北師版九年級數(shù)學上冊期末復(fù)習考點 清單03 概率投影和視圖（8個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）

清單03概率投影和視圖（8個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】概率1.定義：一般地，對于一個隨機事件A，把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機事件A發(fā)生的概率，記為P(A)．（1）一個事件在多次試驗中發(fā)生的可能性，反映這個可能性大小的數(shù)值叫做這個事件發(fā)生的概率。（2）概率指的是事件發(fā)生的可能性大小的的一個數(shù)值。2、概率的求法：一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=．（1）一般地，所有情況的總概率之和為1。（2）在一次實驗中,可能出現(xiàn)的結(jié)果有限多個.（3）在一次實驗中,各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等.（4）概率從數(shù)量上刻畫了一個隨機事件發(fā)生的可能性的大小，事件發(fā)生的可能性越大，則它的概率越接近1；反之，事件發(fā)生的可能性越小，則它的概率越接近0。（5）一個事件的概率取值：0≤P（A）≤1當這個事件為必然事件時，必然事件的概率為1，即P（必然事件）＝1不可能事件的概率為0，即P（不可能事件）＝0隨機事件的概率：如果A為隨機事件，則0＜P（A）＜1（6）可能性與概率的關(guān)系事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件發(fā)生的可能性越小，則它的概率越接近0．求概率方法：（1）列舉法：通常在一次事件中可能發(fā)生的結(jié)果比較少時，我們可以把所有可能產(chǎn)生的結(jié)果全部列舉出來，并且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等時使用。等可能性事件的概率可以用列舉法而求得。但是我們可以通過用列表法和樹形圖法來輔助枚舉法。（2）列表法：當一次實驗要涉及兩個因素（例如擲兩個骰子），并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果時使用。（3）列樹形圖法：當一個實驗要涉及3個或更多的因素（例如從3個口袋中取球）時，列表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果時使用?！厩鍐?2】頻率與概率1、頻數(shù)：在多次試驗中，某個事件出現(xiàn)的次數(shù)叫頻數(shù)2、頻率：某個事件出現(xiàn)的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比，叫做這個事件出現(xiàn)的頻率3、一般地，在大量重復(fù)試驗中，如果事件 A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近 ，那么，這個常數(shù)p就叫作事件A的概率，記為P（A）=P。【清單03】平行投影1.一般地，用光線照射物體，在某個平面(地面或墻壁等)上得到的影子，叫做物體的投影.只要有光線，有被光線照到的物體，就存在影子.太陽光線可看做平行的，象這樣的光線照射在物體上，所形成的投影叫做平行投影.由此我們可得出這樣兩個結(jié)論：

(1)等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在太陽光下，它們的影子一樣長.

(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度.

2.物高與影長的關(guān)系（1）在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時刻，物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東北→東，影長也是由長變短再變長.

（2）在同一時刻，不同物體的物高與影長成正比例.

即：.

利用上面的關(guān)系式可以計算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.

注意：利用影長計算物高時，要注意的是測量兩物體在同一時刻的影長.

【清單04】中心投影若一束光線是從一點發(fā)出的，像這樣的光線照射在物體上所形成的投影，叫做中心投影.這個“點”就是中心，相當于物理上學習的“點光源”.生活中能形成中心投影的點光源主要有手電筒、路燈、臺燈、投影儀的燈光、放映機的燈光等.相應(yīng)地，我們會得到兩個結(jié)論：(1)等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的物體它的影子長.

(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示.一般情況下，離點光源越近，影子越長；離點光源越遠，影子越短，但不會比物體本身的長度還短.

在中心投影的情況下，還有這樣一個重要結(jié)論：點光源、物體邊緣上的點以及它在影子上的對應(yīng)點在同一條直線上，根據(jù)其中兩個點，就可以求出第三個點的位置.

注意：

光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影，光源或物體的方向改變，則該物體的影子的方向也發(fā)生變化，但光源、物體的影子始終分離在物體的兩側(cè).

【清單05】正投影正投影的定義：

如圖所示，圖(1)中的投影線集中于一點，形成中心投影；圖(2)(3)中，投影線互相平行，形成平行投影；圖(2)中，投影線斜著照射投影面；圖(3)中投影線垂直照射投影面(即投影線正對著投影面)，我們也稱這種情形為投影線垂直于投影面.像圖(3)這樣，投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影.

(1)線段的正投影分為三種情況.如圖所示.

①線段AB平行于投影面P時，它的正投影是線段A1B1，與線段AB的長相等；

②線段AB傾斜于投影面P時，它的正投影是線段A2B2，長小于線段AB的長；

③線段AB垂直于投影面P時，它的正投影是一個點.

(2)平面圖形正投影也分三種情況，如圖所示.

①當平面圖形平行于投影面Q時，它的正投影與這個平面圖形的形狀、大小完全相同，即正投影與這個平面圖形全等；

②當平面圖形傾斜于投影面Q時，平面圖形的正投影與這個平面圖形的形狀、大小發(fā)生變化，即會縮小，是類似圖形但不一定相似.

③當平面圖形垂直于投影面Q時，它的正投影是直線或直線的一部分.(3)立體圖形的正投影.

