北師版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)考題猜想 專題04 圖形的相似（考題猜想易錯(cuò)必刷50題10種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）

一．比例的性質(zhì)（共3小題）1．已知，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．52．如果x：y＝2：3，則下列各式不成立的是（）A． B． C． D．3．已知，則a：b＝．二．比例線段（共2小題）4．已知線段a＝4cm，b＝9cm，則線段a，b的比例中項(xiàng)為cm．5．已知：線段a、b、c，且＝＝．（1）求的值．（2）如線段a、b、c滿足a+b+c＝27，求a﹣b+c的值．．平行線分線段成比例（共8小題）6．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，則EC的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．47．如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點(diǎn)A，B，C，直線DF分別交l1，l2，l3于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，AC與DF相交于點(diǎn)G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，則的值為（）A． B．2 C． D．8．如圖，l1∥l2∥l3，直線a，b與l1、l2、l3分別相交于A、B、C和點(diǎn)D、E、F．若＝，DE＝4，則EF的長(zhǎng)是（）A． B． C．6 D．109．如圖，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，AD∥BC，BE的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)G，且BG∥DF，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．10．如圖l1∥l2∥l3，若＝，DF＝10，則DE＝（）A．4 B．6 C．8 D．911．如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB，AC上，DE∥BC，點(diǎn)G在邊BC上，AG交DE于點(diǎn)H，點(diǎn)O是線段AG的中點(diǎn)，若AD：DB＝3：1，則AO：OH＝．12．如圖，練習(xí)本中的橫格線都平行，且相鄰兩條橫格線間的距離都相等，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C都在橫格線上．若線段AB＝4cm，則線段BC＝cm．13．如圖，直線l1、l2、l3分別交直線l4于點(diǎn)A、B、C，交直線l5于點(diǎn)D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF＝5：8，AC＝24．（1）求AB的長(zhǎng)；（2）當(dāng)AD＝4，BE＝1時(shí)，求CF的長(zhǎng)．四．相似多邊形的性質(zhì)（共1小題）14．如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊：使DA邊落在DC邊上，點(diǎn)A落在點(diǎn)H處，折痕為DE；使CB邊落在CD邊上，點(diǎn)B落在點(diǎn)G處，折痕為CF．若矩形HEFG與原矩形ABCD相似，AD＝1，則CD的長(zhǎng)為（）A．﹣1 B．﹣1 C．+1 D．+1五．相似三角形的性質(zhì)（共2小題）15．如圖，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，點(diǎn)D在邊AC上，且CD＝4，過(guò)點(diǎn)D作一條直線交邊AB于點(diǎn)E，使△ADE與△ABC相似，則DE的長(zhǎng)是（）A．12 B．16 C．12或16 D．以上都不對(duì)16．如圖在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)．點(diǎn)P在x軸上，若以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，則P點(diǎn)坐標(biāo)為．六．相似三角形的判定（共6小題）17．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，點(diǎn)E是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時(shí)，則AE＝（）A． B． C．或 D．或118．如圖，已知∠1＝∠2，若再增加一個(gè)條件不一定能使結(jié)論△ADE∽△ABC成立，則這個(gè)條件是（）A．∠D＝∠B B． C． D．∠AED＝∠C19．如圖，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s；如果P、Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么何時(shí)△QBP與△ABC相似？20．如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一點(diǎn)，使得AE⊥DE；（1）求證：△ABE∽△ECD；（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的長(zhǎng)；（3）當(dāng)△AED∽△ECD時(shí)，請(qǐng)寫出線段AD、AB、CD之間數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．21．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．點(diǎn)D由點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E由點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為1cm/s．連接DE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜10），解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△BDE的面積為7.5cm2；（2）在點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)中，是否存在時(shí)間t，使得△BDE與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出對(duì)應(yīng)的時(shí)間t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)M以1cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N以2cm/s的速度從點(diǎn)D出發(fā)，沿DA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t＜3）．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的？（2）是否存在某一時(shí)刻t，使得以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．七．相似三角形的判定與性質(zhì)（共20小題）23．