中考數(shù)學模型專項突破：圓冪定理（含答案及解析）

大招

圓賽定理

D

模型探究

1.弦切角定理

（1）弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角.

（2）弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.

如圖所示，直線PT切圓。于點C,BC、AC為圓。的弦，則有（/PC4為

弦切角）.

2、相交弦定理

【結論1】如圖，中，弦AB、CD相交于點P,半徑為r,則

①AP?BP=CP?DP,

②AP?BP=CP?DP=r2-OP2-

3、切割線定理

【結論2】如圖，PBC是。。的一條割線，PA是。。的一條切線，切

點為A,半徑為r,則①PA?=PB?PC,②PA?=PB?PC=PO2-r2

D

c

4、割線定理

【結論3】如圖，PAB、PCD是。。的兩條割線，半徑為r,則

①PA?PB=PC?PD

②PA?PB=PC?PD=OP2-r2

國口訣：從兩線交點處引出的共線線段的乘積相等

例題精講

考點一：相交弦定理

【例1].己知：如圖弦A2經(jīng)過。。的半徑0c的中點P,且AP=2,PB=3,則是O。的

C.272D.276

A變式訓練

【變式17].如圖，。。的弦A3、CQ相交于點E,若CE：BE=2：3,貝UAE：DE=

【變式1-2].如圖，在。。的內(nèi)接四邊形ABC。中，AC±BD,CA=CB,過點A作AC的

垂線交CD的延長線于點E,連結3E.若cos/AC2=g，則理的值為

5CE一

考點二：弦切角定理

【例2】.如圖，割線必2過圓心。，PD切。0于D,C是BD上一點，ZPDA=20°,則

/C的度數(shù)是度.

A變式訓練

【變式2-1].如圖，已知NP=45°,角的一邊與。。相切于A點，另一邊交。。于2、C

兩點，OO的半徑為百5,AC=2A歷，則AB的長度為（

D.5

【變式2-2].如圖，3尸是。。的切線，弦。C與過切點的直徑AB交于點E,0c的延長線

和切線交于點P,連接AD,BC.若DE=DA=處良，BC=2,則線段CP的長為.

3-

A

考點三：切割線定理

【例3].如圖，直線抬過半圓的圓心O,交半圓于A,8兩點，PC切半圓與點C,已知

PC=3,PB=L則該半圓的半徑為.

A變式訓練

【變式3-1].如圖，Rtz\ABC中，ZC=90°,。為AB上一點，以。為圓心，0A為半徑

作圓。與BC相切于點。，分別交AC、A8于E、F,若CD=2CE=4,則。。的直徑為

ED

A.1040C.5D.12

I"

【變式3-2].如圖，在四邊形ABC。中，以AB為直徑的半圓。經(jīng)過點C,D.AC與BD

相交于點E,CD2^CE-CA,分別延長AB,OC相交于點尸，PB=BO,8=2、歷.則

BO的長是.

【變式3-3].如圖，在RtaABC中，ZC=90°,BE平分NABC交AC于點E,點。在

AB±.,DELEB.

(1)求證：AC是△BDE1的外接圓的切線；

(2)若AD=2%，AE=6圾，求3。的長.

考點四：割線定理

【例4].如圖，過點尸作。。的兩條割線分別交。。于點A、8和點C、D,已知外=3,

AB=PC=2,則PD的長是()

A變式訓練

【變式4-1].如圖，P是圓。外的一點，點8、￡）在圓上，尸8、分別交圓。于點A、C,

【變式4-2].已知直角梯形ABCD的四條邊長分別為AB=2,BC=CD=10,AD=6,過8、

D兩點作圓，與BA的延長線交于點E,與CB的延長線交于點F,則BE-BF的值為.

1.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于AB為。。的直徑，CM切。。于點C,ZBCM=60°,

則NB的正切值是（）

C.返D.V3

2

2.如圖，從圓外一點P引圓的切線E4,點A為切點，割線尸。2交O。于點。、B.已知

B4=12,PD=8,則S“8P：SADAP=

3.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZC=72°,。0過AB兩點且與5C切于3,與AC交于

D,連接8。，若8C=&-1,則AC=.

