北師版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí)考點(diǎn) 清單08 圓（20個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）

清單08圓（20個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】圓的定義及性質(zhì)圓的定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫圓。這個(gè)固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。圓的表示方法：以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O。圓的特點(diǎn)：在一個(gè)平面內(nèi)，所有到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)組成的圖形。確定圓的條件：1）圓心；2）半徑。圓的對稱性：1）圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸；2）圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形?！厩鍐?2】圓的有關(guān)概念弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦(例如：右圖中的AB)。直徑的概念：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑（例如：右圖中的CD）。備注：1）直徑是同一圓中最長的弦。2）直徑長度等于半徑長度的2倍?；〉母拍睿簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。以A、B為端點(diǎn)的弧記作AB，讀作圓弧AB或弧AB。等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。優(yōu)弧的概念：在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧?！厩鍐?3】圓心角的概念圓心角概念：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角?；?、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等?！厩鍐?4】圓周角的概念圓周角概念：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。（即：圓周角=12推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等。在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對的弧一定相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形?！厩鍐?5】圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對角。即：在⊙中，∵四邊是內(nèi)接四邊形∴【清單06】垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論1：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。常見輔助線做法（考點(diǎn)）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造Rt有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分【清單07】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑是r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，則有：d<r點(diǎn)P在⊙O內(nèi)；d=r點(diǎn)P在⊙O上；d>r點(diǎn)P在⊙O外?！厩鍐?8】過三點(diǎn)的圓過三點(diǎn)的圓不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。三角形的外接圓經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓。3、三角形的外心三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它叫做這個(gè)三角形的外心。【清單09】直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離無交點(diǎn)；2、直線與圓相切有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線與圓相交有兩個(gè)交點(diǎn)；、【清單10】切線的性質(zhì)與判定定理1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵且過半徑外端∴是⊙的切線2、性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖）推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。推論2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：即：①過圓心；②過切點(diǎn)；③垂直切線【清單11】切線長定理切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：∵、是的兩條切線∴；平分【清單12】三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心1、三角形的內(nèi)切圓與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。2、三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它叫做三角形的內(nèi)心。注意：內(nèi)切圓及有關(guān)計(jì)算。（1）三角形內(nèi)切圓的圓心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等。（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，則內(nèi)切圓的半徑r=。（3）S△ABC=，其中a，b，c是邊長，r是內(nèi)切圓的半徑。（4）弦切角：角的頂點(diǎn)在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。如圖，BC切⊙O于點(diǎn)B，AB為弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。BBOAD【清單13】圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算（1）正三角形在⊙中△是正三角形，有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行：；（2）正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，：（3）正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，.【清單14】與正多邊形有關(guān)的概念1、正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。2、正多邊形的半徑正多邊形的外接圓的半徑叫做這個(gè)正多邊形的半徑。3、正多邊形的邊心距正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個(gè)正多邊形的邊心距。4、中心角正多邊形的每一邊所對的外接圓的圓心角叫做這個(gè)正多邊形的中心角。【清單15】正多邊形的對稱性1、正多邊形的軸對稱性正多邊形都是軸對稱圖形。一個(gè)正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心。2、正多邊形的中心對稱性邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是正多邊形的中心。3、正多邊形的畫法先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形?！厩鍐?6】扇形的弧長和面積計(jì)算扇形：（1）弧長公式：；（2）扇形面積公式：：圓心角：扇形多對應(yīng)的圓的半徑：扇形弧長：扇形面積【清單17】扇形與圓柱、圓錐之間聯(lián)系1、圓柱：（1）圓柱側(cè)面展開圖=圓柱的體積：2、圓錐側(cè)面展開圖（1）=（2）圓錐的體積：注意：圓錐的底周長=扇形的弧長（）【考點(diǎn)題型一】圓的定義及性質(zhì)

【典例1】如圖，在⊙O中，AB是直徑，BC=CD=DE，∠AOE=60°，則A．40° B．45° C．50° D．60°【變式1-1】如圖，在⊙O中，AB=CD，∠AOB=35°，則∠COD的度數(shù)是（A．50° B．45° C．40° D．35°【變式1-2】下列說法中正確的是（

）A．直徑是弦，半圓不是弧 B．相等的圓心角所對的弧也相等C．周長相等的兩個(gè)圓是等圓 D．圓是軸對稱圖形，每一條直徑都是它的對稱軸【變式1-2】如圖，在⊙O中，AC=BD，求證：

【考點(diǎn)題型二】運(yùn)用垂徑定理直接求線段的長度

【典例2】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，連接OC，若OE=3，CD=8．(1)求CE的長度；(2)求OC的長度．

【變式2-1】在⊙O中，弦AB長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，則⊙O的半徑為（A．4cm B．5cm C．6cm D．【變式2-2】把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF=CD=12cm，則球的直徑長是（

A．15cm B．16cm C．18cm【變式2-3】如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)H，CD=8，OA=5，則AH的長為．【考點(diǎn)題型三】垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用

【典例3】如圖1，圓形拱門屏風(fēng)是家庭中常見的裝飾隔斷，既美觀又實(shí)用，彰顯出中國元素的韻味．如圖2是一款拱門的示意圖，其中C為AB的中點(diǎn)，D為拱門最高點(diǎn)，線段CD經(jīng)過圓心O，已知拱門的半徑為1.5m，拱門最下端AB=1.8(1)求拱門最高點(diǎn)D到地面的距離；(2)現(xiàn)需要給房間內(nèi)搬進(jìn)一張長和寬均為2m、高為1.2m的桌子，已知搬桌子的兩名工人在搬運(yùn)時(shí)所抬高度相同，且高度為0.5m【變式3-1】HUAWEI?Mate60?Pro是華為技術(shù)有限公司于2023年8月29日上架的一款全球首款支持衛(wèi)星通話的大眾智能手機(jī)，即使在沒有地面網(wǎng)絡(luò)信號(hào)的情況下，也可以撥打接聽衛(wèi)星電話，該手機(jī)還支持AI隔空操控、智感支付、注視不熄屏等智慧功能等．該系列完成了核心技術(shù)領(lǐng)域從0到1的躍遷，讓無數(shù)國人為之自豪并被贊譽(yù)為“爭氣機(jī)”．手機(jī)背面有一條圓弧，象征著以山河之美致敬奔騰不息的力量．如圖，圓弧對應(yīng)的弦AB長80mm，半徑OC⊥AB，垂足為D，弓形高CD長14(1)求AD的長；(2)求半徑OA的長．【變式3-2】民以食為天．我們常見的炒菜鍋可近似的看作拋物線面，鍋蓋可近似的看作圓形面．經(jīng)過鍋心和蓋心的縱斷面是一段拋物線和圓弧線組合而成的封閉圖形，不妨簡稱為“鍋線”，鍋口直徑AB為6dm，鍋深OF為3dm，鍋蓋高OE為1dm（鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同），建立平面直角坐標(biāo)系如圖1所示（單位：dm），如果把鍋縱斷面的拋物線的記為C，把鍋蓋縱斷面所在的圓記作⊙M(1)求拋物線C解析式和弧AB所在⊙M的半徑；(2)鍋中原有水的最大深度為1.5dm（如圖2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高0.5dm，求此時(shí)的水面寬度；(3)如果將底面直徑4dm，高度為0.5dm的圓柱形蒸籠若干個(gè)疊加起來（如圖3）放入鍋中蒸食物（不考慮疊加縫隙），為了讓鍋蓋能夠蓋上，那么最多可以放入這種規(guī)格的圓柱形蒸籠多少個(gè)？【變式3-3】某公路上有一隧道，頂部是圓弧形拱頂，圓心為O，隧道的水平寬AB為24m，AB離地面的高度AE=10m，拱頂最高處C離地面的高度CD為18m，在拱頂?shù)腗，N處安裝照明燈，且M，N離地面的高度相等都等于17