物體的正投影的形狀、大小與物體相對于投影面的位置有關(guān)，立體圖形的正投影與平行于投影面且過立體圖形的最大截面全等.【清單06】三視圖視圖的定義

從某一角度觀察一個物體時，所看到的圖象叫做物體的一個視圖.（2）正面、水平面和側(cè)面

用三個互相垂直的平面作為投影面，其中正對我們的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右邊的面叫做側(cè)面.

（3）三視圖

一個物體在三個投影面內(nèi)同時進行正投影，在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.（4）畫圖方法：

畫一個幾何體的三視圖時，要從三個方面觀察幾何體，具體畫法如下：

(1)確定主視圖的位置，畫出主視圖；

(2)在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長對正”；

(3)在主視圖的正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”.

幾何體上被其他部分遮擋而看不見的部分的輪廓線應(yīng)畫成虛線.

注意：

畫一個幾何體的三視圖，關(guān)鍵是把從正面、上方、左邊三個方向觀察時所得的視圖畫出來，所以，首先要注意觀察時視線與觀察面垂直，即觀察到的平面圖是該圖的正投影；其二，要注意正確地用虛線表示看不到的輪廓線；其三，要充分發(fā)揮想象，多實踐，多與同學交流探討，多總結(jié)；最后，按三視圖的位置和大小要求從整體上畫出幾何體的三視圖.【考點題型一】概率有關(guān)運算【典例1】如圖，電路圖上有1個小燈泡以及4個斷開狀態(tài)的開關(guān)A，B，C，D，現(xiàn)隨機閉合兩個開關(guān)，小燈泡發(fā)光的概率為（）A．13 B．23 C．34【變式1-1】某校開設(shè)了4門知識類拓展課程，每位同學都要選修其中的2門，課程的代號和名稱如下表所示，請完成下列問題：課程代號ABCD課程名稱《趣味數(shù)學》《朝花文學社》《地理之窗》《物理與生活》(1)用恰當?shù)姆椒信e出小明選修2門課程所有可能的結(jié)果（用課程代號A，B，C，D表示）．(2)求小明選修的2門課程恰好是《趣味數(shù)學》和《朝花文學社》的概率．【變式1-2】在一個不透明的盒子中放有四張卡片，每張卡片上寫有一個實數(shù)，分別為?2，0，2，π，卡片除了上面的實數(shù)不同外，其余都相同．(1)從盒子中隨機抽取一張卡片，卡片上的實數(shù)是正數(shù)的概率為________；(2)先從盒子中隨機抽取一張卡片，卡片不放回，再隨機抽取一張卡片，請你用列表法或畫樹狀圖的方法求出兩次抽取的卡片上的實數(shù)之積為有理數(shù)的概率．【變式1-3】某校勞動實踐基地共開設(shè)五門勞動實踐課程，分別是A：床鋪整理，B：衣物清洗，C：手工制作、D：簡單烹飪、E：綠植栽培；課程開設(shè)一段時間后，季老師采用抽樣調(diào)查的方式在全校學生中開展了“我最喜歡的勞動實踐課程”為主題的問卷調(diào)查．根據(jù)調(diào)查所收集的數(shù)我進行整理、繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中信息，請回答下列問題：(1)請將條形統(tǒng)計圖補充完整，并直接寫出“手工制作”對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)；(2)若該校共有1800名學生，請你估計全校最喜歡“綠植栽培”的學生人數(shù)；(3)小蘭同學從B、C、D三門課程中隨機選擇一門參加勞動實踐，小亮同學從C、D、E三門課程中隨機選擇一門參加勞動實踐，求兩位同學選擇相同課程的概率．【考點題型二】利用頻率估計概率

【典例2】如圖1，長為10cm，寬為8cm由此可估計不規(guī)則圖案的面積大約為（

）A．32cm2 B．24cm2 C．【變式2-1】在一個不透明的盒子里裝有若干個白球和16個紅球，這些球除顏色不同外其余均相同．搖勻每次從盒子中摸出一個球記錄下顏色后再放回，經(jīng)過多次重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則盒子中白球約有個．【變式2-2】某農(nóng)科院在相同條件下作了某種蘋果幼樹移植成活率的試驗，結(jié)果如下表，根據(jù)以下數(shù)據(jù)，估計該種蘋果幼樹在此條件下移植成活的概率為．（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）移植棵樹n10050010004000150002000030000成活棵樹m864328653500131701758026430成活頻率m0.860.8640.8650.8750.8780.8790.881【變式2-3】生活在數(shù)字時代的我們，很多場合都要用到二維碼，二維碼的生成原理是用特定的幾何圖形按編排規(guī)律在二維方向上分布，采用黑白相間的圖形來記錄數(shù)據(jù)的符號信息，九年級學生王東幫媽媽打印了一個收款二維碼如圖所示，該二維碼的面積為9cm2，他在該二維碼上隨機擲點，經(jīng)過大量重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)點落在白色區(qū)域的頻率穩(wěn)定在0.4【考點題型三】正投影【典例3】物體正投影的形狀、大小與它相對于投影面的位置有關(guān)．一個正方形紙板的正投影不可能是（

）A．一條線段 B．一個與原正方形全等的正方形C．一個鄰邊不等的平行四邊形 D．一個等腰梯形【變式3-1】一個正五棱柱如下圖擺放，光線由上到下照射此正五棱柱時的正投影是（

