中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：全等三角形之輔助線倍長(zhǎng)中線法

中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)全等三角形（輔助線倍長(zhǎng)中線法）

學(xué)校:.姓名:.班級(jí):考號(hào):

評(píng)卷人得分

一、單選題

1.如圖，己知是△ABC中2C邊上的中線，AB=5,AC=3,則AD的取值范圍是

B.1<AD<4C.2<AD<5D.4<AD<8

2.在.ABC中，AC=5,中線AD=7,則A3邊的取值范圍（)

C.9<AB<]9D.10<AB<19

3.如圖，在四邊形ABCD中，ABIICD,ABYBD,AB=5,BD=4,CD=3,點(diǎn)

E是AC的中點(diǎn)，則BE的長(zhǎng)為（）.

4.如圖，在.ASC中，。為BC的中點(diǎn)，若AC=3,AD=4.則AB的長(zhǎng)不可熊是

1

A.5B.7C.8D.9

評(píng)卷人得分

5.如圖，在，ABC中，AT＞是5。邊上的中線，AC=3,4)=5,則A5的取值范圍是

6.如圖，平行四邊形ABCD,點(diǎn)F是BC上的一點(diǎn)，連接AF,NFAD=60。，AE平

分/FAD,交CD于點(diǎn)E,且點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接EF,已知AD=5,CF=3,則

EF=_.

AD

R

BFC

|評(píng)卷人|得分

----------------三、解答題

7.已知：多項(xiàng)式/+4x+5可以寫成(%-1)2+a(x-1)+6的形式.

C

1

BDA

(1)求a,b的值；

(2)"BC的兩邊BC,AC的長(zhǎng)分別是。b,求第三邊A8上的中線CD的取值范圍.

_______________________________________________________J

8.如圖，。為四邊形ABC。內(nèi)一點(diǎn)，E為A8的中點(diǎn)，OA=。。，OB=OC,

ZAOB+ZCOD=180°.

（1）若NBOE=/BAO,AB=，求08的長(zhǎng)；

（2）用等式表示線段OE和CO之間的關(guān)系，并證明.

9.數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：

如圖1,在，ABC中，A5=6,AC=10,。是3c的中點(diǎn)，求8C邊上的中線的取

值范圍.

【閱讀理解】

小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：

（1）如圖1,延長(zhǎng)AD到E點(diǎn)，使。石=4。，連接BE.根據(jù)可以判定

Z^ADC^,得出AC=.

這樣就能把線段A3、AC、2AD集中在△/■中.利用三角形三邊的關(guān)系，即可得出

中線的取值范圍是.

【方法感悟】

當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件時(shí)，可以考慮做“輔助線”——把中線延長(zhǎng)一倍，構(gòu)

y

造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中，這種做輔

助線的方法稱為“中線加倍”法.

【問(wèn)題解決】

（2）如圖2,在：ABC中，4=90,。是邊的中點(diǎn)，ZEDF=9Q,DE交AB于

點(diǎn)、E,OF交AC于點(diǎn)尸，連接求證：BE-+CF-=EF~.

圖2

【問(wèn)題拓展】

(3)如圖3,ASC中，ZB=90,AB=3,AD是一ABC的中線，CELBC,

CE=5,且/ADE=90.直接寫出AE的長(zhǎng)=

1

10.某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng)，請(qǐng)你來(lái)加入.

【探究與發(fā)現(xiàn)】

如圖1,延長(zhǎng)AABC的邊到O,使DC=2C,過(guò)。作。石〃AB交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)

E,求證：&ABC咨AEDC.

【理解與應(yīng)用】

如圖2,已知在AA8C中，點(diǎn)E在邊8C上且NCAE=N3,點(diǎn)E是C。的中點(diǎn)，若

平分

(1)求證：AC=BD；

(2)若8D=3,A￡)=5,AE=x,求尤的取值范圍.

11.如圖，ABC中，BD=DC=AC,E是。C的中點(diǎn)，求證：AB^IAE.

12.如圖1,在AABC中，若AB=10,BC=8,求AC邊上的中線8。的取值范圍.

(1)小聰同學(xué)是這樣思考的：延長(zhǎng)8。至E,使DE=BD,連接CE,可證得

ACED^AABD.

①請(qǐng)證明4CED會(huì)AABD；

②中線BD的取值范圍是.

(2)問(wèn)題拓展：如圖2,在△ABC中，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，分別以A3,BC為直角邊

向AABC外作等腰直角三角形和等腰直角三角形BCN,其中，AB=BM,BC=

BN,/ABM=/NBC=N90。,連接MN.請(qǐng)寫出3。與MN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理

由.

V7

圖2

13.已知,ABC中,

(1)如圖1,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連AE并延長(zhǎng)到點(diǎn)足使FE=EA,則叱與AC的數(shù)

量關(guān)系是.

