新情景、新定義下的數(shù)列問(wèn)題（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)17新情景、新定義下的數(shù)列問(wèn)題【七大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1數(shù)列中的新概念】.....................................................................?

【題型2數(shù)列中的新運(yùn)算】.....................................................................2

【題型3數(shù)列新情景問(wèn)題】.....................................................................3

【題型4以數(shù)列和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系定義新數(shù)列】....................................................4

【題型5數(shù)列定義新性質(zhì)問(wèn)題】.................................................................5

【題型6牛頓數(shù)列問(wèn)題】.......................................................................7

【題型7數(shù)列中的新定義問(wèn)題】.................................................................9

?命題規(guī)律

1、新情景、新定義下的數(shù)列問(wèn)題

數(shù)列是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，屬于高考的必考內(nèi)容之一,近幾年全國(guó)各地高考試題，我們總能在試卷的壓軸

題位置發(fā)現(xiàn)新定義數(shù)列題的身影，它們對(duì)數(shù)列綜合問(wèn)題的考查常常以新定義、新構(gòu)造和新情景形式呈現(xiàn)，

有時(shí)還伴隨著數(shù)列與集合，難度較大，需要靈活求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1數(shù)列中的新概念】

1.數(shù)列中的新概念問(wèn)題的解題策略：

通過(guò)創(chuàng)新概念，以集合、函數(shù)、數(shù)列等的常規(guī)知識(shí)為問(wèn)題背景，直接利用創(chuàng)新概念的內(nèi)涵來(lái)構(gòu)造相應(yīng)

的關(guān)系式(或不等式等)，結(jié)合相關(guān)知識(shí)中的性質(zhì)、公式來(lái)綜合與應(yīng)用.

【知識(shí)點(diǎn)2數(shù)列的新定義、新情景問(wèn)題】

1.數(shù)列的新定義、新情景問(wèn)題的求解策略

(1)新定義問(wèn)題：遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的

要求，“照章辦事”，逐條分析，運(yùn)算，驗(yàn)證，使得問(wèn)題得以解決.

(2)新情景問(wèn)題：通過(guò)給出一個(gè)新的數(shù)列的概念，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)新問(wèn)

題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，

達(dá)到靈活解題的目的.

?舉一反三

【題型1數(shù)列中的新概念】

【例1】(2024?四川南充?三模)對(duì)于數(shù)列｛an｝,規(guī)定A冊(cè)為數(shù)列｛an｝的一階差分,其中A%=an+1-an[neN*),

fc-1

規(guī)定屋冊(cè)為數(shù)列｛時(shí)｝的階k差分，其中屋與=屋Tan+i-Aan(n€N*).若an=⑵'則()

A.7B.9C.11D.13

【變式1-1］（2024?湖北武漢?三模）將12按照某種順序排成一列得到數(shù)列｛冊(cè)｝，對(duì)任意U<j￡n,

如果%>%,那么稱數(shù)對(duì)（即%）構(gòu)成數(shù)列｛冊(cè)｝的一個(gè)逆序?qū)?若九=4,則恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列｛冊(cè)｝的個(gè)數(shù)

為（）

A.4B.5C.6D.7

【變式1-2］（23-24高三上?安徽合肥?階段練習(xí)）數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一個(gè)

數(shù)列｛冊(cè)｝：1,1,2,3,5,8…，其中從第3項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)之和，即的=%=1，

冊(cè)+2=。九+1+Q九，這樣的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”.若麗=2（。3+。6+。9+…+。174）+1，則血=（）

A.175B.176C.177D.178

【變式1-3］（2024?全國(guó)?高考真題）0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列臼4…即…滿足^

｛0,l］（i=1,2,…）,且存在正整數(shù)TH,使得見+血==12…）成立,則稱其為0-1周期序列，并稱滿足%+7n=

a?=12…）的最小正整數(shù)zn為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周期為m的0-1序列的的…斯…，C（k）=

5￡21?；?左（卜=1,2,…,小一1）是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足C（k）<］（k=

1,2,3,4）的序列是（）

A.11010---B.11011---C.10001---D.11001--

【題型2數(shù)列中的新運(yùn)算】

【例2】（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）“角谷猜想”首先流傳于美國(guó)，不久便傳到歐洲，后來(lái)一位名叫角谷靜夫的