4.如圖，O。的直徑42=8,將弧2C沿弦BC折疊后與NABC的角平分線相切，貝^△48。

的面積為.

5.如圖，OO是△ABC的外接圓，/3AC=45°,AO_L8C于點。，延長AD交。。于點E,

若BD=4,CD=1,則。E的長是

A

6.如圖，已知AC=AB,AD=5,DB=4,ZA=2ZE.貝UC2>￡)E=

7.如圖：BE切O。于點B,CE交O。于C,D兩點，且交直徑于AB于點P,OXLCD于

H,OH=5,連接BC、OD,且BC=BE,NC=40°,劣弧2。的長是_.

8.如圖，在平面直角坐標系中，。。經(jīng)過點A(4,3),點8與點C在y軸上，點8與原

點。重合，且A8=AC,AC與。。交于點。，延長AO與OO交于點￡,連接CE、DE

與了軸分別交于點G、F,則tan/Z)FO=,tan/A=

9.如圖，在△ABC中，AB=AC,。。是△ABC的外接圓，C。是。。的切線，C為切點,

且CD=CB,連接AD,與O。交于點E.

(1)求證AD=AB；

(2)若AE=5,BC=6,求。。的半徑.

10.如圖，△ABC是。。的內(nèi)接三角形，C￡>是。。的直徑，ABLCZ)于點E,過點A作。。

的切線交O的延長線于點E連接EB.

(1)求證：EB是OO的切線.

(2)若AC=4返，tanNAC￡>=4，求。0的半徑.

2

11.如圖，正方形ABC。內(nèi)接于OO,點E為A8的中點，連接CE交8。于點孔延長CE

交。。于點G,連接8G.

(1)求證：FB?=FE?FG；

(2)若AB=6,求尸8和EG的長.

12.如圖，。。的割線P8A交。。于A、B,PE切OO于E,NAPE的平分線和AE、BE

分別交于C、D,PE=4&,PB=4,ZAEB=6Qa.

(1)求證：APDESAPCA；

(2)試求以E4、PB的長為根的一元二次方程；

(3)求。。的面積.(答案保留it)

13.如圖，圓。上有A,B,C三點，AC是直徑，點。是AB的中點，連接CD交AB于點E,

點尸在A8延長線上，且FC=FE.

(1)求證：CF是圓。的切線；

14.如圖，AB為。。的直徑，點P在AB的延長線上，點C在O。上，且

(1)求證：PC是。。的切線；

(2)已知PC=20,尸8=10,點￡)是金的中點，DE1AC,垂足為E,DE交AB于點、F,

求斯的長.

15.已知：如圖，尸尸是O。的切線，PE=PF,A是O。上一點，直線AE、AP分別交O。

于2、D,直線。E交O。于C,連接8C,

(1)求證：PE//BC；

(2)將PE繞點P順時針旋轉，使點E移到圓內(nèi)，并在OO上另選一點A,如圖2.其

他條件不變，在圖2中畫出完整的圖形.此時尸￡與3c是否仍然平行？證明你的結論.

圖1圖2

16.已知AABC是。。的內(nèi)接三角形，/BAC的平分線與。。相交于點。，連接。8.

(1)如圖①，設NABC的平分線與A。相交于點/,求證：BD=DI；

(2)如圖②，過點。作直線Z)E〃BC,求證：OE是。。的切線；

(3)如圖③，設弦BO,AC延長后交。。外一點凡過廠作AD的平行線交8c的延長

線于點G,過G作。。的切線G8(切點為X),求證：FG=HG.

圖①圖②圖③

17.【提出問題】小聰同學類比所學的“圓心角”與“圓周角”的概念，將頂點在圓內(nèi)（頂

點不在圓心）的角命名為圓內(nèi)角.如圖1中，ZAEC,即就是圓內(nèi)角，所對的分別

是々、BD,那么圓內(nèi)角的度數(shù)與所對弧的度數(shù)之間有什么關系呢？

【解決問題】小聰想到了將圓內(nèi)角轉化為學過的兩種角，即圓周角、圓心角，再進一步

解決問題：

解：連接BC,OA,OC,OB,0D.

