中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：最值模型之將軍飲馬 專(zhuān)項(xiàng)講練

專(zhuān)題2.2最值模型之將軍飲馬專(zhuān)項(xiàng)講練

三角形中的最值（將軍飲馬模型）問(wèn)題在考試中，無(wú)論是解答題，還是選擇、填空題，都是學(xué)生感覺(jué)

有困難的地方，也恰是學(xué)生能力區(qū)分度最重要的地方，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類(lèi)考試中

都以中高檔題為主，中考說(shuō)明中曾多處涉及。在解決幾何最值問(wèn)題主要依據(jù)是①兩點(diǎn)之間，線段最短②垂

線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對(duì)稱(chēng)變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之

差小于第三邊”等。希望通過(guò)本專(zhuān)題的講解讓大家對(duì)這類(lèi)問(wèn)題有比較清晰的認(rèn)識(shí)。

注意：本專(zhuān)題部分題目涉及勾股定理，希望大家學(xué)習(xí)完第3章后再完成該專(zhuān)題訓(xùn)練。

【解題技巧】

圖形

P1MN1

將軍,

原理兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短三角形三邊關(guān)系

飲馬

48為定點(diǎn)，/為定直線，42為定點(diǎn)，/為定直線，

模型A,8為定點(diǎn)，/為定直線，為直線/

特征P為直線/上的一個(gè)動(dòng)P為直線/上的一個(gè)動(dòng)

上的一條動(dòng)線段，求NA1+5N的最小值

點(diǎn)，求4P+AP的最小值點(diǎn)，求冏最大值

作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定先平移或8N使N重合，然后作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定

轉(zhuǎn)化

直線/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)直線1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

題型1：求兩條線段和最小值

例1.（2022?湖北江夏初二月考）在平面直角坐標(biāo)系中，RtZsOAB的頂點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,

0）,ZAOB=30°,點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)P為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PE的最小值為

【答案】VB

（分析］作A關(guān)于0B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D,連接ED交0B于P,連接AP,過(guò)D作DN_LOA于N,則此時(shí)PA+PC

的值最小，求出AM和AD,再求出DN、EN,根據(jù)勾股定理求出ED,即可得出答案.

【解析】作A關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D,連接ED交OB于P,連接AP,過(guò)D作DNLOA于N,

則此時(shí)PA+PC的值最小，：DP=PA,/.PA+PE=PD+PE=ED,

:點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),ZAOB=30°,.1.OA=4,AM=工OA=2,；.AD=2x2=4,

2

VZAMB=90°,ZB=60°,AZBAM=30°,

VZDNO=ZOAB=90°,；.DN〃AB,ZNDA=ZBAM=30°,

；.AN二;AD=2,由勾股定理得：DN=J￡）/2_NN2="2—22=2班,

VE(1,0),.\EN=4-1-2=1,在RtZiDNE中，由勾股定理得：口田飛DN?+EN?

~\/13，

即PA+PC的最小值是舊.故答案為：V13.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線問(wèn)題，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定

理的應(yīng)用，熟練掌握最短路徑的確定方法找出點(diǎn)P的位置以及表示PA+PE的最小值的線段是解題的關(guān)

鍵.

變式1.（2022?甘肅西峰?八年級(jí)期末）如圖，在等邊A48C中，￡為NC邊的中點(diǎn)，垂直平分8C,P是

40上的動(dòng)點(diǎn).若40=6,則EP+CP的最小值為.

【答案】6

【分析】要求KP+C尸的最小值，需考慮通過(guò)作輔助線轉(zhuǎn)化EP,CP的值，從而找出其最小值求解.

【詳解】解：作點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F,連接CF,

?；△N3C是等邊三角形，40是3c邊上的中垂線，

點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F,：.CF就是EP+CP的最小值.

?.?△48C是等邊三角形，E是NC邊的中點(diǎn)，...廠是的中點(diǎn)，

:.CF=AD=6,即EP+CP的最小值為6,故答案為6.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱(chēng)等知識(shí)，熟練掌握等邊三角形和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是本題的關(guān)

鍵.

變式2.（2022?廣東新豐?八年級(jí)期末）如圖所示，在A/5C中，AB=AC,直線即是的垂直平分線，D

是8c的中點(diǎn)，M是M上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A/BC的面積為12,BC=4,貝限ADM周長(zhǎng)的最小值是.

【答案】8

【分析】連接40,AM,由即是線段48的垂直平分線，得到則△2DW的周長(zhǎng)

=BD+BM+DM=AM+DM+BD,要想的周長(zhǎng)最小，即要使/V+DM的值最小，故當(dāng)/、M、。三點(diǎn)共

線時(shí)，最小，即為ND,由此再根據(jù)三線合一定理求解即可.

