北師版九年級數(shù)學上冊期末復習考題猜想 專題04 圖形的相似（考題猜想易錯必刷50題10種題型專項訓練）

一．比例的性質(zhì)（共3小題）1．已知，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．52．如果x：y＝2：3，則下列各式不成立的是（）A． B． C． D．3．已知，則a：b＝．二．比例線段（共2小題）4．已知線段a＝4cm，b＝9cm，則線段a，b的比例中項為cm．5．已知：線段a、b、c，且＝＝．（1）求的值．（2）如線段a、b、c滿足a+b+c＝27，求a﹣b+c的值．．平行線分線段成比例（共8小題）6．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，則EC的長為（）A．1 B．2 C．3 D．47．如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點A，B，C，直線DF分別交l1，l2，l3于點D，E，F(xiàn)，AC與DF相交于點G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，則的值為（）A． B．2 C． D．8．如圖，l1∥l2∥l3，直線a，b與l1、l2、l3分別相交于A、B、C和點D、E、F．若＝，DE＝4，則EF的長是（）A． B． C．6 D．109．如圖，點A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，AD∥BC，BE的延長線交AD于點G，且BG∥DF，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B． C． D．10．如圖l1∥l2∥l3，若＝，DF＝10，則DE＝（）A．4 B．6 C．8 D．911．如圖，點D、E分別在△ABC的邊AB，AC上，DE∥BC，點G在邊BC上，AG交DE于點H，點O是線段AG的中點，若AD：DB＝3：1，則AO：OH＝．12．如圖，練習本中的橫格線都平行，且相鄰兩條橫格線間的距離都相等，同一條直線上的三個點A、B、C都在橫格線上．若線段AB＝4cm，則線段BC＝cm．13．如圖，直線l1、l2、l3分別交直線l4于點A、B、C，交直線l5于點D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF＝5：8，AC＝24．（1）求AB的長；（2）當AD＝4，BE＝1時，求CF的長．四．相似多邊形的性質(zhì)（共1小題）14．如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊：使DA邊落在DC邊上，點A落在點H處，折痕為DE；使CB邊落在CD邊上，點B落在點G處，折痕為CF．若矩形HEFG與原矩形ABCD相似，AD＝1，則CD的長為（）A．﹣1 B．﹣1 C．+1 D．+1五．相似三角形的性質(zhì)（共2小題）15．如圖，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，點D在邊AC上，且CD＝4，過點D作一條直線交邊AB于點E，使△ADE與△ABC相似，則DE的長是（）A．12 B．16 C．12或16 D．以上都不對16．如圖在平面直角坐標系中，A點坐標為（8，0），B點坐標為（0，6），點C是線段AB的中點．點P在x軸上，若以P、A、C為頂點的三角形與△AOB相似，則P點坐標為．六．相似三角形的判定（共6小題）17．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，點E是邊AB上的動點，當△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時，則AE＝（）A． B． C．或 D．或118．如圖，已知∠1＝∠2，若再增加一個條件不一定能使結(jié)論△ADE∽△ABC成立，則這個條件是（）A．∠D＝∠B B． C． D．∠AED＝∠C19．如圖，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，動點P從點A開始沿AB邊運動，速度為2cm/s；動點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為4cm/s；如果P、Q兩動點同時運動，那么何時△QBP與△ABC相似？20．如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一點，使得AE⊥DE；（1）求證：△ABE∽△ECD；（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的長；（3）當△AED∽△ECD時，請寫出線段AD、AB、CD之間數(shù)量關(guān)系，并說明理由．21．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．點D由點A出發(fā)沿AB方向向點B勻速運動，同時點E由點B出發(fā)沿BC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s．連接DE，設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜10），解答下列問題：（1）當t為何值時，△BDE的面積為7.5cm2；（2）在點D，E的運動中，是否存在時間t，使得△BDE與△ABC相似？若存在，請求出對應(yīng)的時間t；若不存在，請說明理由．22．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm，動點M以1cm/s的速度從A點出發(fā)，沿AB向點B運動，同時動點N以2cm/s的速度從點D出發(fā)，沿DA向點A運動，設(shè)運動的時間為t秒（0＜t＜3）．（1）當t為何值時，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的？（2）是否存在某一時刻t，使得以A、M、N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．七．相似三角形的判定與性質(zhì)（共20小題）23．如圖，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一邊在BC上，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AD交EF于點N，則AN的長為（）A．