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湖北省巴東一中2025屆高考數(shù)學(xué)全真模擬密押卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若函數(shù)的圖象如圖所示,則的解析式可能是()A. B. C. D.2.地球上的風(fēng)能取之不盡,用之不竭.風(fēng)能是淸潔能源,也是可再生能源.世界各國(guó)致力于發(fā)展風(fēng)力發(fā)電,近10年來(lái),全球風(fēng)力發(fā)電累計(jì)裝機(jī)容量連年攀升,中國(guó)更是發(fā)展迅猛,2014年累計(jì)裝機(jī)容量就突破了,達(dá)到,中國(guó)的風(fēng)力發(fā)電技術(shù)也日臻成熟,在全球范圍的能源升級(jí)換代行動(dòng)中體現(xiàn)出大國(guó)的擔(dān)當(dāng)與決心.以下是近10年全球風(fēng)力發(fā)電累計(jì)裝機(jī)容量與中國(guó)新增裝機(jī)容量圖.根據(jù)所給信息,正確的統(tǒng)計(jì)結(jié)論是()A.截止到2015年中國(guó)累計(jì)裝機(jī)容量達(dá)到峰值B.10年來(lái)全球新增裝機(jī)容量連年攀升C.10年來(lái)中國(guó)新增裝機(jī)容量平均超過(guò)D.截止到2015年中國(guó)累計(jì)裝機(jī)容量在全球累計(jì)裝機(jī)容量中占比超過(guò)3.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,且公比為2,則與的關(guān)系正確的是()A. B.C. D.4.已知函數(shù)f(x)=,若關(guān)于x的方程f(x)=kx-恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A. B.C. D.5.設(shè)集合,,則()A. B.C. D.6.記集合和集合表示的平面區(qū)域分別是和,若在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)落在區(qū)域的概率為()A. B. C. D.7.設(shè),則()A. B. C. D.8.已知定義在上的函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),,則方程的最小實(shí)根的值為()A. B. C. D.9.如圖,在等腰梯形中,,,,為的中點(diǎn),將與分別沿、向上折起,使、重合為點(diǎn),則三棱錐的外接球的體積是()A. B.C. D.10.設(shè)a,b都是不等于1的正數(shù),則“”是“”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件11.如圖,在中,點(diǎn)是的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線,于不同的兩點(diǎn),若,,則()A.1 B. C.2 D.312.已知集合,,則()A. B.C.或 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.14.若函數(shù)為偶函數(shù),則.15.已知△ABC得三邊長(zhǎng)成公比為2的等比數(shù)列,則其最大角的余弦值為_(kāi)____.16.已知拋物線的焦點(diǎn)為,直線與拋物線相切于點(diǎn),是上一點(diǎn)(不與重合),若以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò),則點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離的最小值是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)己知圓F1:(x+1)1+y1=r1(1≤r≤3),圓F1:(x-1)1+y1=(4-r)1.(1)證明:圓F1與圓F1有公共點(diǎn),并求公共點(diǎn)的軌跡E的方程;(1)已知點(diǎn)Q(m,0)(m<0),過(guò)點(diǎn)E斜率為k(k≠0)的直線與(Ⅰ)中軌跡E相交于M,N兩點(diǎn),記直線QM的斜率為k1,直線QN的斜率為k1,是否存在實(shí)數(shù)m使得k(k1+k1)為定值?若存在,求出m的值,若不存在,說(shuō)明理由.18.(12分)已知中心在原點(diǎn)的橢圓的左焦點(diǎn)為,與軸正半軸交點(diǎn)為,且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為、的兩條直線分別交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)、.證明:當(dāng)時(shí),直線過(guò)定點(diǎn).19.(12分)如圖所示的幾何體中,,四邊形為正方形,四邊形為梯形,,,,為中點(diǎn).(1)證明:;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)在新中國(guó)成立70周年國(guó)慶閱兵慶典中,眾多群眾在臉上貼著一顆紅心,以此表達(dá)對(duì)祖國(guó)的熱愛(ài)之情,在數(shù)學(xué)中,有多種方程都可以表示心型曲線,其中有著名的笛卡爾心型曲線,如圖,在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線,其極坐標(biāo)方程為(),M為該曲線上的任意一點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí),求M點(diǎn)的極坐標(biāo);(2)將射線OM繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點(diǎn)N,求的最大值.21.(12分)某工廠的機(jī)器上有一種易損元件A,這種元件在使用過(guò)程中發(fā)生損壞時(shí),需要送維修處維修.工廠規(guī)定當(dāng)日損壞的元件A在次日早上8:30之前送到維修處,并要求維修人員當(dāng)日必須完成所有損壞元件A的維修工作.每個(gè)工人獨(dú)立維修A元件需要時(shí)間相同.維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個(gè)數(shù),具體數(shù)據(jù)如下表:日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A個(gè)數(shù)91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A個(gè)數(shù)12241515151215151524從這20天中隨機(jī)選取一天,隨機(jī)變量X表示在維修處該天元件A的維修個(gè)數(shù).(Ⅰ)求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;(Ⅱ)若a,b,且b-a=6,求最大值;(Ⅲ)目前維修處有兩名工人從事維修工作,為使每個(gè)維修工人每天維修元件A的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望不超過(guò)4個(gè),至少需要增加幾名維修工人?(只需寫(xiě)出結(jié)論)22.(10分)若不等式在時(shí)恒成立,則的取值范圍是__________.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
