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文檔簡介
2025屆北京市中央民族大學(xué)附中高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知命題:是“直線和直線互相垂直”的充要條件;命題:對任意都有零點;則下列命題為真命題的是()A. B. C. D.2.不等式的解集記為,有下面四個命題:;;;.其中的真命題是()A. B. C. D.3.已知雙曲線的左、右焦點分別為,圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為M,若.則該雙曲線的離心率為A.2 B.3 C. D.4.雙曲線:(,)的一個焦點為(),且雙曲線的兩條漸近線與圓:均相切,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.5.已知圓與拋物線的準線相切,則的值為()A.1 B.2 C. D.46.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,則的取值范圍()A. B. C. D.7.如圖所示點是拋物線的焦點,點、分別在拋物線及圓的實線部分上運動,且總是平行于軸,則的周長的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知拋物線:,直線與分別相交于點,與的準線相交于點,若,則()A.3 B. C. D.9.已知曲線,動點在直線上,過點作曲線的兩條切線,切點分別為,則直線截圓所得弦長為()A. B.2 C.4 D.10.已知向量,滿足,在上投影為,則的最小值為()A. B. C. D.11.若,則“”是“的展開式中項的系數(shù)為90”的()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12.在的展開式中,含的項的系數(shù)是()A.74 B.121 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知邊長為的菱形中,,現(xiàn)沿對角線折起,使得二面角為,此時點,,,在同一個球面上,則該球的表面積為________.14.已知,為正實數(shù),且,則的最小值為________________.15.已知直線被圓截得的弦長為2,則的值為__16.曲線在點處的切線方程為__.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在四棱錐的底面中,,,平面,是的中點,且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)線段上是否存在點,使得,若存在指出點的位置,若不存在請說明理由.18.(12分)已知橢圓:的左、右焦點分別為,,焦距為2,且經(jīng)過點,斜率為的直線經(jīng)過點,與橢圓交于,兩點.(1)求橢圓的方程;(2)在軸上是否存在點,使得以,為鄰邊的平行四邊形是菱形?如果存在,求出的取值范圍,如果不存在,請說明理由.19.(12分)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,滿足,,,,恰為等比數(shù)列的前3項.(1)求數(shù)列,的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和為;若對均滿足,求整數(shù)的最大值;(3)是否存在數(shù)列滿足等式成立,若存在,求出數(shù)列的通項公式;若不存在,請說明理由.20.(12分)某公司欲投資一新型產(chǎn)品的批量生產(chǎn),預(yù)計該產(chǎn)品的每日生產(chǎn)總成本價格)(單位:萬元)是每日產(chǎn)量(單位:噸)的函數(shù):.(1)求當日產(chǎn)量為噸時的邊際成本(即生產(chǎn)過程中一段時間的總成本對該段時間產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù));(2)記每日生產(chǎn)平均成本求證:;(3)若財團每日注入資金可按數(shù)列(單位:億元)遞減,連續(xù)注入天,求證:這天的總投入資金大于億元.21.(12分)已知,,分別為內(nèi)角,,的對邊,且.(1)證明:;(2)若的面積,,求角.22.(10分)已知數(shù)列和滿足:.(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前項和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
先分別判斷每一個命題的真假,再利用復(fù)合命題的真假判斷確定答案即可.【詳解】當時,直線和直線,即直線為和直線互相垂直,所以“”是直線和直線互相垂直“的充分條件,當直線和直線互相垂直時,,解得.所以“”是直線和直線互相垂直“的不必要條件.:“”是直線和直線互相垂直“的充分不必要條件,故是假命題.當時,沒有零點,所以命題是假命題.所以是真命題,是假命題,是假命題,是假命題.故選:.【點睛】本題主要考查充要條件的判斷和兩直線的位置關(guān)系,考查二次函數(shù)的圖象,考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.2、A【解析】