）A． B． C． D．【變式3-2】球在平面上的正投影是()A．圓面 B．橢圓面 C．點 D．線段【變式3-3】矩形紙片在平行投影下的正投影不可能是（

）A．矩形 B．平行四邊形 C．線段 D．點【考點題型四】平行投影【典例4】在下列四幅圖形中，能表示兩棵小樹在同一時刻陽光下影子的圖形的可能是（

）A． B．C． D．【變式4-1】下列各種現(xiàn)象中，屬于平行投影的是（

）A．皮影戲中的影子 B．陽光下旗桿的影子C．臺燈下的筆筒的影子 D．汽車燈光照射下行人的影子【變式4-2】在某一時刻，測得一根高為1.8m的竹竿的影長為3m，同時測得一根旗桿的影長為10m，那么這根旗桿的高度為【變式4-3】如圖，在一面與地面垂直的圍墻的同側(cè)有一根高10米的旗桿AB和一根高7米的電線桿CD，它們都與地面垂直．某一時刻，在太陽光照射下，旗桿落在地面上的影子BF的長為10米，落在圍墻上的影子EF的長度為2米，而電線桿落在地面上的影子DH的長為5米，則落在圍墻上的影子GH的長為米．

【考點題型五】中心投影【典例5】如圖，一墻墩（用線段AB表示）的影子是BC，小明（用線段DE表示）的影子是EF，在M處有一棵大樹，它的影子是MN．(1)試判斷圖中的影子是路燈照射形成還是太陽光照射形成的，如果是路燈照射形成的，請確定路燈的位置（用點P表示）；如果是太陽光照射形成的，請畫出太陽光線；(2)在圖中畫出表示大樹高的線段；(3)若小明的身高是1.8m，他的影長EF=1.8m．大樹的高度為7.2m，它的影長MN=7.2

【變式5-1】如圖，在平面直角坐標系中，點2,3是一個光源．木桿AB兩端的坐標分別為?1,1，3,1．則木桿AB在x軸上的投影A′B′

A．23 B．32 C．5【變式5-1】如圖，小明家的客廳有一張高0.6米的圓桌，直徑BC為0.8米，在距地面2米的A處有一盞燈，圓桌的影子最外側(cè)兩點分別為D，E，依據(jù)題意建立平面直角坐標系，其中點E的坐標為4,0，則點D的坐標是．【變式5-2】如圖，在平面直角坐標系中，點光源位于P2,2處，木桿AB兩端的坐標分別為0,1,3,1．則木桿AB在x軸上的影長CD【考點題型六】幾何體的視圖【典例6】如圖是一個放置在水平試驗臺上的錐形瓶，則它的俯視圖為（

）A．B．C．D．【變式6-1】中國體育代表團在2024年巴黎奧運會上取得了優(yōu)異的成績，奧運會的領(lǐng)獎臺可以近似的看成如圖所示的立體圖形，它的左視圖是（

）A．B．C．D．【變式6-2】榫卯（sūnmāo）是古代中國建筑的主要結(jié)構(gòu)方式，凸出部分叫榫，凹進部分叫卯，如圖是某個部件“卯”的實物圖，它的俯視圖是（

）A． B．C． D．【變式6-3】如圖所示為某幾何體的示意圖，該幾何體的左視圖應(yīng)為（

）

A． B． C． D．【考點題型七】由三視圖判斷幾何體【典例7】用若干大小相同的小正方體搭一個立體圖形，使得立體圖形的三視圖如圖所示，則這個立體圖形是（

）A． B． C． D．【變式7-1】如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（

）A．長方體 B．三棱錐 C．三棱柱 D．正方體【變式7-2】如圖所示的三視圖對應(yīng)的幾何體是（

）A．長方體 B．三棱錐 C．圓錐 D．三棱柱【變式7-3】如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的展開圖可以是（

）A．B． C． D．【考點題型八】根據(jù)三視圖求面積和體積【典例8】根據(jù)所給立體圖形的三視圖．(1)寫出這個立體圖形的名稱：________；(2)求出這個立體圖形的表面積．【變式8-1】如圖是某幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，求得該幾何體的體積為（

）A．800π+1200 B．160π+1700 C．3200π+1200 D．800π+3000【變式8-2】如圖所示是某工件的三視圖，此工件是形，它的體積是．（結(jié)果保留π）

【變式8-3】如圖，是由一個長方體和圓柱組合而成的幾何體，長方體的寬與圓柱底面圓的直徑相等，圓柱的高是長方體的高的2倍．(1)畫出該幾何體的主視圖和左視圖；主視圖：

