圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題（學生版）-2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）

重難點33圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題【八大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1直線過定點問題】.....................................................................2

【題型2存在定點滿足某條件問題】............................................................3

【題型3面積定值問題】.......................................................................5

【題型4斜率的和差商積定值問題】............................................................6

【題型5向量數(shù)量積定值問題】.................................................................8

【題型6線段定值問題】.......................................................................9

【題型7角度定值問題】......................................................................10

【題型8動點在定直線上問題】................................................................12

?命題規(guī)律

1、圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題

圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題是高考的重點、熱點內容，從近幾年的高考情況來看，此類問

題考查頻率較高，此類問題一般有直線過定點問題、滿足某條件的定點問題、定值問題以及定直線問題等,

主要在解答題中考查，選擇、填空題中考查較少，在解答題中考查時綜合性強，難度較高.

?方法技巧總結

【知識點1圓錐曲線中的定點、定值問題】

1.圓錐曲線中的定點、定值問題

圓錐曲線中的定點定值問題一般與圓錐曲線的基本量和題設條件中的給定的點或值有關，曲線過定點

問題以直線過定點居多，定點問題其實也可以歸結到定值問題(定點的橫縱坐標為定值).這類問題用函數(shù)的思

想方法來處理，具體操作流程如下：

(1)變量一一選擇合適的參變量；

(2)函數(shù)一一要證明為定值的量表示出參數(shù)的函數(shù)；

(3)定值一一化簡函數(shù)解析式，消去參數(shù)得定值.

一些存在性問題，是否存在定點使得某一個量為定值，是否存在定值使得某一量為定值，是否存在定

點使得曲線過定點，是否存在定值使得曲線過定點，可以看做定點定值問題的延伸.

2.定點問題的求解思路：

一是從特殊入手，求出定點，再證明這個點與變量無關；

二是直接推理、計算，并在計算過程中消去變量，從而得到定點.

3.過定點問題的兩大類型及解法

(1)動直線/過定點問題

解法:設動直線方程(斜率存在)為y-kx+t,由題設條件將，用人表示為t-mk+n,得y=k[x+m)+

n,故動直線過定點(-m,ri)；

(2)動曲線。過定點問題

解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點.

4.定值問題的求解思路：

將問題涉及的幾何式轉化為代數(shù)式或三角式，證明該式的值與參數(shù)無關.

5.求解定值問題的三個步驟

(1)由特例得出一個值，此值一般就是定值；

(2)證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)

無關；也可令系數(shù)等于零，得出定值；

⑶得出結論.

【知識點2圓錐曲線中的定直線問題】

1.圓錐曲線中的定直線問題

定直線問題是指因圖形變化或點的移動而產生的動點在定直線上的問題.這類問題的核心在于確定定點

的軌跡，主要方法有：

(1)設點法：設點的軌跡，通過已知點軌跡，消去參數(shù)，從而得到軌跡方程；

(2)待定系數(shù)法：設出含參數(shù)的直線方程、待定系數(shù)法求解出系數(shù)；

(3)驗證法：通過特殊點位置求出直線方程，對一般位置再進行驗證.

?舉一反三

【題型1直線過定點問題】

22

【例1】(2024?河南周口?模擬預測)已知橢圓+患=l(a>b>0)的焦距為2,不經(jīng)過坐標原點。且斜

率為1的直線[與C交于P,。兩點，力為線段的中點，直線。力的斜率為-去

⑴求橢圓C的方程；

(2)設B(2,0),直線尸3與C的另一個交點為M,直線。8與C的另一個交點為N,其中M,N均不為橢圓C的頂

點，證明：直線過定點.

22

【變式1-1](2024?江西九江?二模)已知雙曲線。a―左=19>0,8>0)的離心率為百，點「(3,4)在。上.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)直線/與雙曲線C交于不同的兩點A,B,若直線24,P8的斜率互為倒數(shù)，證明：直線2過定點.

【變式1-2](2024?云南?模擬預測)拋物線「:必=2Px(p>0)的圖象經(jīng)過點M(l,-2),焦點為F,過點F

且傾斜角為。的直線I與拋物線「交于點A,B,如圖.

(1)求拋物線r的標準方程；

(2)當8=三時，求弦|4B|的長；

(3)已知點P(2,0),直線AP,BP分別與拋物線「交于點C,D.證明：直線CD過定點.