【考點(diǎn)題型四】同心圓

【典例4】如圖，在兩個(gè)同心圓⊙O中，大圓的弦AB與小圓相交于C，D兩點(diǎn)．

(1)求證：AC=BD；(2)若AC=3，BC=5，大圓的半徑R=5，求小圓的半徑r的值．

【變式4-1】如圖，一人口的弧形臺(tái)階，從上往下看是一組同心圓被一條直線所截得的一組圓?。阎總€(gè)臺(tái)階寬度為32cm（即相鄰兩弧半徑相差32cm），測得AB=200cm，AC=BD=40cm，則弧AB所在的圓的半徑為cm【變式4-2】如圖，在兩個(gè)同心圓⊙O中，大圓的弦AB與小圓相交于C，D兩點(diǎn)．(1)求證：AC=BD．(2)若AC=2,BC=4，大圓的半徑R=5，求小圓的半徑r．

【考點(diǎn)題型五】圓周角與圓心角的運(yùn)用

【典例5】如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，若∠ABC=35°，則∠AOC的度數(shù)為（

）A．20° B．40° C．60° D．70°【變式5-1】如圖，在⊙O中，AB為直徑，點(diǎn)C，D是圓上的點(diǎn)，且∠ADC=50°，則∠CAB的度數(shù)為（

）A．50° B．80° C．40° D．30°【變式5-2】如圖，OB是⊙O的半徑，C，D是⊙O上的點(diǎn)，連接OC，BD，CD，若∠BOC=50°，則∠CDB等于（

）A．20° B．22.5° C．25° D．30°【考點(diǎn)題型六】圓內(nèi)接四邊形的綜合運(yùn)用

【典例6】如圖，過四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，C，D的圓，分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．若∠B=50°，EF的度數(shù)為56°，則∠D=【變式6-1】如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，已知∠BOD=100°，則∠BCD的度數(shù)為．【變式6-2】如圖，點(diǎn)C是⊙O的劣弧AB上一點(diǎn)，∠AOB=96°，則∠ACB的度數(shù)為（）

A．192° B．120° C．132° D．150°【變式6-3】如圖，A，B，C，D在⊙O上，∠OAB=25°，則∠ACB的度數(shù)是（

）A．115° B．112.5° C．122.5° D．135°

【考點(diǎn)題型七】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【典例7】已知⊙O的半徑為4，點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，則OP的長可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式7-1】若⊙O所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P，點(diǎn)P到⊙O上點(diǎn)的最大距離為8，最小距離為2，則⊙OA．6 B．10 C．6或10 D．無法確定【變式7-2】若點(diǎn)A在⊙O內(nèi)，點(diǎn)B在⊙O外，OA＝3，OB＝5，則⊙O的半徑r的取值范圍是（

）A．0＜r＜3 B．2＜r＜8 C．3＜r＜5 D．r＞5【變式7-3】若⊙P的半徑為5，圓心P的坐標(biāo)為（﹣3，4），則平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O與⊙P的位置關(guān)系是．

【考點(diǎn)題型八】確定圓的條件

【典例8】小王不慎把一面圓形鏡子打碎了，其中三塊如圖所示，三塊碎片中最有可能配到與原來一樣大小的圓形鏡子的碎片是（

）A．① B．② C．③ D．都不能【變式8-1】給定下列條件可以確定唯一的一個(gè)圓的是（

）A．已知圓心 B．已知半徑 C．已知直徑 D．不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)【變式8-2】已知平面直角坐標(biāo)系中的三個(gè)點(diǎn)分別為A1,?1、B?2,5、C4【變式8-3】在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)有三點(diǎn)：（0，﹣2），（1，﹣1），（2.17，0.37）．則過這三個(gè)點(diǎn)（填“能”或“不能”）畫一個(gè)圓，理由是．

【考點(diǎn)題型九】根據(jù)三角形的外接圓的性質(zhì)的運(yùn)用

【典例9】如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D．(1)請用尺規(guī)作圖作出三角形ABC的外接圓⊙O；（不寫作法及證明，應(yīng)保留作圖痕跡）(2)若BC＝4，AD=5，求⊙O的半徑r．【變式9-1】如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，若⊙O的半徑為r，則△ABC的面積為（

）A．38r2 B．34r2【變式9-2】已知，如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，那么這個(gè)三角形的外接圓直徑是（

A．4 B．5 C．8 D．10【變式9-3】如圖，△ABC的外接圓半徑為8，∠ACB＝60°，則AB的長為（）A．83 B．43 C．6 D．4【考點(diǎn)題型十】直線與圓的位置關(guān)系的判定

【典例10】已知⊙O的半徑為4，點(diǎn)O到直線m的距離為3，則直線m與⊙O的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．不確定【變式10-1】在△ABC中，AB=AC，O為BC中點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，AO長為半徑作⊙A，則⊙A與直線BC的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【變式10-2】在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)(3,2)為圓心，3為半徑的圓與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系為(

)A．與x軸相切，與y軸相離： B．與x軸相交，與y軸相切C．與x軸，y軸都相交 D．與x軸，y軸相離【變式10-3】已知⊙O的半徑是4，圓心O到直線l的距離是3，則直線l與⊙O的公共點(diǎn)有個(gè)．

【考點(diǎn)題型十一】利用切線的性質(zhì)求有關(guān)的角度/邊長的運(yùn)算

【典例11】如圖，AB是⊙O的直徑，AD是⊙O切線，BD交⊙O于點(diǎn)C，∠CAD=50°，則∠B=（

）

A．30° B．40° C．50° D．60°【變式11-1】如圖，P是圓O的直徑AB上一點(diǎn)，PM與圓O相切于點(diǎn)M，連接AM，∠P=30°，若PM=23，則AM的長為【變式11-2】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，過C點(diǎn)的切線與AB的延長線交于P點(diǎn)，若∠P=40°，則∠D的度數(shù)為【變式11-3】如圖，在△ABC中，已知∠ABC=90°，在AB上取一點(diǎn)E，以BE為直徑的⊙O恰與AC相切于點(diǎn)D．若AE=2，AD=4．則BE=，BC=．

【考點(diǎn)題型十二】切線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用【典例12】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)，過C作⊙O的切線交OD的延長線于E，交AB的延長線于F，連EA．(1)求證：EA與⊙O相切；(2)若CE=3，CF=2，求⊙O的半徑．【變式12-1】如圖，⊙O與△ABC的BC邊相切于點(diǎn)B，與AC邊相切于點(diǎn)D，與AB邊交于點(diǎn)E，EB是⊙O的直徑．(1)求證：DE∥(2)若⊙O的半徑是32，AD=2，求CD【變式12-2】如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，以點(diǎn)D為圓心、AD的長為半徑的⊙D與AB相切于點(diǎn)A，與AC相交于點(diǎn)E．(1)求證：BC是⊙D的切線；(2)若AB=5，BC=13，求AC和AD的長．

【考點(diǎn)題型十三】利用切線長定理的性質(zhì)求線段長度或周長

【典例13】如圖，PA、PB、CE分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B、D點(diǎn)，若圓O的半徑為6，OP=10，則△PCE的周長為(