作出不等式組表示的可行域,然后對四個選項一一分析可得結(jié)果.【詳解】作出可行域如圖所示,當時,,即的取值范圍為,所以為真命題;為真命題;為假命題.故選:A【點睛】此題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,著重考查作圖能力,熟練作圖,正確分析是關(guān)鍵,屬于中檔題.3、D【解析】
本題首先可以通過題意畫出圖像并過點作垂線交于點,然后通過圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)判斷出三角形的形狀并求出高的長度,的長度即點縱坐標,然后將點縱坐標帶入圓的方程即可得出點坐標,最后將點坐標帶入雙曲線方程即可得出結(jié)果?!驹斀狻扛鶕?jù)題意可畫出以上圖像,過點作垂線并交于點,因為,在雙曲線上,所以根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知,,即,,因為圓的半徑為,是圓的半徑,所以,因為,,,,所以,三角形是直角三角形,因為,所以,,即點縱坐標為,將點縱坐標帶入圓的方程中可得,解得,,將點坐標帶入雙曲線中可得,化簡得,,,,故選D?!军c睛】本題考查了圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì),主要考察了圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì),考查了圓與雙曲線的綜合應(yīng)用,考查了數(shù)形結(jié)合思想,體現(xiàn)了綜合性,提高了學(xué)生的邏輯思維能力,是難題。4、A【解析】
根據(jù)題意得到,化簡得到,得到答案.【詳解】根據(jù)題意知:焦點到漸近線的距離為,故,故漸近線為.故選:.【點睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系,雙曲線的漸近線,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.5、B【解析】
因為圓與拋物線的準線相切,則圓心為(3,0),半徑為4,根據(jù)相切可知,圓心到直線的距離等于半徑,可知的值為2,選B.【詳解】請在此輸入詳解!6、B【解析】
由,可得,結(jié)合在上單調(diào)遞增,易得,即可求出的范圍.【詳解】由,可得,時,,而,又在上單調(diào)遞增,且,所以,則,即,故.故選:B.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,考查了學(xué)生的邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
根據(jù)拋物線方程求得焦點坐標和準線方程,結(jié)合定義表示出;根據(jù)拋物線與圓的位置關(guān)系和特點,求得點橫坐標的取值范圍,即可由的周長求得其范圍.【詳解】拋物線,則焦點,準線方程為,根據(jù)拋物線定義可得,圓,圓心為,半徑為,點、分別在拋物線及圓的實線部分上運動,解得交點橫坐標為2.點、分別在兩個曲線上,總是平行于軸,因而兩點不能重合,不能在軸上,則由圓心和半徑可知,則的周長為,所以,故選:B.【點睛】本題考查了拋物線定義、方程及幾何性質(zhì)的簡單應(yīng)用,圓的幾何性質(zhì)應(yīng)用,屬于中檔題.8、C【解析】
根據(jù)拋物線的定義以及三角形的中位線,斜率的定義表示即可求得答案.【詳解】顯然直線過拋物線的焦點如圖,過A,M作準線的垂直,垂足分別為C,D,過M作AC的垂線,垂足為E根據(jù)拋物線的定義可知MD=MF,AC=AF,又AM=MN,所以M為AN的中點,所以MD為三角形NAC的中位線,故MD=CE=EA=AC設(shè)MF=t,則MD=t,AF=AC=2t,所以AM=3t,在直角三角形AEM中,ME=所以故選:C【點睛】本題考查求拋物線的焦點弦的斜率,常見于利用拋物線的定義構(gòu)建關(guān)系,屬于中檔題.9、C【解析】
設(shè),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出切線斜率,進而得到切線方程,將點坐標代入切線方程,抽象出直線方程,且過定點為已知圓的圓心,即可求解.【詳解】圓可化為.設(shè),則的斜率分別為,所以的方程為,即,,即,由于都過點,所以,即都在直線上,所以直線的方程為,恒過定點,即直線過圓心,則直線截圓所得弦長為4.故選:C.【點睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系、直線與拋物線位置關(guān)系,拋物線兩切點所在直線求解是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.10、B【解析】
根據(jù)在上投影為,以及,可得;再對所求模長進行平方運算,可將問題轉(zhuǎn)化為模長和夾角運算,代入即可求得.【詳解】在上投影為,即又本題正確選項:【點睛】本題考查向量模長的運算,對于含加減法運算的向量模長的求解,通常先求解模長的平方,再開平方求得結(jié)果;解題關(guān)鍵是需要通過夾角取值范圍的分析,得到的最小值.11、B【解析】
求得的二項展開式的通項為,令時,可得項的系數(shù)為90,即,求得,即可得出結(jié)果.【詳解】若則二項展開式的通項為,令,即,則項的系數(shù)為,充分性成立;當?shù)恼归_式中項的系數(shù)為90,則有,從而,必要性不成立.故選:B.【點睛】本題考查二項式定理、充分條件、必要條件及充要條件的判斷知識,考查考生的分析問題的能力和計算能力,難度較易.12、D【解析】