【詳解】解：如圖所示，連接AD,：即是線段的垂直平分線，

ABDM的周長(zhǎng)要想的周長(zhǎng)最小,即要使AM+DM的值最小，

...當(dāng)/、M、。三點(diǎn)共線時(shí)，4W+DM最小，即為N。，

'：AB=AC,。為8c的中點(diǎn)，：.AD±BC,BD=-BC=2,：.S.=-AD-BC=12,

2ABC2

：.AD=6,.,.△8。/的周長(zhǎng)最小值=/。+8。=8,故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三線合一定理，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意得到當(dāng)“、

M、。三點(diǎn)共線時(shí)，NA/+DM最小，即為/D

變式3.（2021?湖北洪山?八年級(jí)期中）如圖，將A48C沿折疊使得頂點(diǎn)。恰好落在邊上的點(diǎn)/處,

。在2c上，點(diǎn)尸在線段上移動(dòng)，若/C=6,CD=3,BD=1,則周長(zhǎng)的最小值為—.

【答案】18

【分析】首先明確要使得周長(zhǎng)最小，即使得PM+P8最小，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可知尸M=PC,從而可

得滿足PC+PB最小即可，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定BC即為最小值，從而求解即可.

【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知，AM=AC,PM=PC,點(diǎn)為48上一個(gè)固定點(diǎn)，則8郵長(zhǎng)度固定,

4PMB周&PM+PB+BM,：.要使得兒出周長(zhǎng)最小，即使得PM+PB最小,

,:PM=PC,滿足尸C+P3最小即可，顯然，當(dāng)尸、B、。三點(diǎn)共線時(shí)，滿足尸C+P2最小，如圖所示,

此時(shí)，P點(diǎn)與。點(diǎn)重合，PC+PB=BC,.?.△PMB周長(zhǎng)最小值即為3C+8M,

此時(shí)，作于S點(diǎn)，O7U/C延長(zhǎng)線于T點(diǎn)，8c延長(zhǎng)線于0點(diǎn),

由題意，為/①1C的角平分線，?.?S/CB=g/C?D7=；CDW0，

S4ABD-2AB-DS=2-BD-AQ,

v-AB-DS-BD-AQ

2二2AB_BDAU7

A—=7,解得：AB=14,

''V~AC~~CD

3ACD-AC^DT-CD^AQ63

22

\'AM=AC=6,：.BM=14-6=S,周長(zhǎng)最小值為3C+2M=3+7+8=18,故答案為：18.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折的性質(zhì)，以及最短路徑問(wèn)題等，掌握翻折的基本性質(zhì)，利用角平分線的性質(zhì)進(jìn)行推

理求解，理解并熟練運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短是解題關(guān)鍵.

變式4.（2021?江陰市敢山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)月考）某班級(jí)在探究“將軍飲馬問(wèn)題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：

直線/同旁有兩個(gè)定點(diǎn)4、B,在直線/上存在點(diǎn)尸，使得R4+P8的值最小.解法：如圖1,作點(diǎn)4關(guān)

于直線/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連接則H8與直線/的交點(diǎn)即為尸，且P/+P8的最小值為H5.

請(qǐng)利用上述模型解決下列問(wèn)題：

（1）幾何應(yīng)用：如圖2,A48c中，ZC=90°,AC=BC=2,E是48的中點(diǎn)，尸是8C邊上的一

動(dòng)點(diǎn)，則尸幺+PE的最小值為；

（2）幾何拓展：如圖3,AA8C中，AC=2,乙4=30°,若在45、ZC上各取一點(diǎn)M、N使

O0+7W的值最小，畫(huà)出圖形，求最小值并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

【分析】（1）作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，，連接A，E交BC于P,此時(shí)PA+PE的值最小.連接BA1先根

據(jù)勾股定理求出BA，的長(zhǎng)，再判斷出NA，BA=90。，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；（2）作點(diǎn)C關(guān)于直線AB

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C-作CNLAC于N交AB于M,連接AC,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答.

【詳解】解：（1）如圖2所示，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，，連接A，E交BC于P,此時(shí)PA+PE的值最

小.連接BA、由勾股定理得，BA，=BA=JBC2+"2:6+22=2血,

?.,￡是48的中點(diǎn)，；衛(wèi)￡=。8人=血，

VZC=90°,AC=BC=2,/.ZA,BC=ZABC=45°,/.ZA,BA=90°,

2//—\2

/.PA+PE的最小值=人化=+BE?=+=VTo.故答案為：VTo；

B

B

(2)如圖3,作點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，，作CNLAC于N交AB于M,連接AC,則CA=CA=2,

ZC,AB=ZCAB=30°,△CAC為等邊三角形，；./ACN=30。，；.AN=Lc，A=l,

2

Z.CM+MN的最小值為C/N=722-l2=V3.