【變式1-3](2024?貴州貴陽?二模)已知橢圓E的一個焦點是(—值,0).直線Gy=以光+為與直線%：y=

k2x+電關于直線，：y=x+1對稱，且相交于橢圓E的上頂點.

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)求上水2的值；

(3)設直線匕,％分別與橢圓E另交于P,Q兩點，證明：直線PQ過定點.

【題型2存在定點滿足某條件問題】

【例2】(2024?新疆喀什?三模)已知雙曲線E：久2一3y2=3的左、右焦點分別為％,尻，4是直線八y=一￡比

(其中a是實半軸長，c是半焦距)上不同于原點。的一個動點，斜率為好的直線4％與雙曲線E交于M,N

兩點，斜率為七的直線力七與雙曲線E交于P,Q兩點.

(1)求!+5的值；

kik2

(2)若直線。M,ON,OP9OQ的斜率分別為々OM，k°N，k°p,k°Q，問是否存在點4滿足/COM+々ON+^OP+kOQ=

0,若存在，求出/點坐標；若不存在，說明理由.

【變式2-1](2024?陜西榆林?模擬預測)已知橢圓C：《+/=l(a>6>0)的左，右焦點分別為％(-c,0),

F2(C,0),過戶2的直線與橢圓。交于M，N兩點，且△MNF1的周長為8,△MF/2的最大面積為8.

(1)求橢圓。的方程；

(2)設b>l,是否存在x軸上的定點P,使得△PMN的內心在x軸上，若存在，求出點尸的坐標，若不存在,

請說明理由.

【變式2-2](2024?四川雅安?一模)已知。為坐標原點，過點P(2,0)的動直線/與拋物線=4x相交于A,B

兩點.

⑴求祝福

(2)在平面直角坐標系久。y中，是否存在不同于點P的定點Q,使得N4QP=NBQP恒成立？若存在，求出點Q

的坐標；若不存在，請說明理由.

【變式2-3](2024?全國?模擬預測)在平面直角坐標系中，點(3,魚)在雙曲線C$—，=l(a>0,b>0)

上，漸近線方程為x-By=0.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過點「(聲,1)作直線/與雙曲線C交于48兩點，在x軸上是否存在一定點Q,使得直線Q4與QB的斜率之和

為定值？若存在，請求出點Q的坐標及定值；若不存在，請說明理由.

【題型3面積定值問題】

【例3】⑵-24高二下?貴州遵義?期中)已知雙曲線C:5—r=l(a>0,b>0)的離心率為爭虛軸長為2百.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若動直線/與雙曲線C恰有1個公共點，且分別與雙曲線。的兩條漸近線交于尸，0兩點，。為坐標原

點，證明：的面積為定值.

22

【變式3-1](2024?江蘇蘇州?模擬預測)已知橢圓y:^2+^=l(a>b>0),y與圓x?+y?=a?-/在

第一、第二象限分別交于。、P兩點，且滿足NPOQ=9PQ=1,

(1)求橢圓y的標準方程；

(2)/是橢圓上的一點，若存在橢圓的弦BC使得OA"BC,OA=BC,求證:四邊形CU8C的面積為定值.

【變式3-2](2024?廣東廣州?模擬預測)己知4(-1,0),8(1,0),平面上有動點P,且直線力P的斜率與直線8P

的斜率之積為1.

⑴求動點P的軌跡Q的方程.

(2)過點N的直線與。交于點M(M在第一象限)，過點B的直線與。交于點N(N在第三象限)，記直線AM,

BN的斜率分別為自，k2,且的=4的.試判斷△力MN與△BMN的面積之比是否為定值，若為定值，請求出

該定值；若不為定值，請說明理由.

【變式3-3](2024?河北衡水?三模)已知拋物線C:/=2py(p>0)的焦點為尸，過F且傾斜角為5的直線，與C

交于4B兩點.直線k,6與C相切，切點分別為4B,",辦與》軸的交點分別為。，E兩點，且|DE|=竽.

(1)求C的方程；

(2)若點P為C上一動點(與A,B及坐標原點均不重合)，直線&與C相切，切點為P,%與iG的交點分別為

G,H.記△DFG,△EFH的面積分別為Si，S2.

①請問：以G,H為直徑的圓是否過定點？若過定點，求出該定點坐標；若不過定點，請說明理由；

②證明：名為定值.