左視圖：(2)若長方體的長為10cm，寬為4cm，高為3cm

清單03概率投影和視圖（8個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】概率1.定義：一般地，對于一個隨機事件A，把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機事件A發(fā)生的概率，記為P(A)．（1）一個事件在多次試驗中發(fā)生的可能性，反映這個可能性大小的數(shù)值叫做這個事件發(fā)生的概率。（2）概率指的是事件發(fā)生的可能性大小的的一個數(shù)值。2、概率的求法：一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=．（1）一般地，所有情況的總概率之和為1。（2）在一次實驗中,可能出現(xiàn)的結(jié)果有限多個.（3）在一次實驗中,各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等.（4）概率從數(shù)量上刻畫了一個隨機事件發(fā)生的可能性的大小，事件發(fā)生的可能性越大，則它的概率越接近1；反之，事件發(fā)生的可能性越小，則它的概率越接近0。（5）一個事件的概率取值：0≤P（A）≤1當這個事件為必然事件時，必然事件的概率為1，即P（必然事件）＝1不可能事件的概率為0，即P（不可能事件）＝0隨機事件的概率：如果A為隨機事件，則0＜P（A）＜1（6）可能性與概率的關(guān)系事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件發(fā)生的可能性越小，則它的概率越接近0．求概率方法：（1）列舉法：通常在一次事件中可能發(fā)生的結(jié)果比較少時，我們可以把所有可能產(chǎn)生的結(jié)果全部列舉出來，并且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等時使用。等可能性事件的概率可以用列舉法而求得。但是我們可以通過用列表法和樹形圖法來輔助枚舉法。（2）列表法：當一次實驗要涉及兩個因素（例如擲兩個骰子），并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果時使用。（3）列樹形圖法：當一個實驗要涉及3個或更多的因素（例如從3個口袋中取球）時，列表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果時使用?！厩鍐?2】頻率與概率1、頻數(shù)：在多次試驗中，某個事件出現(xiàn)的次數(shù)叫頻數(shù)2、頻率：某個事件出現(xiàn)的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比，叫做這個事件出現(xiàn)的頻率3、一般地，在大量重復(fù)試驗中，如果事件 A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近 ，那么，這個常數(shù)p就叫作事件A的概率，記為P（A）=P?！厩鍐?3】平行投影1.一般地，用光線照射物體，在某個平面(地面或墻壁等)上得到的影子，叫做物體的投影.只要有光線，有被光線照到的物體，就存在影子.太陽光線可看做平行的，象這樣的光線照射在物體上，所形成的投影叫做平行投影.由此我們可得出這樣兩個結(jié)論：

(1)等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在太陽光下，它們的影子一樣長.

(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度.

2.物高與影長的關(guān)系（1）在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時刻，物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東北→東，影長也是由長變短再變長.

（2）在同一時刻，不同物體的物高與影長成正比例.

即：.

利用上面的關(guān)系式可以計算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.

注意：利用影長計算物高時，要注意的是測量兩物體在同一時刻的影長.

【清單04】中心投影若一束光線是從一點發(fā)出的，像這樣的光線照射在物體上所形成的投影，叫做中心投影.這個“點”就是中心，相當于物理上學習的“點光源”.生活中能形成中心投影的點光源主要有手電筒、路燈、臺燈、投影儀的燈光、放映機的燈光等.相應(yīng)地，我們會得到兩個結(jié)論：(1)等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的物體它的影子長.

(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示.一般情況下，離點光源越近，影子越長；離點光源越遠，影子越短，但不會比物體本身的長度還短.

在中心投影的情況下，還有這樣一個重要結(jié)論：點光源、物體邊緣上的點以及它在影子上的對應(yīng)點在同一條直線上，根據(jù)其中兩個點，就可以求出第三個點的位置.

注意：

光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影，光源或物體的方向改變，則該物體的影子的方向也發(fā)生變化，但光源、物體的影子始終分離在物體的兩側(cè).

【清單05】正投影正投影的定義：

如圖所示，圖(1)中的投影線集中于一點，形成中心投影；圖(2)(3)中，投影線互相平行，形成平行投影；圖(2)中，投影線斜著照射投影面；圖(3)中投影線垂直照射投影面(即投影線正對著投影面)，我們也稱這種情形為投影線垂直于投影面.像圖(3)這樣，投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影.

(1)線段的正投影分為三種情況.如圖所示.

①線段AB平行于投影面P時，它的正投影是線段A1B1，與線段AB的長相等；

②線段AB傾斜于投影面P時，它的正投影是線段A2B2，長小于線段AB的長；

③線段AB垂直于投影面P時，它的正投影是一個點.

(2)平面圖形正投影也分三種情況，如圖所示.

①當平面圖形平行于投影面Q時，它的正投影與這個平面圖形的形狀、大小完全相同，即正投影與這個平面圖形全等；

②當平面圖形傾斜于投影面Q時，平面圖形的正投影與這個平面圖形的形狀、大小發(fā)生變化，即會縮小，是類似圖形但不一定相似.

③當平面圖形垂直于投影面Q時，它的正投影是直線或直線的一部分.(3)立體圖形的正投影.

物體的正投影的形狀、大小與物體相對于投影面的位置有關(guān)，立體圖形的正投影與平行于投影面且過立體圖形的最大截面全等.【清單06】三視圖視圖的定義

從某一角度觀察一個物體時，所看到的圖象叫做物體的一個視圖.（2）正面、水平面和側(cè)面

用三個互相垂直的平面作為投影面，其中正對我們的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右邊的面叫做側(cè)面.

（3）三視圖

一個物體在三個投影面內(nèi)同時進行正投影，在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.（4）畫圖方法：

畫一個幾何體的三視圖時，要從三個方面觀察幾何體，具體畫法如下：

(1)確定主視圖的位置，畫出主視圖；

(2)在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長對正”；

(3)在主視圖的正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”.