)A．10 B．12 C．16 D．20【變式13-1】如圖，某小區(qū)打算進(jìn)行公共設(shè)施改造，現(xiàn)有一塊邊長為40m的正方形空地ABCD，點(diǎn)O在AB邊的中點(diǎn)處，計(jì)劃在正方形空地內(nèi)搭建一個(gè)以O(shè)為圓心，AB為直徑的半圓形兒童游樂場區(qū)域，過點(diǎn)C作半圓的切線交AD于點(diǎn)N．以CN為正方形的區(qū)域分割線，位于分割線右下方的整個(gè)區(qū)域ABCN作為小區(qū)的休閑區(qū)，則該休閑區(qū)的面積為（）mA．1000 B．140 C．800 D．600【變式13-2】如圖，PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，直線FG切⊙O于點(diǎn)E，交PA于F，交PB于點(diǎn)G，若PA=8cm，則△PFG的周長是【變式13-3】如圖，在四邊形ABCD中，BC、CD、DA分別與⊙O相切于B、E、A三點(diǎn)，AB為⊙O的直徑．若BC=4cm，AD=3

【變式13-4】如圖，PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，過C作⊙O的切線，交PA，PB于點(diǎn)D，E，若PA=6cm，則△PDE的周長是cm

【考點(diǎn)題型十四】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

【典例14】如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、CA分別相切于點(diǎn)D、E、F且AD=2,BC=5，則△ABC的周長為（

）．

A．7 B．14 C．10 D．4【變式14-1】已知△ABC的內(nèi)切圓半徑r=3，D、E、F為切點(diǎn)，∠ABC=60°，BC=8，S△ABC=103

【變式14-2】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、CA分別相切于點(diǎn)D、E、F，若⊙O的半徑為2，AD?DB=24，則AB的長=【考點(diǎn)題型十五】正多邊形與圓求角度

【典例15】如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓，點(diǎn)P是AE?上的的一點(diǎn)，則∠CPD的度數(shù)是（

A．30° B．36° C．45° D．72°【變式15-1】如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，F(xiàn)是AE上一點(diǎn)，則∠DFC的度數(shù)為（

）A．72° B．54° C．36° D．30°【變式15-2】如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，P為AB上一點(diǎn)，連接PA，PE，則∠APE的度數(shù)為（

）A．18° B．36° C．54° D．72°【變式15-3】如圖，正六邊形ABCDEF和正五邊形AHIJK內(nèi)接于⊙O，且有公共頂點(diǎn)A，則∠BOH的度數(shù)為度．【考點(diǎn)題型十六】正多邊形與直角坐標(biāo)系綜合

【典例16】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點(diǎn)O重合，AB∥x軸，交y軸于點(diǎn)P．將△OAP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

）A．3,?1 B．?1,?3 C．?3【變式16-1】2023年11月，臨邑縣迎來了較大程度的降雪，某數(shù)學(xué)興趣小組在實(shí)驗(yàn)過程中發(fā)現(xiàn)每片雪花都有不同的形狀．如圖，將具有“雪花”圖案（邊長為4的正六邊形ABCDEF）的圖形，放在平面直角坐標(biāo)系中，若AB與x軸垂直，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,?3，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）

A．2?23,3 B．(0,1+23) C．【變式16-2】如圖，在正六邊形OABCDE中，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，邊OA落在x軸上.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為4,0，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

【變式16-3】如圖，邊長為2的正六邊形ABCDEF的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，AF∥x軸，將正六邊形ABCDEF繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n次，每次旋轉(zhuǎn)60°，當(dāng)n=2022時(shí)，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為．【變式16-4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正六邊形OABCDE的邊長是2，則它的外接圓圓心P的坐標(biāo)是．

【考點(diǎn)題型十七】弧長的計(jì)算

【典例17】已知點(diǎn)A、B、C在⊙O上，∠ABC=30°，把劣弧BC沿著直線CB折疊交弦AB于點(diǎn)D．BD=9，AD=6，則AC的長為．【變式17-1】扇面畫是中國傳統(tǒng)書畫中一種獨(dú)具特色的藝術(shù)樣式，將扇子的實(shí)用功能與書畫的觀賞功能巧妙結(jié)合．如圖所示，已知OA=10cm，AC=15cm，AB的長為20cm，則CD的長為【變式17-2】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，以點(diǎn)C為圓心，CA的長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D【變式17-3】如圖，矩形紙片ABCD中，AB=16,AD=24，將紙片裁成如圖所示的扇形ABE，若將此扇形圍成圓錐側(cè)面，則此圓錐的底面半徑為．

【考點(diǎn)題型十八】計(jì)算扇形的面積

【典例18】扇形AOB的半徑為10cm，圓心角為54°，則扇形的面積為【變式18-1】如圖，⊙A，⊙B，⊙C的半徑都是2cm，則圖中三個(gè)扇形（即陰影部分）面積之和是．【變式18-2】如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠ABC=40°，連接OA，OC．若⊙O的半徑為3，則扇形AOC（陰影部分）的面積為（結(jié)果保留【變式18-3】如圖，以直角三角形ABC的兩銳角頂點(diǎn)A、B為圓心作等圓，且⊙A與⊙B恰好外切，若AB=4，則圖中陰影面積為【考點(diǎn)題型十九】計(jì)算不規(guī)則圖形的陰影部分面積

【典例19】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=10，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△A'BC'，則AC，AA′【變式19-1】如圖，在△ABC中，AB=5,AC=3,BC=4，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到△ADE，點(diǎn)B經(jīng)過的路徑為弧BD，則圖中陰影部分的面積為．【變式19-2】如圖，AB為半圓的直徑，且AB=4，半圓繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A′的位置，則圖中的陰影部分的面積為【變式19-3】如圖，將半徑為2cm的圓形紙片翻折，使得AB，BC，折痕為AB，BC，則陰影部分的面積為【考點(diǎn)題型二十】圓錐的計(jì)算【典例20】一圓錐的母線長為5，底面半徑為3，則該圓錐的側(cè)面積為．【變式20-1】用圓心角為120°，半徑為3cm的扇形紙片卷成一個(gè)圓錐形無底紙冒（如圖所示），則這個(gè)紙冒的高是（

A．3cm B．22cm C．3【變式20-2】如圖是一個(gè)圓錐與其側(cè)面展開圖，已知圓錐的底面半徑是1，母線長是4．（1）求這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖中∠ABC的度數(shù)．（2）如果A是底面圓周上一點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點(diǎn)，求這只螞蟻爬過的最短距離．【變式20-3】綜合與實(shí)踐主題：裝飾錐形草帽．素材：母線長為25cm、高為20cm的錐形草帽（如圖（步驟1：將紅、橙、黃、藍(lán)、紫卡紙依次按照圓心角1∶2∶1∶2∶3的比例剪成半徑為25cm步驟2：將剪下的扇形卡紙依次粘貼在草帽外表面，彩色卡紙恰好覆蓋草帽外表而且卡紙連接處均無縫隙、不重疊，便可得到五彩草帽．計(jì)算與探究：（1）計(jì)算紅色扇形卡紙的圓心角的度數(shù)；（2）如圖（2），根據(jù)（1）的計(jì)算過程，直接寫出圓錐的高?、母線長a與側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)n°之間的數(shù)量關(guān)系：．