如圖，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一邊在BC上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AD交EF于點(diǎn)N，則AN的長(zhǎng)為（）A．15 B．20 C．25 D．3024．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，則△ABC與△DCA的面積比為（）A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．：25．如圖，在?ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BG⊥AE，垂足為G，BG＝，則△CEF的周長(zhǎng)為（）A．8 B．9.5 C．10 D．11.526．如圖，在邊長(zhǎng)相同的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB與CD相交于點(diǎn)P，則tan∠APD的值為（）A．2 B． C．3 D．27．在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）．延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A1，作正方形A1B1C1C；延長(zhǎng)C1B1交x軸于點(diǎn)A2，作正方形A2B2C2C1…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2010個(gè)正方形的面積為（）A． B． C． D．28．如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥AB，DE：AE＝2：3，△BDC的面積為25，則四邊形AEFB的面積為（）A．25 B．9 C．21 D．1629．如圖，在△ABC中，EF∥BC，＝，S四邊形BCFE＝8，則S△ABC＝（）A．9 B．10 C．12 D．1330．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，在△ABC的內(nèi)部，作一個(gè)正方形PQRS，若BC＝3，AD＝2，則正方形PQRS的邊長(zhǎng)為（）A． B． C．1 D．31．如圖，有公共頂點(diǎn)的正方形ABCD和正方形BFGE如圖擺放，其中點(diǎn)G恰在CD邊的四等分點(diǎn)（CG＜DG），連結(jié)BD．則DH：BH為（）A．2：3 B．：2 C．2： D．15：1732．已知，?ABCD面積為40，點(diǎn)M為AD的三等分點(diǎn)，且AM＝AD，N為BC的中點(diǎn)，MN交對(duì)角線BD于點(diǎn)O，則陰影部分的面積為．33．如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，連接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求證：△ADE∽△ACB；（2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的長(zhǎng)．34．如圖，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝m（m＞4），點(diǎn)P是AB邊上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接PD，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥PD，交直線BC于點(diǎn)Q．（1）當(dāng)m＝10時(shí)，是否存在點(diǎn)P使得點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合？若存在，求出此時(shí)AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由；（2）連接AC，若PQ∥AC，求線段BQ的長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）；（3）若△PQD為等腰三角形，求以P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍．35．如圖，△ABC中∠A＝55°，∠B＝45°，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，且∠ADE＝80°．（1）求證：△AED∽△ABC．（2）如果AD＝4，BD＝6，AE＝5，求CE的長(zhǎng)．36．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE?BD．（1）求證：△ABE∽△DCE；（2）AE?CD＝BC?ED．37．如圖，在等邊△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，E為AC邊上一點(diǎn)，且∠ADB+∠EDC＝120°．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）若BD＝4，CE＝3，求△ABC的面積．38．如圖1，在△ABC中，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，且∠E＝∠ABC．（1）求證：AB2＝AC?AE；（2）如圖2，D在BC上且BD＝3CD，延長(zhǎng)AD交BE于F，若＝，求的值．39．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E．連接CE，點(diǎn)F是BE上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作FG∥CE交BC于點(diǎn)G．將△BFG繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到△BF'G'．（1）連接CG'，EF'，求證：△BEF'∽△BCG'；（2）當(dāng)點(diǎn)G'恰好落在直線AE上時(shí)，若BF＝3，求EG'的值．40．如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊CD上的點(diǎn)，CD＝4CF，連接EF并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求證：△ABE∽△ECF（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，求AG的長(zhǎng)．41．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)為E，F(xiàn)為AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接CF、EF、EF交CD于G、連接BG，交CF于H．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)H為CF中點(diǎn)，點(diǎn)P為GE的中點(diǎn)時(shí)，連接CP，求證：EG＝2FG；（2）如圖2，若DF2＝DG?DC．①求證：CF＝BG；②若AB＝2，求AF的長(zhǎng)．42．問(wèn)題1：如圖①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一點(diǎn)（不與A，B重合），DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，連接CD．設(shè)△ABC的面積為S，△DEC的面積為S′．（1）當(dāng)AD＝3時(shí)，＝；（2）設(shè)AD＝m，請(qǐng)你用含字母m的代數(shù)式表示．