15 B．20 C．25 D．3024．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，則△ABC與△DCA的面積比為（）A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．：25．如圖，在?ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，BG⊥AE，垂足為G，BG＝，則△CEF的周長為（）A．8 B．9.5 C．10 D．11.526．如圖，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB與CD相交于點P，則tan∠APD的值為（）A．2 B． C．3 D．27．在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2）．延長CB交x軸于點A1，作正方形A1B1C1C；延長C1B1交x軸于點A2，作正方形A2B2C2C1…按這樣的規(guī)律進行下去，第2010個正方形的面積為（）A． B． C． D．28．如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥AB，DE：AE＝2：3，△BDC的面積為25，則四邊形AEFB的面積為（）A．25 B．9 C．21 D．1629．如圖，在△ABC中，EF∥BC，＝，S四邊形BCFE＝8，則S△ABC＝（）A．9 B．10 C．12 D．1330．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，在△ABC的內(nèi)部，作一個正方形PQRS，若BC＝3，AD＝2，則正方形PQRS的邊長為（）A． B． C．1 D．31．如圖，有公共頂點的正方形ABCD和正方形BFGE如圖擺放，其中點G恰在CD邊的四等分點（CG＜DG），連結(jié)BD．則DH：BH為（）A．2：3 B．：2 C．2： D．15：1732．已知，?ABCD面積為40，點M為AD的三等分點，且AM＝AD，N為BC的中點，MN交對角線BD于點O，則陰影部分的面積為．33．如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點，連接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求證：△ADE∽△ACB；（2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的長．34．如圖，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝m（m＞4），點P是AB邊上的任意一點（不與點A、B重合），連接PD，過點P作PQ⊥PD，交直線BC于點Q．（1）當m＝10時，是否存在點P使得點Q與點C重合？若存在，求出此時AP的長；若不存在，說明理由；（2）連接AC，若PQ∥AC，求線段BQ的長（用含m的代數(shù)式表示）；（3）若△PQD為等腰三角形，求以P、Q、C、D為頂點的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍．35．如圖，△ABC中∠A＝55°，∠B＝45°，點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，且∠ADE＝80°．（1）求證：△AED∽△ABC．（2）如果AD＝4，BD＝6，AE＝5，求CE的長．36．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE?BD．（1）求證：△ABE∽△DCE；（2）AE?CD＝BC?ED．37．如圖，在等邊△ABC中，D為BC邊上一點，E為AC邊上一點，且∠ADB+∠EDC＝120°．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）若BD＝4，CE＝3，求△ABC的面積．38．如圖1，在△ABC中，點E在AC的延長線上，且∠E＝∠ABC．（1）求證：AB2＝AC?AE；（2）如圖2，D在BC上且BD＝3CD，延長AD交BE于F，若＝，求的值．39．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，BE平分∠ABC交AD于點E．連接CE，點F是BE上一動點，過點F作FG∥CE交BC于點G．將△BFG繞點B旋轉(zhuǎn)得到△BF'G'．（1）連接CG'，EF'，求證：△BEF'∽△BCG'；（2）當點G'恰好落在直線AE上時，若BF＝3，求EG'的值．40．如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F(xiàn)是邊CD上的點，CD＝4CF，連接EF并延長交AD的延長線于點G．（1）求證：△ABE∽△ECF（2）若正方形ABCD的邊長為8，求AG的長．41．如圖，在正方形ABCD中，點B關(guān)于CD的對稱點為E，F(xiàn)為AD邊上一動點，連接CF、EF、EF交CD于G、連接BG，交CF于H．（1）如圖1，當點H為CF中點，點P為GE的中點時，連接CP，求證：EG＝2FG；（2）如圖2，若DF2＝DG?DC．①求證：CF＝BG；②若AB＝2，求AF的長．42．問題1：如圖①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一點（不與A，B重合），DE∥BC，交AC于點E，連接CD．設(shè)△ABC的面積為S，△DEC的面積為S′．（1）當AD＝3時，＝；（2）設(shè)AD＝m，請你用含字母m的代數(shù)式表示．問題2：如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD＝BC，E是AB上一點（不與A，B重合），EF∥BC，交CD于點F，連接CE．設(shè)AE＝n，四邊形ABCD的面積為S，△EFC的面積為S′．請你利用問題1的解法或結(jié)論，用含字母n的代數(shù)式表示．八．相似三角形的應(yīng)用（共3小題）43．四分儀是一種十分古老的測量儀器．其出現(xiàn)可追溯到數(shù)學家托勒密的《天文學大成》．圖1是古代測量員用四分儀測量一方井的深度，將四分儀置于方井上的邊沿，通過窺衡桿測望井底點F、窺衡桿與四分儀的一邊BC交于點H．