幾何體上被其他部分遮擋而看不見的部分的輪廓線應(yīng)畫成虛線.

注意：

畫一個幾何體的三視圖，關(guān)鍵是把從正面、上方、左邊三個方向觀察時所得的視圖畫出來，所以，首先要注意觀察時視線與觀察面垂直，即觀察到的平面圖是該圖的正投影；其二，要注意正確地用虛線表示看不到的輪廓線；其三，要充分發(fā)揮想象，多實踐，多與同學交流探討，多總結(jié)；最后，按三視圖的位置和大小要求從整體上畫出幾何體的三視圖.【考點題型一】概率有關(guān)運算【典例1】如圖，電路圖上有1個小燈泡以及4個斷開狀態(tài)的開關(guān)A，B，C，D，現(xiàn)隨機閉合兩個開關(guān)，小燈泡發(fā)光的概率為（）A．13 B．23 C．34【答案】A【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與小燈泡發(fā)光的情況，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】解：畫樹狀圖得：∵共有12種等可能的結(jié)果，現(xiàn)任意閉合其中兩個開關(guān)，則小燈泡發(fā)光的有4種情況，∴小燈泡發(fā)光的概率為412故選：A．【變式1-1】某校開設(shè)了4門知識類拓展課程，每位同學都要選修其中的2門，課程的代號和名稱如下表所示，請完成下列問題：課程代號ABCD課程名稱《趣味數(shù)學》《朝花文學社》《地理之窗》《物理與生活》(1)用恰當?shù)姆椒信e出小明選修2門課程所有可能的結(jié)果（用課程代號A，B，C，D表示）．(2)求小明選修的2門課程恰好是《趣味數(shù)學》和《朝花文學社》的概率．【答案】(1)見解析(2)1【分析】本題考查的是用樹狀圖法求概率．（1）畫出樹狀圖即可；（2）畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，其中小明選修的2門課程恰好是《趣味數(shù)學》和《朝花文學社》的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【詳解】（1）解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的選法；（2）解：由（1）中樹狀圖得：共有12種等可能的結(jié)果，其中小明選修的2門課程恰好是《趣味數(shù)學》和《朝花文學社》的結(jié)果有2種，∴他們兩人恰好選到同一門的概率為212【變式1-2】在一個不透明的盒子中放有四張卡片，每張卡片上寫有一個實數(shù)，分別為?2，0，2，π，卡片除了上面的實數(shù)不同外，其余都相同．(1)從盒子中隨機抽取一張卡片，卡片上的實數(shù)是正數(shù)的概率為________；(2)先從盒子中隨機抽取一張卡片，卡片不放回，再隨機抽取一張卡片，請你用列表法或畫樹狀圖的方法求出兩次抽取的卡片上的實數(shù)之積為有理數(shù)的概率．【答案】(1)1(2)2【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式、實數(shù)的運算，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．（1）由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中卡片上的實數(shù)是正數(shù)的結(jié)果有2種，利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及兩次抽取的卡片上的實數(shù)之積為有理數(shù)的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】（1）解：由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中卡片上的實數(shù)是正數(shù)的結(jié)果有2種，∴從盒子中隨機抽取一張卡片，卡片上的實數(shù)是正數(shù)的概率為12故答案為：12（2）解：列表如下：?202π?2?2,0?2,2?2,00,?20,20,22,?22,02,ππππ共有12種等可能的結(jié)果，其中兩次抽取的卡片上的實數(shù)之積為有理數(shù)的結(jié)果有：?2,0，?2,2，0,?2，0,2，0,π，2,?2，2,0，π∴兩次抽取的卡片上的實數(shù)之積為有理數(shù)的概率為：8【變式1-3】某校勞動實踐基地共開設(shè)五門勞動實踐課程，分別是A：床鋪整理，B：衣物清洗，C：手工制作、D：簡單烹飪、E：綠植栽培；課程開設(shè)一段時間后，季老師采用抽樣調(diào)查的方式在全校學生中開展了“我最喜歡的勞動實踐課程”為主題的問卷調(diào)查．根據(jù)調(diào)查所收集的數(shù)我進行整理、繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中信息，請回答下列問題：(1)請將條形統(tǒng)計圖補充完整，并直接寫出“手工制作”對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)；(2)若該校共有1800名學生，請你估計全校最喜歡“綠植栽培”的學生人數(shù)；(3)小蘭同學從B、C、D三門課程中隨機選擇一門參加勞動實踐，小亮同學從C、D、E三門課程中隨機選擇一門參加勞動實踐，求兩位同學選擇相同課程的概率．【答案】(1)補充條形統(tǒng)計圖見解析，72°(2)540人(3)2【分析】（1）根據(jù)選擇“E”的人數(shù)及比例求出總?cè)藬?shù)，總?cè)藬?shù)乘以D占的比例求得“D”的人數(shù)，總?cè)藬?shù)減去其他類別的人數(shù)求得“A”的人數(shù)，據(jù)此即可將條形統(tǒng)計圖補充完整，再用360°乘以“C”占的比例即為“手工制作”對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)；（2）利用樣本估計總體思想求解；（3）通過列表或畫樹狀圖列出所有等可能的情況，再從中找出符合條件的情況數(shù)，再利用概率公式計算即可；本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，利用樣本估計總體，利用畫樹狀圖或者列表法求概率，解題的關(guān)鍵是將條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖的信息進行關(guān)聯(lián)，掌握畫樹狀圖或者列表法求概率的原理．【詳解】（1）解：參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)為：30÷30%∴“D”的人數(shù)100×25%∴“A”的人數(shù)100?10?20?25?30=15人，補充條形統(tǒng)計圖如圖：“手工制作”對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)360°×20（2）解：1800×30%答：估計全校最喜歡“綠植栽培”的學生人數(shù)為540人；（3）解：畫樹狀圖如下：