日本人又把它帶到亞洲I,因而人們就順勢(shì)把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一個(gè)正整數(shù)，如果是奇數(shù)就

乘以3再加1,如果是偶數(shù)就除以2,這樣經(jīng)過(guò)若干次運(yùn)算，最終回到1.對(duì)任意正整數(shù)a0，按照上述規(guī)則實(shí)

施第九次運(yùn)算的結(jié)果為。式?1€N）,若=1,且。&=1,2,3,4）均不為1,則劭=（）

A.5或16B.5或32

C.5或16或4D.5或32或4

【變式2-1］（2023?北京延慶?一模）數(shù)列｛an｝中，an=logn+1（n+2）（nGN*）,定義：使的?a2....以

為整數(shù)的數(shù)k（k€N*）叫做期盼數(shù)，則區(qū)間［1,2023］內(nèi)的所有期盼數(shù)的和等于（）

A.2023B.2024C.2025D.2026

【變式2-2］（2024?上海寶山,二模）將正整數(shù)n分解為兩個(gè)正整數(shù)的、七的積，即九二上廣的，當(dāng)自、七兩

數(shù)差的絕對(duì)值最小時(shí)，我們稱其為最優(yōu)分解.如20=1x20=2x10=4x5,其中4、5即為20的最優(yōu)分

解，當(dāng)?shù)摹?是n的最優(yōu)分解時(shí)，定義/（>）=也一的|,則數(shù)歹式/（5枚）｝的前2023項(xiàng)的和為（）

A.51012B.51°12—1c.52023口.52023-1

【變式2-3]（2023?河南安陽(yáng)?二模）如果有窮數(shù)列的,做，的，…，（冽為正整數(shù)）滿足條件的“6=3

=3…，am'ar=t,即口__計(jì)1=力（，為常數(shù)）（i=1,2,…,?n）,則稱其為“倒序等積數(shù)列”.例

如，數(shù)列8,4,2,i,4是“倒序等積數(shù)列”.已知｛%｝是80項(xiàng)的“倒序等積數(shù)列“，t=2,且C41，c42,

C80是公比為2,C80=2的等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛10g27｝的前〃項(xiàng)和為sn,則S50=（）.

A.210B.445C.780D.1225

【題型3數(shù)列新情景問(wèn)題】

【例3】（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）九連環(huán)是我國(guó)古代至今廣為流傳的一種益智游戲，最早記載九連環(huán)的典籍

是《戰(zhàn)國(guó)策?齊策》，《紅樓夢(mèng)》第7回中有林黛玉解九連環(huán)的記載，我國(guó)古人已經(jīng)研究出取下"個(gè)圓環(huán)所

需的最少步驟數(shù)M，且臼=1,a2-2,a3-5,a4=10,a5-21,a6-42,則取下全部9個(gè)圓環(huán)步

驟數(shù)最少為（）

A.127B.256C.341D.512

【變式3-1]（23-24高二上?江蘇南通?期中）折紙與剪紙是一種用紙張折成或剪成各種不同形狀的藝術(shù)活動(dòng),

是我們中華民族的傳統(tǒng)文化，歷史悠久，內(nèi)涵博大精深，世代傳承.現(xiàn)將一張腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形

紙，每次對(duì)折后仍成等腰直角三角形，對(duì)折5次，然后用剪刀剪下其內(nèi)切圓，則可得到若干個(gè)相同的圓片

紙，這些圓片紙的半徑為（）

A?生1B.上史C.避D.i

8888

【變式3-2]（2023?安徽宿州?一模）我國(guó)《洛書》中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方，如圖所示，將1,2,

3,9填入3x3的方格內(nèi)，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和都相等，便得到一個(gè)3階幻方.一

般地，將連續(xù)的正整數(shù)1,2,3,足填入幾乂幾個(gè)方格中，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和都

