%表示);

(2)若直線，與y軸交于點B,直線4F與拋物線交于點C,若乙4cB為鈍角，求y0的取值范圍.

22

【變式7-2](2024?江西宜春?模擬預測)已知雙曲線。a一3=1(。>0,6>0)的焦距為逐，過點P(0,l)

的直線，與C交于48兩點,且當I與x軸平行時，\AB\=2V3.

(1)求C的方程；

(2)記C的右頂點為T,若點43均在C的左支上，直線分別與y軸交于點且麗=APO,PN=麗,

求4+〃的取值范圍.

22

【變式7-3］（2024?安徽淮北?二模）如圖，已知橢圓「:云+宏=1,（。>8>0）的左右焦點為％/2，短軸長

為6,4為「上一點，6（13）為4”1/2的重心?

（1）求橢圓「的方程；

⑵橢圓「上不同三點B,C,D,滿足CF2,OF2,且IB&I/CFZI/DFZI成等差數列，線段BD中垂線交y軸于E點,

求點E縱坐標的取值范圍；

（3）直線Z:y=kx—2與「交于M,N點，交y軸于P點，若麗=4而，求實數4的取值范圍.

?過關測試

一、單選題

1.（2024?山東泰安?模擬預測）已知點M在橢圓C:/+9=1上，％,%是該橢圓的兩個焦點，貝UIMF/2+

的最小值為（）

A.9B.12C.16D.18

2.（2024?四川成都?三模）已知點P,Q分別是拋物線C:y2=4x和圓E:/+y2一10尤+21=0上的動點，若

拋物線C的焦點為F,則2|PQ|+|QF|的最小值為（）

A.6B.2+2而C.4V3D.4+2遮

22

3.（2024?全國?模擬預測）已知橢圓「京+患=l（a>b>0）的左、右焦點分別為％,F?，點P在橢圓「上，

且西?配=0.若耨€[1,3],則橢圓「的離心率的取值范圍是（）

修21

A.原1）B.性用C.圖D.[14-2V3]

4.（2024?西藏林芝?模擬預測）已知拋物線產=8%上一點P到準線的距離為到直線，:4久-3y+12=0

的距離為d2,則由+6;2的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

5.（2024?廣東梅州?二模）已知點歹為雙曲線C：J—y2=1的右焦點，點N在x軸上（非雙曲線頂點），

若對于在雙曲線。上（除頂點外）任一點尸，NFPN恒是銳角，則點N的橫坐標的取值范圍為（）

C.（V3,2）U（2,y）D.（V3,y）

6.（2024?全國?模擬預測）已知。為坐標原點，直線=kx+?n（k>0）與雙曲線好一看=1相交且只有

一個交點，與橢圓卷+*=1交于〃，N兩點，則AOMN面積的最大值為（）

2516

A.10B.12C.14D.16

7.（2024?全國?模擬預測）已知點4-2,2）為拋物線C:/=2py上一點，P為C上不同于點4的一個動點，過

P作P4的垂線與C交于另一點B,則點B的橫坐標的取值范圍是（）

A.（―8,-6]U[2,+8）B.（一8,-2）U[6,+8）

C.（一8,—6）U（2,+oo）D.（—8,—2）U（6,+oo）

8.（2024?全國?模擬預測）已知雙曲線。5一/=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為%,F2,\F1F2\=4,

且C的一條漸近線與直線I:舊x—y+1=0平行.A,B,D,E分別是C在第一、二、三、四象限內的四點，

且四邊形ABDE是平行四邊形.若4E,尸2三點共線，則△力DE面積的最小值為（）

A.12B.24C.16D.8

二、多選題

9.（2024?全國?模擬預測）已知雙曲線。弓一步=1的右焦點為R動點跖N在直線/：尤=,上，且FM1FN,

線段FM,FN分別交C于P,。兩點，過尸作/的垂線，垂足為R.設△FMN的面積為Si，的面積為S2,

則（）

A.Si的最小值為:B.黑

zI卜kIz

C.篇黑為定值D.2的最小值為2聲

10.（2024?湖北?模擬預測）已知拋物線/=2py（p>0）的焦點為尸，過點尸的直線/與拋物線交于/、B

兩點（點/在第一象限），去與離的等差中項為：拋物線在點/、8處的切線交于點M,過點M且垂直

\FA\\FB\2

于y軸的直線與》軸交于點N,。為坐標原點，尸為拋物線上一點，則下列說法正確的是（）

A.p=lB.tan乙4。8的最大值為一（

C.震的最大值為&D.|M*2+|MB|2的最小值為16

IP尸I

2

11.（2024?河南南陽?模擬預測）已知橢圓勿:一v+y2=1,點分別為W的左、右焦點，點C,。分別為加

的左、右頂點，過原點且斜率不為0的直線I與W交于4B兩點，直線A&與W交于另一點M,則（）

A.W的離心率為當

B.|441的最小值為2—百

C.加上存在一點P,使NCPD=y

D.△4BM面積的最大值為2

三、填空題

12.（2024?遼寧錦州?模擬預測）在平面直角坐標系宜》中，已知雙曲線M:?-y?=1經過點力（2,1）,點B

與點力關于原點對稱，C為M上一動點，且C異于4B兩點.若aBCr的重心為4點D（8,4）,則|D7|的最小

值.

2-

13.（2024?安徽?一模）橢圓C：vy+y2=1的左右焦點分別為尸2，點河為其上的動點?當4尸1”92為鈍

角時，點M的橫坐標的取值范圍是.

14.（2024?全國?模擬預測）已知直線t久一y-t=0（0<t<1）過拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點F,且與

C交于點4B,過線段的中點。作直線x=-1的垂線，垂足為E,記直線的斜率分別為口北2，七，

則的七口的取值范圍是.

四、解答題

15.（2024?新疆?二模）已知橢圓。卷+，=l（a>b>0）的左