由圖可知，共有9種等可能的情況，其中兩位同學選擇相同課程的情況有2種，∴甲乙兩位同學選擇相同課程的概率為29【考點題型二】利用頻率估計概率

【典例2】如圖1，長為10cm，寬為8cm由此可估計不規(guī)則圖案的面積大約為（

）A．32cm2 B．24cm2 C．【答案】B【分析】本題考查了幾何概率以及用頻率估計概率，并在此基礎(chǔ)上進行了題目創(chuàng)新，關(guān)鍵在于讀懂折線統(tǒng)計圖的含義，隨著實驗次數(shù)的增加，頻率穩(wěn)定于0.3附近，由此得實驗的頻率，并把它作為概率．這對學生知識的靈活應(yīng)用提出了更高的要求．根據(jù)折線統(tǒng)計圖知，當實驗的次數(shù)逐漸增加時，樣本的頻率穩(wěn)定在0.3，因此用頻率估計概率，再根據(jù)幾何概率知，不規(guī)則圖案的面積與矩形面積的比為0.3，即可求得不規(guī)則圖案的面積．【詳解】解：由折線統(tǒng)計圖知，隨著實驗次數(shù)的增加，小球落在不規(guī)則圖案上的頻率穩(wěn)定在0.3，于是把0.3作為概率．設(shè)不規(guī)則圖案的面積為xcm2，則有解得：x=24，即不規(guī)則圖案的面積為24cm故選：B．【變式2-1】在一個不透明的盒子里裝有若干個白球和16個紅球，這些球除顏色不同外其余均相同．搖勻每次從盒子中摸出一個球記錄下顏色后再放回，經(jīng)過多次重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則盒子中白球約有個．【答案】24【分析】本題考查了利用頻率估計概率，涉及到了解分式方程，一般地，隨著試驗次數(shù)的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率，我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性，由題意得：摸到白球的概率為0.6，設(shè)盒子中白球約有x個，則xx+16【詳解】解：由題意得：摸到白球的概率為0.6，設(shè)盒子中白球約有x個，則xx+16解得：x=24，經(jīng)檢驗，符合題意；故答案為：24．【變式2-2】某農(nóng)科院在相同條件下作了某種蘋果幼樹移植成活率的試驗，結(jié)果如下表，根據(jù)以下數(shù)據(jù)，估計該種蘋果幼樹在此條件下移植成活的概率為．（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）移植棵樹n10050010004000150002000030000成活棵樹m864328653500131701758026430成活頻率m0.860.8640.8650.8750.8780.8790.881【答案】0.88【分析】本題考查了利用頻率估計概率．表中數(shù)據(jù)實驗頻率逐漸穩(wěn)定在0.881左右，則這種蘋果幼樹在此條件下移植成活的概率約為0.88．【詳解】解：根根據(jù)表中數(shù)據(jù)，實驗頻率逐漸穩(wěn)定在0.881左右，則這種蘋果幼樹在此條件下移植成活的概率為0.88，故答案為：0.88．【變式2-3】生活在數(shù)字時代的我們，很多場合都要用到二維碼，二維碼的生成原理是用特定的幾何圖形按編排規(guī)律在二維方向上分布，采用黑白相間的圖形來記錄數(shù)據(jù)的符號信息，九年級學生王東幫媽媽打印了一個收款二維碼如圖所示，該二維碼的面積為9cm2，他在該二維碼上隨機擲點，經(jīng)過大量重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)點落在白色區(qū)域的頻率穩(wěn)定在0.4【答案】5.4【分析】本題考查了利用頻率估計概率，解決本題的關(guān)鍵是掌握概率公式．用總面積乘以落入黑色部分的頻率穩(wěn)定值即可．【詳解】解：經(jīng)過大量重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)點落在白色區(qū)域的頻率穩(wěn)定在0.4左右則1?0.4=0.6∴點落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，據(jù)此可以估計黑色部分的面積為9cm故答案為：5.4cm【考點題型三】正投影【典例3】物體正投影的形狀、大小與它相對于投影面的位置有關(guān)．一個正方形紙板的正投影不可能是（