問(wèn)題2：如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD＝BC，E是AB上一點(diǎn)（不與A，B重合），EF∥BC，交CD于點(diǎn)F，連接CE．設(shè)AE＝n，四邊形ABCD的面積為S，△EFC的面積為S′．請(qǐng)你利用問(wèn)題1的解法或結(jié)論，用含字母n的代數(shù)式表示．八．相似三角形的應(yīng)用（共3小題）43．四分儀是一種十分古老的測(cè)量?jī)x器．其出現(xiàn)可追溯到數(shù)學(xué)家托勒密的《天文學(xué)大成》．圖1是古代測(cè)量員用四分儀測(cè)量一方井的深度，將四分儀置于方井上的邊沿，通過(guò)窺衡桿測(cè)望井底點(diǎn)F、窺衡桿與四分儀的一邊BC交于點(diǎn)H．圖2中，四分儀為正方形ABCD．方井為矩形BEFG．若測(cè)量員從四分儀中讀得AB為1，BH為0.5，實(shí)地測(cè)得BE為2.5．則井深BG為（）A．4 B．5 C．6 D．744．據(jù)《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國(guó)學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了“小孔成像”實(shí)驗(yàn)，闡釋了光的直線傳播原理．小孔成像的示意圖如圖所示，光線經(jīng)過(guò)小孔O，物體AB在幕布上形成倒立的實(shí)像CD（點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是C、D）．若物體AB的高為9cm，小孔O到物體和實(shí)像的水平距離BE、CE分別為12cm、9cm，則實(shí)像CD的高度為（）cm．A．6cm B．6.25cm C．6.75cm D．7cm45．如圖，利用標(biāo)桿DA測(cè)量樓高，點(diǎn)C，A，B在同一直線上，DA⊥CB，EB⊥CB，垂足分別為A，B．若測(cè)得AB＝16米，DA＝3米，CA＝4米，則樓高EB為（）A．10米 B．12米 C．15米 D．20米九．位似變換（共4小題）46．在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（6，8），B（10，2），若以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮短為原來(lái)的后得到線段CD，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（5，1） B．（4，3） C．（3，4） D．（1，5）47．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)E（﹣4，2），F(xiàn)（﹣1，﹣1）．以原點(diǎn)O為位似中心，把△EFO擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，則點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E'的坐標(biāo)為（）A．（﹣8，4） B．（8，﹣4） C．（8，4）或（﹣8，﹣4） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）48．如圖，已知點(diǎn)E（﹣4，2），F(xiàn)（﹣2，﹣2），以O(shè)為位似中心，按比例尺1：2，把△EFO縮小，則點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E′的坐標(biāo)為（）A．（2，﹣1） B．（8，﹣4） C．（2，﹣1）或（﹣2，1） D．（8，﹣4）或（﹣8，﹣4）49．如圖，直線y＝x+1與x軸，y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，△BOC與△B′O′C′是以點(diǎn)A為位似中心的位似圖形，且相似比為1：2，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為．一十．作圖-位似變換（共1小題）50．已知：△ABC在坐標(biāo)平面內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1個(gè)單位長(zhǎng)度）（1）畫出△ABC向下平移4個(gè)單位得到的△A1B1C1，并直接寫出C1點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）以點(diǎn)B為位似中心，在網(wǎng)格中畫出△A2BC2，使△A2BC2與△ABC位似，且位似比為2：1，并直接寫出C2點(diǎn)的坐標(biāo)及△A2BC2的面積．

專題04圖形的相似（易錯(cuò)必刷50題10種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）比例的性質(zhì)相似三角形的判定比例線段相似三角形的判定與性質(zhì)平行線分線段成比例相似三角形的應(yīng)用相似多邊形的性質(zhì)位似變換相似三角形的性質(zhì)作圖-位似變換一．比例的性質(zhì)（共3小題）1．已知，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解答】解：設(shè)＝k（k≠0），則a＝2k，b＝3k，c＝4k，∴＝＝2，故選：A．2．如果x：y＝2：3，則下列各式不成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：可設(shè)x＝2k，y＝3k．通過(guò)代入計(jì)算，進(jìn)行約分，A，B，C都正確；D不能實(shí)現(xiàn)約分，故錯(cuò)誤．故選：D．3．已知，則a：b＝19：13．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵∴5（a+2b）＝9（2a﹣b）∴5a+10b＝18a﹣9b∴19b＝13a∴a：b＝．二．比例線段（共2小題）4．已知線段a＝4cm，b＝9cm，則線段a，b的比例中項(xiàng)為6cm．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)比例中項(xiàng)的概念結(jié)合比例的基本性質(zhì)，得：比例中項(xiàng)的平方等于兩條線段的乘積．設(shè)它們的比例中項(xiàng)是x，則x2＝4×9，x＝±6，（線段是正數(shù)，負(fù)值舍去），故填6．5．已知：線段a、b、c，且＝＝．（1）求的值．（2）如線段a、b、c滿足a+b+c＝27，求a﹣b+c的值．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵＝，∴＝，∴＝+1＝+1＝；（2）設(shè)＝＝＝k，則a＝2k，b＝3k，c＝4k，∵a+b+c＝27，∴2k+3k+4k＝27，∴k＝3，∴a＝6，b＝9，c＝12，∴a﹣b+c＝6﹣9+12＝9．三．平行線分線段成比例（共8小題）6．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，則EC的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC＝2，故選：B．7．如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點(diǎn)A，B，C，直線DF分別交l1，l2，l3于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，AC與DF相交于點(diǎn)G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，則的值為（）A． B．