根據(jù),利用通項公式得到含的項為:,進而得到其系數(shù),【詳解】因為在,所以含的項為:,所以含的項的系數(shù)是的系數(shù)是,,故選:D【點睛】本題主要考查二項展開式及通項公式和項的系數(shù),還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題,二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
分別取,的中點,,連接,由圖形的對稱性可知球心必在的延長線上,設(shè)球心為,半徑為,,由勾股定理可得、,再根據(jù)球的面積公式計算可得;【詳解】如圖,分別取,的中點,,連接,則易得,,,,由圖形的對稱性可知球心必在的延長線上,設(shè)球心為,半徑為,,可得,解得,.故該球的表面積為.故答案為:【點睛】本題考查多面體的外接球的計算,屬于中檔題.14、【解析】
由,為正實數(shù),且,可知,于是,可得,再利用基本不等式即可得出結(jié)果.【詳解】解:,為正實數(shù),且,可知,,.當且僅當時取等號.的最小值為.故答案為:.【點睛】本題考查了基本不等式的性質(zhì)應(yīng)用,恰當變形是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.15、1【解析】
根據(jù)弦長為半徑的兩倍,得直線經(jīng)過圓心,將圓心坐標代入直線方程可解得.【詳解】解:圓的圓心為(1,1),半徑,
因為直線被圓截得的弦長為2,
所以直線經(jīng)過圓心(1,1),
,解得.故答案為:1.【點睛】本題考查了直線與圓相交的性質(zhì),屬基礎(chǔ)題.16、【解析】
對函數(shù)求導(dǎo)后,代入切點的橫坐標得到切線斜率,然后根據(jù)直線方程的點斜式,即可寫出切線方程.【詳解】因為,所以,從而切線的斜率,所以切線方程為,即.故答案為:【點睛】本題主要考查過曲線上一點的切線方程的求法,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)存在,點為線段的中點.【解析】
(Ⅰ)連結(jié),,,則四邊形為平行四邊形,得到證明.(Ⅱ)建立如圖所示坐標系,平面法向量為,平面的法向量,計算夾角得到答案.(Ⅲ)設(shè),計算,,根據(jù)垂直關(guān)系得到答案.【詳解】(Ⅰ)連結(jié),,,則四邊形為平行四邊形.平面.(Ⅱ)平面,四邊形為正方形.所以,,兩兩垂直,建立如圖所示坐標系,則,,,,設(shè)平面法向量為,則,連結(jié),可得,又所以,平面,平面的法向量,設(shè)二面角的平面角為,則.(Ⅲ)線段上存在點使得,設(shè),,,,所以點為線段的中點.【點睛】本題考查了線面平行,二面角,根據(jù)垂直關(guān)系確定位置,意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.18、(1)(2)存在;實數(shù)的取值范圍是【解析】
(1)根據(jù)橢圓定義計算,再根據(jù),,的關(guān)系計算即可得出橢圓方程;(2)設(shè)直線方程為,與橢圓方程聯(lián)立方程組,求出的范圍,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出的中點坐標,求出的中垂線與軸的交點橫,得出關(guān)于的函數(shù),利用基本不等式得出的范圍.【詳解】(1)由題意可知,,.又,,,橢圓的方程為:.(2)若存在點,使得以,為鄰邊的平行四邊形是菱形,則為線段的中垂線與軸的交點.設(shè)直線的方程為:,,,,,聯(lián)立方程組,消元得:,△,又,故.由根與系數(shù)的關(guān)系可得,設(shè)的中點為,,則,,線段的中垂線方程為:,令可得,即.,故,當且僅當即時取等號,,且.的取值范圍是,.【點睛】本題主要考查了橢圓的性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19、(2),(2),的最大整數(shù)是2.(3)存在,【解析】
(2)由可得(),然后把這兩個等式相減,化簡得,公差為2,因為,,為等比數(shù)列,所以,化簡計算得,,從而得到數(shù)列的通項公式,再計算出,,,從而可求出數(shù)列的通項公式;(2)令,化簡計算得,從而可得數(shù)列是遞增的,所以只要的最小值大于即可,而的最小值為,所以可得答案;(3)由題意可知,,即,這個可看成一個數(shù)列的前項和,再寫出其前()項和,兩式相減得,,利用同樣的方法可得.【詳解】解:(2)由題,當時,,即當時,①②①-②得,整理得,又因為各項均為正數(shù)的數(shù)列.故是從第二項的等差數(shù)列,公差為2.又恰為等比數(shù)列的前3項,故,解得.又,故,因為也成立.故是以為首項,2為公差的等差數(shù)列.故.即2,4,8恰為等比數(shù)列的前3項,故是以為首項,公比為的等比數(shù)列,故.綜上,(2)令,則所以數(shù)列是遞增的,若對均滿足,只要的最小值大于即可因為的最小值為,所以,所以的最大整數(shù)是2.(3)由,得,③④③-④得,⑤,⑥⑤-⑥得,,所以存在這樣的數(shù)列,【點睛】此題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式,最值,恒成立問題,考查了推理能力與計算能力,屬
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