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河南省永城市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)2025屆高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、,拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn).設(shè)為拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn),且,則雙曲線的離心率為()A.或 B.或 C.或 D.或2.我國(guó)南北朝時(shí)的數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》有一道題為:“今有十等人,每等一人,宮賜金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下三人后入得金三斤,持出,中間四人未到者,亦依次更給,問(wèn)各得金幾何?”則在該問(wèn)題中,等級(jí)較高的二等人所得黃金比等級(jí)較低的九等人所得黃金()A.多1斤 B.少1斤 C.多斤 D.少斤3.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,將向量繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A. B. C. D.4.已知,,,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.5.某中學(xué)2019年的高考考生人數(shù)是2016年高考考生人數(shù)的1.2倍,為了更好地對(duì)比該??忌纳龑W(xué)情況,統(tǒng)計(jì)了該校2016年和2019年的高考情況,得到如圖柱狀圖:則下列結(jié)論正確的是().A.與2016年相比,2019年不上線的人數(shù)有所增加B.與2016年相比,2019年一本達(dá)線人數(shù)減少C.與2016年相比,2019年二本達(dá)線人數(shù)增加了0.3倍D.2016年與2019年藝體達(dá)線人數(shù)相同6.下列圖形中,不是三棱柱展開(kāi)圖的是()A. B. C. D.7.在等腰直角三角形中,,為的中點(diǎn),將它沿翻折,使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為,此時(shí)四面體的外接球的表面積為().A. B. C. D.8.如圖,正方體中,,,,分別為棱、、、的中點(diǎn),則下列各直線中,不與平面平行的是()A.直線 B.直線 C.直線 D.直線9.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上,平面,,若球的表面積為,則三棱錐的體積的最大值為()A. B. C. D.10.復(fù)數(shù),若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱,則等于()A. B. C. D.11.已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離比點(diǎn)到軸的距離大,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.12.關(guān)于函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性,下列敘述正確的是()A.單調(diào)遞增 B.單調(diào)遞減 C.先遞減后遞增 D.先遞增后遞減二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在區(qū)間內(nèi)任意取一個(gè)數(shù),則恰好為非負(fù)數(shù)的概率是________.14.設(shè)第一象限內(nèi)的點(diǎn)(x,y)滿足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為40,則+的最小值為_(kāi)____.15.已知點(diǎn)是拋物線上動(dòng)點(diǎn),是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的最小值為_(kāi)_____________.16.的展開(kāi)式中,若的奇數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)(Ⅰ)解不等式;(Ⅱ)對(duì)及,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為以為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)在曲線上,點(diǎn)在曲線上,且為正三角形.(1)求點(diǎn),的極坐標(biāo);(2)若點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn),為線段的中點(diǎn),求的最大值.19.(12分)已知直線的參數(shù)方程:(為參數(shù))和圓的極坐標(biāo)方程:(1)將直線的參數(shù)方程化為普通方程,圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)已知點(diǎn),直線與圓相交于、兩點(diǎn),求的值.20.(12分)我們稱n()元有序?qū)崝?shù)組(,,…,)為n維向量,為該向量的范數(shù).已知n維向量,其中,,2,…,n.記范數(shù)為奇數(shù)的n維向量的個(gè)數(shù)為,這個(gè)向量的范數(shù)之和為.(1)求和的值;(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),求,(用n表示).21.(12分)如圖,在正四棱柱中,已知,.(1)求異面直線與直線所成的角的大?。唬?)求點(diǎn)到平面的距離.22.(10分)已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、,上、下頂點(diǎn)分別為,,為其右焦點(diǎn),,且該橢圓的離心率為;(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于軸上方的點(diǎn),交直線于點(diǎn),直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,直線與直線交于點(diǎn).若,求取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
設(shè),,根據(jù)和拋物線性質(zhì)得出,再根據(jù)雙曲線性質(zhì)得出,,最后根據(jù)余弦定理列方程得出、間的關(guān)系,從而可得出離心率.【詳解】過(guò)分別向軸和拋物線的準(zhǔn)線作垂線,垂足分別為、,不妨設(shè),,則,為雙曲線上的點(diǎn),則,即,得,,又,在中,由余弦定理可得,整理得,即,,解得或.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率的求解,涉及雙曲線和拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.2、C【解析】設(shè)這十等人所得黃金的重量從大到小依次組成等差數(shù)列則由等差數(shù)列的性質(zhì)得,故選C3、A【解析】
