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文檔簡介
2025屆新疆維吾爾自治區(qū)沙灣一中高考數(shù)學(xué)倒計(jì)時(shí)模擬卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)利用暑假游玩某風(fēng)景名勝大峽谷,四人各自去景區(qū)的百里絕壁、千丈瀑布、原始森林、遠(yuǎn)古村寨四大景點(diǎn)中的一個(gè),每個(gè)景點(diǎn)去一人.已知:①甲不在遠(yuǎn)古村寨,也不在百里絕壁;②乙不在原始森林,也不在遠(yuǎn)古村寨;③“丙在遠(yuǎn)古村寨”是“甲在原始森林”的充分條件;④丁不在百里絕壁,也不在遠(yuǎn)古村寨.若以上語句都正確,則游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁2.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn),則()A. B. C. D.3.已知復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.24.M、N是曲線y=πsinx與曲線y=πcosx的兩個(gè)不同的交點(diǎn),則|MN|的最小值為()A.π B.π C.π D.2π5.已知三棱錐的外接球半徑為2,且球心為線段的中點(diǎn),則三棱錐的體積的最大值為()A. B. C. D.6.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為,則在軸上的截距為()A. B. C. D.7.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A. B. C. D.8.下圖是民航部門統(tǒng)計(jì)的某年春運(yùn)期間,六個(gè)城市售出的往返機(jī)票的平均價(jià)格(單位元),以及相比于上一年同期價(jià)格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖,以下敘述不正確的是()A.深圳的變化幅度最小,北京的平均價(jià)格最高B.天津的往返機(jī)票平均價(jià)格變化最大C.上海和廣州的往返機(jī)票平均價(jià)格基本相當(dāng)D.相比于上一年同期,其中四個(gè)城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加9.已知三棱錐且平面,其外接球體積為()A. B. C. D.10.已知變量x,y間存在線性相關(guān)關(guān)系,其數(shù)據(jù)如下表,回歸直線方程為,則表中數(shù)據(jù)m的值為()變量x0123變量y35.57A.0.9 B.0.85 C.0.75 D.0.511.定義兩種運(yùn)算“★”與“◆”,對任意,滿足下列運(yùn)算性質(zhì):①★,◆;②()★★,◆◆,則(◆2020)(2020★2018)的值為()A. B. C. D.12.已知雙曲線(,)的左、右焦點(diǎn)分別為,以(為坐標(biāo)原點(diǎn))為直徑的圓交雙曲線于兩點(diǎn),若直線與圓相切,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知無蓋的圓柱形桶的容積是立方米,用來做桶底和側(cè)面的材料每平方米的價(jià)格分別為30元和20元,那么圓桶造價(jià)最低為________元.14.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a值范圍為_________.15.已知四棱錐,底面四邊形為正方形,,四棱錐的體積為,在該四棱錐內(nèi)放置一球,則球體積的最大值為_________.16.現(xiàn)有一塊邊長為a的正方形鐵片,鐵片的四角截去四個(gè)邊長均為x的小正方形,然后做成一個(gè)無蓋方盒,該方盒容積的最大值是________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)(為自然對數(shù)的底數(shù))時(shí),求函數(shù)的極值;(2)為的導(dǎo)函數(shù),當(dāng),時(shí),求證:.18.(12分)高鐵和航空的飛速發(fā)展不僅方便了人們的出行,更帶動(dòng)了我國經(jīng)濟(jì)的巨大發(fā)展.據(jù)統(tǒng)計(jì),在2018年這一年內(nèi)從市到市乘坐高鐵或飛機(jī)出行的成年人約為萬人次.為了解乘客出行的滿意度,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取人次作為樣本,得到下表(單位:人次):滿意度老年人中年人青年人乘坐高鐵乘坐飛機(jī)乘坐高鐵乘坐飛機(jī)乘坐高鐵乘坐飛機(jī)10分(滿意)1212022015分(一般)2362490分(不滿意)106344(1)在樣本中任取個(gè),求這個(gè)出行人恰好不是青年人的概率;(2)在2018年從市到市乘坐高鐵的所有成年人中,隨機(jī)選取人次,記其中老年人出行的人次為.以頻率作為概率,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)如果甲將要從市出發(fā)到市,那么根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),你建議甲是乘坐高鐵還是飛機(jī)?并說明理由.19.(12分)已知中心在原點(diǎn)的橢圓的左焦點(diǎn)為,與軸正半軸交點(diǎn)為,且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)作斜率為、的兩條直線分別交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)、.