圖2中，四分儀為正方形ABCD．方井為矩形BEFG．若測量員從四分儀中讀得AB為1，BH為0.5，實地測得BE為2.5．則井深BG為（）A．4 B．5 C．6 D．744．據(jù)《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國學者墨子和他的學生做了“小孔成像”實驗，闡釋了光的直線傳播原理．小孔成像的示意圖如圖所示，光線經(jīng)過小孔O，物體AB在幕布上形成倒立的實像CD（點A、B的對應(yīng)點分別是C、D）．若物體AB的高為9cm，小孔O到物體和實像的水平距離BE、CE分別為12cm、9cm，則實像CD的高度為（）cm．A．6cm B．6.25cm C．6.75cm D．7cm45．如圖，利用標桿DA測量樓高，點C，A，B在同一直線上，DA⊥CB，EB⊥CB，垂足分別為A，B．若測得AB＝16米，DA＝3米，CA＝4米，則樓高EB為（）A．10米 B．12米 C．15米 D．20米九．位似變換（共4小題）46．在平面直角坐標系中，線段AB兩個端點的坐標分別為A（6，8），B（10，2），若以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮短為原來的后得到線段CD，則點A的對應(yīng)點C的坐標為（）A．（5，1） B．（4，3） C．（3，4） D．（1，5）47．如圖，在平面直角坐標系中，已知點E（﹣4，2），F(xiàn)（﹣1，﹣1）．以原點O為位似中心，把△EFO擴大到原來的2倍，則點E的對應(yīng)點E'的坐標為（）A．（﹣8，4） B．（8，﹣4） C．（8，4）或（﹣8，﹣4） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）48．如圖，已知點E（﹣4，2），F(xiàn)（﹣2，﹣2），以O(shè)為位似中心，按比例尺1：2，把△EFO縮小，則點E的對應(yīng)點E′的坐標為（）A．（2，﹣1） B．（8，﹣4） C．（2，﹣1）或（﹣2，1） D．（8，﹣4）或（﹣8，﹣4）49．如圖，直線y＝x+1與x軸，y軸分別交于A、B兩點，△BOC與△B′O′C′是以點A為位似中心的位似圖形，且相似比為1：2，則點B′的坐標為．一十．作圖-位似變換（共1小題）50．已知：△ABC在坐標平面內(nèi)，三個頂點的坐標分別為A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長是1個單位長度）（1）畫出△ABC向下平移4個單位得到的△A1B1C1，并直接寫出C1點的坐標；（2）以點B為位似中心，在網(wǎng)格中畫出△A2BC2，使△A2BC2與△ABC位似，且位似比為2：1，并直接寫出C2點的坐標及△A2BC2的面積．

專題04圖形的相似（易錯必刷50題10種題型專項訓練）比例的性質(zhì)相似三角形的判定比例線段相似三角形的判定與性質(zhì)平行線分線段成比例相似三角形的應(yīng)用相似多邊形的性質(zhì)位似變換相似三角形的性質(zhì)作圖-位似變換一．比例的性質(zhì)（共3小題）1．已知，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解答】解：設(shè)＝k（k≠0），則a＝2k，b＝3k，c＝4k，∴＝＝2，故選：A．2．如果x：y＝2：3，則下列各式不成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：可設(shè)x＝2k，y＝3k．通過代入計算，進行約分，A，B，C都正確；D不能實現(xiàn)約分，故錯誤．故選：D．3．已知，則a：b＝19：13．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵∴5（a+2b）＝9（2a﹣b）∴5a+10b＝18a﹣9b∴19b＝13a∴a：b＝．二．比例線段（共2小題）4．已知線段a＝4cm，b＝9cm，則線段a，b的比例中項為6cm．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)比例中項的概念結(jié)合比例的基本性質(zhì)，得：比例中項的平方等于兩條線段的乘積．設(shè)它們的比例中項是x，則x2＝4×9，x＝±6，（線段是正數(shù)，負值舍去），故填6．5．已知：線段a、b、c，且＝＝．（1）求的值．（2）如線段a、b、c滿足a+b+c＝27，求a﹣b+c的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵＝，∴＝，∴＝+1＝+1＝；（2）設(shè)＝＝＝k，則a＝2k，b＝3k，c＝4k，∵a+b+c＝27，∴2k+3k+4k＝27，∴k＝3，∴a＝6，b＝9，c＝12，∴a﹣b+c＝6﹣9+12＝9．三．平行線分線段成比例（共8小題）6．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，則EC的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC＝2，故選：B．7．如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點A，B，C，直線DF分別交l1，l2，l3于點D，E，F(xiàn)，AC與DF相交于點G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，則的值為（）A． B．2 C． D．【答案】D【解答】解：∵AG＝2，GB＝1，∴AB＝AG+BG＝3，∵直線l1∥l2∥l3，∴＝，故選：D．8．如圖，l1∥l2∥l3，直線a，b與l1、l2、l3分別相交于A、B、C和點D、E、F．若＝，DE＝4，則EF的長是（）A． B． C．6 D．10【答案】C【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，即，解得：EF＝6．故選：C．9．如圖，點A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，AD∥BC，BE的延長線交AD于點G，且BG∥DF，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵BG∥DF，∴＝，A正確，C錯誤；∴＝，B正確；∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，∵BG∥DF，∴∠BEC＝∠DFA，∴△BEC∽△DFA，∴＝，D正確，故選：C．