由復(fù)數(shù)z求得點(diǎn)Z的坐標(biāo),得到向量的坐標(biāo),逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到向量的坐標(biāo),則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)可求.【詳解】解:∵復(fù)數(shù)z=i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(0,1),
∴=(0,1),將繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,
設(shè)=(a,b),,則,即,
又,解得:,∴,對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎(chǔ)題.4、A【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,借助特殊值即可比較大小.【詳解】因?yàn)?,所?因?yàn)?,所以,因?yàn)椋瑸樵龊瘮?shù),所以所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.5、A【解析】
設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x,則2019年高考人數(shù)為,通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算逐一驗(yàn)證選項(xiàng)A、B、C、D.【詳解】設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x,則2019年高考人數(shù)為,2016年高考不上線人數(shù)為,2019年不上線人數(shù)為,故A正確;2016年高考一本人數(shù),2019年高考一本人數(shù),故B錯(cuò)誤;2019年二本達(dá)線人數(shù),2016年二本達(dá)線人數(shù),增加了倍,故C錯(cuò)誤;2016年藝體達(dá)線人數(shù),2019年藝體達(dá)線人數(shù),故D錯(cuò)誤.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查柱狀圖的應(yīng)用,考查學(xué)生識(shí)圖的能力,是一道較為簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)類的題目.6、C【解析】
根據(jù)三棱柱的展開(kāi)圖的可能情況選出選項(xiàng).【詳解】由圖可知,ABD選項(xiàng)可以圍成三棱柱,C選項(xiàng)不是三棱柱展開(kāi)圖.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三棱柱展開(kāi)圖的判斷,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
如圖,將四面體放到直三棱柱中,求四面體的外接球的半徑轉(zhuǎn)化為求三棱柱外接球的半徑,然后確定球心在上下底面外接圓圓心連線中點(diǎn),這樣根據(jù)幾何關(guān)系,求外接球的半徑.【詳解】中,易知,翻折后,,,設(shè)外接圓的半徑為,,,如圖:易得平面,將四面體放到直三棱柱中,則球心在上下底面外接圓圓心連線中點(diǎn),設(shè)幾何體外接球的半徑為,,四面體的外接球的表面積為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的外接球的表面積,意在考查空間想象能力,和計(jì)算能力,屬于中檔題型,求幾何體的外接球的半徑時(shí),一般可以用補(bǔ)形法,因正方體,長(zhǎng)方體的外接球半徑容易求,可以將一些特殊的幾何體補(bǔ)形為正方體或長(zhǎng)方體,比如三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐,或是構(gòu)造直角三角形法,確定球心的位置,構(gòu)造關(guān)于外接球半徑的方程求解.8、C【解析】
充分利用正方體的幾何特征,利用線面平行的判定定理,根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù),判斷B的正誤.根據(jù)與相交,判斷C的正誤.根據(jù),判斷D的正誤.【詳解】在正方體中,因?yàn)?,所以平面,故A正確.因?yàn)?,所以,所以平面故B正確.因?yàn)椋云矫?,故D正確.因?yàn)榕c相交,所以與平面相交,故C錯(cuò)誤.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的幾何特征,線面平行的判定定理,還考查了推理論證的能力,屬中檔題.9、B【解析】
由題意畫(huà)出圖形,設(shè)球0得半徑為R,AB=x,AC=y,由球0的表面積為20π,可得R2=5,再求出三角形ABC外接圓的半徑,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值,代入棱錐體積公式得答案.【詳解】設(shè)球的半徑為,,,由,得.如圖:設(shè)三角形的外心為,連接,,,可得,則.在中,由正弦定理可得:,即,由余弦定理可得,,.則三棱錐的體積的最大值為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球、三棱錐的側(cè)面積、體積,基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是中檔題.10、A【解析】
先通過(guò)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱,得到,再利用復(fù)數(shù)的除法求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱,且復(fù)數(shù),所以所以故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
由拋物線的定義轉(zhuǎn)化,列出方程求出p,即可得到拋物線方程.【詳解】由拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離比點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離大,根據(jù)拋物線的定義可得,,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=2x.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,拋物線方程的求法,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
先用誘導(dǎo)公式得,再根據(jù)函數(shù)圖像平移的方法求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象可由向左平移個(gè)單位得到,如圖所示,在上先遞減后遞增.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的平移與單調(diào)性的求解.屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先分析非負(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的區(qū)間長(zhǎng)度,然后根據(jù)幾何概型中的長(zhǎng)度模型,即可求解出“恰好為非負(fù)數(shù)”的概率.【詳解】當(dāng)是非負(fù)數(shù)時(shí),,區(qū)間長(zhǎng)度是,又因?yàn)閷?duì)應(yīng)的區(qū)間長(zhǎng)度是,所以“恰好為非負(fù)數(shù)”的概率是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型中的長(zhǎng)度模型,難度較易.解答問(wèn)題的關(guān)鍵是能判斷出目標(biāo)事件對(duì)應(yīng)的區(qū)間長(zhǎng)度.14、【解析】不等式表示的平面區(qū)域陰影部分,當(dāng)直線ax+by=z(a>0,b>0)過(guò)直線x?y+2=0與直線2x?y?6=0的交點(diǎn)(8,10)時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大40,即8a+10b=40,即4a+5b=20,而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),則的最小值為.15、【解析】