相等，這個(gè)正方形叫作〃階幻方.記〃階幻方的數(shù)的和（即方格內(nèi)的所有數(shù)的和）為Sn，如S3=45,那么

下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

洛書幻方

492

357

816

A.S6=666

B.7階幻方第4行第4列的數(shù)字可以為25

C.8階幻方每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和均為260

D.9階幻方每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和均為396

【變式3-3](23-24高二下?山東?階段練習(xí))某軟件研發(fā)公司對(duì)某軟件進(jìn)行升級(jí)，主要是軟件程序中的某序

列力=｛的,。2，。3,…｝重新編輯，編輯新序列為力*=它的第n項(xiàng)為如若序列(A*)*的所有項(xiàng)都

a2a3)

是3,且的=1，即=27,則的=()

1I11

A.-B.—C.-D.—

92781243

【題型4以數(shù)列和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系定義新數(shù)列】

【例4】(2024?江西南昌?三模)給定數(shù)列｛4n｝,若對(duì)任意相，鹿€可*且血不n，4n+4^｛4J中的項(xiàng)，則

稱｛4｝為“以數(shù)列”?設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為5n.

(1)若%=*+n，試判斷數(shù)列｛%｝是否為“〃數(shù)列”，并說(shuō)明理由；

(2)設(shè)｛%｝既是等差數(shù)列又是數(shù)列”,且的=6,a2eN\a2>6,求公差?的所有可能值;

(3)設(shè)｛%｝是等差數(shù)列，且對(duì)任意neN*,5^是｛an｝中的項(xiàng)，求證：｛an｝是“〃數(shù)列”.

【變式4-1](2024?陜西?三模)數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)的最大值記為Mn,即/=maxQ,an｝；前n項(xiàng)的最

小值記為小八，即win=min｛ai，a2,…，％｝,令pn=Mn-nin，并將數(shù)列｛pj稱為｛冊(cè)｝的“生成數(shù)列

(1)設(shè)數(shù)列｛pn｝的“生成數(shù)歹U”為｛qj，求證：Pn=<7n；

(2)若％=2相-3n,求其生成數(shù)列｛pj的前n項(xiàng)和.

【變式4-2](2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè))己知數(shù)列｛冊(cè)｝是斐波那契數(shù)列，其數(shù)值為：1,1,2,3,5,8,13,21,34??…

這一數(shù)列以如下遞推的方法定義：的=1,a2=1,an+2=an+i+冊(cè)5eN*).數(shù)列｛6n｝對(duì)于確定的正整

數(shù)k,若存在正整數(shù)"使得玩+n=bk+“成立，則稱數(shù)列｛%｝為”階可分拆數(shù)列”.

(1)已知數(shù)列｛%｝滿足&=nian(n￡N*,租eR).判斷是否對(duì)VzneR,總存在確定的正整數(shù)k,使得數(shù)列

｛%｝為”階可分拆數(shù)列”，并說(shuō)明理由.

(2)設(shè)數(shù)列｛dn｝的前n項(xiàng)和為%=3Ja(a20),

(i)若數(shù)列｛公｝為“1階可分拆數(shù)列”，求出符合條件的實(shí)數(shù)a的值；

(ii)在⑴問(wèn)的前提下，若數(shù)列｛fn｝滿足九=會(huì)，n€N*,其前n項(xiàng)和為友證明：當(dāng)neN*且n>3時(shí),<a[+

避+aj+...+-anan+1+1成立.

【變式4-3](2024?安徽蕪湖?三模)若數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且對(duì)任意的相鄰三項(xiàng)4_1，即&+1，都滿

足<或，則稱該數(shù)列為“對(duì)數(shù)性凸數(shù)列”，若對(duì)任意的相鄰三項(xiàng)為一1，心4+1，都滿足a―i+at+1<2at

則稱該數(shù)列為“凸數(shù)列”.

(1)已知正項(xiàng)數(shù)列｛cn｝是一個(gè)“凸數(shù)列"，且a?=ec”，(其中e為自然常數(shù)，n￡N*),證明：數(shù)列｛%｝是一個(gè)

“對(duì)數(shù)性凸數(shù)列”，且有的的0<a5a6；

(2)若關(guān)于％的函數(shù)/(x)=瓦+與乂+%/+久爐有三個(gè)零點(diǎn)，其中九>0(i=L2,3,4).證明：數(shù)列

b?b2,b3,九是一個(gè)“對(duì)數(shù)性凸數(shù)列”：

(3)設(shè)正項(xiàng)數(shù)列劭,的,…,an是一個(gè)“對(duì)數(shù)性凸數(shù)列”，求證：(擊￡著心)(三￡二%)2

(工。%)(2"

【題型5數(shù)列定義新性質(zhì)問(wèn)題】

【例5】(2024?安徽?三模)已知數(shù)列｛an｝的前"項(xiàng)和為％,若數(shù)列｛%｝滿足：

①數(shù)列｛冊(cè)｝為有窮數(shù)列；

②數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列；

@Vfc>2,kEN*,3p,qEN*,使得以=tip+ciq；

則稱數(shù)列｛an｝具有“和性質(zhì)”.