(2)如圖2,若AB=AC,點(diǎn)E為邊AC一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作8C的垂線交BE的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)。，連接AD,若NZMC=NABD,求證：AE=EC.

(3)如圖3,點(diǎn)。在1aAsc內(nèi)部，且滿足AD=3C,Zfi4D=ZDCB,點(diǎn)〃在DC的延

長(zhǎng)線上，連AM交80的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,若點(diǎn)N為AAf的中點(diǎn)，求證：DM=AB.

圖3

14.如圖1,在..ASC中,CM是邊的中線，=交延長(zhǎng)線于點(diǎn)

N,2cM=CN.

(1)求證AC=5N；

y

(2)如圖2,NP平分N/WC交CM于點(diǎn)尸，交BC于點(diǎn)0,若/4MC=120。,

CP

CP=kAC,求才的值.

15.如圖，AD為，ABC中BC邊上的中線(AB>AC).

(1)求證：AB-AC<2AD<AB+AC-

(2)若AB=8cm,AC=5cm,求AD的取值范圍.

16.(1)如圖1,已知.ABC中，A。是中線，求證：AB+AC>2AD；

(2)如圖2,在eASC中，D,E是8c的三等分點(diǎn)，求證:AB+AC>AD+AE；

(3)如圖3,在；A3C中，D,E在邊上，S.BD=CE.求證:

AB+AC>AD+AE.

17.(1)如圖1,ZABC中，為中線，求證：AB+AO1AD；

1

A

(2)如圖2,中，。為5。的中點(diǎn)，DE上DF交AB、AC于E、F.求證：

BE+CF>EF.

18.定義：如果三角形三邊的長(zhǎng)隊(duì)b、c滿足a+；+c=6,那么我們就把這樣的三角

形叫做“勻稱三角形”.如：三邊長(zhǎng)分別為1,1,1或3,5,7,…的三角形都是“勻稱

三角形

(1)已知“勻稱三角形”的兩邊長(zhǎng)分別為4和6,則第三邊長(zhǎng)為.

(2)如圖，ABC中，AB=AC,以A8為直徑的。。交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作

DF1AC,垂足為E交A2的延長(zhǎng)線于E,求證：所是。。的切線；

(3)在(2)的條件下，若B笑F=］5，判斷，AEF是否為“勻稱三角形”？請(qǐng)說(shuō)明理由.

CF3

19.課堂上，老師出示了這樣一個(gè)問(wèn)題：

如圖1,點(diǎn)。是：ASC邊BC的中點(diǎn)，AB=5,AC=3,求AD的取值范圍.

圖1圖2

（1）小明的想法是，過(guò)點(diǎn)3作阿〃AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,如圖2,從而通過(guò)構(gòu)

造全等解決問(wèn)題，請(qǐng)你按照小明的想法解決此問(wèn)題；

（2）請(qǐng)按照上述提示，解決下面問(wèn)題：

在等腰用ABC中，N54c=90。，=AC,點(diǎn)。邊AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接8。，

過(guò)點(diǎn)A作AE_LBD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)A作AF_LAE,且=連接E尸交BC于點(diǎn)

G,連接CF,求證8G=CG.

20.（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問(wèn)題：如圖1,在AA8C

中，AB=8,AC=6,求3c邊上的中線的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，

得到了如下的解決方法（如圖2）,

圖1圖2圖3

①延長(zhǎng)到使得。M=A。；

②連接通過(guò)三角形全等把A3、AC,24。轉(zhuǎn)化在△A2M中；

③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB-BM<AM<AB+BM,從而得到

AD的取值范圍是；

方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長(zhǎng)中線法”.“倍長(zhǎng)中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和

證明邊之間的關(guān)系.

（2）請(qǐng)你寫出圖2中AC與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明.

（3）深入思考:如圖3,A。是AABC的中線，AB=AE,AC^AF,ZBAE=ZCAF=

90。，請(qǐng)直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段與E尸的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

21.如圖，在AABC中，ZACB=135°,8c=6,點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，連接。C,若

j

DCLBC,求AB的長(zhǎng).

c

22.如圖，AABC中，AB=3,AC=4,AD為中線，求中線AD的取值范圍.

23.(1)方法呈現(xiàn)：

如圖①：在..ABC中，若A?=6,AC=4,點(diǎn)。為8C邊的中點(diǎn)，求8C邊上的中線

A。的取值范圍.