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、含30。角的直角三角

形的性質(zhì)、垂線段最短，解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是將所給問(wèn)題抽象或轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為

一條線段.

例2.(2022?重慶初二月考)如圖，已知直線?！?2,6、L之間的距離為8,點(diǎn)P到直線/i的距離為6,點(diǎn)。

到直線h的距離為4,尸0=4回，在直線1\上有一動(dòng)點(diǎn)4直線L上有一動(dòng)點(diǎn)B,滿足48^/2,且尸/+/2+B。

最小，此時(shí)P/+2Q=

O

【答案】16.

【詳解】

作PE_Lh于E交b于F,在PF上截取PC=8,連接QC交卜于B,作BA_LL于A,此時(shí)PA+AB+BQ最

短.作QD_LPF于D.在RSPQD中，：/D=90。，PQ=4,質(zhì)，PD=18,、,”6，

：AB=PC=8,AB/7PC,二四邊形ABCP是平行四邊形，；.PA=BC,CD=10,，PA+BQ=CB+BQ=QC=

唱酗=16.故答案為16.

變式5.(2022.山東青島九年級(jí)一模)如圖，已知/(3,1)與B(1,0),P0是直線y=x上的一條動(dòng)線段

【解答】解：作點(diǎn)8關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)8(0,1),過(guò)點(diǎn)/作直線MN,使得平行于直線y=x,

并沿MN向下平移加單位后得H(2,0)連接交直線y=x于點(diǎn)0,如圖

理由如下：：/4=尸。=&，44，〃90；.四邊形/「。?是平行四邊形：.AP=A'Q

'：AP+PQ+QB=B'Q+A'Q+PQMPQ=42；?當(dāng)4。+9。值最小時(shí)，/P+PQ+Q8值最小

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即4,Q,3,三點(diǎn)共線時(shí)4。+2'0值最小

'：B'(0,1),A'(2,0)，直線4夕的解析式y(tǒng)=-*x+l

.,.x=-—x+l,即x=2點(diǎn)坐標(biāo)(Z,2)故選：A.

2333

變式6.(2022?廣東?深圳市福田區(qū)蓮花中學(xué)八年級(jí)期中)如圖，8是直線x=l上長(zhǎng)度固定為1的一條動(dòng)

線段.已知N(-1,0),B(0,4),則四邊形/BCD周長(zhǎng)的最小值為

【答案】3V2+V17+6

【解析】

【分析】在夕軸上取點(diǎn)E,使BE=CD=L則四邊形8cDE為平行四邊形，根據(jù)勾股定理得到AB,作點(diǎn)/

關(guān)于直線x=l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)4,得到4、E、。三點(diǎn)共線時(shí)，最小值為4E的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出

A'E,即可得解；

【詳解】解：如圖，在y軸上取點(diǎn)E,使AE=CD=1,則四邊形2CDE為平行四邊形，

,:B(0,4),/(-1,0),；.OB=4,OA=\,：.OE=3,/8=后不=而，

作點(diǎn)/關(guān)于直線x=l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H,(3,0),AD=A'D,

：.AD+DE^A'D+DE,即4、E、。三點(diǎn)共線時(shí)，/O+DE■最小值為的長(zhǎng)，

在Rt^AOE中，由勾股定理得/￡=5萬(wàn)=3夜，

C四邊形ABCD最小值=N3+CD+8C+/￡>=N8+CD+4E=后+1+5=歷+6.故答案為：

3V2+V17+6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)最短路線問(wèn)題、勾股定理、位置與坐標(biāo)，準(zhǔn)確分析作圖計(jì)算是解題的關(guān)

鍵.

題型2:求兩條線段差最大值

例3.（2022?江蘇?無(wú)錫市江南中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A,8在直線的同側(cè)，A到的距離

NC=8,8到網(wǎng)的距離3。=5,已知CD=4,尸是直線回V上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記尸/+尸8的最小值為

歸/-尸卻的最大值為b,則/一^的值為（）

A.160B.150C.140D.130

【答案】A

【分析】作點(diǎn)/關(guān)于直線MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連接43交直線于點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸即為所求點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)/'作直

線在根據(jù)勾股定理求出線段的長(zhǎng)，即為P/+PB的最小值，延長(zhǎng)N8交于點(diǎn)P,此時(shí)

P'A-P'B=AB,由三角形三邊關(guān)系可知43>|取-尸卻，故當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到P時(shí)司最大，過(guò)點(diǎn)8作

由勾股定理求出AB的長(zhǎng)就是|"-必|的最大值，代入計(jì)算即可得.