清單08圓（20個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】圓的定義及性質(zhì)圓的定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫圓。這個(gè)固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。圓的表示方法：以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O。圓的特點(diǎn)：在一個(gè)平面內(nèi)，所有到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)組成的圖形。確定圓的條件：1）圓心；2）半徑。圓的對稱性：1）圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸；2）圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形?！厩鍐?2】圓的有關(guān)概念弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦(例如：右圖中的AB)。直徑的概念：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑（例如：右圖中的CD）。備注：1）直徑是同一圓中最長的弦。2）直徑長度等于半徑長度的2倍?；〉母拍睿簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。以A、B為端點(diǎn)的弧記作AB，讀作圓弧AB或弧AB。等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。優(yōu)弧的概念：在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧。【清單03】圓心角的概念圓心角概念：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角?；?、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等?！厩鍐?4】圓周角的概念圓周角概念：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。（即：圓周角=12推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等。在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對的弧一定相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形?！厩鍐?5】圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對角。即：在⊙中，∵四邊是內(nèi)接四邊形∴【清單06】垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論1：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。常見輔助線做法（考點(diǎn)）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造Rt有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分【清單07】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑是r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，則有：d<r點(diǎn)P在⊙O內(nèi)；d=r點(diǎn)P在⊙O上；d>r點(diǎn)P在⊙O外?！厩鍐?8】過三點(diǎn)的圓過三點(diǎn)的圓不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。三角形的外接圓經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓。3、三角形的外心三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它叫做這個(gè)三角形的外心?！厩鍐?9】直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離無交點(diǎn)；2、直線與圓相切有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線與圓相交有兩個(gè)交點(diǎn)；、【清單10】切線的性質(zhì)與判定定理1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵且過半徑外端∴是⊙的切線2、性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖）推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。推論2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：即：①過圓心；②過切點(diǎn)；③垂直切線【清單11】切線長定理切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：∵、是的兩條切線∴；平分【清單12】三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心1、三角形的內(nèi)切圓與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。2、三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它叫做三角形的內(nèi)心。注意：內(nèi)切圓及有關(guān)計(jì)算。（1）三角形內(nèi)切圓的圓心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等。（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，則內(nèi)切圓的半徑r=。（3）S△ABC=，其中a，b，c是邊長，r是內(nèi)切圓的半徑。（4）弦切角：角的頂點(diǎn)在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。如圖，BC切⊙O于點(diǎn)B，AB為弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。BBOAD【清單13】圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算（1）正三角形在⊙中△是正三角形，有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行：；（2）正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，：（3）正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，.【清單14】與正多邊形有關(guān)的概念1、正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。2、正多邊形的半徑正多邊形的外接圓的半徑叫做這個(gè)正多邊形的半徑。3、正多邊形的邊心距正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個(gè)正多邊形的邊心距。4、中心角正多邊形的每一邊所對的外接圓的圓心角叫做這個(gè)正多邊形的中心角?！厩鍐?5】正多邊形的對稱性1、正多邊形的軸對稱性正多邊形都是軸對稱圖形。一個(gè)正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心。2、正多邊形的中心對稱性邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是正多邊形的中心。3、正多邊形的畫法先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形?！厩鍐?6】扇形的弧長和面積計(jì)算扇形：（1）弧長公式：；（2）扇形面積公式：：圓心角：扇形多對應(yīng)的圓的半徑：扇形弧長：扇形面積【清單17】扇形與圓柱、圓錐之間聯(lián)系1、圓柱：（1）圓柱側(cè)面展開圖=圓柱的體積：2、圓錐側(cè)面展開圖（1）=（2）圓錐的體積：注意：圓錐的底周長=扇形的弧長（）【考點(diǎn)題型一】圓的定義及性質(zhì)

【典例1】如圖，在⊙O中，AB是直徑，BC=CD=DE，∠AOE=60°，則A．40° B．45° C．50° D．60°【答案】A【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，由在同圓中等弧對的圓心角相等得∠BOC=1【詳解】∵∠AOE=60°，∠AOE+∠BOE=180°，∴∠BOE=120°，∵BC=∴∠BOC=∠COD=∠DOE=1故選：A．【變式1-1】如圖，在⊙O中，AB=CD，∠AOB=35°，則∠COD的度數(shù)是（A．50° B．45° C．40° D．35°【答案】D【分析】本題考查圓心角，弧，弦的關(guān)系，在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等，由此即可得到答案．【詳解】解：∵AB=CD，∴∠COD=∠AOB=35°．故選：D．【變式1-2】下列說法中正確的是（

）A．直徑是弦，半圓不是弧 B．相等的圓心角所對的弧也相等C．周長相等的兩個(gè)圓是等圓 D．圓是軸對稱圖形，每一條直徑都是它的對稱軸【答案】C【分析】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)．根據(jù)圓的基本性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷，即可求解．【詳解】解：A、直徑是弦，半圓是弧，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、同圓（或等圓）中，相等的圓心角所對的弧也相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、周長相等的兩個(gè)圓是等圓，故本選項(xiàng)正確，符合題意；D、圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C【變式1-2】如圖，在⊙O中，AC=BD，求證：【答案】證明見解析【分析】本題考查了同圓或等圓中等弧所對的弦相等．熟練掌握弧與弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同圓或等圓中等弧所對的弦相等進(jìn)行證明即可．【詳解】證明：∵AC=∴AB+∴AB=∴AB=CD．

【考點(diǎn)題型二】運(yùn)用垂徑定理直接求線段的長度

【典例2】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，連接OC，若OE=3，CD=8．(1)求CE的長度；(2)求OC的長度．【答案】(1)CE=4；(2)OC=5．【分析】此題考查了垂徑定理和勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用．（1）根據(jù)垂徑定理即可求解；（2）根據(jù)勾股定理即可求解；【詳解】（1）解：∵CD⊥AB，∴CE=1（2）解：∵CD⊥AB，∴∠CEO=90°，在Rt△COE中，由勾股定理得，OC=

【變式2-1】在⊙O中，弦AB長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，則⊙O的半徑為（A．4cm B．5cm C．6cm D．【答案】B【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理，連接OA，作OD⊥AB，根據(jù)垂徑定理和勾股定理計(jì)算即可得解．【詳解】解：如圖：連接OA，作OD⊥AB，∵圓心O到AB的距離為3cm∴OD=3cm∵OD⊥AB，∴AD=1由勾股定理可得：⊙O的半徑OA=3故選：B．【變式2-2】把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF=CD=12cm，則球的直徑長是（

A．15cm B．16cm C．18cm【答案】A【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，根據(jù)題意連接OE，OF，作OM⊥EF，延長MO交BC于點(diǎn)N，可得EF=CD=MN=12cm，根據(jù)垂徑定理可得EM=FM=12EF=6cm，設(shè)圓的半徑為r【詳解】解：如圖所示，連接OE，OF，過點(diǎn)O作OM⊥EF于點(diǎn)M，延長MO交BC于點(diǎn)N，

∴EF=CD=MN=12cm，EM=FM=設(shè)圓的半徑為rcm，則OE=OF=ON=rcm，在Rt△EMO中，O∴r2解得，r=152，即圓的半徑為∴球的直徑長為2r=2×15故選：A．【變式2-3】如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)H，CD=8，OA=5，則AH的長為．【答案】8【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，連接OC，根據(jù)垂徑定理求出CH，再根據(jù)勾股定理求出OH即可，根據(jù)垂徑定理得出CH=DH是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接OC，則OC=OA=OB=5，∵CD⊥AB，AB過圓心O，CD=8，∴∠OHC=90°，CH=DH=4，由勾股定理得：OH=O∵OA=5，∴AH=OA+OH=5+3=8，故答案為：8．