如圖2,在△BCE中，ZAEC=ZEBC+ZECB

,：ZEBC=-^ZAOC,/ECB=L/BOD

22

/.ZAEC=AZAOC+AzBOD=（ZAOC+ZBOD）

222

即：/AEC的度數(shù)=2（/的度數(shù)+俞的度數(shù)）

2

（1）如圖1,在中，弦A3、相交于點E,若弧血的度數(shù)是65°,弧前的度數(shù)

是40°,則的度數(shù)是.

【類比探究】頂點在圓外且兩邊與圓相交的角，命名為圓外角.

（2）如圖3,在。。中，弦48,CD的延長線相交于點E,試探索圓外角/E的度數(shù)與

它所夾的兩段弧血、面的度數(shù)之間的關系.

【靈活運用】

(3)如圖4,平面直角坐標系內(nèi)，點A(?,1)在。0上，OO與y軸正半軸交于點

B,點、C,點。是線段上的兩個動點，滿足AC=AZ).AC,的延長線分別交O。

于點E、F.延長正￡交y軸于點G,試探究/PGO的度數(shù)是否變化.若不變，請求出它

的度數(shù)；若變化，請說明理由.

大招

圓春定理

@0

模型探究

1.弦切角定理

(1)弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角.

(2)弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.

如圖所示，直線PT切圓。于點C,BC.AC為圓。的弦，則有(/PC4為

弦切角).

2、相交弦定理

【結論1】如圖，中，弦AB、CD相交于點P,半徑為r,則

(DAP?BP=CP?DP,

(DAP?BP=CP?op=r2-op2

3、切割線定理

【結論2】如圖，PBC是。。的一條割線，PA是。。的一條切線，切

點為A,半徑為r,則①PA?=PB?PC,②PA?=PB?PC=PO2-?

D

c

4、割線定理

【結論3】如圖，PAB、PCD是。。的兩條割線，半徑為r,則

①PA?PB=PC?PD

②PA?PB=PC?PD=OP2-r2

國口訣：從兩線交點處引出的共線線段的乘積相等

rip

W)例題精講

考點一：相交弦定理

【例1].己知：如圖弦A2經(jīng)過。。的半徑0c的中點尸，且AP=2,PB=3,則是O。的

半徑等于()

解：延長CO交OO于

設。。的半徑是凡

,/弦AB經(jīng)過。0的半徑0C的中點P,

；.CP=—R=OP,PD=—R+R,

22

由相交弦定理得：APXBP=CPXDP,

貝1J2X3=2RX(2R+R),

22

解得：R=2近,

故選：C.

A變式訓練

【變式1T】.如圖，。。的弦AS、C。相交于點E,若CE：BE=2：3,貝UAE：DE=2：

解：：O。的弦A3、8相交于點E,

；.AE?BE=CE*DE,

：.AE：DE=CE：BE=2：3,

故答案為：2：3.

【變式1-2].如圖，在。O的內(nèi)接四邊形ABCD中，ACLBD,CA=CB,過點A作AC的

垂線交C。的延長線于點E,連結BE.若cos/AC2=旦，則些的值為'豆

5CE—5

解：設AC,BD交于點、F,過點8作BGLEA,交朋的延長線于點G,如圖,

"JACLBD,cos/ACB=3,

設CF=3k,則CB=5k,

BF=yjBC2-CF2=4k.

?：CA=CB,

：.AC=5k,

：.AF=AC-CF=2k.

?；CF?AF=DF?BF,

：.DF^—k.

2

VAC±B￡),AE±AC,

：.DF//AE.

??D?—FC—F,

AECA

lk

?.2?--=3k,

AE5k

...4E=5公

2

:。=而記=零匕

'：AC±BD,AELAC,BG±EA,

四邊形AFBG為矩形，

：.BG^AF^2k,AG=BF=4k,

V185_

.BE_2k_技故答案為：運

"CE5A/5-B-5

~n-K

考點二：弦切角定理

【例2】.如圖，割線用8過圓心O,P。切。。于。，C是俞上一點，ZPDA=20°,則

/C的度數(shù)是110度.