【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)/關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H,連接43交直線于點(diǎn)P,則點(diǎn)尸即為所求

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)H作直線

-：AC=S,BD=5,CD=4,A'C=8,BE=8+5=13,A'E=CD=4,

在中，根據(jù)勾股定理得，A'B^BE+A'E=V132+42=V185.即尸么+尸2的最小值是。=鬧;

如圖所示，延長(zhǎng)交血W于點(diǎn)P,

?:PA-PB=AB,”>眼-即，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)，|尸/-尸卻最大，

過(guò)點(diǎn)2作HEL/C,則2E=CD=4,AE=AC-BD=S-5=3,

在尺》E8中，根據(jù)勾股定理得，AB=y)AE2+BE2=732+42=5-

:.\PA-PB\=5,BPZ>=5,.-.a2-/,2=(V185)2-52=160,故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了最短線路問(wèn)題和勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知兩點(diǎn)之間線段最短及三角形的三邊關(guān)

系.

變式7.(2022?河北承德?八年級(jí)期末)如圖，點(diǎn)/,2在直線的同側(cè)，點(diǎn)/到的距離ZC=8,點(diǎn)2

到MV的距離80=5,已知CZ)=4,P是直線MV上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記P/+P8的最小值為a,|取-即的最

【答案】V185160

【分析】作點(diǎn)/關(guān)于直線MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)⑷，連接⑷8交直線兒處于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)⑷作直線⑷￡18。的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)E,再根據(jù)勾股定理求出42的長(zhǎng)就是尸/+尸3的最小值；延長(zhǎng)交于點(diǎn)P,此時(shí)P/-P3=

AB,由三角形三邊關(guān)系可知/8>|尸/-尸8|,故當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)|尸/-尸耳最大，作BELO1,由勾股定理

即可求出AB的長(zhǎng)就是尸的最大值.進(jìn)一步代入求得答案即可.

【詳解】解：如圖，

A

作點(diǎn)/關(guān)于直線MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)⑷，連接⑷8交直線于點(diǎn)P,則點(diǎn)尸即為所求點(diǎn).

過(guò)點(diǎn)⑷作直線⑷E18Z）的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則線段/8的長(zhǎng)即為尸N+P8的最小值.

"AC=S,BD=5,C￡）=4,.?.⑷C=8,8E=8+5=13,A'E=CD=4,

?S'8=J132+/=屈？,即尸/+尸2的最小值是。=Ji礪.如圖，

延長(zhǎng)交JW于點(diǎn)P,???P》-P8=/8,???當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)至UP點(diǎn)時(shí)，|尸/一心|最大，

■.■BD=5,CD=4,AC=8,過(guò)點(diǎn)8作8KBC,則8石=。。=4,AE=AC-BD=8-5=3,

：.AB=V42+32=5.二|尸/-PJ|=5為最大,即6=5,-185-25=160.故答案為：160.

【點(diǎn)睛】本題考查的是最短線路問(wèn)題及勾股定理，熟知兩點(diǎn)之間線段最短及三角形的三邊關(guān)系是解答此類(lèi)

問(wèn)題的關(guān)鍵.

題型3:求三條（周長(zhǎng)）最小值（雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題）

【模型圖示】

要求：點(diǎn)尸位定點(diǎn)，在直線/1，4上分別找點(diǎn)川，N,使^尸人加周長(zhǎng)（即尸加+9+1加）最小

操作：分別作點(diǎn)尸關(guān)于直線小4的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'和尸"，連結(jié)P'P”與直線小4的交點(diǎn)為M，N,

（C△尸ACV）最小值=P'P"

求「'尸"長(zhǎng)度通法：如上圖，一般會(huì)給一個(gè)特殊角（15°,30°,45°,60°,75°）/,連結(jié)4P',

AP,AP”，由對(duì)稱(chēng)性可求NP'4P”=2NN也為特殊角（30°,60°,90°,120°,150°）,

AP'=AP=4P”，可得特殊等腰△4P'P”，利用三邊關(guān)系求出P'P”

要求：點(diǎn)尸，。為定點(diǎn)，直線4上分別找河，N,使尸QW周長(zhǎng)（即PQ+W+PN+MN）小

操作：分別作點(diǎn)尸，。關(guān)于直線4，4的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'和。'，連結(jié)P'。'與直線A，4的交點(diǎn)為N，N,

（°四邊形7WN）最小值=PQ+尸。

例4.（2022?上虞市初二月考）如圖，點(diǎn)尸是NNOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=6cm,點(diǎn)M和點(diǎn)N分另U是射線。/和

射線08上的動(dòng)點(diǎn)，若△尸兒W周長(zhǎng)的最小值是6cm,則的度數(shù)是（）

A.15B.30C.45D.60

【答案】B

【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C、D,連接CD,分別交OA、OB于點(diǎn)M、N,連接OC、

OD、PM、PN、MN,由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出PM=DM,OP=OC,ZCOA=ZPOA；PN=DN,OP=OD,ZDOB=

ZPOB,得出/AOB=L/COD,證出aOCD是等邊三角形，得出/COD=60。，即可得出結(jié)果.