解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)E使。E=AD,再連接BE,可證

AAC庠LEBD,從而把A3、AC,24。集中在人口中，利用三角形三邊的關(guān)系即

可判斷中線AD的取值范圍是,這種解決問(wèn)題的方法我們稱為倍長(zhǎng)中

線法；

(2)探究應(yīng)用:

如圖②，在-ABC中，點(diǎn)。是2C的中點(diǎn)，DE1DF于點(diǎn)D,DE交AB于點(diǎn)、E,DF

交AC于點(diǎn)E連接￡尸，判斷郎+。尸與￡尸的大小關(guān)系并證明；

(3)問(wèn)題拓展：

如圖③，在四邊形A8CD中，AB//CD,AF與。C的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸、點(diǎn)E是8C的

1

中點(diǎn)，若AE是NBAF的角平分線.試探究線段AB,AF,5之間的數(shù)量關(guān)系，并加

以證明.

圖③

24.在等腰RtAABC中NA8C=90。，BA=BC,在等腰RtzXCOE中NCDE=90。，DE

=DC,連接AD,點(diǎn)P是線段A。的中點(diǎn).

(1)如圖1,連接8R當(dāng)點(diǎn)。和點(diǎn)E分別在3c邊和AC邊上時(shí)，若AB=3,CE=2

叵,求8斤的長(zhǎng).

(2)如圖2,連接BE、BD、EF,當(dāng)/。8￡=45。時(shí)，求證：EF=^ED.

25.在通過(guò)構(gòu)造全等三角形解決的問(wèn)題中，有一種典型的方法是倍延中線.

(1)如圖1,AD是AABC的中線，AB=7,AC=5,求AD的取值范圍.我們可以延長(zhǎng)

AD到點(diǎn)〃，使DVf=AD,連接易證=AMD3,所以BM=AC.接下

來(lái)，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得AM的取值范圍，從而得到中線的取

值范圍是

(2)如圖2,AD是ASC的中線，點(diǎn)E在邊AC上，8E交AD于點(diǎn)/，且=,

求證：AC=BF；

AZJ//8C,點(diǎn)E是A3的中點(diǎn)，連接CE,￡?且

CE1DE,試猜想線段8C,CD,AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明.

26.已知：在矩形ABCD中，連接AC,過(guò)點(diǎn)。作上LAC,交AC于點(diǎn)E,交A8于

點(diǎn)、F.

歷

(1)如圖1,若tanZACD=.

2

①求證：AF=BF；

②連接BE,求證：CD=y[2BE.

(2)如圖2,若AF'ABBF，求cos/FDC的值.

27.閱讀下面材料：

數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問(wèn)題：

如圖，為△ABC中線，點(diǎn)E在AC上，BE交AD于點(diǎn)F,AE=EF.求證：AC=

BF.

經(jīng)過(guò)討論，同學(xué)們得到以下思路：

如圖①，添加輔助線后依據(jù)SASr可證得△AOC咨△GD2,再利用可以進(jìn)一步

證得/G=/E4E=/AFE=/8FG,從而證明結(jié)論.

1

A

v

G

圖①

完成下面問(wèn)題：

（1）這一思路的輔助線的作法是：.

（2）請(qǐng)你給出一種不同于以上思路的證明方法（要求：寫出輔助線的作法，畫出相應(yīng)

的圖形，并寫出證明過(guò)程）.

28.如圖，在△ABC中，AD是高，E、尸分別是A3、AC的中點(diǎn)，AB=8,AC=6.

（1）求四邊形的周長(zhǎng)；

（2）若NBAC=90。，求四邊形AED尸的面積.

V7

29.【閱讀理解】

課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1,A6C中，若AB=8,

AC=6,求邊上的中線AD的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下

的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,^DE=AE>,請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：

(1)由已知和作圖能得到汨的理由是.

(2)求得AD的取值范圍是.

【感悟】

解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分

散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中.

【問(wèn)題解決】

(3)如圖2,在ABC中，點(diǎn)。是3c的中點(diǎn)，點(diǎn)M在43邊上，點(diǎn)N在AC邊上，

若DM1DN,求證：BM+CN>MN.

30.在AASC與ACDE中，ZACB=NCDE=90。,AC=BC=2屈,CD=ED=2,連

接點(diǎn)尸為AE的中點(diǎn)，連接。尸，ACDE繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn).

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。落在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，DF與BE的數(shù)量關(guān)系是：:

(2)如圖2,當(dāng)ACDE旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)。落在2C的延長(zhǎng)線上時(shí)，D尸與班是否仍有具有

(1)中的數(shù)量關(guān)系，如果具有，請(qǐng)給予證明；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；

1

(3)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若當(dāng)/日笫=105。時(shí)，直接寫出D尸的值.

1

參考答案：

1.B

【解析】

【分析】

如圖所示，延長(zhǎng)AD到E,使。E=AD,連接CE,先證三，ECD,得AB=CE,再

由三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出AE的取值范圍.