10．如圖l1∥l2∥l3，若＝，DF＝10，則DE＝（）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】B【解答】解：l1∥l2∥l3，∴＝＝，又∵DF＝10，∴DE＝DF＝6，故選：B．11．如圖，點D、E分別在△ABC的邊AB，AC上，DE∥BC，點G在邊BC上，AG交DE于點H，點O是線段AG的中點，若AD：DB＝3：1，則AO：OH＝2：1．【答案】2：1．【解答】解：∵點O是線段AG的中點，∴OA＝OG＝AG，∵DE∥BC，AD：DB＝3：1，∴＝＝＝，＝＝，∴OH＝OG﹣HG＝AG﹣AG＝AG，∴AO：OH＝（AG）：（AG）＝2：1，故答案為：2：1．12．如圖，練習本中的橫格線都平行，且相鄰兩條橫格線間的距離都相等，同一條直線上的三個點A、B、C都在橫格線上．若線段AB＝4cm，則線段BC＝12cm．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，過點A作AE⊥CE于點E，交BD于點D，∵練習本中的橫格線都平行，且相鄰兩條橫格線間的距離都相等，∴，即，∴BC＝12cm．故答案為：12．13．如圖，直線l1、l2、l3分別交直線l4于點A、B、C，交直線l5于點D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF＝5：8，AC＝24．（1）求AB的長；（2）當AD＝4，BE＝1時，求CF的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）解：∵l1∥l2∥l3，EF：DF＝5：8，AC＝24，∴＝＝，∴＝，∴BC＝15，∴AB＝AC﹣BC＝24﹣15＝9．（2）解：∵l1∥l2∥l3∴＝＝，∴＝，∴OB＝3，∴OC＝BC﹣OB＝15﹣3＝12，∴＝＝，∴＝，∴CF＝4．四．相似多邊形的性質(zhì)（共1小題）14．如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊：使DA邊落在DC邊上，點A落在點H處，折痕為DE；使CB邊落在CD邊上，點B落在點G處，折痕為CF．若矩形HEFG與原矩形ABCD相似，AD＝1，則CD的長為（）A．﹣1 B．﹣1 C．+1 D．+1【答案】C【解答】解：設(shè)HG＝x，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1，由折疊得：∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1，∴四邊形ADHE是矩形，∵AD＝DH，∴四邊形ADHE是正方形，∴AD＝HE＝1，∵矩形HEFG與原矩形ABCD相似，∴＝，∴＝，解得：x＝﹣1或x＝﹣﹣1，經(jīng)檢驗：x＝﹣1或x＝﹣﹣1都是原方程的根，∵GH＞0，∴GH＝﹣1，∴DC＝2+x＝+1，故選：C．五．相似三角形的性質(zhì)（共2小題）15．如圖，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，點D在邊AC上，且CD＝4，過點D作一條直線交邊AB于點E，使△ADE與△ABC相似，則DE的長是（）A．12 B．16 C．12或16 D．以上都不對【答案】A【解答】解：∵∠A＝∠A，分為兩種情況：①DE∥BC（即∠ADE＝∠C），∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴，∴DE＝12，②∠ADE′＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△ADE′∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DE′＝16，∵AB＝9，∴此時點E在AB的延長線上，不符合題意，舍去，故選：A．16．如圖在平面直角坐標系中，A點坐標為（8，0），B點坐標為（0，6），點C是線段AB的中點．點P在x軸上，若以P、A、C為頂點的三角形與△AOB相似，則P點坐標為（4，0）或（，0）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵A點坐標為（8，0），B點坐標為（0，6），點C是線段AB的中點，∴OA＝8，OB＝6，AC＝AB，∴AB＝10，∴AC＝5，若△PAC∽△OAB，∵∠OAB＝∠PAC，則需，∴PA＝4，PC＝3，∴OP＝4，∴P點坐標為（4，0）；若△PAC∽△BAO，∵∠OAB＝∠PAC，則需，∴，解得：PA＝，∴OP＝8﹣＝．∴P點坐標為（，0）．故答案為：（4，0）或（，0）．六．相似三角形的判定（共6小題）17．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，點E是邊AB上的動點，當△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時，則AE＝（）A． B． C．或 D．或1【答案】D【解答】解：分兩種情況：①當∠CED＝90°時，如圖1，過E作EF⊥CD于F，∵AD∥BC，AD＜BC，∴AB與CD不平行，∴當△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時，∴∠BEC＝∠CDE＝∠ADE，∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°，∴∠BCE＝∠DCE，∴AE＝EF，EF＝BE，∴AE＝BE＝AB＝；②當∠CDE＝90°時，如圖2，∵當△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時，∴∠CEB＝∠CED＝∠AED＝60°，∴∠BCE＝∠DCE＝30°，∵∠A＝∠B＝90°，∴BE＝ED＝2AE，∵AB＝3，∴AE＝1，綜上，AE的值為或1；故選：D．18．如圖，已知∠1＝∠2，若再增加一個條件不一定能使結(jié)論△ADE∽△ABC成立，則這個條件是（）A．∠D＝∠B B． C． D．∠AED＝∠C【答案】C【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，∴∠DAE＝∠BAC，A、∵∠DAE＝∠BAC，∠D＝∠B，∴△ADE∽△ABC，故本選項正確；B、∵＝，∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，故本選項正確；C、∵＝，兩線段的夾角∠D和∠B不知道相等，∴不能說△ADE和△ABC相似，故本選項錯誤，即不正確；D、∵∠DAE＝∠BAC，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，故本選項正確；故選：C．