2 C． D．【答案】D【解答】解：∵AG＝2，GB＝1，∴AB＝AG+BG＝3，∵直線l1∥l2∥l3，∴＝，故選：D．8．如圖，l1∥l2∥l3，直線a，b與l1、l2、l3分別相交于A、B、C和點(diǎn)D、E、F．若＝，DE＝4，則EF的長(zhǎng)是（）A． B． C．6 D．10【答案】C【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，即，解得：EF＝6．故選：C．9．如圖，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，AD∥BC，BE的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)G，且BG∥DF，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵BG∥DF，∴＝，A正確，C錯(cuò)誤；∴＝，B正確；∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，∵BG∥DF，∴∠BEC＝∠DFA，∴△BEC∽△DFA，∴＝，D正確，故選：C．10．如圖l1∥l2∥l3，若＝，DF＝10，則DE＝（）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】B【解答】解：l1∥l2∥l3，∴＝＝，又∵DF＝10，∴DE＝DF＝6，故選：B．11．如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB，AC上，DE∥BC，點(diǎn)G在邊BC上，AG交DE于點(diǎn)H，點(diǎn)O是線段AG的中點(diǎn)，若AD：DB＝3：1，則AO：OH＝2：1．【答案】2：1．【解答】解：∵點(diǎn)O是線段AG的中點(diǎn)，∴OA＝OG＝AG，∵DE∥BC，AD：DB＝3：1，∴＝＝＝，＝＝，∴OH＝OG﹣HG＝AG﹣AG＝AG，∴AO：OH＝（AG）：（AG）＝2：1，故答案為：2：1．12．如圖，練習(xí)本中的橫格線都平行，且相鄰兩條橫格線間的距離都相等，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C都在橫格線上．若線段AB＝4cm，則線段BC＝12cm．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CE于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)D，∵練習(xí)本中的橫格線都平行，且相鄰兩條橫格線間的距離都相等，∴，即，∴BC＝12cm．故答案為：12．13．如圖，直線l1、l2、l3分別交直線l4于點(diǎn)A、B、C，交直線l5于點(diǎn)D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF＝5：8，AC＝24．（1）求AB的長(zhǎng)；（2）當(dāng)AD＝4，BE＝1時(shí)，求CF的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】（1）解：∵l1∥l2∥l3，EF：DF＝5：8，AC＝24，∴＝＝，∴＝，∴BC＝15，∴AB＝AC﹣BC＝24﹣15＝9．（2）解：∵l1∥l2∥l3∴＝＝，∴＝，∴OB＝3，∴OC＝BC﹣OB＝15﹣3＝12，∴＝＝，∴＝，∴CF＝4．四．相似多邊形的性質(zhì)（共1小題）14．如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊：使DA邊落在DC邊上，點(diǎn)A落在點(diǎn)H處，折痕為DE；使CB邊落在CD邊上，點(diǎn)B落在點(diǎn)G處，折痕為CF．若矩形HEFG與原矩形ABCD相似，AD＝1，則CD的長(zhǎng)為（）A．﹣1 B．﹣1 C．+1 D．+1【答案】C【解答】解：設(shè)HG＝x，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1，由折疊得：∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1，∴四邊形ADHE是矩形，∵AD＝DH，∴四邊形ADHE是正方形，∴AD＝HE＝1，∵矩形HEFG與原矩形ABCD相似，∴＝，∴＝，解得：x＝﹣1或x＝﹣﹣1，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝﹣1或x＝﹣﹣1都是原方程的根，∵GH＞0，∴GH＝﹣1，∴DC＝2+x＝+1，故選：C．五．相似三角形的性質(zhì)（共2小題）15．如圖，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，點(diǎn)D在邊AC上，且CD＝4，過(guò)點(diǎn)D作一條直線交邊AB于點(diǎn)E，使△ADE與△ABC相似，則DE的長(zhǎng)是（）A．12 B．16 C．12或16 D．以上都不對(duì)【答案】A【解答】解：∵∠A＝∠A，分為兩種情況：①DE∥BC（即∠ADE＝∠C），∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴，∴DE＝12，②∠ADE′＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△ADE′∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DE′＝16，∵AB＝9，∴此時(shí)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，不符合題意，舍去，故選：A．16．如圖在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)．點(diǎn)P在x軸上，若以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）或（，0）．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，∴OA＝8，OB＝6，AC＝AB，∴AB＝10，∴AC＝5，若△PAC∽△OAB，∵∠OAB＝∠PAC，則需，∴PA＝4，PC＝3，∴OP＝4，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）；若△PAC∽△BAO，∵∠OAB＝∠PAC，則需，∴，解得：PA＝，∴OP＝8﹣＝．∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）．故答案為：（4，0）或（，0）．六．相似三角形的判定（共6小題）17．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，點(diǎn)E是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時(shí)，則AE＝（）A． B． C．或 D．或1【答案】D【解答】解：分兩種情況：①當(dāng)∠CED＝90°時(shí)，如圖1，過(guò)E作EF⊥CD于F，∵AD∥BC，AD＜BC，∴AB與CD不平行，∴當(dāng)△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時(shí)，∴∠BEC＝∠CDE＝∠ADE，∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°，∴∠BCE＝∠DCE，∴AE＝EF，EF＝BE，∴AE＝BE＝AB＝；②當(dāng)∠CDE＝90°時(shí)，如圖2，∵當(dāng)△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時(shí)，∴∠CEB＝∠CED＝∠AED＝60°，∴∠BCE＝∠DCE＝30°，∵∠A＝∠B＝90°，∴BE＝ED＝2AE，∵AB＝3，∴AE＝1，綜上，AE的值為或1；故選：D．