證明:當(dāng)時(shí),直線過定點(diǎn).20.(12分)已知橢圓的右頂點(diǎn)為,為上頂點(diǎn),點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn).(1)若,求直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn),過點(diǎn)與軸垂直的直線為,的中點(diǎn)為,過點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,求證:直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上.21.(12分)已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為,且與短軸兩端點(diǎn)的連線相互垂直.(1)求橢圓的方程;(2)若圓上存在兩點(diǎn),,橢圓上存在兩個(gè)點(diǎn)滿足:三點(diǎn)共線,三點(diǎn)共線,且,求四邊形面積的取值范圍.22.(10分)如圖,設(shè)點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn),圓過且斜率為的直線交圓于兩點(diǎn),交橢圓于點(diǎn)兩點(diǎn),已知當(dāng)時(shí),(1)求橢圓的方程.(2)當(dāng)時(shí),求的面積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)演繹推理進(jìn)行判斷.【詳解】由①②④可知甲乙丁都不在遠(yuǎn)古村寨,必有丙同學(xué)去了遠(yuǎn)古村寨,由③可知必有甲去了原始森林,由④可知丁去了千丈瀑布,因此游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是丁.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查演繹推理,掌握演繹推理的定義是解題基礎(chǔ).2、A【解析】
由已知可得,根據(jù)二倍角公式即可求解.【詳解】角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn),則,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義、二倍角公式,考查計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)即可求解.【詳解】,,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的性質(zhì),屬于容易題.4、C【解析】
兩函數(shù)的圖象如圖所示,則圖中|MN|最小,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1=,x2=π,|x1-x2|=π,|y1-y2|=|πsinx1-πcosx2|=π+π=π,∴|MN|==π.故選C.5、C【解析】
由題可推斷出和都是直角三角形,設(shè)球心為,要使三棱錐的體積最大,則需滿足,結(jié)合幾何關(guān)系和圖形即可求解【詳解】先畫出圖形,由球心到各點(diǎn)距離相等可得,,故是直角三角形,設(shè),則有,又,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最大值4,要使三棱錐體積最大,則需使高,此時(shí),故選:C【點(diǎn)睛】本題考查由三棱錐外接球半徑,半徑與球心位置求解錐體體積最值問題,屬于基礎(chǔ)題6、A【解析】
求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)后可得曲線在處的切線方程,從而可求切線的縱截距.【詳解】,故,所以曲線在處的切線方程為:.令,則,故切線的縱截距為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的截距,注意直線的縱截距指直線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo),因此截距有正有負(fù),本題屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡,求得的坐標(biāo)得出答案.【詳解】解:,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
根據(jù)條形圖可折線圖所包含的數(shù)據(jù)對選項(xiàng)逐一分析,由此得出敘述不正確的選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng),根據(jù)折線圖可知深圳的變化幅度最小,根據(jù)條形圖可知北京的平均價(jià)格最高,所以A選項(xiàng)敘述正確.對于B選項(xiàng),根據(jù)折線圖可知天津的往返機(jī)票平均價(jià)格變化最大,所以B選項(xiàng)敘述正確.對于C選項(xiàng),根據(jù)條形圖可知上海和廣州的往返機(jī)票平均價(jià)格基本相當(dāng),所以C選項(xiàng)敘述正確.對于D選項(xiàng),根據(jù)折線圖可知相比于上一年同期,除了深圳外,另外五個(gè)城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加,故D選項(xiàng)敘述錯(cuò)誤.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)條形圖和折線圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