）A．一條線段 B．一個與原正方形全等的正方形C．一個鄰邊不等的平行四邊形 D．一個等腰梯形【答案】D【分析】本題考查了投影，根據(jù)投影的含義進行判斷即可；【詳解】解：當正方形紙板所在平面與光線平行時，得到的正投影是一條線段；正方形紙板所在平面與光線垂直時，得到一個與原正方形全等的正方形；正方形紙板所在平面與光線不垂直也不平行時，得到一個平行四邊形；正投影不可能得到等腰梯形；故選：D．【變式3-1】一個正五棱柱如下圖擺放，光線由上到下照射此正五棱柱時的正投影是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】正投影即投影線垂直于頂面產(chǎn)生的投影，據(jù)此直接選擇即可．【詳解】光線由上向下照射，此正五棱柱的正投影是故選：B．【點睛】此題考查平行投影，解題關(guān)鍵此五棱柱的正投影與頂面的形狀大小完全相同．【變式3-2】球在平面上的正投影是()A．圓面 B．橢圓面 C．點 D．線段【答案】A【分析】根據(jù)正投影的定義即可求解，正投影是指平行投射線垂直于投影面．【詳解】解：球在平面上的正投影是圓面，故選：A．【點睛】本題考查了正投影的定義，熟練掌握正投影的定義是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】矩形紙片在平行投影下的正投影不可能是（

）A．矩形 B．平行四邊形 C．線段 D．點【答案】D【分析】根據(jù)平行投影的特點：在同一時刻，平行物體的投影仍舊平行，即可得出答案．【詳解】解：在同一時刻，平行物體的投影仍舊平行．得到的應(yīng)是平行四邊形或特殊的平行四邊形．故長方形的正投影不可能是點，故選：D．【點睛】此題主要考查了平行投影的性質(zhì)，利用太陽光線是平行的，那么對邊平行的圖形得到的投影依舊平行是解題關(guān)鍵．【考點題型四】平行投影【典例4】在下列四幅圖形中，能表示兩棵小樹在同一時刻陽光下影子的圖形的可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了平行投影特點，熟練掌握平行投影的特點是解題的關(guān)鍵；平行投影特點是在同一時刻，不同物體的影子同向，且不同物體的物高和影長成比例．根據(jù)平行投影特點結(jié)合選項判斷即可．【詳解】解：A、影子的方向不相同，故本選項錯誤；B、影子的方向不相同，故本選項錯誤；C、相同樹高與影子是成正比的，較高的樹的影子長度小于較低的樹的影子，故本選項錯誤；D、影子平行，且較高的樹的影子長度大于較低的樹的影子，故本選項正確；故選：D．【變式4-1】下列各種現(xiàn)象中，屬于平行投影的是（

）A．皮影戲中的影子 B．陽光下旗桿的影子C．臺燈下的筆筒的影子 D．汽車燈光照射下行人的影子【答案】B【分析】此題主要考查了中心投影、平行投影；根據(jù)中心投影的光源為燈光，平行投影的光源為陽光，找到是太陽光的光源即可．【詳解】解：A.皮影戲中的影子為中心投影，故此選項不合題意；

B.陽光下旗桿的影子為平行投影，符合題意；C.臺燈下的筆筒的影子為中心投影，故此選項不合題意；

D.汽車燈光照射下行人的影子為中心投影，故此選項不合題意；故選：B．【變式4-2】在某一時刻，測得一根高為1.8m的竹竿的影長為3m，同時測得一根旗桿的影長為10m，那么這根旗桿的高度為【答案】6【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，平行投影，根據(jù)“同時同地物高與影長成正比”列式計算即可得解．解題的關(guān)鍵要熟練掌握相似三角形的性質(zhì)．【詳解】解：設(shè)旗桿高度為xm由題意得：x10解得：x=6，∴這根旗桿的高度為6m．故答案為：6．【變式4-3】如圖，在一面與地面垂直的圍墻的同側(cè)有一根高10米的旗桿AB和一根高7米的電線桿CD，它們都與地面垂直．某一時刻，在太陽光照射下，旗桿落在地面上的影子BF的長為10米，落在圍墻上的影子EF的長度為2米，而電線桿落在地面上的影子DH的長為5米，則落在圍墻上的影子GH的長為米．

【答案】3【分析】本題主要考查了平行投影、矩形的判定與性質(zhì)等知識點，根據(jù)平行投影的對應(yīng)邊成比例列出方程成為解題的關(guān)鍵．如圖：過點E作EM⊥AB于M，過點G作GN⊥CD于N．利用矩形的性質(zhì)和平行投影的知識可以得到比例式AMME=CNNG，即【詳解】解：如圖：過點E作EM⊥AB于M，過點G作GN⊥CD于N．由題意得：四邊形EFBM,GHDN是矩形，則MB=EF=2m，ND=GH，ME=BF=10m，∵AB=10m∴AM=AB?MB=10?2=8m，由平行投影可知：AMME=CN解得：GH=3．故答案為：3．【考點題型五】中心投影【典例5】如圖，一墻墩（用線段AB表示）的影子是BC，小明（用線段DE表示）的影子是EF，在M處有一棵大樹，它的影子是MN．(1)試判斷圖中的影子是路燈照射形成還是太陽光照射形成的，如果是路燈照射形成的，請確定路燈的位置（用點P表示）；如果是太陽光照射形成的，請畫出太陽光線；(2)在圖中畫出表示大樹高的線段；(3)若小明的身高是1.8m，他的影長EF=1.8m．大樹的高度為7.2m，它的影長MN=7.2【答案】(1)見解析(2)見解析(3)路燈的高度為12.6m【分析】本題考查了作圖的應(yīng)用與設(shè)計，掌握中心投影的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）延長CA和FD交于點點P，即為路燈的位置，再確定是什么光線；（2）根據(jù)中心投影的性質(zhì)作圖；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求解．【詳解】（1）解：影子是路燈照射形成的，點P的位置如圖所示；；（2）解：MQ即為樹高如圖所示；（3）解：過P點作PG⊥NF，垂足為G，則PG的長即為路燈的高度由題意知：MN=MQ=7.2m，DE=EF=1.8所以∠QNM=∠DFB=45°，∠NPF=90°，即△PNF為等腰直角三角形，所以PG=即路燈的高度為12.6m