由函數(shù)性質(zhì),結(jié)合特殊值驗(yàn)證,通過(guò)排除法求得結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)B,為奇函數(shù)可判斷B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)時(shí),,可判斷C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,,可知函數(shù)在第一象限的圖象無(wú)增區(qū)間,故D錯(cuò)誤;故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)的圖象判斷解析式問(wèn)題,通過(guò)函數(shù)性質(zhì)及特殊值利用排除法是解決本題的關(guān)鍵,難度一般.2、D【解析】
先列表分析近10年全球風(fēng)力發(fā)電新增裝機(jī)容量,再結(jié)合數(shù)據(jù)研究單調(diào)性、平均值以及占比,即可作出選擇.【詳解】年份2009201020112012201320142015201620172018累計(jì)裝機(jī)容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增裝機(jī)容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中國(guó)累計(jì)裝機(jī)裝機(jī)容量逐年遞增,A錯(cuò)誤;全球新增裝機(jī)容量在2015年之后呈現(xiàn)下降趨勢(shì),B錯(cuò)誤;經(jīng)計(jì)算,10年來(lái)中國(guó)新增裝機(jī)容量平均每年為,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;截止到2015年中國(guó)累計(jì)裝機(jī)容量,全球累計(jì)裝機(jī)容量,占比為,選項(xiàng)D正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查條形圖,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.3、C【解析】
在等比數(shù)列中,由即可表示之間的關(guān)系.【詳解】由題可知,等比數(shù)列中,且公比為2,故故選:C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
由已知可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:y=f(x)的圖象和直線y=kx-有4個(gè)交點(diǎn),作出圖象,由圖可得:點(diǎn)(1,0)必須在直線y=kx-的下方,即可求得:k>;再求得直線y=kx-和y=lnx相切時(shí),k=;結(jié)合圖象即可得解.【詳解】若關(guān)于x的方程f(x)=kx-恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則y=f(x)的圖象和直線y=kx-有4個(gè)交點(diǎn).作出函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖,故點(diǎn)(1,0)在直線y=kx-的下方.∴k×1->0,解得k>.當(dāng)直線y=kx-和y=lnx相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為m,則k==,∴m=.此時(shí),k==,f(x)的圖象和直線y=kx-有3個(gè)交點(diǎn),不滿足條件,故所求k的取值范圍是,故選D..【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化能力,還考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及計(jì)算能力、觀察能力,屬于難題.5、D【解析】
利用一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意知,集合,,由集合的交運(yùn)算可得,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算;考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
據(jù)題意可知,是與面積有關(guān)的幾何概率,要求落在區(qū)域內(nèi)的概率,只要求、所表示區(qū)域的面積,然后代入概率公式,計(jì)算即可得答案.【詳解】根據(jù)題意可得集合所表示的區(qū)域即為如圖所表示:的圓及內(nèi)部的平面區(qū)域,面積為,集合,,表示的平面區(qū)域即為圖中的,,根據(jù)幾何概率的計(jì)算公式可得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概率的計(jì)算,本題是與面積有關(guān)的幾何概率模型.解決本題的關(guān)鍵是要準(zhǔn)確求出兩區(qū)域的面積.7、C【解析】試題分析:,.故C正確.考點(diǎn):復(fù)合函數(shù)求值.8、C【解析】
先確定解析式求出的函數(shù)值,然后判斷出方程的最小實(shí)根的范圍結(jié)合此時(shí)的,通過(guò)計(jì)算即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,所以,故當(dāng)時(shí),,所以,而,所以,又當(dāng)時(shí),的極大值為1,所以當(dāng)時(shí),的極大值為,設(shè)方程的最小實(shí)根為,,則,即,此時(shí)令,得,所以最小實(shí)根為411.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的根的最小值問(wèn)題,涉及函數(shù)極大值、函數(shù)解析式的求法等知識(shí),本題有一定的難度及高度,是一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.9、A【解析】
由題意等腰梯形中的三個(gè)三角形都是等邊三角形,折疊成的三棱錐是正四面體,易求得其外接球半徑,得球體積.【詳解】由題意等腰梯形中,又,∴,是靠邊三角形,從而可得,∴折疊后三棱錐是棱長(zhǎng)為1的正四面體,設(shè)是的中心,則平面,,,外接球球心必在高上,設(shè)外接球半徑為,即,∴,解得,球體積為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求球的體積,解題關(guān)鍵是由已知條件確定折疊成的三棱錐是正四面體.10、C【解析】
根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解a,b的范圍,再利用充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由“”,得,得或或,即或或,由,得,故“”是“”的必要不充分條件,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查必要條件、充分條件及充分必要條件的判斷方法,考查指數(shù),對(duì)數(shù)不等式的解法,是基礎(chǔ)題.11、C【解析】
連接AO,因?yàn)镺為BC中點(diǎn),可由平行四邊形法則得,再將其用,表示.由M、O、N三點(diǎn)共線可知,其表達(dá)式中的系數(shù)和,即可求出的值.【詳解】連接AO,由O為BC中點(diǎn)可得,,、、三點(diǎn)共線,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算,由三點(diǎn)共線求參數(shù)的問(wèn)題,熟記向量的共線定理是關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