2

(1)已知S“=n+n(l<n<100),求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式，并判斷數(shù)列｛an｝是否具有“和性質(zhì)”；(判斷是否

具有“和性質(zhì)”時(shí)不必說(shuō)明理由，直接給出結(jié)論)

(2)若首項(xiàng)為1的數(shù)列{%}具有“和性質(zhì)”.

(i)比較an與竽的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(ii)若數(shù)列{%}的末項(xiàng)為36,求SJ勺最小值.

【變式5-1](2024?北京西城?二模)已知數(shù)列力：國(guó),(12,從力中選取第%項(xiàng)、第辦項(xiàng)、…、第限項(xiàng)h<i2<

…。構(gòu)成數(shù)列B稱為力的k項(xiàng)子列.記數(shù)列B的所有項(xiàng)的和為7(B).當(dāng)kN2時(shí)，若B滿足:

對(duì)任意se{l,2,…,k—1},is+i-is=l,則稱B具有性質(zhì)P.規(guī)定：A的任意一項(xiàng)都是力的1項(xiàng)子列，且具有

性質(zhì)P.

(1)當(dāng)n=4時(shí)，比較力的具有性質(zhì)P的子列個(gè)數(shù)與不具有性質(zhì)P的子列個(gè)數(shù)的大小，并說(shuō)明理由；

⑵已知數(shù)列A1,2,3,…，n(n>2).

(i)給定正整數(shù)對(duì)2的k項(xiàng)子列B,求所有T(B)的算術(shù)平均值；

(ii)若2有m個(gè)不同的具有性質(zhì)P的子列為，為,…,8加滿足：V1<i<;<m,與都有公共項(xiàng)，且公共

項(xiàng)構(gòu)成A的具有性質(zhì)P的子列，求小的最大值.

【變式5-2](2024?北京東城?二模)已知An：ai，a2,…,“(幾23)為有窮整數(shù)數(shù)列，若4”滿足:al+1-a,E

{p,q}(i=1,2,…,ri-1)其中p,q是兩個(gè)給定的不同非零整數(shù),且%=an=。，則稱力九具有性質(zhì)T.

(1)若p=-l,q=2,那么是否存在具有性質(zhì)「的Z5?若存在，寫出一個(gè)這樣的45；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)若p=-Lq=2,且a0具有性質(zhì)7,求證：的,。2,…,。9中必有兩項(xiàng)相同；

(3)若p+q=l,求證：存在正整數(shù)k使得對(duì)任意具有性質(zhì)T的4,都有電%…，耿.1中任意兩項(xiàng)均不相同.

【變式5-3](23-24高二下?吉林延邊?期中)記R上的可導(dǎo)函數(shù)代比)的導(dǎo)函數(shù)為八久)，滿足x“+i=x“-

駕5GN*)的數(shù)列｛&｝稱為函數(shù)人比)的“牛頓數(shù)列”.已知數(shù)列｛&｝為函數(shù)/(X)=/一x的牛頓數(shù)列，且數(shù)列

f(xQ

｛冊(cè)｝滿足的=2,a=\n^-,x>1.

nxn-1n

(1)證明數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列并求冊(cè)；

(2)設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和為方,若不等式(一1尸?tsn-14<SW對(duì)任意的neN*恒成立，求t的取值范圍.

【題型6牛頓數(shù)列問(wèn)題】

【例6】(2024?廣東?模擬預(yù)測(cè))定義：任取數(shù)列｛冊(cè)｝中相鄰的兩項(xiàng)，若這兩項(xiàng)之差的絕對(duì)值為1,則稱數(shù)列

&｝具有“性質(zhì)1”.已知項(xiàng)數(shù)為n的數(shù)列5｝的所有項(xiàng)的和為/,且數(shù)列｛冊(cè)｝具有“性質(zhì)1”.