解：連接2D則/以乂=90°,

：尸。切。。于點。，

ZABD=ZPDA=20°,

Z.DAB=9Q°-乙480=90°-20°=70°；

又?..四邊形ADCB是圓內(nèi)接四邊形，

AZC=180°-ZDAB=180°-70°=110°.

r

A變式訓練

【變式2-1].如圖，已知NP=45°,角的一邊與。。相切于A點，另一邊交O。于8、C

兩點，OO的半徑為百5,AC=2A歷，則AB的長度為（）

A

p

A.4V2B.6C.2V7D.5

解：連接。4,OB,作。。_LAC于。，CE_LAP于E,

AZAOD=^-ZAOC,AD=DC=42,

2

22

，OD=7OA-AD=2&'

切。。于A,

：.ZCAE=ZB,

VZB=AZAOC,

2

：.ZCAE=ZAOD,

VZAEC=ZADO=90°,

AACE^AOAD,

?CE=AE=AC

,,ADOD0A；

-CE_AE_2V2

,?忑242V10(

.?gEAE=①,

55

VZP=45°,

...△PCE是等腰直角三角形，

:.PE=CE=,PC=^-^->

55

'：PA=AE+PE,

.pA=6-/T0；

5

:NCAE=/B,ZP=ZP,

???AB4C^APBA,

AAC：AB=PC：PA,

Z.2V2：,

55

.\AB=6.

故選：B.

【變式2-2].如圖，BP是。。的切線，弦DC與過切點的直徑4B交于點E,0c的延長線

和切線交于點P,連接ADBC.若OE=D4=Z區(qū),BC=2,則線段CP的長為&三.

3—5―

ZA=ZDEA,

\9ZDEA=ZBEC,ZDCB=ZA,

：.ZBEC=ZDCB.

:?BE=BC=2.

?：NDEB=180°-ZBEC,ZBCP=180°-/BCE,

；?/DEB=/BCP,

???3尸是OO的切線，

:?/BDE=/PBC,

:?△DEBs/\BCP,

?.?—DE二BC一,

BECP

蚯

.32

.?--------------,

2CP

675

CP=

故答案為：目叵

5

考點三：切割線定理

【例3].如圖，直線抬過半圓的圓心O,交半圓于A,8兩點，PC切半圓與點C,已知

PC=3,PB=1,則該半圓的半徑為4.

解：切半圓與點C,：.PC2=PA-PB,即B4=9,

則48=9-1=8,則圓的半徑是4.故答案為4.

A變式訓練

【變式3-1].如圖，Rt^ABC中，NC=90°,。為AB上一點,以。為圓心，為半徑

作圓。與BC相切于點。，分別交AC、AB于E、F,若CD=2CE=4,則。。的直徑為

()

3

解：連接?！?,過。作AC的垂線，設垂足為G,

VZC=90°,

二四邊形ODCG是矩形，

是切線，CEA是割線，

:.CD2^CE*CA,

,:CD=2CE=4,

：.AC=8,

：.AE=6,

：.GE=3,

：.0D=CG=5,

???。0的直徑為10.

故選：A.

【變式3-2]如圖，在四邊形A3CZ）中，以A3為直徑的半圓O經(jīng)過點C,D.AC與3。

相交于點E，CD2^CE-CA,分別延長AB,0c相交于點P,PB=B0,CD=2近.則

BO的長是4.

'：CD2=CE'CA,

?.?~CD=CA'，

CEDC

而NACD=N￡)CE,

.".△CAD^ACDE,

:?/CAD=NCDE,

?:/CAD=/CBD,

：?/CDB=NCBD,

：.BC=DC；

設。O的半徑為廠，

?；CD=CB,

=

CDCBf

：.ZBOC=ZBADf

???OC//AD,

?.?PC=PO=-2--r-=.y,

CDOAr

:.PC=2CD=4近,

'：NPCB=ZPAD,/CPB=ZAPD,

：.△PCBs△RI。，

.?里①，即吟二,

PAPD3r6V2

.*.r=4（負根已經(jīng)舍棄），

：.OB=4,

故答案為4.

【變式3-3].如圖，在Rt^ABC中，NC=90°,BE平分NABC交AC于點E,點。在

上，DEYEB.

(1)求證：AC是的外接圓的切線；

(2)若AD=2「遍，AE=6&,求8。的長.