18．如圖，已知∠1＝∠2，若再增加一個(gè)條件不一定能使結(jié)論△ADE∽△ABC成立，則這個(gè)條件是（）A．∠D＝∠B B． C． D．∠AED＝∠C【答案】C【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，∴∠DAE＝∠BAC，A、∵∠DAE＝∠BAC，∠D＝∠B，∴△ADE∽△ABC，故本選項(xiàng)正確；B、∵＝，∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，故本選項(xiàng)正確；C、∵＝，兩線段的夾角∠D和∠B不知道相等，∴不能說(shuō)△ADE和△ABC相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，即不正確；D、∵∠DAE＝∠BAC，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，故本選項(xiàng)正確；故選：C．19．如圖，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s；如果P、Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么何時(shí)△QBP與△ABC相似？【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，以△QBP與△ABC相似，則AP＝2t厘米，BP＝（8﹣2t）厘米，BQ＝4t厘米，∵∠PBQ＝∠ABC，∴當(dāng)＝時(shí)，△BPQ∽△BAC，即＝，解得t＝2（s）；當(dāng)＝時(shí)，△BPQ∽△BCA，即＝，解得t＝0.8（s）；即經(jīng)過(guò)2秒或0.8秒時(shí)，△QBP與△ABC相似．20．如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一點(diǎn)，使得AE⊥DE；（1）求證：△ABE∽△ECD；（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的長(zhǎng)；（3）當(dāng)△AED∽△ECD時(shí)，請(qǐng)寫出線段AD、AB、CD之間數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠BAE，∴△ABE∽△ECD；（2）解：Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，∴BE＝3，∵BC＝5，∴EC＝5﹣3＝2，由（1）得：△ABE∽△ECD，∴，∴，∴CD＝；（3）解：線段AD、AB、CD之間數(shù)量關(guān)系：AD＝AB+CD；理由是：過(guò)E作EF⊥AD于F，∵△AED∽△ECD，∴∠EAD＝∠DEC，∵∠AED＝∠C，∴∠ADE＝∠EDC，∵DC⊥BC，∴EF＝EC，∵DE＝DE，∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），∴DF＝DC，同理可得：△ABE≌△AFE，∴AF＝AB，∴AD＝AF+DF＝AB+CD．21．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．點(diǎn)D由點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E由點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為1cm/s．連接DE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜10），解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△BDE的面積為7.5cm2；（2）在點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)中，是否存在時(shí)間t，使得△BDE與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出對(duì)應(yīng)的時(shí)間t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）分別過(guò)點(diǎn)D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足為F、G如圖∴DF∥AG，＝∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，∴＝解得DF＝（10﹣t）∵S△BDE＝BE?DF＝7.5∴（10﹣t）?t＝15解得t＝5．答：t為5秒時(shí)，△BDE的面積為7.5cm2．（2）存在．理由如下：①當(dāng)BE＝DE時(shí)，△BDE∽△BCA，∴＝即＝，解得t＝，②當(dāng)BD＝DE時(shí)，△BDE∽△BAC，＝即＝，解得t＝．答：存在時(shí)間t為或秒時(shí)，使得△BDE與△ABC相似．22．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)M以1cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N以2cm/s的速度從點(diǎn)D出發(fā)，沿DA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t＜3）．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的？（2）是否存在某一時(shí)刻t，使得以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）經(jīng)過(guò)1秒或2秒時(shí)，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的；（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1.5秒或2.4秒時(shí)，以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝6cm，∠BAD＝90°，AM＝tcm，AN＝6﹣2t（cm），∴S△AMN＝AN?AM＝×（6﹣2t）×t＝﹣（t﹣）2+（0≤t≤3），依題意得：﹣（t﹣）2+＝×3×6，t2﹣3t+2＝0，t1＝2，t2＝1．答：經(jīng)過(guò)1秒或2秒時(shí)，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，由題意得DN＝2t（cm），AN＝（6﹣2t）（cm），AM＝t（cm），若△NMA∽△ACD，則有AD：AN＝CD：AM，即6：（6﹣2t）＝3：t，解得t＝1.5，若△MNA∽△ACD則有AD：AM＝CD：AN，即6：t＝3：（6﹣2t），解得t＝2.4，答：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1.5秒或2.4秒時(shí)，以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似．七．相似三角形的判定與性質(zhì)（共20小題）23．如圖，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一邊在BC上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AD交EF于點(diǎn)N，則AN的長(zhǎng)為（）A．