2

【解析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C、D,連接CD,

D

分別交OA、OB于點(diǎn)M、N,連接OC、OD、PM、PN、MN,如圖所示：

???點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D,關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C,；.PM=DM,OP=OD,ZDOA=ZPOA；

丁點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C,/.PN=CN,OP=OC,ZCOB=ZPOB,.\OC=OP=OD,ZAOB=—ZCOD,

2

「△PMN周長(zhǎng)的最小值是6cm,；.PM+PN+MN=6,；.DM+CN+MN=6,

即CD=6=0P,.,.OC=OD=CD,即aOCD是等邊三角形，.,.ZCOD=60°,.*.ZAOB=30o,故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，最短路線問(wèn)題，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，證

明三角形是等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

變式8.（2022?安徽安慶?八年級(jí)期末）如圖，在四邊形N2CD中，ZBCD=50°,ZB=ZD=90°,在2C、

CD上分別取一點(diǎn)M、N,使的周長(zhǎng)最小，則°,

【答案】80

【分析】作點(diǎn)/關(guān)于3C、CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)出、A2,根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線問(wèn)題，連接血、血分別交3C、

DC于點(diǎn)M、N,利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出再根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和角的和差關(guān)系即可得

AMAN.

【詳解】如圖，作點(diǎn)“關(guān)于8C、CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)小、A2,連接出、上分別交3C、0c于點(diǎn)M、N,連接/M、

VZBCD=50°,NB=ND=90°,AZBAD=360°-90°-90°-50°=130°,

AZA1+ZA2=\S0°-130°=50°,丁點(diǎn)4關(guān)于BC、CO的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為小、A2,：.NA=NA2,MA=MAj

：.ZA2=ZNAD,ZA!=ZMAB,：.ZNAD+ZMAB=ZAI+ZA2=50°,

AZMAN^ZBAD-(ZNAD+ZMAB)=130°-50°=80°，故答案為：80.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的最短路徑問(wèn)題，利用軸對(duì)稱(chēng)將三角形周長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間線段最短問(wèn)題是

解決本題的關(guān)鍵.

課后訓(xùn)練：

1.Q022?河南八年級(jí)期末）如圖，在RtZx/BC中，NACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,平分NC4B

交8c于點(diǎn)。，E,尸分別是4D,NC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+斯的最小值為.

12

【答案】y

【分析】在48上取點(diǎn)尸'，使=/斤，連接EF,過(guò)點(diǎn)（7作8_1/2,垂足為利用角的對(duì)稱(chēng)性，可

知EF=EF',則EC+EF的最小值即為點(diǎn)C到AB的垂線段CH的長(zhǎng)度，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：如圖，在上取點(diǎn)/，使/尸=4F,連接E尸，過(guò)點(diǎn)C作垂足為

---AD平分NCAB,：.根據(jù)對(duì)稱(chēng)可知EF=EF'.

■：S八=-AB-CH=-AC-BC,:.CH=ACBC=".

22AB5

■：EF+CE=EF'+EC,

1212

???當(dāng)點(diǎn)C、E、P共線，且點(diǎn)P與點(diǎn)〃重合時(shí)，F(xiàn)E+EC的值最小，最小值為CH=《，故答案為了.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-線段和最小值問(wèn)題，添加輔助線，把兩條線段的和的最小值化為點(diǎn)到直線的距

離問(wèn)題，是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?四川成都?七年級(jí)期末）如圖，分別以線段的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩

弧交于點(diǎn)M和點(diǎn)N,在直線上取一點(diǎn)C,連接C4,C2,點(diǎn)。是線段/C的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CD=

點(diǎn)尸是直線肱V上一動(dòng)點(diǎn)，連接PD,PB,若8c=4,則尸。+尸8的最小值為.

2-------

【答案】6

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)判斷即可;

【詳解】解：由作法得，垂直平分N5,

:.CA=CB=4,PA=PB,

■.-CD=^AC=1,

■■■AD=6,

■.-PA+PD<AD（點(diǎn)/、P、。共線時(shí)取等號(hào)），

-.PA+PD的最小值為6,

■.PB+PD的最小值為6.