【考點(diǎn)題型三】垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用

【典例3】如圖1，圓形拱門屏風(fēng)是家庭中常見的裝飾隔斷，既美觀又實(shí)用，彰顯出中國元素的韻味．如圖2是一款拱門的示意圖，其中C為AB的中點(diǎn)，D為拱門最高點(diǎn)，線段CD經(jīng)過圓心O，已知拱門的半徑為1.5m，拱門最下端AB=1.8(1)求拱門最高點(diǎn)D到地面的距離；(2)現(xiàn)需要給房間內(nèi)搬進(jìn)一張長和寬均為2m、高為1.2m的桌子，已知搬桌子的兩名工人在搬運(yùn)時(shí)所抬高度相同，且高度為0.5m【答案】(1)拱門最高點(diǎn)D到地面的距離為2.7(2)搬運(yùn)該桌子時(shí)能夠通過拱門【分析】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，能夠準(zhǔn)確作出輔助線，根據(jù)勾股定理列出方程是解決問題的關(guān)鍵．（1）連接AO．由垂徑定理可得AC=CB=12AB=0.9m，再用勾股定理解（2）如圖2，連接OM，由垂徑定理可得MP=NP=1m，用勾股定理解Rt△OMP求出OP，比較【詳解】（1）解：如圖1，連接AO．∵CD⊥AB，CD經(jīng)過圓心O，∴AC=CB=1∴OC=A∴CD=OD+OC=1.5+1.2=2.7m∴拱門最高點(diǎn)D到地面的距離為2.7m（2）解：如圖2，MN，EF為桌子的寬度，MN，EF分別交CD于點(diǎn)P，則MP=NP=1m，OM=1.5m，∴OQ=OC?CQ=0.7m在Rt△OMP中，根據(jù)勾股定理，得O即OP解得OP=5∴PQ=OQ+OP=0.7+5∵1.82>1.2+0.5=1.7，∴搬運(yùn)該桌子時(shí)能夠通過拱門．【變式3-1】HUAWEI?Mate60?Pro是華為技術(shù)有限公司于2023年8月29日上架的一款全球首款支持衛(wèi)星通話的大眾智能手機(jī)，即使在沒有地面網(wǎng)絡(luò)信號(hào)的情況下，也可以撥打接聽衛(wèi)星電話，該手機(jī)還支持AI隔空操控、智感支付、注視不熄屏等智慧功能等．該系列完成了核心技術(shù)領(lǐng)域從0到1的躍遷，讓無數(shù)國人為之自豪并被贊譽(yù)為“爭氣機(jī)”．手機(jī)背面有一條圓弧，象征著以山河之美致敬奔騰不息的力量．如圖，圓弧對應(yīng)的弦AB長80mm，半徑OC⊥AB，垂足為D，弓形高CD長14(1)求AD的長；(2)求半徑OA的長．【答案】(1)AD=40mm(2)半徑OA的長為4497【分析】本題考查了垂徑定理，解題關(guān)鍵在于利用垂徑定理和勾股定理構(gòu)造關(guān)于半徑的方程．（1）根據(jù)垂徑定理即可求得AD=40mm（2）利用勾股定理可以得到關(guān)于半徑的一個(gè)方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：∵OC⊥AB，∴AD=1（2）解：設(shè)OA=R，則OD=R?14，在直角三角形OAD中，OA即R2解得R=449答：半徑OA的長為4497【變式3-2】民以食為天．我們常見的炒菜鍋可近似的看作拋物線面，鍋蓋可近似的看作圓形面．經(jīng)過鍋心和蓋心的縱斷面是一段拋物線和圓弧線組合而成的封閉圖形，不妨簡稱為“鍋線”，鍋口直徑AB為6dm，鍋深OF為3dm，鍋蓋高OE為1dm（鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同），建立平面直角坐標(biāo)系如圖1所示（單位：dm），如果把鍋縱斷面的拋物線的記為C，把鍋蓋縱斷面所在的圓記作⊙M(1)求拋物線C解析式和弧AB所在⊙M的半徑；(2)鍋中原有水的最大深度為1.5dm（如圖2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高0.5dm，求此時(shí)的水面寬度；(3)如果將底面直徑4dm，高度為0.5dm的圓柱形蒸籠若干個(gè)疊加起來（如圖3）放入鍋中蒸食物（不考慮疊加縫隙），為了讓鍋蓋能夠蓋上，那么最多可以放入這種規(guī)格的圓柱形蒸籠多少個(gè)？【答案】(1)y=13x2(2)水面寬度為2(3)為了讓鍋蓋能夠蓋上，那么最多可以放入這種規(guī)格的蒸籠4個(gè)【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線C解析式為：y=ax2?3，代入A?3,0求出a的值即可；圓心為M，連接BM，設(shè)BM=r，則（2）根據(jù)題意把y=?1代入（1）中拋物線的解析式，求出x即可；（3）先在拋物線中求出x=2時(shí)，y的值，即DP的值，再借助圖形在⊙M中，求出NG距x軸的距離，即OI的值，再用GD÷2，求出其整數(shù)值即可．【詳解】（1）由題意知拋物線C的頂點(diǎn)為F0,?3，且過A?3,0，∴設(shè)拋物線C解析式為：y=ax∴0=a×9?3，解得：a=1∴拋物線C解析式為：y=1如圖：圓心為M，連接BM，設(shè)BM=r，則MB=ME=r，∵OE=1，∴OM=r?1，在Rt△BOM中，由勾股定理可得：BM∴r解得：r=5，∴⊙M的半徑為5dm（2）∵鍋中原有水的最大深度為1.5dm，又重新加入一定量的水，水位升高0.5∴加水后水面水的最大深度為2∴水面距鍋沿的豎直高度為1m∴當(dāng)y=?1時(shí)，13解得x=±6∴水面寬度為26（3）對于拋物線C，如圖所示：當(dāng)x=2時(shí)，y=1∴DP=5對于⊙M，如圖所示：當(dāng)NG=4dm時(shí)，IG=2∴MI=∵OM=5?1=4∴OI=PG=MI?OM=21∴GD=PG+DP=21∴21∵9<84∴4<84∴為了讓鍋蓋能夠蓋上，那么最多可以放入這種規(guī)格的蒸籠4個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是求出拋物線的解析式和⊙M的半徑，采用數(shù)形結(jié)合的思想解題．【變式3-3】某公路上有一隧道，頂部是圓弧形拱頂，圓心為O，隧道的水平寬AB為24m，AB離地面的高度AE=10m，拱頂最高處C離地面的高度CD為18m，在拱頂?shù)腗，N處安裝照明燈，且M，N離地面的高度相等都等于17

【答案】MN=10【分析】根據(jù)題意和垂徑定理得到CG=8m，AG=12m，CH=1m【詳解】設(shè)CD于AB交于G，與MN交于H，∵CD=18m，∴CG=8m，設(shè)圓拱的半徑為r，在Rt△AOG中，O∴r2解得r=13，∴OC=13m∴OH=13?1=12(m)在Rt△MOH中，O∴132解得MH∴MH=5m∴MN=10m

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，作出輔助線構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．

【考點(diǎn)題型四】同心圓

【典例4】如圖，在兩個(gè)同心圓⊙O中，大圓的弦AB與小圓相交于C，D兩點(diǎn)．

(1)求證：AC=BD；(2)若AC=3，BC=5，大圓的半徑R=5，求小圓的半徑r的值．【答案】(1)見解析(2)10【分析】本題考查垂徑定理和勾股定理，利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形從而利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．（1）過O作OE⊥AB于點(diǎn)E，由垂徑定理可得AE=BE，CE=DE，再用等式的性質(zhì)即可得證；（2）連接OC、OA，利用垂徑定理求出AE，在Rt△AOE中，由勾股定理求出OE2，然后在Rt【詳解】（1）證明：過O作OE⊥AB于點(diǎn)E，如圖，由垂徑定理可得AE=BE，CE=DE，∴AE?CE=BE?DE，∴AC=BD；（2）解：連接OC、OA，如圖，

∵AC=3，BC=5，∴AB=3+5=8，∴AE=4，∴CE=AE?AC=4?3=1，∴在Rt△AOE中，O∴在Rt△COE中，O∴OC=10，即小圓的半徑r為10