15 B．20 C．25 D．30【答案】B【解答】解：設(shè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)EF＝EH＝x，∵四邊形EFGH是正方形，∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°，∴四邊形EHDN是矩形，∴DN＝EH＝x，∵△AEF∽△ABC，∴＝（相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比等于相似比），∵BC＝120，AD＝60，∴AN＝60﹣x，∴＝，解得：x＝40，∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．故選：B．24．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，則△ABC與△DCA的面積比為（）A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．：【答案】C【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△CBA∽△ACD＝＝＝，∵＝（）2＝∴△ABC與△DCA的面積比為4：9．故選：C．25．如圖，在?ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BG⊥AE，垂足為G，BG＝，則△CEF的周長(zhǎng)為（）A．8 B．9.5 C．10 D．11.5【答案】A【解答】解：∵在?ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴AD＝FD，∴△ADF是等腰三角形，同理△ABE是等腰三角形，AD＝DF＝9；∵AB＝BE＝6，∴CF＝3；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝，可得：AG＝2，又BG⊥AE，∴AE＝2AG＝4，∴△ABE的周長(zhǎng)等于16，又∵?ABCD∴△CEF∽△BEA，相似比為1：2，∴△CEF的周長(zhǎng)為8．故選：A．26．如圖，在邊長(zhǎng)相同的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB與CD相交于點(diǎn)P，則tan∠APD的值為（）A．2 B． C．3 D．【答案】A【解答】解：如圖：連接BE，，∵四邊形BCED是正方形，∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，∴BF＝CF，根據(jù)題意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，∴DP：DF＝1：2，∴DP＝PF＝CF＝BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2，∵∠APD＝∠BPF，∴tan∠APD＝2．故選：A．27．在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）．延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A1，作正方形A1B1C1C；延長(zhǎng)C1B1交x軸于點(diǎn)A2，作正方形A2B2C2C1…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2010個(gè)正方形的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：設(shè)正方形的面積分別為S1，S2…S2010，根據(jù)題意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，∴∠BAA1＝∠B1A1A2＝∠B2A2x（同位角相等）．∵∠ABA1＝∠A1B1A2＝90°，∴△BAA1∽△B1A1A2，在直角△ADO中，根據(jù)勾股定理，得：AD＝，cot∠DAO＝＝，∵tan∠BAA1＝＝cot∠DAO，∴BA1＝AB＝，∴CA1＝+＝×，同理，得：C1A2＝××，由正方形的面積公式，得：S1＝，S2＝×，S3＝××，由此，可得Sn＝×（1+）2n﹣2，∴S2010＝5×（）2×2010﹣2，＝5×（）4018．故選：D．28．如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥AB，DE：AE＝2：3，△BDC的面積為25，則四邊形AEFB的面積為（）A．25 B．9 C．21 D．16【答案】C【解答】解：因?yàn)镋F∥AB，DE：AE＝2：3，所以，所以S△DEF：S△ABD＝4：25，又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以△ABD≌△BDC，△BDC的面積為25，所以△ABD的面積為25，所以△DEF的面積為4，則四邊形AEFB的面積為21．故選：C．29．如圖，在△ABC中，EF∥BC，＝，S四邊形BCFE＝8，則S△ABC＝（）A．9 B．10 C．12 D．13【答案】A【解答】解：∵＝，∴＝＝，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝，∴9S△AEF＝S△ABC，∵S四邊形BCFE＝8，∴9（S△ABC﹣8）＝S△ABC，解得：S△ABC＝9．故選：A．30．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，在△ABC的內(nèi)部，作一個(gè)正方形PQRS，若BC＝3，AD＝2，則正方形PQRS的邊長(zhǎng)為（）A． B． C．1 D．【答案】A【解答】解：如圖：設(shè)正方形PQRS的邊長(zhǎng)為x，∵AD是△ABC的高，SR∥BC，∴AE是△ASR的高，則AE＝AD﹣ED＝2﹣x，∵四邊形PQRS是正方形，∴SR∥BC，∴△ASR∽△ABC，∴＝，∴＝，解得：x＝，∴正方形PQRS的邊長(zhǎng)為．故選：A．31．如圖，有公共頂點(diǎn)的正方形ABCD和正方形BFGE如圖擺放，其中點(diǎn)G恰在CD邊的四等分點(diǎn)（CG＜DG），連結(jié)BD．則DH：BH為（）A．2：3 B．：2 C．2： D．15：17【答案】D【解答】解：連接BG，設(shè)GC＝x，∵G恰在CD邊的四等分點(diǎn)，∴DG＝3x，DC＝4x，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BDG＝45°，∠C＝90°，BC＝DC＝4x，∴在Rt△BCD中根據(jù)勾股定理得，BD＝4x，在Rt△BGC中根據(jù)勾股定理得，BG＝x，∵四邊形BFGE是正方形，∴∠BGH＝45°，∴∠BGH＝∠BDG，∴∠DBG＝∠GBH，∴△BGH∽△BDG，∴＝，∴＝，∴BH＝，∴DH＝BD﹣BH＝4x﹣＝，∴＝＝．故選：D．32．已知，?ABCD面積為40，點(diǎn)M為AD的三等分點(diǎn)，且AM＝AD，N為BC的中點(diǎn)，MN交對(duì)角線BD于點(diǎn)O，則陰影部分的面積為．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CDB（SSS），∴△CDB的面積＝?ABCD的面積＝20，∵N為BC的中點(diǎn)，∴BN＝NC＝BC，∴△DNC的面積＝△BND的面積＝△CBD的面積＝10，∵AM＝AD，∴DM＝AD＝BC，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∠DMN＝∠ANB，∴△DMO∽△BNO，∴＝＝＝，∴＝，∴△DON的面積＝△BND的面積＝，∴陰影部分的面積＝△DON的面積+△DNC的面積＝，故答案為：．33．