故答案為6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)和軸對(duì)稱(chēng)最短距離問(wèn)題，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?安徽蕪湖市?八年級(jí)期末）如圖，在中.AC1BC,若/C=5,BC=U,48=13,將

比△/BC折疊，使得點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為AD,點(diǎn)P為AD上一動(dòng)點(diǎn)，則△PE3的周

長(zhǎng)最小值為.

【答案】20.

［分析］根據(jù)\ADE由NACD沿AD對(duì)稱(chēng)，得到AE^AC,進(jìn)而表示出PB+PE=PB+PC3BC,最后求APEB

周長(zhǎng)即可.

（詳解】AADE由A4CZ）沿AD對(duì)稱(chēng)得到，則E與C關(guān)于直線AD對(duì)稱(chēng)，

AE=AC=5,：.BEAB-AE=13-5=8,如圖,連接尸C,

由題意得尸C=PE,/.PB+PE=PB+PC3BC=12,

當(dāng)P在BC邊上，即D點(diǎn)時(shí)取得最小值12,

:.APEB周長(zhǎng)為PE+PB+BE,最小值為12+8=20.故答案為:20.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形折疊問(wèn)題，正確讀懂題意是解本題的關(guān)鍵.

4.（云南省紅河哈尼族彝族自治州建水縣2021-2022學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在等邊

中，8c邊上的高/。=6,￡是高/。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，尸是邊的中點(diǎn)，在點(diǎn)￡運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，EB+EF存

在最小值，則這個(gè)最小值是（）

A

BDC

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】先連接CE,再根據(jù)M=EC,將FE+E5轉(zhuǎn)化為EE+CE,最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，求得C尸的

長(zhǎng)，即為EE+E5的最小值.

【詳解】解：如圖，連接CE,

A

BDC

?.?等邊A48C中，是8C邊上的中線，

以。是8C邊上的高線，即/。垂直平分8C,

：.EB=EC,：.BE+EF=CE+EF,

.??當(dāng)C、F、E三點(diǎn)共線時(shí)，EF+EC=EF+BE=CF,

???等邊A48C中，尸是48邊的中點(diǎn)，??.Z￡）=CF=6,

即￡7升5￡1的最小值為6.故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握和運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)以及

軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.解題時(shí)注意，最小值問(wèn)題一般需要考慮兩點(diǎn)之間線段最短或垂線段最短

等結(jié)論.

5.（2022?山東山東?八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段NC所在直線的解析式為V=r+4,E

是48的中點(diǎn)，尸是NC上一動(dòng)點(diǎn)，則尸3+PE的最小值是（)

A.472B.2^C.275D.至

【答案】C

【分析】作點(diǎn)5關(guān)于/C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)片，連接*E，與/C的交點(diǎn)，即符和條件的尸點(diǎn)，再求出"，E的坐標(biāo),

根據(jù)勾股定理求出的值，即為P3+PE的最小值.

【詳解】作點(diǎn)B關(guān)于/C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連接8'E交/C于P,

此時(shí)，？8+尸￡=/<8+〃￡的值最小，最小值為的長(zhǎng),

?.?線段/C所在直線的解析式為y=-x+4,

；./（O,4）,C（4,0）,

AB=4,BC=4,

是43的中點(diǎn)，

??.￡（0,2）,

"是點(diǎn)B關(guān)于/C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，

BB'1AC,OB=OB'=-AC,AO=CO,

2

二.四邊形/5C9是正方形,

.?㈤（4,4）,

PB+PE的最小值是B'E=#2+（4-2）2=26.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)求點(diǎn)的坐標(biāo)和性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)日最短路徑問(wèn)題，勾股定理，掌握軸對(duì)稱(chēng)日最短路徑

的確定方法是解題的關(guān)鍵.

6.（2022?河南安陽(yáng)市?八年級(jí)期末）如圖，在△48。中，AC=BC,AB=6,4/臺(tái)。的面積為12,

CD1AB于點(diǎn)D,直線EF垂直平分BC交AB于點(diǎn)￡,交BC于點(diǎn)RP是線段昉上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則叢PBD

的周長(zhǎng)的最小值是（）

A.6B.7C.10D.12

【答案】B

【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知S為A48C底邊4B上的高線，根據(jù)面積關(guān)系即可求得

8的長(zhǎng)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知點(diǎn)3和點(diǎn)。關(guān)于直線跖對(duì)稱(chēng)，所以當(dāng)P與G重合時(shí)，PB+PD

的值最小，根據(jù)CD和BD的長(zhǎng)度即可求得△PAD周長(zhǎng)的最小值.