(1)證明：連接OE,

「BE平分/4BC交AC于點E,

：./l=/EBC,

VZ1=Z2,

：.Z2=ZCBE,

：.ZAEO=ZC=9Q°,

；.AC是。。的切線，

?；O。是△3DE的外接圓，

；.AC是的外接圓的切線;

(2)解：是圓。的切線，A3是圓的割線,

根據(jù)切割線定理：AE2^ADXAB,

：AD=2遍，AE=6V2,

（6^2）2=2%X（2巫+BD）,

解得：BD=4幾

...2。的長是：4a.

考點四：割線定理

【例4].如圖，過點P作OO的兩條割線分別交。。于點A、8和點C、D,已知必=3,

AB=PC=2,則PD的長是（）

P

A.3B.7.5C.5D.5.5

解：VB4=3,AB=PC=2,

:.PB=5,

,；%PB=PUPD,

."￡)=7.5,

故選：B.

A變式訓練

【變式4-1].如圖，P是圓。外的一點，點8、。在圓上，PB、尸。分別交圓。于點A、C,

如果AP=4,AB=2,PC=CD,那么PD=4y.

解：如圖，VAP=4,AB=2,PC=CD,

：.PB=AP+AB=6,PC=^PD.

2

又,：PA，PB=PC，PD,

：,4X6=^PD2,

2

則尸。=4日.

故答案是：4,^3-

【變式4-2].已知直角梯形ABC。的四條邊長分別為AB=2,BC=CD=10,AO=6,過2、

。兩點作圓，與BA的延長線交于點E,與CB的延長線交于點F,則BE-8」的值為4.

設BE,0G的中點分別為點M,N,則易知AM=DN,

：2C=C￡>=10,由割線定理得，CB?CF=CD?CG,

,:CB=CD,

C.BF^DG,

：.BE-BF=BE-DG=2(BM-DN)=2(BM-AM)=2AB=4.

故答案為：4.

1.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于OO,AB為OO的直徑，CM切。。于點C,ZBCM=60°,

則N5的正切值是（)

D.V3

A3是直徑，則NAD5=90。,

：.ZCDB=ZBCM=60°.

AZCDA=ZCDB+ZADB=150°.

VZCBA=180°-ZCDA=30°,

.?.tanZABC=tan30°=也.

2.如圖，從圓外一點尸引圓的切線E4,點A為切點，割線PZ汨交O。于點。、B.已知

B4=12,PD=8,則S"BP：S^DAP=9：4.

解：由切割線定理可得以2=尸。＞＜尸叢

?.?勿=12,尸。=8

：.PB=1S.

由弦切角和公共角易知△以0s△尸84.

AS^PAD：S^PBA=B^2：PB?=4：9.

3.如圖，在△ABC中，AB=ACfZC=72°,。0過A8兩點且與5C切于3,與AC交于

D,連接80,若遙-1,則AC=2.

上

解：9：AB=AC,ZC=72°,5c是OO的切線，

：.ZCBD=ZBAC=36°,

ZABD=36°,

:?/BDC=/BCD=T2°,

：.AD=BD=BC；

又〈SC是切線，

：.BC2=CD9AC,

:.BC?=（AC-3CAAC（設AC=x）,則可得到：（x—夸一1）2=-|-（V5-1）2，

解得：XI—2,X2=V5-3（尤2<0不合題意，舍去）.

：.AC=2.

4.如圖，O。的直徑AB=8,將弧BC沿弦BC折疊后與/ABC的角平分線相切，貝必ABC

的面積為8后.

解：設弧2C沿弦BC折疊后的圓弧的圓心為。'，連接。,B,如圖,

:將弧BC沿弦BC折疊后與NA8C的角平分線相切，

：.O'B1.BD,

：.ZO'80=90°.

設則NBCD=NAB￡）=a,

ZABC=2a.

由折疊的性質得：ZABC=ZOfBC=2a,

：.ZOfBD=N0'BC+ZDBC=3a=90°,

Aa=30°.

TAB為OO的直徑，

AZACB=90°,

BC—AB*cosZABC=8Xcos60°=4,

AC-AB*sinZABC-SX返二4心

2

.'.△ABC的面積為LxAUBC=工X4義473=873.

22

故答案為：8V3-

5.如圖，。0是△ABC的外接圓，NBAC=45°,AO_LBC于點。，延長AD交。。于點E,

若BD=4,8=1,則?！甑拈L是七.

