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湖北省宜昌市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)必刷試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=2i1-i,則A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知非零向量,滿足,,則與的夾角為()A. B. C. D.3.執(zhí)行如圖的程序框圖,若輸出的結(jié)果,則輸入的值為()A. B.C.3或 D.或4.函數(shù)的部分圖象大致為()A. B.C. D.5.已知函數(shù),,則的極大值點(diǎn)為()A. B. C. D.6.已知集合,集合,則()A. B. C. D.7.已知,且,則的值為()A. B. C. D.8.設(shè),則()A. B. C. D.9.平行四邊形中,已知,,點(diǎn)、分別滿足,,且,則向量在上的投影為()A.2 B. C. D.10.已知直四棱柱的所有棱長(zhǎng)相等,,則直線與平面所成角的正切值等于()A. B. C. D.11.下列判斷錯(cuò)誤的是()A.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則B.已知直線平面,直線平面,則“”是“”的充分不必要條件C.若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布:,則D.是的充分不必要條件12.設(shè)m,n為直線,、為平面,則的一個(gè)充分條件可以是()A.,, B.,C., D.,二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知實(shí)數(shù)滿足,則的最小值是______________.14.已知向量,且,則___________.15.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中,只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則該二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)等于_____.16.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上,,則球的表面積為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列為公差為d的等差數(shù)列,,,且,,依次成等比數(shù)列,.(1)求數(shù)列的前n項(xiàng)和;(2)若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.18.(12分)在三棱錐S-ABC中,∠BAC=∠SBA=∠SCA=90°,∠SAB=45°,∠SAC=60°,D為棱AB的中點(diǎn),SA=2(I)證明:SD⊥BC;(II)求直線SD與平面SBC所成角的正弦值.19.(12分)已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線交橢圓于兩點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.連接.求證:存在實(shí)數(shù),使得成立.20.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,,平面底面,為的中點(diǎn),是棱上的點(diǎn)且,,,.求證:平面平面以;求二面角的大小.21.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若恒成立,求整數(shù)的最大值;(2)求證:.22.(10分)在三棱柱中,,,,且.(1)求證:平面平面;(2)設(shè)二面角的大小為,求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】分析:根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算,求得復(fù)數(shù)z,再利用復(fù)數(shù)的表示,即可得到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn),得到答案.詳解:由題意,復(fù)數(shù)z=2i1-i所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-1),位于復(fù)平面內(nèi)的第三象限,故選C.點(diǎn)睛:本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的表示,其中根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解復(fù)數(shù)z是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.2、B【解析】

由平面向量垂直的數(shù)量積關(guān)系化簡(jiǎn),即可由平面向量數(shù)量積定義求得與的夾角.【詳解】根據(jù)平面向量數(shù)量積的垂直關(guān)系可得,,所以,即,由平面向量數(shù)量積定義可得,所以,而,即與的夾角為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,平面向量夾角的求法,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

根據(jù)逆運(yùn)算,倒推回求x的值,根據(jù)x的范圍取舍即可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?所以當(dāng),解得

,所以3是輸入的x的值;當(dāng)時(shí),解得,所以是輸入的x的值,所以輸入的x的值為

或3,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用,通過(guò)結(jié)果反求輸入的值,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

圖像分析采用排除法,利用奇偶性判斷函數(shù)為奇函數(shù),再利用特值確定函數(shù)的正負(fù)情況?!驹斀狻浚势婧瘮?shù),四個(gè)圖像均符合。當(dāng)時(shí),,,排除C、D當(dāng)時(shí),,,排除A。故選B?!军c(diǎn)睛】圖像分析采用排除法,一般可供判斷的主要有:奇偶性、周期性、單調(diào)性、及特殊值。5、A【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)數(shù)為零,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,求得極大值點(diǎn)即可.【詳解】因?yàn)椋士傻?,令,因?yàn)椋士傻没?,則在區(qū)間單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故的極大值點(diǎn)為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn),屬基礎(chǔ)題.6、C【解析】

求出集合的等價(jià)條件,利用交集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】解:∵,,∴,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)的定義域與指數(shù)不等式的求解以及集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

由及得到、,進(jìn)一步得到,再利用兩角差的正切公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?,又,所以,,所?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道基礎(chǔ)題.8、D【解析】

結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可判斷出,,,即可選出答案.【詳解】由,即,又,即,,即,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了幾個(gè)數(shù)的大小比較,考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

將用向量和表示,代入可求出,再利用投影公式可得答案.【詳解】解:,得,則向量在上的投影為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的幾何意義,考查向量的線性運(yùn)算,將用向量和表示是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.10、D【解析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為x軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.求解平面的法向量,利用線面角的向量公式即得解.【詳解】如圖所示的直四棱柱,,取中點(diǎn),以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為x軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè),則,.設(shè)平面的法向量為,則取,得.設(shè)直線與平面所成角為,則,,∴直線與平面所成角的正切值等于故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了向量法求解線面角,考查了學(xué)生空間想象,邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.11、D【解析】

根據(jù)正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識(shí),依次對(duì)四個(gè)選項(xiàng)加以分析判斷,進(jìn)而可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng),若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性,有,故選項(xiàng)正確,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng),已知直線平面,直線平面,則當(dāng)時(shí)一定有,充分性成立,而當(dāng)時(shí),不一定有,故必要性不成立,所以“”是“”的充分不必要條件,故選項(xiàng)正確,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng),若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布:,則,故選項(xiàng)正確,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng),,僅當(dāng)時(shí)有,當(dāng)時(shí),不成立,故充分性不成立;若,僅當(dāng)時(shí)有,當(dāng)時(shí),不成立,故必要性不成立.因而是的既不充分也不必要條件,故選項(xiàng)不正確,符合題意.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識(shí),考查理解辨析能力與運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