19．如圖，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，動點P從點A開始沿AB邊運動，速度為2cm/s；動點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為4cm/s；如果P、Q兩動點同時運動，那么何時△QBP與△ABC相似？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)經(jīng)過t秒時，以△QBP與△ABC相似，則AP＝2t厘米，BP＝（8﹣2t）厘米，BQ＝4t厘米，∵∠PBQ＝∠ABC，∴當＝時，△BPQ∽△BAC，即＝，解得t＝2（s）；當＝時，△BPQ∽△BCA，即＝，解得t＝0.8（s）；即經(jīng)過2秒或0.8秒時，△QBP與△ABC相似．20．如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一點，使得AE⊥DE；（1）求證：△ABE∽△ECD；（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的長；（3）當△AED∽△ECD時，請寫出線段AD、AB、CD之間數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠BAE，∴△ABE∽△ECD；（2）解：Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，∴BE＝3，∵BC＝5，∴EC＝5﹣3＝2，由（1）得：△ABE∽△ECD，∴，∴，∴CD＝；（3）解：線段AD、AB、CD之間數(shù)量關(guān)系：AD＝AB+CD；理由是：過E作EF⊥AD于F，∵△AED∽△ECD，∴∠EAD＝∠DEC，∵∠AED＝∠C，∴∠ADE＝∠EDC，∵DC⊥BC，∴EF＝EC，∵DE＝DE，∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），∴DF＝DC，同理可得：△ABE≌△AFE，∴AF＝AB，∴AD＝AF+DF＝AB+CD．21．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．點D由點A出發(fā)沿AB方向向點B勻速運動，同時點E由點B出發(fā)沿BC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s．連接DE，設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜10），解答下列問題：（1）當t為何值時，△BDE的面積為7.5cm2；（2）在點D，E的運動中，是否存在時間t，使得△BDE與△ABC相似？若存在，請求出對應(yīng)的時間t；若不存在，請說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）分別過點D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足為F、G如圖∴DF∥AG，＝∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，∴＝解得DF＝（10﹣t）∵S△BDE＝BE?DF＝7.5∴（10﹣t）?t＝15解得t＝5．答：t為5秒時，△BDE的面積為7.5cm2．（2）存在．理由如下：①當BE＝DE時，△BDE∽△BCA，∴＝即＝，解得t＝，②當BD＝DE時，△BDE∽△BAC，＝即＝，解得t＝．答：存在時間t為或秒時，使得△BDE與△ABC相似．22．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm，動點M以1cm/s的速度從A點出發(fā)，沿AB向點B運動，同時動點N以2cm/s的速度從點D出發(fā)，沿DA向點A運動，設(shè)運動的時間為t秒（0＜t＜3）．（1）當t為何值時，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的？（2）是否存在某一時刻t，使得以A、M、N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）經(jīng)過1秒或2秒時，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的；（2）當運動時間為1.5秒或2.4秒時，以A、M、N為頂點的三角形與△ACD相似．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝6cm，∠BAD＝90°，AM＝tcm，AN＝6﹣2t（cm），∴S△AMN＝AN?AM＝×（6﹣2t）×t＝﹣（t﹣）2+（0≤t≤3），依題意得：﹣（t﹣）2+＝×3×6，t2﹣3t+2＝0，t1＝2，t2＝1．答：經(jīng)過1秒或2秒時，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的；（2）設(shè)運動時間為t秒，由題意得DN＝2t（cm），AN＝（6﹣2t）（cm），AM＝t（cm），若△NMA∽△ACD，則有AD：AN＝CD：AM，即6：（6﹣2t）＝3：t，解得t＝1.5，若△MNA∽△ACD則有AD：AM＝CD：AN，即6：t＝3：（6﹣2t），解得t＝2.4，答：當運動時間為1.5秒或2.4秒時，以A、M、N為頂點的三角形與△ACD相似．七．相似三角形的判定與性質(zhì)（共20小題）23．如圖，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一邊在BC上，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AD交EF于點N，則AN的長為（）A．15 B．20 C．25 D．