【詳解】

如圖所示，延長(zhǎng)AO到E,使。E=AD,連接CE,

是仆ABC中BC邊上的中線，

/.BD=CD,

在△鉗￡）與ECD中,

BD=CD

<ZADB=ZEDC,

AD=DE

/.ABD=.ECD,

:.AB=CE=5f

在，ACE中，由三角形三邊關(guān)系得：

CE-AC<AE<CE+AC,

AC=3,AE=AD+DE=AD+AD=2AD,

5—3V<5+3,

:.1<AD<4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形三邊的關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，做輔助線構(gòu)造全等三角形是解

題的關(guān)鍵.

2.C

【解析】

【分析】

延長(zhǎng)A。至E,使。然后利用“邊角邊”證明△A8O和△EC。全等，根據(jù)全等三角形

對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=CE,再利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之

差小于第三邊求出CE的取值范圍，即為48的取值范圍.

【詳解】

解：如圖，延長(zhǎng)AD至E,DE=AD,

是△ABC的中線，

：.BD=CD,

在小ABD和4ECD中，

'BD=CD

<NADB=NEDC,

AD=DE

:.AABD名AECD(SAS),

：.AB=CE,

"：AD=1,

；.AE=7+7=14,

V14+5=19,14-5=9,

：.9<CE<19,

即9<AB<19.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意

兩邊之差小于第三邊，“遇中線，加倍延”構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

3.C

【解析】

【分析】

延長(zhǎng)5E交CQ延長(zhǎng)線于P,可證△AEBZ4CEP,求出。尸，根據(jù)勾股定理求出3尸的長(zhǎng),

從而求出的長(zhǎng).

【詳解】

解：延長(zhǎng)5E交CD延長(zhǎng)線于尸，

\'AB//CDf

:?/EAB=/ECP,

在防和△(?￡「中，

NEAB=ZECP

<AE=CE

ZAEB=/CEP

：.AAEB^ACEP(ASA)

；?BE=PE,CP=AB=5

又?.,C0=3,

：.PD=2,

BD=4

BP=y/DP^+BD2=2后

：.BE=』BP=下.

【點(diǎn)睛】

考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是得恰當(dāng)作輔助線構(gòu)造全等，依

據(jù)勾股定理求出BP.

4.A

【解析】

【分析】

延長(zhǎng)A。到E,]tAD=DE,證明AAOC四△EO2,然后利用三邊關(guān)系即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：延長(zhǎng)到E,使">=。石=4,連接BE,

?.?。是BC的中點(diǎn)，

：.BD=CD

又/BDE=NCDA

：.△ADgAEDB,

：.BE=AC=3

由三角形三邊關(guān)系得，AE-BE<AB<AE+BE

即：5<AB<11

故選：A

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答此

題的關(guān)鍵.

5.1<AB<13

【解析】

【分析】

延長(zhǎng)至點(diǎn)E,使。證明ASDMECD,由全等性質(zhì)求出相關(guān)的線段長(zhǎng)度，在

VC4E中，由AE+AC>EC,AE-AC<EC,代入數(shù)值即可得至IJ答案.

【詳解】

解：延長(zhǎng)至點(diǎn)E,使如下圖：

B,'DC

?.?。是BC的中點(diǎn)

：.BD=CD

在△ABD和_ECO中：

BD=CD

?NADB=NEDC

AD=ED

:.ABD三二ECD

：.AB=EC

'：AD=5

：.AE=IO

在VC4E中，由AE+ACAECAE-ACVEC得：7<EC<13

即：7<AB<13

故答案為：7<AB<13

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形的全等判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，牢記相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并靈活應(yīng)用是解

題關(guān)鍵.

6.4

【解析】

【分析】

延長(zhǎng)AE,BC交于點(diǎn)G,判定△ADEgZkGCE,即可得出CG=AD=5,AE=GE,再根據(jù)

三線合一即可得到FEJ_AG,進(jìn)而得出Rt^AEF中，EF=1AF=4.

【詳解】

解：如圖，延長(zhǎng)AE,BC交于點(diǎn)G,

AD

???點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，

???DE=CE,

??,平行四邊形ABCD中，AD//BC,

???ND=NECG,

又?.,NAED=NGEC,

AAADE^AGCE,

???CG=AD=5,AE=GE,

又TAE平分NFAD,AD〃BC,

/.NFAE=NDAE=NG=-ZDAF=30°,

2

；.AF=GF=3+5=8,

又YE是AG的中點(diǎn)，

AFEXAG,

在RtAAEF中，NFAE=30。，

/.EF=-AF=4,

2

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)的綜

合運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)

應(yīng)角相等進(jìn)行推算.

7.⑴〃=6,b=10

(2)2<CD<8

【解析】

【分析】

(1)把+。(％-1)+人展開(kāi)，然后根據(jù)多項(xiàng)式/+4x+5可以寫成(x-1)2+a(x-1)

<>

a—2=4

+。的形式，可得1-,即可求解;

(2)延長(zhǎng)CD至點(diǎn)區(qū)使CD=DH,連接可得△從而得到

BC=AH=a=6f再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，即可求解.