【變式4-1】如圖，一人口的弧形臺(tái)階，從上往下看是一組同心圓被一條直線所截得的一組圓?。阎總€(gè)臺(tái)階寬度為32cm（即相鄰兩弧半徑相差32cm），測得AB=200cm，AC=BD=40cm，則弧AB所在的圓的半徑為cm【答案】134【分析】由于所有的環(huán)形是同心圓，畫出同心圓圓心，設(shè)弧AB所在的圓的半徑為r，利用勾股定理列出方程即可解答．【詳解】解：設(shè)弧AB所在的圓的半徑為r，如圖．作OE⊥AB于E，連接OA，OC，則OA=r，OC=r+32，∵OE⊥AB，∴AE=EB=100cm，在RT△OAE中OE在RT△OCE中，OE則r2解得：r=134．故答案為：134．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．【變式4-2】如圖，在兩個(gè)同心圓⊙O中，大圓的弦AB與小圓相交于C，D兩點(diǎn)．(1)求證：AC=BD．(2)若AC=2,BC=4，大圓的半徑R=5，求小圓的半徑r．【答案】(1)證明見解析(2)小圓的半徑r為17【分析】（1）過O作OE⊥AB于點(diǎn)E，由垂徑定理可知E為CD和AB的中點(diǎn)，則可證得結(jié)論；（2）連接OC,OA，由條件可求得CD的長，則可求得CE和AE的長，在Rt△AOE中，利用勾股定理可求得OE的長，在Rt△COE中可求得【詳解】（1）證明：過O作OE⊥AB于點(diǎn)E，如圖1，由垂徑定理可得AE=BE,CE=DE,∴AE?CE=BE?DE,∴AC=BD.（2）解：連接OC,OA，如圖2，∵AC=2,BC=4，∴AB=2+4=6，∴AE=3，∴CE=AE?AC=1，在Rt△AOE中，由勾股定理可得O在Rt△COE中，由勾股定理可得O∴OC=17，即小圓的半徑r為17【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理與勾股定理的知識(shí)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．

【考點(diǎn)題型五】圓周角與圓心角的運(yùn)用

【典例5】如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，若∠ABC=35°，則∠AOC的度數(shù)為（

）A．20° B．40° C．60° D．70°【答案】D【分析】本題主要考查了圓周角定理，同圓或等圓中，同弧所對的圓周角度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵點(diǎn)A、B、C在⊙O上，∠ABC=35°，∴∠AOC=2∠ABC=70°，故選：D．【變式5-1】如圖，在⊙O中，AB為直徑，點(diǎn)C，D是圓上的點(diǎn)，且∠ADC=50°，則∠CAB的度數(shù)為（

）A．50° B．80° C．40° D．30°【答案】C【分析】本題考查了圓周角定理．根據(jù)圓周角定理，等弧所對的圓周角相等，三角形內(nèi)角和定理計(jì)算求值即可；【詳解】解：∵AB是圓的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=∠ADC=50°，∴∠CAB=180°?∠ACB?∠ABC=40°，故選：C．【變式5-2】如圖，OB是⊙O的半徑，C，D是⊙O上的點(diǎn)，連接OC，BD，CD，若∠BOC=50°，則∠CDB等于（

）A．20° B．22.5° C．25° D．30°【答案】C【分析】本題主要考查圓周角定理，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓周角定理得到∠CDB=1【詳解】解：∵∠BOC=50°，∴∠CDB=1故選：C．

【考點(diǎn)題型六】圓內(nèi)接四邊形的綜合運(yùn)用

【典例6】如圖，過四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，C，D的圓，分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．若∠B=50°，EF的度數(shù)為56°，則∠D=【答案】102【分析】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，連接AF，根據(jù)圓周角定理求出∠FAE，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠AFC，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【詳解】如圖，連接AF，∵EF的度數(shù)為56°，∴∠FAE=1∴∠AFC=∠FAE+∠B=28°+50°=78°，∵四邊形AFCD為圓內(nèi)接四邊形，∴∠D+∠AFC=180°，∴∠D=180°?78°=102°，故答案為：102．【變式6-1】如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，已知∠BOD=100°，則∠BCD的度數(shù)為．【答案】130°/130度【分析】本題主要考查了圓內(nèi)角四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，利用同弧所對的圓周角是圓心角度數(shù)的一半求出∠BAD=50°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)即可求出答案．【詳解】解：∵∠BOD=100°，∴∠BAD=1∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BCD=180°?∠BAD=130°，故答案為：130°．【變式6-2】如圖，點(diǎn)C是⊙O的劣弧AB上一點(diǎn)，∠AOB=96°，則∠ACB的度數(shù)為（）

A．192° B．120° C．132° D．150°【答案】C【分析】本題考查了圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的應(yīng)用，正確作輔助線是解此題的關(guān)鍵．在優(yōu)弧AB上取一點(diǎn)D，連接AD，BD，根據(jù)圓周角定理求出∠D=48°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)即得∠C=132°．【詳解】在優(yōu)弧AB上取一點(diǎn)D，連接AD，BD，∵∠AOB=96°，∴∠D=1∴∠C=180°?∠D=132°．故選：C．

【變式6-3】如圖，A，B，C，D在⊙O上，∠OAB=25°，則∠ACB的度數(shù)是（

）A．115° B．112.5° C．122.5° D．135°【答案】A【分析】由OA=OB得∠OAB=∠OBA=25°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出∠AOB=130°，則根據(jù)圓周角定理得∠D=1【詳解】解：連接DA、DB．∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=25°，∴∠AOB=180°?2×25°=130°，∴∠D=1∴∠ACB=180°?∠D=115°．故選：A．

【考點(diǎn)題型七】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【典例7】已知⊙O的半徑為4，點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，則OP的長可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系解答即可，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵⊙O的半徑為4，點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，∴OP<4，∴OP的長可能是3，故選：A．【變式7-1】若⊙O所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P，點(diǎn)P到⊙O上點(diǎn)的最大距離為8，最小距離為2，則⊙OA．6 B．10 C．6或10 D．無法確定【答案】C【分析】由于點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．【詳解】解：設(shè)⊙O的直徑為d,當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，d=8?2=6當(dāng)點(diǎn)P在⊙O內(nèi)時(shí)，d=8+2=10故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解答此題時(shí)要進(jìn)行分類討論，不要漏解．【變式7-2】若點(diǎn)A在⊙O內(nèi)，點(diǎn)B在⊙O外，OA＝3，OB＝5，則⊙O的半徑r的取值范圍是（

）A．0＜r＜3 B．2＜r＜8 C．3＜r＜5 D．r＞5【答案】C【分析】直接根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法求解．【詳解】解：∵點(diǎn)A在半徑為r的⊙O內(nèi)，點(diǎn)B在⊙O外，∴OA小于r，OB大于r，∵OA＝3，OB＝5，∴3＜r＜5．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．【變式7-3】若⊙P的半徑為5，圓心P的坐標(biāo)為（﹣3，4），則平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O與⊙P的位置關(guān)系是．【答案】點(diǎn)O在⊙P上【分析】由勾股定理等性質(zhì)算出點(diǎn)與圓心的距離d，則d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．【詳解】解：由勾股定理，得OP＝(?3)2d＝r＝5，故點(diǎn)O在⊙P上．故答案為點(diǎn)O在⊙P上.【點(diǎn)睛】此題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷．解題關(guān)鍵在于要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．

【考點(diǎn)題型八】確定圓的條件

【典例8】小王不慎把一面圓形鏡子打碎了，其中三塊如圖所示，三塊碎片中最有可能配到與原來一樣大小的圓形鏡子的碎片是（

）A．① B．② C．③ D．都不能【答案】B【分析】要確定圓的大小需知道其半徑．根據(jù)垂徑定理知第②塊可確定半徑的大?。驹斀狻拷猓旱冖趬K出現(xiàn)兩條完整的弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點(diǎn)就是圓心，進(jìn)而可得到半徑的長．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分線的交點(diǎn)即為該圓的圓心．【變式8-1】給定下列條件可以確定唯一的一個(gè)圓的是（