*

【題型4斜率的和差商積定值問題】

【例4】(2024?陜西西安?模擬預測)已知橢圓。9+/=15>6>0)的離心率為,，橢圓上的點到焦點的

距離的最大值為3.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設4,3兩點為橢圓C的左、右頂點，點尸(異于左、右頂點)為橢圓C上一動點，直線E4,PB的斜率

分別為均,k2,求證：曲?七為定值.

【變式4-1](2024?浙江紹興?三模)設雙曲線C：5一3=1(a>0,b>0)的一條漸近線為x-3y=0,

焦點到漸近線的距離為1.4分別為雙曲線C的左、右頂點，直線，過點7(2,0)交雙曲線于點M,N,記

直線N4的斜率為即，k2.

⑴求雙曲線C的方程；

(2)求證的定值.

【變式4-2](2024?全國?模擬預測)已知雙曲線C:5一，=l(a>0,6>0)的離心率為右且點(—4位,3)

在雙曲線C上.

(1)求雙曲線C的標準方程.

(2)過點P(0,l)的直線，與雙曲線C的左、右兩支分別交于點4,8.問：在y軸上是否存在定點Q,使直線力Q與8Q

的斜率之和為定值？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

【變式4-3](2024?天津濱海新?三模)已知橢圓M：4+S=1(a>b〉0)的離心率為14B分別為橢圓

的左頂點和上頂點，F(xiàn)i為左焦點，且△F"B的面積為日.

(1)求橢圓M的標準方程；

(2)設橢圓M的右頂點為C,P是橢圓M上不與頂點重合的動點.

①若點P(l,yo)Wo>0)，點。在橢圓M上且位于乂軸下方，設△力PC和△DPC的面積分別為SrS2.若Si—S2=

求點。的坐標；

②若直線與直線CP交于點Q,直線8P交x軸于點N,設直線QN和直線QC的斜率為%v，kQC,求證：2kQN-

%c為定值，并求出此定值.

【題型5向量數(shù)量積定值問題】

【例5】(23-24高三上?天津河北?期末)設橢圓￡■：5+，=l(a>b>0)的左右焦點分別為％,尸2，短軸的

兩個端點為4B,且四邊形尸遇尸28是邊長為2的正方形.C,。分別是橢圓的左右頂點，動點M滿足MD1CD,

連接CM,交橢圓E于點P.

⑴求橢圓E的方程；

(2)求證：麗?赤為定值.

【變式5-1](23-24高三上?上海嘉定?階段練習)已知雙曲線C的中心在原點，是它的一個頂點2=

(1,夜)是它的一條漸近線的一個方向向量.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)設P(0,l),M為雙曲線右支上動點，當取得最小時，求四邊形?！靶〉拿娣e；

(3)若過點(一3,0)任意作一條直線與雙曲線。交于/,3兩點(4,3都不同于點。)，求證:五5?9為定值.

【變式5-2](2024?河北保定?三模)設橢圓C：；+/=1(0<。(位)的左、右頂點和橢圓1:(+9=1

的左、右焦點均為￡,足尸是C上的一個動點(異于￡,F),已知直線￡尸交直線小刀=近于點/,直線

尸尸交直線%：久=一位于點區(qū)直線43與橢圓「交于點N,。為坐標原點.

(1)若6為定值，證明：瓦5?旗為定值；

(2)若直線OM,ON的斜率之積恒為求6.

【變式5-3](2024?河北石家莊?二模)已知M為平面上一個動點，M到定直線x=1的距離與到定點尸(2,0)

距離的比等于弓，記動點M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)過點F的直線/與曲線C交于4B兩點，在x軸上是否存在點P,使得方?麗為定值？若存在，求出該定值;

若不存在，請說明理由.

【題型6線段定值問題】

22

【例6】(2024?河南濮陽?模擬預測)已知雙曲線。a―左=19>0/>0),%,尸2分別是。的左、右焦點.若

C的離心率e=2,且點(4,6)在C上.

(1)求C的方程；

(2)若過點出的直線，與C的左、右兩支分別交于4B兩點，與拋物線y2=16x交于P,Q兩點，試問是否存在常

數(shù)人使得三-1為定值？若存在，求出常數(shù)4的值；若不存在，請說明理由.