—2―

解：連接OB,OC,OA,過O點作。nLBC于凡作OG_LAE于G,

：。。是AABC的外接圓，ZBAC=45°,

：.ZBOC=90°,

VBD=4,CD=1,

：.BC=4+1=5,

：.OB=OC=^^~,

2

.?.04=且巨，0F=BF=^,

22

:.DF=BD-BF=—,

2

/.0G=—,GD="

22

解法一：在RtzXAG。中，47=而三數(shù)=，豆,

:.DE=GE-GD='^---

2

解法二：在RtZkAG。中，AG=^QA2_QG2=2/p.,

：.AD=AG+GD='^-+5,

2

"：ADXDE=BDXCD,

2

故答案為：返

2

岐■r%\/

E

6.如圖，已知AC=A8,A￡>=5,DB=4,NA=2/E.則CD?DE=56

解：如圖，過點A作AFLBC于點R交C。于點H；

過點2作BG〃AH,交DE于點、G；

?：AB=AC,

:.CF=BF,ZA^2ZHAD；而/A=2/E,

ZHAD=ZE,

；.A、H、B、E四點共圓，

：.DH'DE=DA'DB=4X5=20；

■:BG//AH,HCF=BF,

:?叢AHDs^BGD,CH=HG；

...坨薯_Q_,設“0=5入，貝!JQG=4入,

DGBD4

:?CD=CH+HD=\4人,

???區(qū)00?。七=20,

14^

:?CD*DE=56.

7.如圖：BE切。0于點B,CE交。。于C,。兩點，且交直徑于A3于點尸，于

H,OH=5,連接BC、OD,MBC=BE,ZC=40°,劣弧8。的長是—旦兀

9

?：BE=BC

；./E=NC=4(r,ZBOD=80°,NOBD=NODB=(180°-/BOD)+2=50°

9：BE是切線

：.ZDBE=ZC=40°

：.ZBDE=180°-ZE-ZDBE=100°

：.ZHDO=1SO°-ZODB-ZBDE=30°

9：OHLCD

?3謐=10,即圓的半徑是10

/.弧BD的度數(shù)是80度

_80X兀X10_40H

DDLnJ-------------------------------------------------

8.如圖，在平面直角坐標系中，。。經(jīng)過點A(4,3),點8與點C在y軸上，點B與原

點。重合，且AB=AC,AC與。。交于點。，延長40與。。交于點E,連接CE、DE

與無軸分別交于點G、F,貝Ijtan/OFO=A,tanZA=空.

-3~—7~

解：設圓。與y軸交于點H,K,過點A作AMLOC于點M,過點D作DN±OC于點N,

如圖，

VA(4,3),

???AM=4,M0=3,

AAO=VAM2+MO2=5-

???AB=AC,點5與原點O重合,

：.AB=AC=5.

：.AE=2AO=10.

TAE為。。的直徑，

：.ED±AD.

VAB=AC,AALLOC,

JOC=2OM=6.

：.CH=CO-OH=6-5=1,

：.CK=CH+HK=1+10=11.

?；CD?CA=CH?CK,

?廠八—1X11—11

55

：.AD=AC-CD=5-

55

AZ)￡=VAE2-AD2=^"

D

48

5

9：DH1.0C,FO.LOC,

：.DH//OF.

：.NDFO=ZNDF.

VEDXAD,

:?/NDF+/CDN=90。.

?:DNLOC,

：?/CDN+NNCD=9U°.

???/NDF=ZNCD.

：.NDFC=ZNCD.

：.tmZDFC=tanNNC0=M=A.

CM3

故答案為：1；24.

37

9.如圖，在△ABC中，AB=ACf。0是△ABC的外接圓，8是。0的切線，C為切點,

且CD=C5,連接AO,與OO交于點￡

(1)求證AZ)=A&

(2)若A石=5,BC=6,求。0的半徑.