）A．已知圓心 B．已知半徑 C．已知直徑 D．不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)確定圓的條件，逐一判斷選項(xiàng)，即可得到答案．【詳解】A.已知圓心，但半徑不確定，不可以確定唯一的一個(gè)圓，不符合題意，B.已知半徑，但圓心位置不確定，不可以確定唯一的一個(gè)圓，不符合題意，C.已知直徑，但圓心位置不確定，不可以確定唯一的一個(gè)圓，不符合題意，D.不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，符合題意．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查確定圓的條件，掌握不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】已知平面直角坐標(biāo)系中的三個(gè)點(diǎn)分別為A1,?1、B?2,5、C4【答案】可以【分析】本題考查了確定圓的條件：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷點(diǎn)C是否在直線AB上，然后根據(jù)確定圓的條件進(jìn)行判斷．【詳解】解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把A1k+b=解得，k=?2b=1所以直線AB的解析式為y=?2x+1，當(dāng)x=4時(shí)，y=?2x+1=?8+1=?7≠?6，所以點(diǎn)C4,?6不在直線AB即點(diǎn)A、B、C不在同一條直線上，所以過A、B、C這三個(gè)點(diǎn)能確定一個(gè)圓．故答案為：可以【變式8-3】在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)有三點(diǎn)：（0，﹣2），（1，﹣1），（2.17，0.37）．則過這三個(gè)點(diǎn)（填“能”或“不能”）畫一個(gè)圓，理由是．【答案】能因?yàn)檫@三點(diǎn)不在一條直線上．【分析】經(jīng)過三點(diǎn)能不能作圓,關(guān)鍵是看這三個(gè)點(diǎn)在不在同一個(gè)圓上,所以先求出前兩個(gè)點(diǎn)所在直線的解析式,再判斷第三個(gè)點(diǎn)在不在這條直線上即可.【詳解】解：設(shè)前兩個(gè)點(diǎn)所在的直線的解析式為y=kx+b,因?yàn)辄c(diǎn)(0,-2),(1,-1)在直線上,所以{-2=b-1=k+b，解得所以直線的解析式為y=x-2,當(dāng)x=2.17時(shí),y≠0.37,所以點(diǎn)（0，﹣2），（1，﹣1），（2.17，0.37）不在同一條直線上,所以經(jīng)過這三個(gè)點(diǎn)可以作圓.故答案為:可以，因?yàn)檫@三點(diǎn)不在一條直線上.【點(diǎn)睛】本題主要考查確定圓的條件,關(guān)鍵要注意過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.

【考點(diǎn)題型九】根據(jù)三角形的外接圓的性質(zhì)的運(yùn)用

【典例9】如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D．(1)請用尺規(guī)作圖作出三角形ABC的外接圓⊙O；（不寫作法及證明，應(yīng)保留作圖痕跡）(2)若BC＝4，AD=5，求⊙O的半徑r．【答案】(1)見解析(2)29【分析】（1）作AB邊的垂直平分線交AD于點(diǎn)O，再以O(shè)點(diǎn)為圓心，OA長為半徑畫圓，即可求解；（2）連結(jié)OB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BD=CD=2，然后設(shè)⊙O的半徑為r，則AO=BO=r，OD=5?r，在Rt△BOD中，由勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，即AD垂直平分BC，∴作AB邊的垂直平分線交AD于點(diǎn)O，再以O(shè)點(diǎn)為圓心，OA長為半徑畫圓，⊙O即為所求作，如下圖所示；（2）解：連結(jié)OB，∵AB=AC，AD⊥BC，BC＝4，∴BD=CD=2，設(shè)⊙O的半徑為r，則AO=BO=r，OD=5?r，在Rt△BOD中，由勾股定理可得：r2解得：r=29∴⊙O的半徑r=29【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外接圓，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握三角形的外接圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．

【變式9-1】如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，若⊙O的半徑為r，則△ABC的面積為（

）A．38r2 B．34r2【答案】D【分析】連接OB，OA，延長AO交BC于D，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AD⊥BC，BD=CD=12BC，∠OBD=30°，求出OD，根據(jù)勾股定理求出BD【詳解】連接OB，OA，延長AO交BC于D，∵等邊三角形ABC是⊙O，∴AD⊥BC，BD=CD=12BC∴OD=1∴AD=AO+OD=r+由勾股定理得：BD=O∴BC=2BD=則的面積是S△ABC故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的外接圓，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能正確作輔助線后求出BD的長，題目具有一定的代表性，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．【變式9-2】已知，如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，那么這個(gè)三角形的外接圓直徑是（

A．4 B．5 C．8 D．10【答案】D【分析】本題考查直角三角形的外接圓半徑，根據(jù)勾股定理求得斜邊AC的長，進(jìn)而即可求解，重點(diǎn)在于理解直角三角形的外接圓是以斜邊中點(diǎn)為圓心，斜邊長的一半為半徑的圓．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8∴AC=∴這個(gè)三角形的外接圓直徑是10故選：D．【變式9-3】如圖，△ABC的外接圓半徑為8，∠ACB＝60°，則AB的長為（）A．83 B．43 C．6 D．4【答案】A【分析】連接OA，OB，過O作OH⊥AB于H，根據(jù)圓周角定理得到∠AOB=2∠ACB=120°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AOH=∠BOH=60°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到OH，AH的長，于是得到答案．【詳解】解：連接OA，OB，過O作OH⊥AB于H，∵∠ACB=60°，∴∠AOB=2∠ACB=120°，∵OB=OA=8，∴∠AOH=∠BOH=60°，∴∠OAB=30°，∴OH=12OA∴AH=OA∴AB=2AH=83，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型十】直線與圓的位置關(guān)系的判定

【典例10】已知⊙O的半徑為4，點(diǎn)O到直線m的距離為3，則直線m與⊙O的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．不確定【答案】B【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，掌握直線和圓的位置關(guān)系判斷方法：“設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．①直線l和⊙O相交?d<r，②直線l和⊙O相切?d=r，③直線l和⊙O相離?d>r．”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵3<4，∴d<r，∴直線與圓相交，故選：B．【變式10-1】在△ABC中，AB=AC，O為BC中點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，AO長為半徑作⊙A，則⊙A與直線BC的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】B【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，圓的切線的判定．先由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AO⊥BC，再根據(jù)切線的判定即可得出位置關(guān)系．【詳解】解：如圖，連接AO，∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形∵O為BC中點(diǎn)∴AO是等腰△ABC的高∴AO⊥BC∵AO為⊙A的半徑∴BC是⊙A的切線∴⊙A與直線BC的位置關(guān)系是相切．故選：B．【變式10-2】在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)(3,2)為圓心，3為半徑的圓與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系為(

)A．與x軸相切，與y軸相離： B．與x軸相交，與y軸相切C．與x軸，y軸都相交 D．與x軸，y軸相離【答案】B【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．直線與圓相切，直線到圓的距離等于半徑；與圓相離，直線到圓的距離大于半徑．本題應(yīng)將該點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別與半徑對比，大于半徑時(shí)，則坐標(biāo)軸與該圓相離；若等于半徑時(shí)，則坐標(biāo)軸與該圓相切．【詳解】解：∵是以點(diǎn)(3,2)為圓心，3為半徑的圓，則點(diǎn)(3,2)到y(tǒng)軸的距離是3，與x軸的距離是2，∵3=3，3>2，∴這個(gè)圓與x軸相交，與y軸相切．故選：B．【變式10-3】已知⊙O的半徑是4，圓心O到直線l的距離是3，則直線l與⊙O的公共點(diǎn)有個(gè)．【答案】2【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，若圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，d>r時(shí)，圓和直線相離；d=r時(shí)，圓和直線相切；d<r時(shí)，圓和直線相交．【詳解】解：∵圓心到直線的距離是3<圓的半徑4，∴直線和圓相交，即有2個(gè)公共點(diǎn)．故答案為：2．