【詳解】如圖

：△X8C的面積為12,CDLAB：.-AB-CD=12,BD=AD=-AB=3,解得，CD=4,

22

,/直線EF垂直平分BC交4B于點(diǎn)E,A點(diǎn)3和點(diǎn)C關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng)，

當(dāng)尸與G重合時(shí)，必+尸。的值最小，最小值等于CD的長(zhǎng)，

△PAD周長(zhǎng)的最小值是AD+CO=3+4=7,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)最短路線問(wèn)題的應(yīng)用、三角形的面積

等，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出尸點(diǎn)的位置.

7.（2022?蕪湖期末）如圖，在銳角三角形N8C中，AB=A,△N8C的面積為8,BD平分NABC.若加；N

分別是2。、2c上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）

B

A.2B.4C.6D.8

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CEL48于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)初'，過(guò)點(diǎn)AT作N'L8C于M,則CE即為

的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出CE的長(zhǎng)，即為CW+MN的最小值.

【答案】解：過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)￡,交BD千點(diǎn)、M'，過(guò)點(diǎn)m作兒LBC于N「

B

；BD平分NABC,M'于點(diǎn)E,M'N'LBC于N：.M'N'=M'E,：.CE=CM'+M'E

當(dāng)點(diǎn)加■與重合，點(diǎn)N與N'重合時(shí)，QW+MN的最小值.

:三角形4BC的面積為8,48=4,...LX4?CE=8,：.CE=4.

2

即CA/+MN的最小值為4.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰直角三角形，利用銳角

三角函數(shù)的定義求解是解答此題的關(guān)鍵.

8.2022?河南?安陽(yáng)市殷都區(qū)教科培中心八年級(jí)期末）如圖，在A4BC中，48=/C,邊/C的垂直平分線

分別交AB,NC于點(diǎn)M,N,點(diǎn)。是邊2c的中點(diǎn)，點(diǎn)P是初N上任意一點(diǎn)，連接尸。，PC,若//=a,

4CPD=B,△尸CD周長(zhǎng)最小時(shí)，a,/之間的關(guān)系是（）

C.a=/3D.7=90°—，

【答案】C

【分析】連接NP,根據(jù)線段垂直垂直平分線的性質(zhì)可知尸/=PC,ZPAC=ZPCA.由

L^PCD=DP+PC+CD,即得出〃PCD=OP+P/+CD，由此可知當(dāng)/、尸、。在同一直線上時(shí)，4CD最

小.再根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可知為ZB/C的平分線，即==最后根據(jù)三

角形外角性質(zhì)即得出￡=NP/C+NPC4,由此即可判斷&=尸.

【詳解】如圖，連接/尸，

???直線是線段/C的垂直平分線，且尸在線段上，

；.PA=PC,APAC=APCA.

,：LAr「,n門(mén)j=DP+PC+，CDAI：K.^LUpm-DP+PA+CD.

由圖可知CD為定值，當(dāng)4、P、。在同一直線上時(shí)，。尸+PN最小，即為ND的長(zhǎng)，.?.此時(shí)最小.

???￡）是邊2C的中點(diǎn)，4B=/C,為N3/C的平分線，.?.NPNC=；//=ga.

-,?ACPD=ZPAC+ZPCA,即/?=/P/C+/PC4,.?.a=〃.

BDC

【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義以及三角形外角性

質(zhì).根據(jù)題意理解當(dāng)“、P、。在同一直線上時(shí)4Ps最小是解題關(guān)鍵.

9.（2022?廣東廣州?八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)。是NE48內(nèi)的定點(diǎn)且/。=2,若點(diǎn)C、￡分別是射線/RAB

上異于點(diǎn)/的動(dòng)點(diǎn)，且△CDE周長(zhǎng)的最小值是2時(shí)，NE42的度數(shù)是（）

【答案】A

【分析】作。點(diǎn)分別關(guān)于NR43的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G、H,連接G8分別交/斤、4B于。、E',利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)

得4G=4D=4H=2,利用兩點(diǎn)之間線段最短判斷此時(shí)△CDE周長(zhǎng)最小為DC'+DE'+C'E'=GH=2,可得A4G，

是等邊三角形，進(jìn)而可得4以5的度數(shù).

【詳解】解:如圖，作。點(diǎn)分別關(guān)于/RAB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G、H,連接G8分別交NR45于C、E',連接

DC,DE',

此時(shí)△CDE周長(zhǎng)最小為DC'+DE'+C'E'=GH=2,

根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，AG=AD=AH=2,乙D4F=^GAF,乙DAB=4HAB,

-'-AG=AH=GH=2,

.??A4G”是等邊三角形，

：.^GAH=60°,

；/FAB=g乙GAH=30°,故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題：熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，會(huì)利用兩點(diǎn)之間線段最短解決路徑最

短問(wèn)題.