(1)若n=4,且為=0,。4=一1,寫出所有可能的Ma的值；

(2)若的=2024,n=2023,證明：“。2。23=2”是“以>ak+1(k=1,2,…,2022)”的充要條件；

(3)若刖=0,n22,用1=。，證明：n=4m或n=4m+eN*).

【變式6-1](23-24高二下?四川?期中)物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出了“牛頓數(shù)列”,

它在航空航天中應(yīng)用非常廣泛.其定義是：對(duì)于函數(shù)f(x),若滿足(馬+1-久n)/'(Xn)+fOn)=0,則稱數(shù)列

｛/｝為牛頓數(shù)列.已知〃尤)=久4,如圖，在橫坐標(biāo)為無(wú)1=1的點(diǎn)處作八支)的切線，切線與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

為久2,用X2代替打重復(fù)上述過(guò)程得到%3,一直下去，得到數(shù)列｛當(dāng)｝.

ajs))//

/

o\/X3,2.X

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列S%｝的前"項(xiàng)和為Sn,且對(duì)任意的幾€N*,滿足16-4(|)n,求整數(shù)2的最小值；(參考數(shù)

據(jù)：0.94=0.6561,0.95X0.5905,0.96?0.5314,0.97~0.4783)

(3)在⑵的前提下，設(shè)9。)=告小久)，直線y=ax+>0)與曲線y=g(X)有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)

LA.

A(c,d),仇,f),其中c</i,求的值.

【變式6-2](2024?廣東韶關(guān)?二模)記R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為/'(久)，滿足/+I=今—察(n€N*)

f(xn)

的數(shù)列｛xn｝稱為函數(shù)/(%)的“牛頓數(shù)列”.已知數(shù)列｛&｝為函數(shù)/0)=/-X的牛頓數(shù)列，且數(shù)列｛冊(cè)｝滿足的=

2,n=In——,x>1.

nx“一1n

⑴求。2；

(2)證明數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列并求時(shí)；

n

(3)設(shè)數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和為Sn，若不等式(-l)-tSn-14<S應(yīng)對(duì)任意的nGN*恒成立，求t的取值范圍.

【變式6-3](23-24高二上?浙江紹興?期末)物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出了“牛頓

數(shù)列”，它在航空航天中應(yīng)用非常廣泛.其定義是：對(duì)于函數(shù)/(久)，若滿足(久計(jì)1-&)/'(&)+/■(&)=0,

則稱數(shù)列｛/｝為牛頓數(shù)列.已知/0)=X4,如圖，在橫坐標(biāo)為向=1的點(diǎn)處作/(久)的切線，切線與x軸交點(diǎn)

的橫坐標(biāo)為冷，用冷代替的重復(fù)上述過(guò)程得到冷，一直下去，得到數(shù)列｛%)

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛n-%｝的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的neN*,滿足Sn>16-A(|)",求整數(shù)4的最小值.(參考數(shù)

據(jù)：0.94=0.6561,0.95~0.5905,0.96~0.5314,0.97?0.4783)

【題型7數(shù)列中的新定義問(wèn)題】

【例7】(2024?江西九江?三模)已知數(shù)列｛%｝共有機(jī)(機(jī)22)項(xiàng)，GZ,若滿足|%+i-冊(cè)|W1(1WnW

m-1),則稱｛冊(cè)｝為“約束數(shù)列”.記“約束數(shù)列”｛an｝的所有項(xiàng)的和為5加.

(1)當(dāng)爪=5時(shí)，寫出所有滿足的=￡15=1,S5=6的“約束數(shù)列”；

(2)當(dāng)m=2000,的=25時(shí),設(shè)p:a2000=2024;q:“約束數(shù)列”｛an｝為等差數(shù)列.請(qǐng)判斷p是q的什么條件，并說(shuō)

明理由；

(3)當(dāng)?shù)?1,a2fc=0(l<k<pfcGN+)時(shí)，求|Sm|的最大值.