首先求出集合,再根據(jù)補(bǔ)集的定義計(jì)算可得;【詳解】解:∵,解得∴,∴.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算,一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
當(dāng)時(shí),轉(zhuǎn)化條件得有唯一實(shí)數(shù)根,令,通過(guò)求導(dǎo)得到的單調(diào)性后數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí),,故不是函數(shù)的零點(diǎn);當(dāng)時(shí),即,令,,,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,的單調(diào)減區(qū)間為,增區(qū)間為,又,可作出的草圖,如圖:則要使有唯一實(shí)數(shù)根,則.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于難題.14、1【解析】試題分析:由函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為奇函數(shù),.考點(diǎn):函數(shù)的奇偶性.【方法點(diǎn)晴】本題考查導(dǎo)函數(shù)的奇偶性以及邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力、特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想,具有一定的綜合性和靈活性,屬于較難題型.首先利用轉(zhuǎn)化思想,將函數(shù)為偶函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)為奇函數(shù),然后再利用特殊與一般思想,?。?5、-【解析】試題分析:根據(jù)題意設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別設(shè)為為a,2a,2a,∵2a>2a>a,∴2a所對(duì)的角為最大角,設(shè)為θ,則根據(jù)余弦定理得考點(diǎn):余弦定理及等比數(shù)列的定義.16、【解析】
根據(jù)拋物線,不妨設(shè),取,通過(guò)求導(dǎo)得,,再根據(jù)以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò),則,得到,兩式聯(lián)立,求得點(diǎn)N的軌跡,再求解最值.【詳解】因?yàn)閽佄锞€,不妨設(shè),取,所以,即,所以,因?yàn)橐跃€段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò),所以,所以,所以,由,解得,所以點(diǎn)在直線上,所以當(dāng)時(shí),最小,最小值為.故答案為:2【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系直線的交軌問(wèn)題,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析,(1)存在,【解析】
(1)求出圓和圓的圓心和半徑,通過(guò)圓F1與圓F1有公共點(diǎn)求出的范圍,從而根據(jù)可得點(diǎn)的軌跡,進(jìn)而求出方程;(1)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為,設(shè),,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,根據(jù)韋達(dá)定理以及,,可得,根據(jù)其為定值,則有,進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】(1)因?yàn)?,,所以,因?yàn)閳A的半徑為,圓的半徑為,又因?yàn)椋?,即,所以圓與圓有公共點(diǎn),設(shè)公共點(diǎn)為,因此,所以點(diǎn)的軌跡是以,為焦點(diǎn)的橢圓,所以,,,即軌跡的方程為;(1)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為,設(shè),由消去得到,則,,①因?yàn)?,,所以,將①式代入整理得因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),即時(shí),.即存在實(shí)數(shù)使得.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓定理求橢圓方程,考查橢圓中的定值問(wèn)題,靈活應(yīng)用韋達(dá)定理進(jìn)行計(jì)算是關(guān)鍵,并且觀察出取定值的條件也很重要,考查了學(xué)生分析能力和計(jì)算能力,是中檔題.18、(1);(2)見(jiàn)解析.【解析】
(1)在中,計(jì)算出的值,可得出的值,進(jìn)而可得出的值,由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點(diǎn)、,設(shè)直線的方程為,將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,根據(jù)已知條件得出,利用韋達(dá)定理和斜率公式化簡(jiǎn)得出與所滿足的關(guān)系式,代入直線的方程,即可得出直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】(1)在中,,,,,,,,因此,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)由題不妨設(shè),設(shè)點(diǎn),聯(lián)立,消去化簡(jiǎn)得,且,,,,,∴代入,化簡(jiǎn)得,化簡(jiǎn)得,,,,直線,因此,直線過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解,同時(shí)也考查了橢圓中直線過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題,考查計(jì)算能力,屬于中等題.19、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】
(1)取的中點(diǎn),結(jié)合三角形中位線和長(zhǎng)度關(guān)系,為平行四邊形,進(jìn)而得到,根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論;(2)以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得兩面的法向量,求得法向量夾角的余弦值;根據(jù)二面角為銳角確定最終二面角的余弦值;【詳解】(1)取的中點(diǎn),連結(jié),因?yàn)闉橹悬c(diǎn),,,所以,,∴為平行四邊形,所以,又因?yàn)椋?;?)由題及(1)易知,,兩兩垂直,所以以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,易知面的法向量為設(shè)面的法向量為則可得所以,如圖可知二面角為銳角,所以余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中直線與平面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角,正確求解法向量是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.2
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