30【答案】B【解答】解：設(shè)正方形EFGH的邊長EF＝EH＝x，∵四邊形EFGH是正方形，∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°，∴四邊形EHDN是矩形，∴DN＝EH＝x，∵△AEF∽△ABC，∴＝（相似三角形對應(yīng)邊上的高的比等于相似比），∵BC＝120，AD＝60，∴AN＝60﹣x，∴＝，解得：x＝40，∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．故選：B．24．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，則△ABC與△DCA的面積比為（）A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．：【答案】C【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△CBA∽△ACD＝＝＝，∵＝（）2＝∴△ABC與△DCA的面積比為4：9．故選：C．25．如圖，在?ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，BG⊥AE，垂足為G，BG＝，則△CEF的周長為（）A．8 B．9.5 C．10 D．11.5【答案】A【解答】解：∵在?ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分線交BC于點E，∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴AD＝FD，∴△ADF是等腰三角形，同理△ABE是等腰三角形，AD＝DF＝9；∵AB＝BE＝6，∴CF＝3；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝，可得：AG＝2，又BG⊥AE，∴AE＝2AG＝4，∴△ABE的周長等于16，又∵?ABCD∴△CEF∽△BEA，相似比為1：2，∴△CEF的周長為8．故選：A．26．如圖，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB與CD相交于點P，則tan∠APD的值為（）A．2 B． C．3 D．【答案】A【解答】解：如圖：連接BE，，∵四邊形BCED是正方形，∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，∴BF＝CF，根據(jù)題意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，∴DP：DF＝1：2，∴DP＝PF＝CF＝BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2，∵∠APD＝∠BPF，∴tan∠APD＝2．故選：A．27．在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2）．延長CB交x軸于點A1，作正方形A1B1C1C；延長C1B1交x軸于點A2，作正方形A2B2C2C1…按這樣的規(guī)律進行下去，第2010個正方形的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：設(shè)正方形的面積分別為S1，S2…S2010，根據(jù)題意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，∴∠BAA1＝∠B1A1A2＝∠B2A2x（同位角相等）．∵∠ABA1＝∠A1B1A2＝90°，∴△BAA1∽△B1A1A2，在直角△ADO中，根據(jù)勾股定理，得：AD＝，cot∠DAO＝＝，∵tan∠BAA1＝＝cot∠DAO，∴BA1＝AB＝，∴CA1＝+＝×，同理，得：C1A2＝××，由正方形的面積公式，得：S1＝，S2＝×，S3＝××，由此，可得Sn＝×（1+）2n﹣2，∴S2010＝5×（）2×2010﹣2，＝5×（）4018．故選：D．28．如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥AB，DE：AE＝2：3，△BDC的面積為25，則四邊形AEFB的面積為（）A．25 B．9 C．21 D．16【答案】C【解答】解：因為EF∥AB，DE：AE＝2：3，所以，所以S△DEF：S△ABD＝4：25，又因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以△ABD≌△BDC，△BDC的面積為25，所以△ABD的面積為25，所以△DEF的面積為4，則四邊形AEFB的面積為21．故選：C．29．如圖，在△ABC中，EF∥BC，＝，S四邊形BCFE＝8，則S△ABC＝（）A．9 B．10 C．12 D．13【答案】A【解答】解：∵＝，∴＝＝，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝，∴9S△AEF＝S△ABC，∵S四邊形BCFE＝8，∴9（S△ABC﹣8）＝S△ABC，解得：S△ABC＝9．故選：A．30．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，在△ABC的內(nèi)部，作一個正方形PQRS，若BC＝3，AD＝2，則正方形PQRS的邊長為（）A． B． C．1 D．【答案】A【解答】解：如圖：設(shè)正方形PQRS的邊長為x，∵AD是△ABC的高，SR∥BC，∴AE是△ASR的高，則AE＝AD﹣ED＝2﹣x，∵四邊形PQRS是正方形，∴SR∥BC，∴△ASR∽△ABC，∴＝，∴＝，解得：x＝，∴正方形PQRS的邊長為．故選：A．31．如圖，有公共頂點的正方形ABCD和正方形BFGE如圖擺放，其中點G恰在CD邊的四等分點（CG＜DG），連結(jié)BD．則DH：BH為（）A．2：3 B．：2 C．2： D．15：17【答案】D【解答】解：連接BG，設(shè)GC＝x，∵G恰在CD邊的四等分點，∴DG＝3x，DC＝4x，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BDG＝45°，∠C＝90°，BC＝DC＝4x，∴在Rt△BCD中根據(jù)勾股定理得，BD＝4x，在Rt△BGC中根據(jù)勾股定理得，BG＝x，∵四邊形BFGE是正方形，∴∠BGH＝45°，∴∠BGH＝∠BDG，∴∠DBG＝∠GBH，∴△BGH∽△BDG，∴＝，∴＝，∴BH＝，∴DH＝BD﹣BH＝4x﹣＝，∴＝＝．故選：D．32．已知，?ABCD面積為40，點M為AD的三等分點，且AM＝AD，N為BC的中點，MN交對角線BD于點O，則陰影部分的面積為．