【變式7-1](2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))對(duì)于數(shù)列｛冊(cè)｝,定義=an+i-an(nGN*),滿足%=a2=l,A(Aan)=

2n

m(meR),記/(zn,n)=a1m+a2m+…+anm,稱為由數(shù)列｛冊(cè)｝生成的-函數(shù)

⑴試寫出“2-函數(shù)”/(2,n),并求"2,3)的值；

(2)若“1—函數(shù)”f(l,n)<15,求〃的最大值；

(3)記函數(shù)S(K)=x+2d+…+九廿，其導(dǎo)函數(shù)為s'(久)，證明："m-函數(shù)”/(m,n)=-野S(ni)+

n,

m'.

Zi=i

【變式7-2](2024?江西?模擬預(yù)測(cè))我國(guó)元代數(shù)學(xué)家朱世杰在他的《四元玉鑒》一書中對(duì)高階等差數(shù)列求

和有精深的研究，即“垛積術(shù)”.對(duì)于數(shù)列的,a2,…，冊(cè),…，①，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面相鄰一項(xiàng)的差

構(gòu)成數(shù)列的1，(112,…，…，②，稱該數(shù)列②為數(shù)列①的一階差分?jǐn)?shù)列，其中Glii=出+1-%(i=1,2,…

,n-l,???)；對(duì)于數(shù)列②，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面相鄰一項(xiàng)的差構(gòu)成數(shù)列421，。22,…，。2(建_2),…，③，

稱該數(shù)列③為數(shù)列①的二階差分?jǐn)?shù)列，其中-aii(i=1,2,-,n-2,…)……按照上述辦法，第r

次得到數(shù)列a”,總…，％一),…，④，則稱數(shù)列④為數(shù)列①的r階差分?jǐn)?shù)列，其中％=a(i)a+i)-

=1,2,…)，若數(shù)列｛%｝的>2)階差分?jǐn)?shù)列是非零常數(shù)列，則稱數(shù)列｛an｝為r階等差數(shù)列

(或高階等差數(shù)列).

(1)若高階等差數(shù)列｛冊(cè)｝為3,4,9,18,31,48,…，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

4

(2)若r階等差數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式6n=(2n-l).

(i)求r的值；

(ii)求數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和Sn.

附：12+22+...+層=汕222.

【變式7-3](2024?福建南平?二模)若數(shù)列｛7｝共有爪(meN*,m23)項(xiàng)，對(duì)任意eN*,iW爪)都有

弓/+1-=S(S為常數(shù)，且S>0),則稱數(shù)列｛%｝是S關(guān)于小的一個(gè)積對(duì)稱數(shù)歹U.已知數(shù)列｛%｝是S關(guān)于a的一

個(gè)積對(duì)稱數(shù)列.

(1)若zn=3,=1,a2=2,求的的值；

(2)已知數(shù)列｛%｝是公差為d(dH0)的等差數(shù)列,0=一11,若爪=10,an=鏟,求d和S的值；

bn

（3）若數(shù)列｛an｝是各項(xiàng)均為正整數(shù)的單調(diào)遞增數(shù)列，求證：%+巴口+…+工+巴〈律

?2flm-1dm3

?過(guò)關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.（2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，aj=1,an+1-an=^―,若[幻表示不超

?n+l+?n

過(guò)X的最大整數(shù)，則[%]+[a2]+?-?+[awo]=（）

A.615B.620C.625D.630

2.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝不是常數(shù)列，前幾項(xiàng)和為%,且%>0.若對(duì)任意正整數(shù)n,存在正

整數(shù)小，使得|an-S?J3的，則稱｛斯｝是“可控?cái)?shù)列”.現(xiàn)給出兩個(gè)命題：①存在等差數(shù)列｛%｝是“可控?cái)?shù)列”;

②存在等比數(shù)列｛%｝是“可控?cái)?shù)列”.則下列判斷正確的是（）

A.①與②均為真命題B.①與②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

3.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）將正整數(shù)〃分解為兩個(gè)正整數(shù)的，他的積，即幾=自七，當(dāng)?shù)模膬蓴?shù)差的絕對(duì)