過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線,為垂足,則由拋物線的定義可得,則,為銳角.故當(dāng)和拋物線相切時(shí),的值最小.再利用直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)的坐標(biāo),從而求得的最小值.【詳解】解:由題意可得,拋物線的焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程為,過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線,為垂足,則由拋物線的定義可得,則,為銳角.故當(dāng)最小時(shí),的值最小.設(shè)切點(diǎn),由的導(dǎo)數(shù)為,則的斜率為,求得,可得,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義,性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,直線的斜率公式,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.16、【解析】試題分析:由已知得,故的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為,,,,,其系數(shù)之和為,解得.考點(diǎn):二項(xiàng)式定理.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】
詳解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),由,解得;當(dāng)時(shí),不成立;當(dāng)時(shí),由,解得.所以不等式的解集為.(Ⅱ)因?yàn)?,所?由題意知對(duì),,即,因?yàn)椋?,解?【點(diǎn)睛】⑴絕對(duì)值不等式解法的基本思路是:去掉絕對(duì)值號(hào),把它轉(zhuǎn)化為一般的不等式求解,轉(zhuǎn)化的方法一般有:①絕對(duì)值定義法;②平方法;③零點(diǎn)區(qū)域法.⑵不等式的恒成立可用分離變量法.若所給的不等式能通過(guò)恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端,從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值,進(jìn)而求出參數(shù)范圍.這種方法本質(zhì)也是求最值.一般有:①為參數(shù))恒成立②為參數(shù))恒成立.18、(1),;(2).【解析】
(1)利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式,即得解;(2)設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.將此代入曲線的方程,可得點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上,所以的最大值為,即得解.【詳解】(1)因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上,為正三角形,所以點(diǎn)在曲線上.又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上,所以點(diǎn)的極坐標(biāo)是,從而,點(diǎn)的極坐標(biāo)是.(2)由(1)可知,點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,B的直角坐標(biāo)為設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.將此代入曲線的方程,有即點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上.,所以的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)和參數(shù)方程綜合,考查了極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化,參數(shù)方程的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.19、(1):,:;(2)【解析】
(1)消去參數(shù)求得直線的普通方程,將兩邊同乘以,化簡(jiǎn)求得圓的直角坐標(biāo)方程.(2)求得直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程,代入圓的直角坐標(biāo)方程,化簡(jiǎn)后寫(xiě)出韋達(dá)定理,根據(jù)直線參數(shù)的幾何意義,求得的值.【詳解】(1)消去參數(shù),得直線的普通方程為,將兩邊同乘以得,,∴圓的直角坐標(biāo)方程為;(2)經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)在直線上,可轉(zhuǎn)化為①,將①式代入圓的直角坐標(biāo)方程為得,化簡(jiǎn)得,設(shè)是方程的兩根,則,,∵,∴與同號(hào),由的幾何意義得.【點(diǎn)睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,考查利用直線參數(shù)的幾何意義求解距離問(wèn)題,屬于中檔題.20、(1),.(2),【解析】
(1)利用枚舉法將范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對(duì)都寫(xiě)出來(lái),再做和;(2)用組合數(shù)表示和,再由公式或?qū)⒔M合數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn),得出最終結(jié)果.【詳解】解:(1)范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對(duì)有:,,,,它們的范數(shù)依次為1,1,1,1,故,.(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),在向量的n個(gè)坐標(biāo)中,要使得范數(shù)為奇數(shù),則0的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù),所以可按照含0個(gè)數(shù)為:1,3,…,進(jìn)行討論:的n個(gè)坐標(biāo)中含1個(gè)0,其余坐標(biāo)為1或,共有個(gè),每個(gè)的范數(shù)為;的n個(gè)坐標(biāo)中含3個(gè)0,其余坐標(biāo)為1或,共有個(gè)
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