⑴

解：(X—I)?+〃(％—1)+。

=x1—2x+\+ax—a+b

—f+(a—2)x+1—a+b,

根據(jù)題意得：x2+4x+5=(x-1)2+。(x-1)+b

a—2=4a=6

。+解得:

1-6=5,b=10；

⑵

解：如圖，延長(zhǎng)a?至點(diǎn)式使CD=DH,連接AH,

：.BD=AD,

在4?！?gt;8和4HD4中，

,:CD=DH,ZCDB=ZADH,BD=DA,

：.ACDB^AHDA(SAS),

:.BC=AH=a=6,

在△ACH中，AC-AH<CH<AC+AHf

.,.10-6<2CD<10+6,

2<C￡><8.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，整式乘法和二元一次方程組的應(yīng)用，三角形的

三邊關(guān)系，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，整式乘法法則，三角形的三邊關(guān)系是解題

的關(guān)鍵.

8.(1)2；(2)OE=-CD,理由見(jiàn)解析

2

【解析】

【分析】

(1)由已知條件/8。E=/氏4。，且公共角=OBE^^ABO,進(jìn)而

列出比例式，代入數(shù)值即可求得。2；

(2)延長(zhǎng)0E到點(diǎn)凡使得EF=OE,連接AF,FB,證明AA。/也△OOC,進(jìn)而可得

OF=CD,^OE=-CD

2

【詳解】

(1)解：VZBOE=ZBAO,NOBE=ZABO,

:.△OBEsAABO,

.BEOB

,:AB=2拒,E為AB的中點(diǎn)，

BE=y/2

.V2OB

..獷FT

OB=2(舍負(fù)).

(2)線段OE和CO的數(shù)量關(guān)系是：OE=gcD,理由如下，

證明：如圖，延長(zhǎng)0E到點(diǎn)凡使得EF=OE,連接AB,FB.

'：AE=BE

.,?四邊形AFB。是平行四邊形,

AF//OB,AF=OB,

AZMO+ZAOB=180°,

???ZAOB^-ZCOD=180°,

:./FAO=/COD,

?：OB=OC,

：.AF=OC,

在△AO尸和△DOC中，

OA=OD

</FAO=/COD,

AF=OC

：.AAOF^AODC,

：.OF=CD

：.OE=-CD.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判

定，第(2)小問(wèn)中，根據(jù)題意正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

9.(1)SAS；AEDB；BE；2<AD<8；(2)見(jiàn)解析；(3)7.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì)以及三角形三邊的關(guān)系求解即可；

(2)延長(zhǎng)EO使。G=EO,連接尸G,GC,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到EF=G/，然后利用

SAS證明.或汨絲.CDG,得到3E=CG,ZB=ZDCG,進(jìn)而得到

NACG=180°-NA=90。,最后根據(jù)勾股定理證明即可；

(3)延長(zhǎng)交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，根據(jù)A&4證明AABD絲AFCD,然后根據(jù)垂直平分線

的性質(zhì)得到AE=CF，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

解：(1)在ADC和△￡￡■中，

AD=ED

?ZADC=NEDB

CD=BD

???AADC沿Z\EDB(SAS),

???AC=BE=10.

???AB=6,

???BE-AB<AE<BE+AB,BP10-6<AE<10+6,

J4<AE<16,

???4<2AD<16,

解得：2<AZK8；

故答案為：SAS；AEDB；BE；2<AD<8；

(2)如圖所示，延長(zhǎng)皮)使0G=ED,連接/G,GC,

*.*ZEDF=90,

EF=GF,

在▲瓦史和CDG中，

BD=CD

<ZBDE=ZCDG

DE=GD

???八BDEmACDG(SAS),

；?BE=CG,ZB=ZDCG,

:?AB〃CG,

：.ZACG=180°-ZA=90°,

???在心△尸GC中，CG2+FC2=FG2,

BE2+CF2=EF2；

(3)如圖所示，延長(zhǎng)AD交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)廠,

E

?：AB^BC,EFLBC,

:.ZABD=NFCD,

在△ASD和一FCE)中，

AABD=ZFCD

<BD=CD

NADB=NFDC

:.MBD^AFCD(ASX),

：.CF=AB=3,AD=DF,

ADE=9Q,

/.AE=EF,

EF=CE+AB=5+3=8,

：.AE=8.

【點(diǎn)睛】

此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定方法，三角形的三邊關(guān)系，“中線加倍”法的運(yùn)用，解

題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造全等三角形.