值最小時(shí)，我們稱其為最優(yōu)分解.如12=1x12=2x6=3x4,其中3x4即為12的最優(yōu)分解，當(dāng)心，k2

是n的最優(yōu)分解時(shí)，定義f（n）=也一㈤,則數(shù)列7（2n）｝的前2024項(xiàng)的和為（）

A.—lB.21°11C.2i°i2—lD.2ioi2

4.（2024?安徽安慶?三模）若項(xiàng)數(shù)均為71（n>2,nE,N*）的兩個(gè)數(shù)列｛冊(cè)｝,滿足以一刃=k也=1,2,…,死），

且集合｛%,。2,…,an>瓦,。2,…,4J=｛1,2,3,…,2n｝,則稱數(shù)列｛冊(cè)｝,｛"J是一對(duì)'九項(xiàng)緊密數(shù)列設(shè)數(shù)列｛aj仍?｝

是一對(duì)“4項(xiàng)緊密數(shù)列”，則這樣的“4項(xiàng)緊密數(shù)列”有（）對(duì).

A.5B.6C.7D.8

5.（2024?四川南充?三模）對(duì)于數(shù)列｛a“｝,規(guī)定2\冊(cè)為數(shù)列｛an｝的一階差分，其中=an+1-an[neN*）,

fc-1fe-1）

規(guī)定屋時(shí)為數(shù)列｛an｝的k階差分，其中屋％=Aan+1-Actn（neN*）.若須=仆7產(chǎn)-1,則"%=（）

A.7B.9C.11D.13

6.（2024?上海寶山?二模）數(shù)列｛冊(cè)｝中，Sn是其前n項(xiàng)的和，若對(duì)任意正整數(shù)人總存在正整數(shù)使得%=am,

則稱數(shù)列｛a力為“某數(shù)列”.現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①等比數(shù)列｛2日為“某數(shù)列”；②對(duì)任意的等差數(shù)列｛%｝,總存

在兩個(gè)“某數(shù)列”｛勾｝和｛0｝,使得冊(cè)=bn+%.則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.①為真命題，②為真命題B.①為真命題，②為假命題

C.①為假命題，②為真命題D.①為假命題，②為假命題

7.（23-24高三下?重慶?階段練習(xí)）定義：滿足皿:皿=q（q為常數(shù)，n￡N*）的數(shù)列｛a｝稱為二階等

斯+1ann

比數(shù)列，q為二階公比.已知二階等比數(shù)列|冊(cè)｝的二階公比為近,%=1,。2=VL則使得與>2024成立的最

小正整數(shù)九為（）

A.7B.8C.9D.10

8.（2024?北京東城?二模）設(shè)無(wú)窮正數(shù)數(shù)列｛%J,如果對(duì)任意的正整數(shù)九，都存在唯一的正整數(shù)小，使得冊(cè),=

a1+a2+a3+?--+a^,那么稱｛%｝為內(nèi)和數(shù)列,并令0=m，稱｛%｝為｛an｝的伴隨數(shù)列，則（）

A.若｛冊(cè)｝為等差數(shù)列，則｛an｝為內(nèi)和數(shù)列

B.若｛時(shí)｝為等比數(shù)列，則｛即｝為內(nèi)和數(shù)列

C.若內(nèi)和數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列，則其伴隨數(shù)列仍“｝為遞增數(shù)列

D.若內(nèi)和數(shù)列｛a“｝的伴隨數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，則｛冊(cè)｝為遞增數(shù)列

二、多選題

9.（2022山東青島?三模）若有窮整數(shù)數(shù)列4：ai，a2,…%23）滿足:ai+1-at￡｛-l,2｝（i=1,2,1）,

且的=%=0,則稱力?具有性質(zhì)T.則（）

A,存在具有性質(zhì)T的44

B.存在具有性質(zhì)r的45

C.若公0具有性質(zhì)T,則的,。2,…,中至少有兩項(xiàng)相同

D.存在正整數(shù)匕使得對(duì)任意具有性質(zhì)T的力H有國(guó),a2,…,以_1中任意兩項(xiàng)均不相同

10.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)｛%｝是各項(xiàng)為正的無(wú)窮數(shù)列，若對(duì)于VneN*,碎+1-碎=4（d：為非零常