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CDB（SSS），∴△CDB的面積＝?ABCD的面積＝20，∵N為BC的中點，∴BN＝NC＝BC，∴△DNC的面積＝△BND的面積＝△CBD的面積＝10，∵AM＝AD，∴DM＝AD＝BC，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∠DMN＝∠ANB，∴△DMO∽△BNO，∴＝＝＝，∴＝，∴△DON的面積＝△BND的面積＝，∴陰影部分的面積＝△DON的面積+△DNC的面積＝，故答案為：．33．如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點，連接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求證：△ADE∽△ACB；（2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）解：由（1）可知：△ADE∽△ACB，∴＝，設(shè)BD＝x，則AD＝2x，AB＝3x，∵AE＝4，AC＝9，∴＝，解得：x＝（負值舍去），∴BD的長是．34．如圖，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝m（m＞4），點P是AB邊上的任意一點（不與點A、B重合），連接PD，過點P作PQ⊥PD，交直線BC于點Q．（1）當m＝10時，是否存在點P使得點Q與點C重合？若存在，求出此時AP的長；若不存在，說明理由；（2）連接AC，若PQ∥AC，求線段BQ的長（用含m的代數(shù)式表示）；（3）若△PQD為等腰三角形，求以P、Q、C、D為頂點的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）存在點P．假設(shè)存在一點P，使點Q與點C重合，如圖1所示，設(shè)AP的長為x，則BP＝10﹣x，在Rt△APD中，DP2＝AD2+AP2，即DP2＝42+x2，在Rt△PBC中，PC2＝BC2+PB2，即PC2＝42+（10﹣x）2，在Rt△PCD中，CD2＝DP2+PC2，即102＝42+x2+42+（10﹣x）2，解得x＝2或8，故當m＝10時，存在點P使得點Q與點C重合，此時AP＝2或8；（2）連接AC，設(shè)BP＝y(tǒng)，則AP＝m﹣y，∵PQ∥AC，∴△PBQ∽△ABC，∴＝，即＝①，∵DP⊥PQ，∴∠APD+∠BPQ＝90°，∵∠APD+∠ADP＝90°，∠BPQ+∠PQB＝90°，∴∠APD＝∠BQP，∴△APD∽△BQP，∴＝，即＝②，①②聯(lián)立得，BQ＝；（3）連接DQ，由已知PQ⊥PD，所以只有當DP＝PQ時，△PQD為等腰三角形（如圖），∴∠BPQ＝∠ADP，又∠B＝∠A＝90°，∴△PBQ≌△DAP，∴PB＝DA＝4，AP＝BQ＝m﹣4，∴以P、Q、C、D為頂點的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式為：S四邊形PQCD＝S矩形ABCD﹣S△DAP﹣S△QBP＝4m﹣×4×（m﹣4）﹣×4×（m﹣4）＝16（4≤m＜8）當Q在BC延長線上時，S＝m2﹣2m（m≥8）．綜上所述，S＝．35．如圖，△ABC中∠A＝55°，∠B＝45°，點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，且∠ADE＝80°．（1）求證：△AED∽△ABC．（2）如果AD＝4，BD＝6，AE＝5，求CE的長．【答案】（1）證明過程見解答部分；（2）3．【解答】（1）證明：∵∠A＝55°，∠B＝45°，∴∠C＝80°，∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C，∴△AED∽△ABC；（2）解：由（1）得△AED∽△ABC，∴，∵AD＝4，BD＝6，∴AB＝10，∵AD＝4，AB＝10，AE＝5∴AC＝8．∴CE＝AC﹣AE＝8﹣5＝3．36．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE?BD．（1）求證：△ABE∽△DCE；（2）AE?CD＝BC?ED．【答案】證明過程見解答部分．【解答】證明：（1）∵AB2＝BE?BD，∴AB：BE＝BD：AB，∵∠ABE＝∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴∠BAC＝∠BDC，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠BDC＝∠BAC，∴△ABE∽△DCE；（2）由（1）中相似可得，AE：DE＝BE：CE，∵∠BEC＝∠AED，∴△ADE∽△BCE，∴∠EAD＝∠EBC，∠ADE＝∠BDC＝∠BCE，∴△BCD∽△AED，∴BC：AE＝CD：ED，AE?CD＝BC?ED．37．如圖，在等邊△ABC中，D為BC邊上一點，E為AC邊上一點，且∠ADB+∠EDC＝120°．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）若BD＝4，CE＝3，求△ABC的面積．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】證明：如圖所示：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠BAD+∠ADB＝120°，又∵∠ADB+∠EDC＝120°，∴∠BAD＝∠EDC，∴△ABD∽△DCE；（2）過點A作AH⊥BC交BC于點H，∵△ABD∽△DCE，∴，∵BD＝4，CE＝3，∴設(shè)AB＝4x，則DC＝3x．又∵BD+DC＝AC，∴4+3x＝4x，解得：x＝4，∴AB＝AC＝BC＝16，在Rt△ABH中，由勾股定理得：＝＝，∴＝＝．38．如圖1，在△ABC中，點E在AC的延長線上，且∠E＝∠ABC．（1）求證：AB2＝AC?AE；（2）如圖2，D在BC上且BD＝3CD，延長AD交BE于F，若＝，求的值．【答案】（1）證明過程見解答；（2）的值為．【解答】（1）證明：∵∠E＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AEB，∴＝，∴AB2＝AC?AE；（2）解：過點E作EH∥CB，交AF的延長線于點H，∵△ABC∽△AEB，∴＝＝＝，∴設(shè)AC＝2a，AB＝3a，∴＝，∴AE＝a，∴＝＝，∵BD＝3CD，∴設(shè)CD＝m，則BD＝3m，∴BC＝CD+BD＝4m，∴＝，∴EB＝6m，∵EH∥CD，∴∠ACD＝∠AEH，∠ADC＝∠AHE，∴△ACD∽△AEH，∴＝＝，∴EH＝m，∵EH∥BD，∴∠BDF＝∠DHE，∠DBF＝∠FEH，∴△BDF∽△EHF，∴＝＝＝，∴EF＝BE＝m，∴＝＝，∴的值為．