10.［探究與發(fā)現(xiàn)］見(jiàn)解析；［理解與應(yīng)用］(1)見(jiàn)解析；(2)Kx<4

【解析】

【分析】

［探究與發(fā)現(xiàn)］由ASA證明AABC之△EOC即可；

［理解與應(yīng)用］(1)延長(zhǎng)AE到尸，使EF=EA,連接。死證△OEFgZkCEA(SAS),得

AC=FD,再證AABD絲△AfD(AAS),得BD=FD,即可得出結(jié)論；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得A8=AF=2無(wú)，再由三角形的三邊關(guān)系得

AD+BD,即5-3<2尤<5+3,即可求解.

【詳解】

解：［探究與發(fā)現(xiàn)］

證明：-：DE//AB,

：.ZB=ZD,

y.'：BC=DC,ZACB=ZECD,

：.AABC^AEDC(ASA)；

［理解與應(yīng)用］

(1)證明：如圖2中，延長(zhǎng)AE到F,使EF=EA,連接。尸,

A

、?

圖2夕

:點(diǎn)E是C。的中點(diǎn)，

；.ED=EC,

在ADEF與ACEA中,

EF=EA

<ZDEF=ZCEA,

ED=EC

：.ADEF^ACEA(5AS),

:?AC=FD,

：.ZAFD=ZCAEf

*：ZCAE=ZB,

：./AFD=/B,

?「AO平分NA4E,

：.ZBAD=ZFAD,

在△A3。與尸。中，

NB=ZAFD

</BAD=ZFAD,

AD=AD

：.AABD^AAFD(AAS),

：.BD=FD,

：.AC=BD；

(2)解：由(1)得：AF=2AE=2x,AABD2AAFD,

：.AB=AF=2x,

"：BD=3,AD=5,

在△AB。中，由三角形的三邊關(guān)系得：AD-BD<AB<AD+BD,

即5-3<2尤<5+3,

解得：1<%<4,

即x的取值范圍是l<x<4.

【點(diǎn)睛】

本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線定義

以及三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

11.見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

利用中線加倍證斯絲△CE4(SAS),可得DF=AC=BD,NFDE=NC,由

DC^AC,可得=⑦進(jìn)而可證/4ZJF=44DB.,再證△心出"人4。尸(SAS)

即可.

【詳解】

證明：延長(zhǎng)AE到F使EF=AE,連結(jié)。尸，

是。C中點(diǎn)，

:.DE=CE,

.??在-DEF和CEA中,

DE=CE

<ZDEF=ZCEA,

EF=EA

:.4DEF空ACEA(SAS'),

：.DF=AC=BD,NFDE=NC,

"：DC=AC,

：.ZADC=ZCAD,

又ZADB=AC+ACAD,

ZADF=ZFDE+ZADC,

ZADF=ZADB,

在△ADD和_AD尸中，

AD=AD

<ZADB=ZADF,

DB=DF

:.△ADBUAADF(SAS),

AB^AF=2AE.

【點(diǎn)睛】

本題考查中線加倍構(gòu)圖，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，掌握中線加倍構(gòu)圖，

三角形全等判定與性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

12.(1)①見(jiàn)解析；?1<BD<9；(3)MN=2BD,理由見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

(1)①只需要利用SAS證明△即可；

②根據(jù)△可得A8=CE,由三角形三邊的關(guān)系可得CE-3C<BE<CE+3C即

AB-3C<3E<AB+3C貝U2<BE<18,再由5E=23D,可得1<3￡><9；

(2),延長(zhǎng)BD到E使得。E=B。，同(1)MSRTffiAADE^LCDB,得到

ZDAE=ZDCB,AE=CB,然后證明NBA斤NMBN,則可證△BAE也△MBN得到

MN=BE,MSBE=BD+ED=2BDf可得MN=2BD.

【詳解】

解：(1)①,??5。是三角形ABC的中線，

：.AD=CD,

XVZABD=ZCDE,BD=ED,

：./\CED^/\ABD(SAS)；

②,.?△CEZ)也△ABO,

：.AB^CE,

■:CE-BC<BE<CE+BC,

：.AB-BC<BE<AB+BCBP2<BE<18,

又BE=BD+DE=2BD,

：.1<BD<9；

故答案為：1<BD<9；

B

圖I

(2)MN=2BD,理由如下：

如圖所示，延長(zhǎng)3。到￡使得DE=BD,

同(1)原理可證△AOE之△CQB(SAS),

：.NDAE=/DCB,AE=CB,

■:BC=BN,

：.AE=BNf

9：NABM=NNBC=9U。,

：.ZMBN+ZABC=360°-ZABM-ZNBC=180°,

ZABC+ZBAC+ZACB=180°,

ZABC+ZBAC+ZZ)AE=180°,

：.ZBAE+ZABC=1SO°,

：.NBAE=NMBN,

又,：AB=BM,

：.ABAE注AMBN(SAS),

：.MN=BE,

?：BE=BD+ED=2BD,

：.MN=2BD.