如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，連接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求證：△ADE∽△ACB；（2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）解：由（1）可知：△ADE∽△ACB，∴＝，設(shè)BD＝x，則AD＝2x，AB＝3x，∵AE＝4，AC＝9，∴＝，解得：x＝（負(fù)值舍去），∴BD的長(zhǎng)是．34．如圖，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝m（m＞4），點(diǎn)P是AB邊上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接PD，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥PD，交直線BC于點(diǎn)Q．（1）當(dāng)m＝10時(shí)，是否存在點(diǎn)P使得點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合？若存在，求出此時(shí)AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由；（2）連接AC，若PQ∥AC，求線段BQ的長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）；（3）若△PQD為等腰三角形，求以P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）存在點(diǎn)P．假設(shè)存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，如圖1所示，設(shè)AP的長(zhǎng)為x，則BP＝10﹣x，在Rt△APD中，DP2＝AD2+AP2，即DP2＝42+x2，在Rt△PBC中，PC2＝BC2+PB2，即PC2＝42+（10﹣x）2，在Rt△PCD中，CD2＝DP2+PC2，即102＝42+x2+42+（10﹣x）2，解得x＝2或8，故當(dāng)m＝10時(shí)，存在點(diǎn)P使得點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，此時(shí)AP＝2或8；（2）連接AC，設(shè)BP＝y(tǒng)，則AP＝m﹣y，∵PQ∥AC，∴△PBQ∽△ABC，∴＝，即＝①，∵DP⊥PQ，∴∠APD+∠BPQ＝90°，∵∠APD+∠ADP＝90°，∠BPQ+∠PQB＝90°，∴∠APD＝∠BQP，∴△APD∽△BQP，∴＝，即＝②，①②聯(lián)立得，BQ＝；（3）連接DQ，由已知PQ⊥PD，所以只有當(dāng)DP＝PQ時(shí)，△PQD為等腰三角形（如圖），∴∠BPQ＝∠ADP，又∠B＝∠A＝90°，∴△PBQ≌△DAP，∴PB＝DA＝4，AP＝BQ＝m﹣4，∴以P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式為：S四邊形PQCD＝S矩形ABCD﹣S△DAP﹣S△QBP＝4m﹣×4×（m﹣4）﹣×4×（m﹣4）＝16（4≤m＜8）當(dāng)Q在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，S＝m2﹣2m（m≥8）．綜上所述，S＝．35．如圖，△ABC中∠A＝55°，∠B＝45°，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，且∠ADE＝80°．（1）求證：△AED∽△ABC．（2）如果AD＝4，BD＝6，AE＝5，求CE的長(zhǎng)．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答部分；（2）3．【解答】（1）證明：∵∠A＝55°，∠B＝45°，∴∠C＝80°，∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C，∴△AED∽△ABC；（2）解：由（1）得△AED∽△ABC，∴，∵AD＝4，BD＝6，∴AB＝10，∵AD＝4，AB＝10，AE＝5∴AC＝8．∴CE＝AC﹣AE＝8﹣5＝3．36．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE?BD．（1）求證：△ABE∽△DCE；（2）AE?CD＝BC?ED．【答案】證明過(guò)程見(jiàn)解答部分．【解答】證明：（1）∵AB2＝BE?BD，∴AB：BE＝BD：AB，∵∠ABE＝∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴∠BAC＝∠BDC，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠BDC＝∠BAC，∴△ABE∽△DCE；（2）由（1）中相似可得，AE：DE＝BE：CE，∵∠BEC＝∠AED，∴△ADE∽△BCE，∴∠EAD＝∠EBC，∠ADE＝∠BDC＝∠BCE，∴△BCD∽△AED，∴BC：AE＝CD：ED，AE?CD＝BC?ED．37．如圖，在等邊△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，E為AC邊上一點(diǎn)，且∠ADB+∠EDC＝120°．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）若BD＝4，CE＝3，求△ABC的面積．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】證明：如圖所示：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠BAD+∠ADB＝120°，又∵∠ADB+∠EDC＝120°，∴∠BAD＝∠EDC，∴△ABD∽△DCE；（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC交BC于點(diǎn)H，∵△ABD∽△DCE，∴，∵BD＝4，CE＝3，∴設(shè)AB＝4x，則DC＝3x．又∵BD+DC＝AC，∴4+3x＝4x，解得：x＝4，∴AB＝AC＝BC＝16，在Rt△ABH中，由勾股定理得：＝＝，∴＝＝．38．如圖1，在△ABC中，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，且∠E＝∠ABC．（1）求證：AB2＝AC?AE；（2）如圖2，D在BC上且BD＝3CD，延長(zhǎng)AD交BE于F，若＝，求的值．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；（2）的值為．【解答】（1）證明：∵∠E＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AEB，∴＝，∴AB2＝AC?AE；（2）解：過(guò)點(diǎn)E作EH∥CB，交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵△ABC∽△AEB，∴＝＝＝，∴設(shè)AC＝2a，AB＝3a，∴＝，∴AE＝a，∴＝＝，∵BD＝3CD，∴設(shè)CD＝m，則BD＝3m，∴BC＝CD+BD＝4m，∴＝，∴EB＝6m，∵EH∥CD，∴∠ACD＝∠AEH，∠ADC＝∠AHE，∴△ACD∽△AEH，∴＝＝，∴EH＝m，∵EH∥BD，∴∠BDF＝∠DHE，∠DBF＝∠FEH，∴△BDF∽△EHF，∴＝＝＝，∴EF＝BE＝m，∴＝＝，∴的值為．39．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E．連接CE，點(diǎn)F是BE上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作FG∥CE交BC于點(diǎn)G．