數(shù)），則稱數(shù)列｛冊(cè)｝為等方差數(shù)列.那么（）

A.若｛an｝是等方差數(shù)列，則｛忌｝是等差數(shù)列

B.數(shù)列｛211｝為等方差數(shù)列

C.若｛%｝是等方差數(shù)列，則數(shù)列｛%+i-an｝中存在小于1的項(xiàng)

D.若｛a｝是等方差數(shù)列，則存在正整數(shù)小使得->2024

nai

11.（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè)）己知數(shù)列｛斯｝,其前"項(xiàng)和為%，若存在常數(shù)M>0,對(duì)任意的九6N*,恒

有*+1-un\+\un-un_]\+...+|u2-uj<M,則稱｛&"｝為B-數(shù)列.則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若｛詼｝是以1為首項(xiàng)，式回<1）為公比的等比數(shù)列，則｛a?｝為B-數(shù)列

B.若｛斯｝為B—數(shù)列，則｛Sj也為B-數(shù)列

C.若｛SJ為B-數(shù)列，則｛%J也為B-數(shù)列

D.若｛an｝,｛%｝均為B-數(shù)列，貝￡冊(cè)?“｝也為B-數(shù)列

三、填空題

12.（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于有窮數(shù)列｛an｝,從數(shù)列5｝中選取第0項(xiàng)、第22項(xiàng)、…、第/項(xiàng)（“<i2<-<

/），順次排列構(gòu)成數(shù)列｛外｝,其中為=《肥1WkWm,則稱新數(shù)列｛法｝為｛冊(cè)｝的一個(gè)子列，稱｛法｝各項(xiàng)之和

為｛3J的一個(gè)子列和.規(guī)定：數(shù)列｛冊(cè)｝的任意一項(xiàng)都是｛an｝的子列.則數(shù)列1,2,4,8,16,32的所有子列和的和

為.

13.（2023?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè)）牛頓選代法又稱牛頓一拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀(jì)提出的一

種在實(shí)數(shù)集上近似求解方程根的一種方法.具體步驟如下圖示：設(shè)r是函數(shù)y=fO）的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取和

作為廠的初始近似值，在點(diǎn)（和,/■（&））作曲線y=/（久）的切線i設(shè)與匕軸X交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為勺，并稱均為r

的1次近似值；在點(diǎn)（久1/01））作曲線y=/o）的切線區(qū)設(shè)與％軸X交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為犯，稱X2為r的2次近

似值.一般地，在點(diǎn)（XnJOa））（n6N）作曲線y=yO）的切線Z?+i，記匕+i與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為出+1，并稱%n+l

為r的n+1次近似值.設(shè)/（無(wú)）=X3+X-3（X>0）的零點(diǎn)為r,取無(wú)o=0,則廠的1次近似值為；若馬

為廠的〃次近似值，設(shè)冊(cè)=菖警，neN*,數(shù)列｛an｝的前”項(xiàng)積為7V若任意九€N*,〉4恒成立，則整

數(shù)4的最大值為.

14.（2024?北京通州?三模）若數(shù)列｛0｝、｛%｝均為嚴(yán)格增數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)〃，都存在正整數(shù)加，使得

bmE[cn,cn+1],則稱數(shù)列｛%｝為數(shù)列｛%｝的數(shù)列”.已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前〃項(xiàng)和為Sn,則下列結(jié)論中正確的

是______

①存在等差數(shù)列｛an｝,使得｛即｝是國(guó)｝的““數(shù)列”

②存在等比數(shù)列｛冊(cè)｝，使得是位相｝的數(shù)歹廣

③存在等差數(shù)列｛冊(cè)｝，使得｛SJ是｛冊(cè)｝的““數(shù)列”

④存在等比數(shù)列｛an｝,使得｛S.｝是｛冊(cè)｝的數(shù)列”

四、解答題

15.(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))定義:［幻表示x的整數(shù)部分，｛%｝表示x的小數(shù)部分，例如［1.2］=1,｛1.75｝=0.75.

(angZ)

數(shù)列期滿足an+i=SA'其中的=m.若存在keN+,使得當(dāng)n>k時(shí),冊(cè)=an+i恒成立，則稱數(shù)6

,冊(cè)(冊(cè)eZ)

為木來(lái)數(shù).

(1)分別寫出當(dāng)機(jī)=V2,m=