【考點(diǎn)題型十一】利用切線的性質(zhì)求有關(guān)的角度/邊長的運(yùn)算

【典例11】如圖，AB是⊙O的直徑，AD是⊙O切線，BD交⊙O于點(diǎn)C，∠CAD=50°，則∠B=（

）

A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由圓周角定理得出∠ACB=90°，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠DAB=90°，由余角的性質(zhì)可得出答案．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°，∵AD是⊙O切線，∴DA⊥AB，∴∠DAB=∠DAC+∠CAB=90°，∴∠CAD=∠B=50°．故選：C【變式11-1】如圖，P是圓O的直徑AB上一點(diǎn)，PM與圓O相切于點(diǎn)M，連接AM，∠P=30°，若PM=23，則AM的長為【答案】2【分析】本題考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；連接OM，根據(jù)切線性質(zhì)得∠OMP=90°，再根據(jù)直角三角形的銳角互余得∠POM=60°，根據(jù)圓周角定理進(jìn)而求得∠OAM=30°，然后根據(jù)等腰三角形的判定解答即可．【詳解】解：連接OM，∵PM與圓O相切于點(diǎn)M，∴∠OMP=90°；∵∠P=30°，∴∠POM=60°；∵BM?∴∠OAM=1∴∠P=∠OAM，∴AM=PM；∵PM=23∴AM=23故答案為：23【變式11-2】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，過C點(diǎn)的切線與AB的延長線交于P點(diǎn)，若∠P=40°，則∠D的度數(shù)為【答案】115°/115度【分析】根據(jù)過C點(diǎn)的切線與AB的延長線交于P點(diǎn)，∠P=40°，可以求得∠OCP和∠OBC的度數(shù)，又根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，可以求得∠D的度數(shù)，本題得以解決．本題考查切線的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形，等邊對等角，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．【詳解】解：連接OC，如圖：由題意可得，∠OCP=90°，∴∠COB=50°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=65°，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠D+∠ABC=180°，∴∠D=115°，故答案為：115°．【變式11-3】如圖，在△ABC中，已知∠ABC=90°，在AB上取一點(diǎn)E，以BE為直徑的⊙O恰與AC相切于點(diǎn)D．若AE=2，AD=4．則BE=，BC=．【答案】66【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形性質(zhì)和判定，利用切線的性質(zhì)得到OD⊥AC，設(shè)⊙O的半徑為x，則OE=OB=OD=x，AO=2+x，在Rt△AOD中，利用勾股定理建立等式求出x的值，進(jìn)而得到BE，AB，再證明△AOD∽△ACB【詳解】解：如圖，連接OD，∵AC與⊙O相切，∴OD⊥AC，設(shè)⊙O的半徑為x，則OE=OB=OD=x，∴AO=AE+OE=2+x，在Rt△AOD中，由勾股定理可得A即2+x2=x∴BE=2x=6，∴AB=AE+BE=2+6=8，∵∠ABC=∠ADO=90°，∠OAD=∠CAB，∴△AOD∽∴ADAB即48解得BC=6，故答案為：6；6．

【考點(diǎn)題型十二】切線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用【典例12】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)，過C作⊙O的切線交OD的延長線于E，交AB的延長線于F，連EA．(1)求證：EA與⊙O相切；(2)若CE=3，CF=2，求⊙O的半徑．【答案】(1)見解析(2)3【分析】本題主要考查垂徑定理、切線的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)定理并能利用等面積法解決問題是關(guān)鍵．（1）連接OC，由垂徑定理得OE⊥AC，根據(jù)垂直平分線的的性質(zhì)可得CE=AE，證明△OCE≌△OAE，利用全等三角形的性質(zhì)可得∠OAE=90°即可；（2）先利用勾股定理求得AF=4，設(shè)OA=OC=x，再根據(jù)等面積法列12【詳解】（1）證明：如圖，連接OC，

∵EF是⊙O的切線，∴∠OCE=90°，∵D為AC的中點(diǎn)，OC=OA，∴OE⊥AC，則OE垂直平分AC，∴CE=AE，∵OC=OA，OE=OE，∴△OCE≌△OAESSS∴∠OAE=∠OCE=90°，∴EA與⊙O相切；（2）解：∵CE=3，CF=2，∴EF=5，由（1）可知CE=AE=3，∠OAE=90°，∴AF=E設(shè)OA=OC=x，∵S∴1∴1解得x=3故⊙O的半徑為32【變式12-1】如圖，⊙O與△ABC的BC邊相切于點(diǎn)B，與AC邊相切于點(diǎn)D，與AB邊交于點(diǎn)E，EB是⊙O的直徑．(1)求證：DE∥(2)若⊙O的半徑是32，AD=2，求CD【答案】(1)證明見解析(2)3【分析】本題考查了切線的判定與性質(zhì)：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到CD=CB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠COD=∠COB，求得∠DEO=∠COB，根據(jù)平行線的判定定理得到結(jié)論；（2）先利用勾股定理得到OA=52，則AB=4，再證明△AOD∽△ACB，則利用相似比可求出BC，然后利用△COD≌△COB得出【詳解】（1）證明：連接OD，∵⊙O與△ABC的BC邊相切于點(diǎn)B，與AC邊相切于點(diǎn)D，∴CD=CB，∠ODC=∠OBC=90°，在△COD和△COB中，CD=CB∴△COD∴∠COD=∠COB，∴∠COB=1∵OD=OE，∴∠DEO=∠ODE=1∴∠DEO=∠COB，∴DE∥（2）在Rt△AODOA=O∴AB=OA+OB=5∵∠OAD=∠CAB，∴△AOD∽△ACB，∴ODBC=解得：BC=3，∴△COD≌△COB，∴CD=BC=3．【變式12-2】如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，以點(diǎn)D為圓心、AD的長為半徑的⊙D與AB相切于點(diǎn)A，與AC相交于點(diǎn)E．(1)求證：BC是⊙D的切線；(2)若AB=5，BC=13，求AC和AD的長．【答案】(1)證明見解析；(2)AC=12，AD=10【分析】（1）過點(diǎn)D作DF⊥BC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到DA⊥AB，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到DA=DF，即可證明結(jié)論；（2）由勾股定理得AC=12，利用“HL”證明Rt△BAD≌Rt△BFD，得到BF=BA=5，進(jìn)而得到CF=8，設(shè)DF=x，則AD=x【詳解】（1）解：過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，∵AB是⊙D的切線，∴DA⊥AB，∵BD平分∠ABC，DA⊥AB，DF⊥BC，∴DA=DF，∵DF⊥BC，∴BC是⊙D的切線；（2）解：∵AB=5，BC=13，在Rt△ABC中，AC=在Rt△BAD和RtBD=BDDA=DF∴Rt∴BF=BA=5，∴CF=BC?BF=13?5=8，設(shè)DF=x，則AD=x，CD=AC?AD=12?x，在Rt△CDF中，C∴12?x2解得：x=10∴AD=10【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握切線的判定和性質(zhì)與全等的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

【考點(diǎn)題型十三】利用切線長定理的性質(zhì)求線段長度或周長

【典例13】如圖，PA、PB、CE分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B、D點(diǎn)，若圓O的半徑為6，OP=10，則△PCE的周長為(

)A．10 B．12 C．16 D．20【答案】C【分析】本題考查了切線長定理，根據(jù)題意得出CA=CD，ED=EB，PA=PB，OA⊥PA，進(jìn)而得出△PCE周長=2PA，連接OA，勾股定理求得PA，即可求解．【詳解】解：連接OA，∵PA、PB、CE分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B、D點(diǎn)，∴CA=CD，ED=EB，PA=PB，OA⊥PA