【變式5-1】如圖，在平面直角坐標系中，點2,3是一個光源．木桿AB兩端的坐標分別為?1,1，3,1．則木桿AB在x軸上的投影A′B′

A．23 B．32 C．5【答案】D【分析】延長PA、PB分別交x軸于A′、B′，作PE⊥x軸于E，交AB于D，證明△PAB∽△PA【詳解】解：延長PA、PB分別交x軸于A′、B′，作PE⊥x軸于E，交AB于∵P(2,3)，A(?1,1)，B(3,1)．∴PD=2，PE=3，AB=4，∵AB∥∴△PAB∽△PA∴ABA′B∴A故選：D．

【點睛】本題考查了中心投影：中心投影的光線特點是從一點出發(fā)的投射線．物體與投影面平行時的投影是放大（即位似變換）的關(guān)系．【變式5-1】如圖，小明家的客廳有一張高0.6米的圓桌，直徑BC為0.8米，在距地面2米的A處有一盞燈，圓桌的影子最外側(cè)兩點分別為D，E，依據(jù)題意建立平面直角坐標系，其中點E的坐標為4,0，則點D的坐標是．【答案】207,0【分析】本題考查了中心投影，將中心投影問題轉(zhuǎn)化為相似三角形問題是解題的關(guān)鍵．過點B作BF⊥x軸于點F，根據(jù)題意得：OA=2，BC=0.8，BF=0.6，由BC∥DE可得：△ABC∽△ADE，推出BCDE=AB【詳解】解：過點B作BF⊥x軸于點F，根據(jù)題意得：OA=2，BC=0.8，BF=0.6，∵點E的坐標為4,0，∴OE=4，∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴BCDE=AB解得：DE=8∴OD=OE?DE=4?8∴點D的坐標是207故答案為：207【變式5-2】如圖，在平面直角坐標系中，點光源位于P2,2處，木桿AB兩端的坐標分別為0,1,3,1．則木桿AB在x軸上的影長CD【答案】6【分析】本題考查了中心投影；利用中心投影，作PE⊥x軸于E，交AB于M，如圖，證明△PAB∽△PCD，然后利用相似比可求出CD的長．【詳解】解：過P作PE⊥x軸于E，交AB于M，如圖，∵P2,2∴PM=1,PE=2,AB=3，∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD，∴AB∴3∴CD=6，故答案為：6．【考點題型六】幾何體的視圖【典例6】如圖是一個放置在水平試驗臺上的錐形瓶，則它的俯視圖為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】本題考查簡單組合體的三視圖，俯視圖是從物體的上方看得到的視圖．找到從上方看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中．【詳解】解：該錐形瓶的俯視圖的底層是：故選：C．【變式6-1】中國體育代表團在2024年巴黎奧運會上取得了優(yōu)異的成績，奧運會的領(lǐng)獎臺可以近似的看成如圖所示的立體圖形，它的左視圖是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題主要考查了簡單組合體的三視圖，根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，即可得出答案．【詳解】解：由左視圖的定義知該領(lǐng)獎臺的左視圖如下：．故選：D．【變式6-2】榫卯（sūnmāo）是古代中國建筑的主要結(jié)構(gòu)方式，凸出部分叫榫，凹進部分叫卯，如圖是某個部件“卯”的實物圖，它的俯視圖是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查三視圖，熟練掌握三視圖的畫法，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)俯視圖是從上面觀察到的圖形，進行判斷即可．【詳解】解：由題意，得：“卯”的俯視圖為：故選：B．【變式6-3】如圖所示為某幾何體的示意圖，該幾何體的左視圖應(yīng)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了簡單組合體的三視圖，注意看不到的線用虛線表示．根據(jù)左視圖是從左邊看得到的圖形，可得答案．【詳解】解：從左邊看是一個矩形，中間有一條水平的虛線，故選：A．【考點題型七】由三視圖判斷幾何體【典例7】用若干大小相同的小正方體搭一個立體圖形，使得立體圖形的三視圖如圖所示，則這個立體圖形是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題主要考查了三視圖，關(guān)鍵是把握好三視圖所看的方向．從正面看所得到的圖形是主視圖，從左面看到的圖形是左視圖，從上面看到的圖象是俯視圖，進而解答即可．【詳解】解：由三視圖可得：這個立體圖形可能是，故選：A．【變式7-1】如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（

）A．長方體 B．三棱錐 C．三棱柱 D．正方體【答案】C【分析】本題考