【變式6-1](2024?山東荷澤?模擬預測)已知橢圓。5+《=19>?！?)的左、右焦點分別為％,%，點

4(百,1)在橢圓C上，點B與點力關于原點對稱，四邊形力F/F2的面積為4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線-=0與橢圓C交于P,Q兩點.與x軸交于點N.試判斷是否存在n€(-返,通)，使得

W+與為定值？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由?

【變式6-2]（2024?四川內江?三模）已知拋物線E的準線方程為：x=-l,過焦點尸的直線與拋物線E交

于/、8兩點,分別過/、3兩點作拋物線E的切線，兩條切線分別與〉軸交于C、D兩點,直線C尸與拋

物線￡交于M、N兩點，直線。尸與拋物線￡交于尸、。兩點.

（1）求拋物線E的標準方程;

⑵證明：高+高為定值?

【變式6-3]（2024?全國?模擬預測）己知雙曲線”:會-儼=1的左、右焦點分別為Fi，尸2,左、右頂點分

別為&,42，橢圓E以40為為焦點，以FiB為長軸.

（1）求橢圓E的離心率；

（2）設點71）滿足機2<4n2,過M且與雙曲線H的漸近線平行的兩直線分別交H于點P,Q,過M且與PQ

平行的直線交H的漸近線于點S,T.證明：野為定值，并求出此定值.

【題型7角度定值問題】

【例7】（2024?山西?三模）已知拋物線5:y=20％。>0）的焦點尸到準線的距離為2,。為坐標原點.

(1)求E的方程；

(2)已知點r(t,O),若E上存在一點P,使得麗?時=—1,求才的取值范圍；

(3)過M(—4,0)的直線交￡于4,8兩點，過N(—4,4b)的直線交￡于4C兩點，B,C位于x軸的同側,

證明：4BOC為定值.

【變式7-11(23-24高三下?云南昆明?階段練習)平面上一動點PQ:,y)滿足-2尸+信_+2)2+y2=

2.

(1)求尸點軌跡r的方程；

⑵已知4(一2,0),B(l,0),延長口交「于點。，求實數(shù)%使得NPAB=m/PB力恒成立，并證明：乙PBQ為定

值

【變式7-2](2024?全國?模擬預測)在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C:/一9=1的右焦點為吃a,4

分別為雙曲線C的左、右頂點，過F的直線I與C的右支相交于點M,N.

(1)若直線A1MaN分別與線段。42的垂直平分線相交于點RQ，求麗?麗的值.

(2)當直線/任意旋轉時，試問：鐺是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

【變式7-3](2024?浙江寧波?二模)已知雙曲線。產一支2=1,上頂點為。，直線/與雙曲線。的兩支分別交

于4B兩點在第一象限),與x軸交于點T.設直線的傾斜角分別為a,0.

(1)若7停,0),

(i)若4(0,-1),求伙

(ii)求證：a+0為定值；

(2)若0=/直線與x軸交于點E,求△8ET與△力DT的外接圓半徑之比的最大值.

【題型8動點在定直線上問題】

【例8】(2024?北京?三模)已知橢圓5:5+/=19>6>0)的短軸長為2百，左、右頂點分別為C,D,過

右焦點F(l,0)的直線2交橢圓E于4B兩點(不與C,D重合),直線力C與直線BD交于點T.

(1)求橢圓E的方程；

(2)求證：點T在定直線上.

【變式8-1](2024?湖南婁底?一模)若拋物線r的方程為必=4無，焦點為F,設P,Q是拋物線「上兩個不同

的動點.

(1)若|PF|=3,求直線PF的斜率；

(2)設PQ中點為R,若直線PQ斜率為乎，證明R在一條定直線上.

22

【變式8-2](2024?河北衡水?模擬預測)已知橢圓。京+力=l(a>b>0)的左、右焦點分別為尸口的，

是C上一點，且點M到點％,4的距離之和為2倔

⑴求C的方程；

（2）斜率為京勺直線1與C交于48兩點，則的外心是否在一條定直線上？若在，求出該直線的方程；若

不在，請說明理由.

【變式8-3］（2024?貴州遵義?一模）已知雙曲線C:5—（a〉0,b〉0）的左、右焦點分別為％,F2,

直線y=3與C的左、右兩支分別交于M,N兩點，四邊形MF1F2N為矩形，且面積為12.

（1）求四邊形MFIBN的外接圓方程；

（2）設4B為C的左、右頂點，直線/過點（一3,0）與C交于P,Q兩點（異于力，B）,直線4P與BQ交于點R,

證明：點R在定直線上.