將△BFG繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到△BF'G'．（1）連接CG'，EF'，求證：△BEF'∽△BCG'；（2）當(dāng)點(diǎn)G'恰好落在直線AE上時(shí)，若BF＝3，求EG'的值．【答案】（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解答；（2）EG′＝．【解答】（1）證明：∵FG∥CE，∴△BFG∽△BEC，∴＝，∴＝，∵∠F′BG′＝∠EBC，∴∠FBG′+∠EBG′＝∠EBC+∠EBG′，即∠F′BE＝∠CBG，∴△BEF′∽△BCG′；（2）如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝45°，∴∠AEB＝90°﹣∠ABE＝45°，∴∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB＝3，∴BE＝3，由（1）知：＝，∴＝，∴BG＝，∴BG′＝BG＝，在Rt△ABG′中，由勾股定理得，AG′＝＝＝，∴EG′＝AE﹣AG′＝3﹣＝，EG″＝，綜上所述：EG′＝．40．如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊CD上的點(diǎn)，CD＝4CF，連接EF并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求證：△ABE∽△ECF（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，求AG的長(zhǎng)．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)上面詳細(xì)過(guò)程；（2）AG＝20．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝90°，∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE＝BE＝，∴，∵CD＝4CF，∴，∴即，∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECF；（2）∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，∴BC＝CD＝AD＝8，BC∥AD，∴∠CEF＝∠G，∵∠CFE＝∠DFG，∴△CEF∽△DGF，∴，∵E是BC的中點(diǎn)，CD＝4CF，∴CF＝2，DF＝6，CE＝4，∴，∴DG＝12，∴AG＝DG+AD＝20．41．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)為E，F(xiàn)為AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接CF、EF、EF交CD于G、連接BG，交CF于H．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)H為CF中點(diǎn)，點(diǎn)P為GE的中點(diǎn)時(shí)，連接CP，求證：EG＝2FG；（2）如圖2，若DF2＝DG?DC．①求證：CF＝BG；②若AB＝2，求AF的長(zhǎng)．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；（2）①證明過(guò)程見(jiàn)解答；②．【解答】（1）證明：∵點(diǎn)P為GE的中點(diǎn)．∴EG＝2PG，∵點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱點(diǎn)為E，∴點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，∴CP是△BEG的中位線，∴CP∥BG，∴，∵H是CF的中點(diǎn)，∴FH＝CH，∴FG＝PG，∴EG＝2FG；（2）①證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCG＝∠D＝90°，BC＝CD，AD//BC，∵DF2＝DG?DC，∴，∵∠FDG＝∠CDF＝90°，∴△CFD∽△FGD，∴∠FCD＝∠GFD，∵AD//BC，∴∠GFD＝∠E，∵CD垂直平分BE，∴BG＝EG，∴∠GBC＝∠E，∴∠FCD＝∠GBC，∴△GBC≌△FCD（ASA），∴CF＝BG；②解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝CD＝AB＝2，設(shè)AF＝x，則DF＝2﹣x，由①得：△GBC≌△FCD，∴CG＝DF＝2﹣x，∵AD＝CD，∴AD﹣DF＝CD﹣CG，∴DG＝AF＝x，∵DF2＝DG?DC，∴（2﹣x）2＝2x，即x2﹣6x+4＝0，解得：（不合題意，舍去），∴．42．問(wèn)題1：如圖①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一點(diǎn)（不與A，B重合），DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，連接CD．設(shè)△ABC的面積為S，△DEC的面積為S′．（1）當(dāng)AD＝3時(shí)，＝；（2）設(shè)AD＝m，請(qǐng)你用含字母m的代數(shù)式表示．問(wèn)題2：如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD＝BC，E是AB上一點(diǎn)（不與A，B重合），EF∥BC，交CD于點(diǎn)F，連接CE．設(shè)AE＝n，四邊形ABCD的面積為S，△EFC的面積為S′．請(qǐng)你利用問(wèn)題1的解法或結(jié)論，用含字母n的代數(shù)式表示．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：?jiǎn)栴}1：（1）∵AB＝4，AD＝3，∴BD＝4﹣3＝1，∵DE∥BC，∴，∴＝＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴＝，即，故答案為：；（2）解法一：∵AB＝4，AD＝m，∴BD＝4﹣m，∵DE∥BC，∴＝＝，∴＝＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴＝＝＝，即＝；解法二：如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于H，過(guò)D作DF⊥AC于F，則DF∥BH，∴△ADF∽△ABH，∴＝，∴＝＝＝，即＝；問(wèn)題2：如圖2，解法一：如圖2，分別延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)O，∵AD∥BC，∴△OAD∽△OBC，∴，∴OA＝AB＝4，∴OB＝8，∵AE＝n，∴OE＝4+n，∵EF∥BC，由問(wèn)題1的解法可知：＝＝＝，∵＝＝，∴＝，∴＝＝＝，即＝；解法二：如圖3，連接AC交EF于M，∵AD∥BC，且AD＝BC，∴＝，∴S△ADC＝，∴S△ADC＝S，S△ABC＝，由問(wèn)題1的結(jié)論可知：＝，∵M(jìn)F∥AD，∴△CFM∽△CDA，∴＝＝＝，∴S△CFM＝×S，∴S△EFC＝S△EMC+S△CFM＝+×S＝，∴＝．八．相似三角形的應(yīng)用（共3小題）43．四分儀是一種十分古老的測(cè)量?jī)x器．其出現(xiàn)可追溯到數(shù)學(xué)家托勒密的《天文學(xué)大成》．圖1是古代測(cè)量員用四分儀測(cè)量一方井的深度，將四分儀置于方井上的邊沿，通過(guò)窺衡桿測(cè)望井底點(diǎn)F、窺衡桿與四分儀的一邊BC交于點(diǎn)H．圖2中，四分儀為正方形ABCD．方井為矩形BEFG．若測(cè)量員從四