：.ZB=ZACB,

???CO是。。的切線，。為切點，

???ZACD=ZB,

：.ZACD=ZACB,

*：BC=BD,AC=AC,

：.AACB^AACD(SAS),

：.AB=AD；

(2)連接05,OC,CE,連接AO并延長交BC于點R

,/AACB^AACD,

：.ZCAB=ZCADf

BC=CE,

：.BC=CE,

u

：BC=CD=6f

：?CE=CD=6,

；.ND=/CED,

9：AB=AC,AB=AD,

：.AD=AC,

：.ZACD=NO,

：.ZCED=ZACD,

/./\DEC^/\DCA,

.DE=DC

"DCDA"

?DE-.6

*'T5+DE'

；.r)E=4或。E=-9(舍去)，

：.AD=AE+DE=9,

.?.A2=AC=AO=9,

"：AB=AC,OB=OC,

是BC的垂直平分線，

：.AF±BC,BF=CF=LBC=3,

2

???AP=VAC2-CF2=^92-32=6加，

設。。的半徑為r-

在RtZXOFC中，。產(chǎn)+Cp2=oc2,

(672-r)2+32=，，

”等我，

O

;.0。的半徑為2工&.

8

10.如圖，AABC是。。的內(nèi)接三角形，CD是。。的直徑，ABLC。于點E,過點A作O。

的切線交CD的延長線于點R連接EB.

(1)求證：是。。的切線.

(2)若AC=4代，tan/ACQ=L,求。。的半徑.

(1)證明：連接OA,OB,

;於是O。的切線，

J.OALFA,

：.ZFAO^9Qa,

:直徑CDLAB,

；.CF垂直平分AB,

：.AF=BF,

：.ZFBE=ZFAE,

'：OA=OB,

：.NOBE=NOAE,

：.ZOBE+ZFBE=ZFAE+ZOAE=ZFAO=90°,

半徑OBLFB,

.,.FB是OO的切線

(2)解：VtanZAC￡)=^=A,

CD2

.,.令AD=x,則C￡)=2x,

,/△ADC是直角三角形，

AC=VAD2+DC2=Vx2+(2x)2=疾x=4近,

，x=4,

???AO=4,CD=8,

"：AD1=DE-CE,

：.42=SDE,

：.DE=2,

：.C￡)=OE+CE=2+8=10,

???OO的半徑長是5.

11.如圖，正方形ABC。內(nèi)接于O。，點E為AB的中點，連接CE交BO于點F，延長CE

交O。于點G,連接BG.

(1)求證：FB1=FE'FG-,

(2)若AB=6,求b8和EG的長.

(1)證明：?..四邊形ABC。是正方形,

：.AD=BC,

：.AD=BC.

：.ZDBA=ZG.

'：ZEFB=ZBFG,

:.△EFBsgFG,

???-F--B----E--F-,

FGFB

:.FB2=FE-FG；

"：AB=AD=6,乙4=90°,

，BD=I/AD2+AB2=6五?

：.OB=LBD=3近.

2

:點E為AB的中點，

OE±AB,

:四邊形ABC。是正方形，

C.BCLAB,/￡)84=45°,AB=BC,

J.OE//BC,OE=BE=—AB.

2

?.?OF=0E=一1.

FBBC2

.QB-BF_1

BF^2

.3V2-BF_1

BF-W

\BF=2瓜

.,點E為AB的中點，

\AE=BE=3,

<?EC=VBE2+BC2=3店.

：AE-BE=EG-EC,

\EG=^^-.

5

12.如圖，o。的割線PA4交。。于A、B,PE切。。于E,NAPE的平分線和AE、BE

分別交于C、D,PE=4我，PB=4,ZAEB=60°.

(1)求證：APDEs4PCA；

(2)試求以B4、PB的長為根的一元二次方程；

(3)求。。的面積.(答案保留n)

(1)證明：由弦切角定理得/PE8=NEA8,

：PC是乙4PE的平分線，

/CPE=NCPA,

APDESAPCA；

(2)解：由切割線定理得尸￡2=以.「8,

;PE=，M，PB=4,

：.EA=12,

：.PA+PB=\6,E4?PB=48,

所求方程為：x2-16A+48=0；

(3)解：連接80并延長交0。于尸，連接AF,

則B尸是OO的直徑，

：.ZBAF=90°,

???ZAEB=ZF=60°

在RtZkAB尸中，sin60°_AF_PA-PB_12-4_8

BFBFBFBFT

3

.?.O。的面積為：Tt（度）2=Tt3x]68）2=^~冗（面積單位）.