由,平面,可將三棱錐還原成長方體,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球,進(jìn)而求解.【詳解】由題,因?yàn)?所以,設(shè),則由,可得,解得,可將三棱錐還原成如圖所示的長方體,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球,設(shè)外接球的半徑為,則,所以,所以外接球的體積.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球體積,考查空間想象能力.10、A【解析】
計(jì)算,代入回歸方程可得.【詳解】由題意,,∴,解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸直線方程,解題關(guān)鍵是掌握性質(zhì):線性回歸直線一定過中心點(diǎn).11、B【解析】
根據(jù)新運(yùn)算的定義分別得出◆2020和2020★2018的值,可得選項(xiàng).【詳解】由()★★,得(+2)★★,又★,所以★,★,★,,以此類推,2020★2018★2018,又◆◆,◆,所以◆,◆,◆,,以此類推,◆2020,所以(◆2020)(2020★2018),故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查定義新運(yùn)算,關(guān)鍵在于理解,運(yùn)用新定義進(jìn)行求值,屬于中檔題.12、D【解析】
連接,可得,在中,由余弦定理得,結(jié)合雙曲線的定義,即得解.【詳解】連接,則,,所以,在中,,,故在中,由余弦定理可得.根據(jù)雙曲線的定義,得,所以雙曲線的離心率故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)及雙曲線的離心率,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
設(shè)桶的底面半徑為,用表示出桶的總造價(jià),利用基本不等式得出最小值.【詳解】設(shè)桶的底面半徑為,高為,則,故,圓通的造價(jià)為解法一:當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號.解法二:,則,令,即,解得,此函數(shù)在單調(diào)遞增;令,即,解得,此函數(shù)在上單調(diào)遞減;令,即,解得,即當(dāng)時(shí),圓桶的造價(jià)最低.所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用,注意驗(yàn)證等號成立的條件,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
由在上恒成立可求解.【詳解】,令,∵,∴,又,,從而,令,問題等價(jià)于在時(shí)恒成立,∴,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性,解題關(guān)鍵是問題轉(zhuǎn)化為恒成立,利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)易求解.15、【解析】
由題知,該四棱錐為正四棱錐,作出該正四棱錐的高和斜高,連接,則球心O必在的邊上,設(shè),由球與四棱錐的內(nèi)切關(guān)系可知,設(shè),用和表示四棱錐的體積,解得和的關(guān)系,進(jìn)而表示出內(nèi)切球的半徑,并求出半徑的最大值,進(jìn)而求出球的體積的最大值.【詳解】設(shè),,由球O內(nèi)切于四棱錐可知,,,則,球O的半徑,,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立,此時(shí).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐的體積問題,內(nèi)切球問題,考查空間想象能力,屬于較難的填空壓軸題.16、【解析】
由題意容積,求導(dǎo)研究單調(diào)性,分析即得解.【詳解】由題意:容積,,則,由得或(舍去),令則為V在定義域內(nèi)唯一的極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn),此時(shí).故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用,考查了學(xué)生數(shù)學(xué)建模,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)極大值,極小值;(2)詳見解析.【解析】
首先確定函數(shù)的定義域和;(1)當(dāng)時(shí),根據(jù)的正負(fù)可確定單調(diào)性,進(jìn)而確定極值點(diǎn),代入可求得極值;(2)通過分析法可將問題轉(zhuǎn)化為證明,設(shè),令,利用導(dǎo)數(shù)可證得,進(jìn)而得到結(jié)論.【詳解】由題意得:定義域?yàn)?,,?)當(dāng)時(shí),,當(dāng)和時(shí),;當(dāng)時(shí),,在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,極大值為,極小值為.(2)要證:,即證:,即證:,化簡可得:.,,即證:,設(shè),令,則,在上單調(diào)遞增,,則由,從而有:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用,涉及到函數(shù)極值的求解、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題;本題不等式證明的關(guān)鍵是能夠?qū)⒍鄠€(gè)變量的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量的問題,通過構(gòu)造函數(shù)的方式將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題.18、(1)(2)分布列見解析,數(shù)學(xué)期望(3)建議甲乘坐高鐵從市到市.見解析【解析】