?過關測試

一、單選題

1.（2024?山東?模擬預測）已知拋物線C：x2=4y,過直線＞支+2y=4上的動點P可作C的兩條切線，記

切點為4B,則直線（）

A,斜率為2B.斜率為±2C.恒過點（0,-2）D.恒過點（一1,一2）

2.（2024?河南信陽?模擬預測）已知橢圓C：J+y2=1的下頂點為/,斜率不為0的直線1與C交于3,

。兩點，記線段BD的中點為E,若4EJLBD,貝（］（）

A.點E在定直線丫=1上B.點E在定直線y=［上

C.點￡在定直線y=|上D.點E在定直線y=［上

3.（23-24高二上?上海浦東新?期末）已知雙曲線r：-q=1,點尸為曲線「在第三象限一個動點，以下

兩個命題，則（）

①點P到雙曲線兩條漸近線的距離為心，d2,貝!Id「d2為定值.

②已知N、8是雙曲線上關于原點對稱不同于P的兩個點，若以、P8的斜率存在且分別為的，k2,則的42

為定值.

A.①真②真B.①假②真

C.①真②假D.①假②假

4.（2024?江蘇南通?模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓日+￡=1的左、右頂點為/、

2,右焦點為尸.設過點T（9,zn）的直線小、竊與此橢圓分別交于點其中爪>0,yi>0,y2<

0.則直線MN必過一定點的坐標為（）

C.（0,-1）D.（0,1）

5.（2024?甘肅定西?一模）己知橢圓C:5+y2=1）的離心率為圣P是C上任意一點，。為坐標原點，

P到無軸的距離為d,則（）

A.4|OP|2—d2為定值B.3|OP|2—d2為定值

C.|OP『+4d2為定值D.|OP『+3d2為定值

6.（2024?湖南長沙?二模）已知力、B分別為雙曲線。/一］=1的左、右頂點，過雙曲線C的左焦點尸作直

線PQ交雙曲線于P、Q兩點（點P、Q異于4B）,則直線AP、BQ的斜率之比以P：MQ=（）

123

A.--B.--C.-3D.--

332

7.（23-24高三下?河南鄭州?階段練習）已知曲線C:y4=>0）與直線y=2x+4有3個公共點，點4、B

是曲線C上關于y軸對稱的兩動點（點2在第一象限），點M、N是工軸上關于原點對稱的兩定點（點M在x軸

正半軸上），若-—|BN|為定值，則該定值為（）

A.8B.16C.-8D.-16

8.（2024?黑龍江哈爾濱?二模）如圖，P,M,Q,N是拋物線日產=鈦上的四個點（P,M在x軸上方，Q,

N在x軸下方），已知直線P。與兒W的斜率分別為-亨和2,且直線尸。與血W相交于點G,則黑瑞=（）

二、多選題

9.（2024?全國?模擬預測）已知雙曲線。?一步=1的右焦點為F,動點M,N在直線x=|上，且FM1FN,

線段FM交C于點P,過P作用勺垂線，垂足為R,則（）

A.NMN的面積B.鼠=苧

C.\MR\■\HN\=\FH\■\PR\D.耨喘為定值

10.（2024?江蘇蘇州?模擬預測）對于拋物線y.y2=2px,（p>0）,F是它的焦點，y的準線與x軸交于T,

過點T作斜率為k（k>0）的直線與/依次交于3、/兩點，使得恰有BT-BF=0,下列說法正確的是（）

A.k是定值，p不是定值

B.k不是定值，p也不是定值

C.A,B兩點橫坐標乘積為定值

D.記48中點為則M和/橫坐標之比為定值

11.（2024?浙江金華?模擬預測）已知橢圓^+產=1,。為原點，過第一象限內橢圓外一點P（久o，y（））作橢圓

的兩條切線，切點分別為4B.記直線O4OB,P4PB的斜率分別為的也也也，若七?七=1，則（）

A.直線4B過定點B.（備+0）,（6+電）為定值

C.&一如的最大值為2D.5殉—3y（）的最小值為4

三、填空題

12.（2024?四川宜賓?二模）已知產為拋物線C:/=—8y的焦點，過直線/:y=4上的動點M作拋物線的切線,

切點分別是P,Q,則直線PQ過定點.

13.（2024?四川?模擬預測）已知點4