11.（2022?湖北?武漢市六中位育中學(xué)八年級(jí)）如圖，AB//DP,￡為。尸上一動(dòng)點(diǎn)，AB=CB=CD,過(guò)A

作交直線EC于N,過(guò)。作交直線EC于點(diǎn)/，若48=114。，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí),

則ZACE=

E

【答案】123°

【分析】當(dāng)。M與。尸重合，NN與重合時(shí)，的值最大，此時(shí)MN-￡M=N8，畫(huà)出相應(yīng)的圖形,

根據(jù)條件，利用三角形的內(nèi)角和、鄰補(bǔ)角的意義，求出結(jié)果.

【詳解】解：當(dāng)。河與。P重合，/N與48重合時(shí)，⑷V-DM的值最大，此時(shí)⑷V-r)M=4B，

■：^ABC=U4°,

.?zCDE=180°-114°=66°,

.?.zA/CD=90°-66°=24°,

又?:AB=BC,

:2CB=(180°-114°)+2=33°,

.?.乙4CE=180°-乙4C3-NDCM=180°-33°-24°=123°,

故答案為：123。.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和、直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意畫(huà)

出相應(yīng)圖形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

12.(2021?全國(guó)?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖，四邊形A8C。中，AB//CD,CE1AB,AE=BC=10,CE=S,

CD=BE=6,點(diǎn)尸為直線CE左側(cè)平面上一點(diǎn)，ACFE的面積為8,則尸C|的最大值為

【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)F作FHLEC于H.過(guò)點(diǎn)F作直線1//EC,作點(diǎn)C關(guān)于直線1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C,連接AC交直

線1于F,此時(shí)FA-FC1的值最大，即|FA-FC|的值最大，最大值為線段AC的長(zhǎng).

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH1EC于H.

???△CFE的面積為8,即:ECFH=8,CE=8,

.?,FH=2,

過(guò)點(diǎn)F作直線1//EC,作點(diǎn)C關(guān)于直線1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C,連接AC交直線1于F',此時(shí)IFA-FC的值最大,即|FA-FC|

的值最大，最大值為線段AC的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)C作CK1AB于K.?.NCKB=NKEC=NECC=90°,

???四邊形CEKC是矩形，

.-.CC'=EK=4,EC=KC'=8,

???AE=10,

???AK=AE-EK=10-4=6,

?,-AC'=^AK2+KC'2=>/62+82=10，

???|FA-FC|的最大值為10.

故答案為10.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)-最短問(wèn)題，三角形的面積，直角梯形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱(chēng)解決

最值問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題.

13.(2022?湖北十堰?八年級(jí)期末)如圖，在四邊形/8CD中，^BAD=100°,ZB=ZD=90°.在BC,CD

上分別找一點(diǎn)v，N,使周長(zhǎng)最小，則44MV+N㈤W的度數(shù)為.

【答案】160°

【分析】要使A/W周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，使三角形的三邊在同一直線上，作點(diǎn)/關(guān)于3C和CD

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即可得到//'+乙4〃=80。，進(jìn)而求得N/MN+NMW=2(NH+N/〃)，即可得到答案.

作點(diǎn)/關(guān)于BC和CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)4小，連接/'/〃，交BC于M,交C。于N,

---ZB=ZD=90°

則A'A"即為AAMN周長(zhǎng)最小值

ZBAD=100°

=80°

N4'=NMAB,ZA"=ZNAD,ZAMN=NH+ZMAB,ZANM=ZA"+ZNAD

2AMN+AANM=NH+NMAB+ZA"+ZNAD=2(N4+NA〃)=2x80°=l60°

故答案為：160。.

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)一最短路線問(wèn)題，涉及平面內(nèi)最短路線問(wèn)題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和

垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

14.（2022?河南濮陽(yáng)?八年級(jí)期末）如圖，等邊三角形/8C的邊長(zhǎng)為5,/、B、4三點(diǎn)在一條直線上，且

.若D為線段8。上一動(dòng)點(diǎn),則AD+CD的最小值是.

【答案】10

【分析】連接。/交于點(diǎn)￡,C、出關(guān)于直線8G對(duì)稱(chēng)，推出當(dāng)點(diǎn)。與5重合時(shí)，AD+CD的值最小,

最小值為線段44/的長(zhǎng)=10.

【詳解】解：連接。/交8。于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)2作直線/L48,如圖，

是等邊三角形，^