(1)根據(jù)分層抽樣的特征可以得知,樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為,,,即可按照古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算得出;(2)依題意可知服從二項(xiàng)分布,先計(jì)算出隨機(jī)選取人次,此人為老年人概率是,所以,即,即可求出的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)可以計(jì)算滿意度均值來比較乘坐高鐵還是飛機(jī).【詳解】(1)設(shè)事件:“在樣本中任取個(gè),這個(gè)出行人恰好不是青年人”為,由表可得:樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為,,,所以在樣本中任取個(gè),這個(gè)出行人恰好不是青年人的概率.(2)由題意,的所有可能取值為:因?yàn)樵?018年從市到市乘坐高鐵的所有成年人中,隨機(jī)選取人次,此人為老年人概率是,所以,,,所以隨機(jī)變量的分布列為:故.(3)答案不唯一,言之有理即可.如可以從滿意度的均值來分析問題,
參考答案如下:由表可知,乘坐高鐵的人滿意度均值為:乘坐飛機(jī)的人滿意度均值為:因?yàn)?,所以建議甲乘坐高鐵從市到市.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣的應(yīng)用、古典概型的概率計(jì)算、以及離散型隨機(jī)變量的分布列和期望的計(jì)算,解題關(guān)鍵是對題意的理解,概率類型的判斷,屬于中檔題.19、(1);(2)見解析.【解析】
(1)在中,計(jì)算出的值,可得出的值,進(jìn)而可得出的值,由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點(diǎn)、,設(shè)直線的方程為,將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,根據(jù)已知條件得出,利用韋達(dá)定理和斜率公式化簡得出與所滿足的關(guān)系式,代入直線的方程,即可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】(1)在中,,,,,,,,因此,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)由題不妨設(shè),設(shè)點(diǎn),聯(lián)立,消去化簡得,且,,,,,∴代入,化簡得,化簡得,,,,直線,因此,直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解,同時(shí)也考查了橢圓中直線過定點(diǎn)的問題,考查計(jì)算能力,屬于中等題.20、(1)(2)見解析【解析】
(1)直接求出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo),從而可得直線方程,得其與軸交點(diǎn)坐標(biāo);(2)設(shè),則,求出直線和的方程,從而求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo),證明此交點(diǎn)在橢圓上,即此點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程.代入驗(yàn)證即可.注意分和說明.【詳解】解:本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合,(1)由題知,,則.因?yàn)?,所以,則直線的方程為,聯(lián)立,可得故.則,直線的方程為.令,得,故直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.(2)證明:因?yàn)椋?,所以.設(shè)點(diǎn),則.設(shè)當(dāng)時(shí),設(shè),則,此時(shí)直線與軸垂直,其直線方程為,直線的方程為,即.在方程中,令,得,得交點(diǎn)為,顯然在橢圓上.同理當(dāng)時(shí),交點(diǎn)也在橢圓上.當(dāng)時(shí),可設(shè)直線的方程為,即.直線的方程為,聯(lián)立方程,消去得,化簡并解得.將代入中,化簡得.所以兩直線的交點(diǎn)為.因?yàn)?,又因?yàn)?,所以,則,所以點(diǎn)在橢圓上.綜上所述,直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓相交問題,解題方法是解析幾何的基本方程,求出直線方程,解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo),代入曲線方程驗(yàn)證點(diǎn)在曲線.本題考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.21、(1);(2)【解析】
(1)又題意知,,及即可求得,從而得橢圓方程.(2)分三種情況:直線斜率不存在時(shí),的斜率為0時(shí),的斜率存在且不為0時(shí),設(shè)出直線方程,聯(lián)立方程組,用韋達(dá)定理和弦長公式以及四邊形的面積公式計(jì)算即可.
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