39．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，BE平分∠ABC交AD于點E．連接CE，點F是BE上一動點，過點F作FG∥CE交BC于點G．將△BFG繞點B旋轉(zhuǎn)得到△BF'G'．（1）連接CG'，EF'，求證：△BEF'∽△BCG'；（2）當點G'恰好落在直線AE上時，若BF＝3，求EG'的值．【答案】（1）證明過程詳見解答；（2）EG′＝．【解答】（1）證明：∵FG∥CE，∴△BFG∽△BEC，∴＝，∴＝，∵∠F′BG′＝∠EBC，∴∠FBG′+∠EBG′＝∠EBC+∠EBG′，即∠F′BE＝∠CBG，∴△BEF′∽△BCG′；（2）如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝45°，∴∠AEB＝90°﹣∠ABE＝45°，∴∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB＝3，∴BE＝3，由（1）知：＝，∴＝，∴BG＝，∴BG′＝BG＝，在Rt△ABG′中，由勾股定理得，AG′＝＝＝，∴EG′＝AE﹣AG′＝3﹣＝，EG″＝，綜上所述：EG′＝．40．如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F(xiàn)是邊CD上的點，CD＝4CF，連接EF并延長交AD的延長線于點G．（1）求證：△ABE∽△ECF（2）若正方形ABCD的邊長為8，求AG的長．【答案】（1）證明過程見上面詳細過程；（2）AG＝20．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝90°，∵E是BC的中點，∴CE＝BE＝，∴，∵CD＝4CF，∴，∴即，∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECF；（2）∵正方形ABCD的邊長為8，∴BC＝CD＝AD＝8，BC∥AD，∴∠CEF＝∠G，∵∠CFE＝∠DFG，∴△CEF∽△DGF，∴，∵E是BC的中點，CD＝4CF，∴CF＝2，DF＝6，CE＝4，∴，∴DG＝12，∴AG＝DG+AD＝20．41．如圖，在正方形ABCD中，點B關(guān)于CD的對稱點為E，F(xiàn)為AD邊上一動點，連接CF、EF、EF交CD于G、連接BG，交CF于H．（1）如圖1，當點H為CF中點，點P為GE的中點時，連接CP，求證：EG＝2FG；（2）如圖2，若DF2＝DG?DC．①求證：CF＝BG；②若AB＝2，求AF的長．【答案】（1）證明過程見解答；（2）①證明過程見解答；②．【解答】（1）證明：∵點P為GE的中點．∴EG＝2PG，∵點B關(guān)于CD對稱點為E，∴點C是BE的中點，∴CP是△BEG的中位線，∴CP∥BG，∴，∵H是CF的中點，∴FH＝CH，∴FG＝PG，∴EG＝2FG；（2）①證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCG＝∠D＝90°，BC＝CD，AD//BC，∵DF2＝DG?DC，∴，∵∠FDG＝∠CDF＝90°，∴△CFD∽△FGD，∴∠FCD＝∠GFD，∵AD//BC，∴∠GFD＝∠E，∵CD垂直平分BE，∴BG＝EG，∴∠GBC＝∠E，∴∠FCD＝∠GBC，∴△GBC≌△FCD（ASA），∴CF＝BG；②解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝CD＝AB＝2，設(shè)AF＝x，則DF＝2﹣x，由①得：△GBC≌△FCD，∴CG＝DF＝2﹣x，∵AD＝CD，∴AD﹣DF＝CD﹣CG，∴DG＝AF＝x，∵DF2＝DG?DC，∴（2﹣x）2＝2x，即x2﹣6x+4＝0，解得：（不合題意，舍去），∴．42．問題1：如圖①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一點（不與A，B重合），DE∥BC，交AC于點E，連接CD．設(shè)△ABC的面積為S，△DEC的面積為S′．（1）當AD＝3時，＝；（2）設(shè)AD＝m，請你用含字母m的代數(shù)式表示．問題2：如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD＝BC，E是AB上一點（不與A，B重合），EF∥BC，交CD于點F，連接CE．設(shè)AE＝n，四邊形ABCD的面積為S，△EFC的面積為S′．請你利用問題1的解法或結(jié)論，用含字母n的代數(shù)式表示．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：問題1：（1）∵AB＝4，AD＝3，∴BD＝4﹣3＝1，∵DE∥BC，∴，∴＝＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴＝，即，故答案為：；（2）解法一：∵AB＝4，AD＝m，∴BD＝4﹣m，∵DE∥BC，∴＝＝，∴＝＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴＝＝＝，即＝；解法二：如圖1，過點B作BH⊥AC于H，過D作DF⊥AC于F，則DF∥BH，∴△ADF∽△ABH，∴＝，∴＝＝＝，即＝；問題2：如圖2，解法一：如圖2，分別延長BA、CD交于點O，∵AD∥BC，∴△OAD∽△OBC，∴，∴OA＝AB＝4，∴OB＝8，∵AE＝n，∴OE＝4+n，∵EF∥BC，由問題1的解法可知：＝＝＝，∵＝＝，∴＝，∴＝＝＝，即＝；解法二：如圖3，連接AC交EF于M，∵AD∥BC，且AD＝BC，∴＝，∴S△ADC＝，∴S△ADC＝S，S△ABC＝，由問題1的結(jié)論可知：＝，∵MF∥AD，∴△CFM∽△CDA，∴＝＝＝，∴S△CFM＝×S，∴S△EFC＝S△EMC+S△CFM＝+×S＝，∴＝．八．相似三角形的應(yīng)用（共3小題）43．四分儀是一種十分古老的測量儀器．其出現(xiàn)可追溯到數(shù)學家托勒密的《天文學大成》．圖1是古代測量員用四分儀測量一方井的深度，將四分儀置于方井上的邊沿，通過窺衡桿測望井底點F、窺衡桿與四分儀的一邊BC交于點H．圖2中，四分儀為正方形ABCD．方井為矩形BEFG．若測量員從四