M

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形三邊的關(guān)系，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，解題

的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握倍長(zhǎng)中線法證明兩個(gè)三角形全等.

13.(1)BF=AC；(2)見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

(1)通過(guò)證明△3EF/△CE4,即可求解；

(2)過(guò)點(diǎn)A引AF〃C。交BE于點(diǎn)凡通過(guò)ABFWC4D得到AF=CD,再通過(guò)

AFEWCDE即可求解；

(3)過(guò)點(diǎn)M作AfT〃AB交3N的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T,MGAD,在MT上取一點(diǎn)K,使得

MK=CD,連接GK,利用全等三角形的性質(zhì)證明=DM=MT,即可解決.

【詳解】

證明：(1)BF=AC

由題意可得：BE=EC

在跖和CEA中

BE=EC

-NBEF=ACEA

EF=AE

：.△BEFHCEA(SAS)

：.BF=AC

(2)過(guò)點(diǎn)A引AF〃CD交班于點(diǎn)尸，如下圖:

由題意可得：CDVBC,且NE4F=NACD

則AF_L6C

又???AB=AC

JAF平分44C,

:.ZBAF=ZEAF=ZACD

???在.AB尸和..C4。中

ZABF=ZDAC

<AB=AC

ZBAF=ZACD

：.ABF^CAD(ASA)

：.AF=CD

在△山四和中

ZFAE=ZDCE

<ZAEF=ZCED

AF=CD

：.AAFE^/\CDE(AAS)

：.AE=EC

(3)證明：過(guò)點(diǎn)M作MT〃回交5N的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T,MGAD,在MT上取一點(diǎn)K,

使得MK=CD,連接GK,如下圖：

???AB//MT

：.ZABN=ZT

?:ZANB=/MNT,AN=MN

：.AANB^AMNT(AAS)

:,BN=NT,AB=MT

MGAD

：.ZADN=ZMGN

?.,ZAND=/MNG,AN=NM

：.AANDdMNG(AAS)

：.AD=MG,DN=NG

：.BD=GT

?.,/BAN=ZAMT,ADAN=4GMN

：.ZBAD=ZGMT

'：ZBAD=ZBCD

：.ZBCD=ZGMK

,:AD=BC,AD=GM

：.BC=GM

又?：MK=CD

：./\BCDmLGMK(SAS)

：.GK=BD,ZBDC=ZMKG

；.GK=GT,ZMDT=ZGKT

：.ZGKT=ZT

：.DM=MT

AB=MT

：.DM=AB

【點(diǎn)睛】

本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.

9k

14.(1)見(jiàn)解析；(2)---

k+1

【解析】

【分析】

(1)延長(zhǎng)CM至點(diǎn)。，使=可證AAO0三ABDM,由全等三角形的性質(zhì)從而得

出AC=3D,根據(jù)題目己知，可證ADCB三NVCB,由全等三角形的性質(zhì)從而得出

BN=BD,等量代換即可得出答案；

(2)如圖所示，作C0=CP,可證ACPOMAC。。，由全等三角形的性質(zhì)相等角從而得出

Z1=Z2=Z3,進(jìn)而得出N4=N5,故可證&VQB三AM9Q等量轉(zhuǎn)化即可求出"的值.

CM

【詳解】

(1)如圖1所示，延長(zhǎng)CM至點(diǎn)。，使00=00,

在ZXACM與.5。暇中，

CM=DM

<ZAMC=ZBMD,

AM=BM

.\AACM=ABDMf

AC=BD,

.2cM=CN,

:.CD=CN,

在DCS與△NCB中，

CD=CN

<4DCB=/NCB,

CB=CB

:2CB三處1CB,

BN=BD,

AC=BN；

D

A

(2)如圖所示，ZAMC=120°,

:.ZCMN=60°f

NP平分ZMNC,ZBCN=/BCM,

/PNC+ZBCN=-ZAMC=60°,

2

.?."ON=120。，ZCOP=60°,

ZCMN+ZBOP=180°,作CQ=CP,

在△CPO與中，

CQ=CP

<ZQCO=ZPCO,

CO=co

AC尸ON\CQO,

.\Z1=Z2=Z3,

.?./4=N5,

在.M陽(yáng)與二M9Q中，

'Z4=Z5

</BNO=ZQNO,

NO=NO

ANOB=ANOQ,

BN=NQ,

:.CN=CP+NB,

y

:.2CM=CP+AC,

設(shè)AC=a,

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的綜合應(yīng)用，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

313

15.(1)AB-AC<2AD<AB+AC,(2)-<AD<—

22

【解析】

【分析】

(1)延長(zhǎng)AD至E,使AD=DE,連接BE,然后再證明"8咨,根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)可得4。=3萬(wàn)，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得AB-BEcAEvAB+BE,利

用等量代換可得AB_AC<2A￡><AB+AC；

(2)把A5=8cm,AC=5cm代入(1)的結(jié)論里，再解不等式即可.