根據(jù)線面垂直的判斷方法對(duì)選項(xiàng)逐一分析,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),當(dāng),,時(shí),由于不在平面內(nèi),故無(wú)法得出.對(duì)于B選項(xiàng),由于,,所以.故B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng),當(dāng),時(shí),可能含于平面,故無(wú)法得出.對(duì)于D選項(xiàng),當(dāng),時(shí),無(wú)法得出.綜上所述,的一個(gè)充分條件是“,”故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面垂直的判斷,考查充分必要條件的理解,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

先畫出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域,再利用數(shù)形結(jié)合分析解答得解.【詳解】畫出不等式組表示的可行域如圖陰影區(qū)域所示.由題得y=-3x+z,它表示斜率為-3,縱截距為z的直線系,平移直線,易知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),直線的縱截距最小,目標(biāo)函數(shù)取得最小值,且.故答案為:-8【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃問(wèn)題,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析能力.14、【解析】

由向量平行的坐標(biāo)表示得出,求解即可得出答案.【詳解】因?yàn)?,所以,解?故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了由向量共線或平行求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.15、1【解析】

由題意可得,再利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,求得二項(xiàng)展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)的值.【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式的中,只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,,通項(xiàng)公式為,令,求得,可得二項(xiàng)展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)等于,故答案為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

如圖所示,將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體,球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球,長(zhǎng)、寬、高分別為,計(jì)算得到,得到答案.【詳解】如圖所示,將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體,球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球,長(zhǎng)、寬、高分別為,則,所以,所以球的半徑,則球的表面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問(wèn)題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力,將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體是解題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)求出公差,從而求出,再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.(2)由(1)求出,再利用裂項(xiàng)求和法即可求解.【詳解】(1),且,,依次成等比數(shù)列,,即:,,,,,;(2),.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、裂項(xiàng)求和法,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.18、(I)證明見(jiàn)解析;(II)1【解析】

(I)過(guò)D作DE⊥BC于E,連接SE,根據(jù)勾股定理得到SE⊥BC,DE⊥BC得到BC⊥平面SED,得到證明.(II)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥SE于F,證明DF⊥平面SBC,故∠ESD為直線SD與平面SBC所成角,計(jì)算夾角得到答案.【詳解】(I)過(guò)D作DE⊥BC于E,連接SE,根據(jù)角度的垂直關(guān)系易知:AC=1,AB=SB=2,CS=CB=3,故DE=BDsin∠CBD=6根據(jù)余弦定理:13+SE2-2故SE⊥BC,DE⊥BC,SE∩DE=E,故BC⊥平面SED,SD?平面SED,故SD⊥BC.(II)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥SE于F,BC⊥平面SED,DF?平面SED,故DF⊥BC,DF⊥SE,BC∩SE=E,故DF⊥平面SBC,故∠ESD為直線SD與平面SBC所成角,SD2=S故sin∠ESD=【點(diǎn)睛】本題考查了線線垂直,線面夾角,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.19、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】

(1)由點(diǎn)可得,由,根據(jù)即可求解;(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立可得,設(shè),由韋達(dá)定理可得,再根據(jù)直線的斜率公式求得;由點(diǎn)B與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,可設(shè),可求得,則,即可求證.【詳解】解:(1)由題意可知,,又,得,所以橢圓的方程為(2)證明:設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,可得,設(shè),則有,因?yàn)?所以,又因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以,即,則有,由點(diǎn)在橢圓上,得,所以,所以,即,所以存在實(shí)數(shù),使成立【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線的斜率公式的應(yīng)用,考查運(yùn)算能力.20、證明見(jiàn)解析;.【解析】

推導(dǎo)出,,從而平面,由此證明平面平面以;以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,利用法向量求出二面角的大小.【詳解】解:,,為的中點(diǎn),四邊形為平行四邊形,.,,即.又平面平面,且平面平面,平面.平面,平面平面.,為的中點(diǎn),.平面平面,且平面平面,平面.如圖,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則平面的一個(gè)法向量為,,,,,設(shè),則,,,,,在平面中,,,設(shè)平面的法向量為,則,即,平面的一個(gè)法向量為,,由圖知二面角為銳角,所以所求二面角大小為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明,考查二面角的大小的求法,考查了空間向量的應(yīng)用,屬于中檔題.21、(1)整數(shù)的最大值為;(2)見(jiàn)解析.【解析】

(1)將不等式變形為,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性并確定其最值,從而得到正整數(shù)的最大值;(2)根據(jù)(1)的結(jié)論得到,利用不等式的基本性質(zhì)可證得結(jié)論.【詳解】(1)由得,令,,令,對(duì)恒成立,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,,,,,故存在使得,即,從而當(dāng)時(shí),有,,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),有,,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞減.所以,,,因此,整數(shù)的最大值為;(2)由(1)知恒成立,,令則,,,,,上述等式全部相加得,所以,,因此,【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性、最值中的應(yīng)用,以及放縮法證明不等式的技巧,屬于難題.22、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】

(1)要證明平面平面,只需證明平面即可;(2)取的中點(diǎn)D,連接BD,以B為原點(diǎn),以,,的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐

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