【詳解】

(1)證明：如圖延長(zhǎng)45至E,使DE=AD,連接BE,

：AD為。A6C中BC邊上的中線,

DC=BD,

在△AC。和△￡?￡)中:

DC=BD

ZADC=NBDE,

AD=DE

/.△AC￡>四△￡BQ（SAS）,

AC=BE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），

在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系可得AB-BEcAEcAB+BE,

即AB-AC<2AD<AB+AC；

E

（2）解：AB=8cm,AC=5cm,

由（1）可得AB-AC<2AZ><AB+AC,

8-5<2A￡><8+5,

313

：.-<AD<—.

22

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，利用倍長(zhǎng)中線的方式構(gòu)造全等三

角形是解題關(guān)鍵.

16.（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

（1）利用“倍長(zhǎng)中線”法，延長(zhǎng)AQ,然后通過(guò)全等以及三角形的三邊關(guān)系證明即可；

（2）取。E中點(diǎn)連接A”并延長(zhǎng)至。點(diǎn)，使得連接QE和。C,通過(guò)“倍長(zhǎng)

中線”思想全等證明，進(jìn)而得到A2=CQ,AD=EQ,然后結(jié)合三角形的三邊關(guān)系建立不等式

證明即可得出結(jié)論；

（3）同（2）處理方式一樣，取。E中點(diǎn)連接AM并延長(zhǎng)至N點(diǎn)，使得連

接NE,CE,結(jié)合“倍長(zhǎng)中線”思想證明全等后，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系建立不等式證明即

可得出結(jié)論.

【詳解】

證：(1)如圖所示，延長(zhǎng)至尸點(diǎn)，使得4。=尸。，連接CP,

是AABC的中線，

二。為BC的中點(diǎn)，BD=CD,

在AAB。與△PC。中，

BD=CD

<NADB=ZPDC

AD=PD

：.AABD^APCD(SAS),

：.AB=CP,

在AAPC中，由三邊關(guān)系可得AC+POAP,

AB+AO2AD；

(2)如圖所示，取DE中點(diǎn)打，連接并延長(zhǎng)至。點(diǎn)，使得AH=QH,連接QE和。C,

為。E中點(diǎn)，D、E為8c三等分點(diǎn)，

：.DH=EH,BD=DE=CE,

：.DH=CH,

在初和△℃//中，

BH=CH

<NBHA=ZCHQ

AH=QH

.?.△ABH妾△QCH(SAS)，

同理可得：&ADH9叢QEH,

：.AB=CQ,AD=EQ,

此時(shí)，延長(zhǎng)AE,交CQ于K點(diǎn)，

,：AC+CQ=AC+CK+QK,AC+CK>AK,

：.AC+CQ>AK+QK,

又AK+QK=AE+EK+QK,EK+QK>QEf

：.AK+QK>AE^QE,

???AC+CQ>AK+QK>AE+QE,

*：AB=CQ,AD=EQ,

：.AB+AC>AD+AE^

BD

Q

(3)如圖所示，取DE中點(diǎn)M,連接AM并延長(zhǎng)至N點(diǎn)，使得AM=NM,連接NE,CE,

???M為。E中點(diǎn)，

：.DM=EM,

?；BD=CE,

；.BM=CM,

在△ABM和△”?河中，

BM=CM

<ZBMA=ZCMN

AM=NM

：.AABMZANCM(SAS),

同理可證△ADM之ANEM,

：.AB=NCfAD=NE,

此時(shí)，延長(zhǎng)AE,交CN于T點(diǎn)，

9：AC+CN=AC+CT+NT,AC+CT>AT,

:.AC+CN>AT+NT,

又?：AT+NT=AE+ET+NT,ET+NT>NE,

：.AT+NT>AE+NE,

:.AC+CN>AT+NT>AE+NE,

?:AB=NC,AD=NE,

<>

AB+AOAD+AE.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形證明問(wèn)題中輔助線的添加，掌握“倍長(zhǎng)中線”的基本思想，以及熟練運(yùn)

用三角形的三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵.

17.(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

(1)延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,使瓦>=">.由為中線可知如=8,即易證

ABDNCD(SAS),得出AB=EC.利用三角形三邊關(guān)系可知AC+EC>AE,即可證明

AC+AB>2AD.

(2)延長(zhǎng)即至點(diǎn)G,使OG=ED,連接CG,EG.由AD為中線可知3D=CD.即易證

BDE三CDG(SAS),得出鹿=CG.由題意可得NEZ>=NGZ)尸=90。，即易證

EDF=^GDF(SAS),得