223/3

13.如圖，圓。上有A,B,C三點，AC是直徑，點。是AB的中點，連接C￡）交AB于點E,

點廠在延長線上，且/C=FE.

（1）求證：C尸是圓0的切線；

（2）若cosF="|，BE=2,求圓。的半徑和的值.

D

證明：(1)：AC是直徑，點。是窟的中點,

ZABC=90°,ZACD=ZBCD.

'：FC=FE,

：.ZFCE=ZFEC.

VZABC=90°,

:.NCEF+/BCE=90°.

：.ZECF+ZACD=90°,即NAC/=90°.

J.ACLCF.

又丁點C在圓。上，

是圓。的切線；

(2)連接AD

是直徑，點。是AB的中點,

/.ZADC=ZABC=90°,ZACD=ZBCD.

：.ABECsADEA.

：.DE-EC=AE-BE,

在RtAACF和RtABCF中,

..H_3=BF=CF

'cosF-?CFAF)

設C尸=3匕則AF=5%.

BF=—k,AC=《AF2_CF2=4%.

5

?:FC=FE=3k,BE=FE-BF,

：.3k-工=2.

5

T'

.?.圓O的半徑=』AC=」g.

23

'：AE=AF-FE=5k-3k=2k=^-,

3

：.AEXBE=—X2=—.

33

：.DE-EC=—.

3

14.如圖，AB為。。的直徑，點P在4B的延長線上，點C在。。上，且PC2=尸小外.

(1)求證：PC是O。的切線;

(2)已知PC=20,尸2=10,點。是AB的中點，DE±AC,垂足為E,DE交AB于點F,

求EF的長.

(1)證明：連接OC,如圖1所示：

；PC2=PB?%即空=里，

PCPB

VZP=ZP,

：./\PBC^/\PCA,

：.ZPCB=ZPAC,

,：AB為。。的直徑，

AZACB=90°,

：.ZA+ZABC=90°,

??OC=OB,

：.ZOBC=ZOCB,

：.ZPCB+ZOCB^9Q°,

即OC±PC,

.??PC是oo的切線；

(2)解：連接。。，如圖2所示：

VPC=20,PB=10,PC2=PB'PA,

PC29H2

：.PA=-L^-=-^—=40,

PB10

：.AB=PA-P8=30,

■:△PBCs'CA,

.AC_PA

BCPC

設BC=x,貝i]AC=2x,

在RtZXABC中，/+(2x)2=302,

解得：x=6娓,即8。=6泥，

..?點。是源的中點，A8為。。的直徑,

AZAOD=90°,

"JDELAC,

ZA￡T=90°,

ZACB=90°,

DE//BC,

ZDFO=ZABC,

△DOFs^ACB,

0F=BC=2

麗而T

OF=^OD=^~,即AP=生,

222

'：EF//BC,

?EF=AF=1

"BCABT

15.已知：如圖，尸尸是。。的切線，PE=PF,A是。。上一點，直線AE、AP分別交O。

于B、D,直線。E交。。于C,連接8C,

(1)求證：PE//BC；

(2)將尸E繞點P順時針旋轉，使點E移到圓內(nèi)，并在O。上另選一點A,如圖2.其

他條件不變，在圖2中畫出完整的圖形.此時PE與BC是否仍然平行？證明你的結論.

:.PF2=PD，F(xiàn)A.

?：PE=PF,

：.PEl=PD'PA.

:.PE：PD=PA-.PE.

:ZAPE=NAPE,

:.叢EPDs叢APE.

：.ZPED=ZA.

\'ZECB=ZA,

：.NPED=NECB.

J.PE//BC.

(2)解：PE與8c仍然平行.

證明：畫圖如圖，

■:△EPDsAAPE,：.ZPEA=ZD.

:NB=ND,：.ZPEA=ZB.：.PE//BC.

16.已知△ABC是O。的內(nèi)接三角形，N3AC的平分線與O。相交于點。，連接。2.

(1)如圖①，設NABC的平分線與A。相交于點/,求證：BD=DI；

(2)如圖②，過點。作直線Z)E〃BC,求證：是。。的切線；

(3)如圖③，設弦BO,AC延長后交。。外一點凡過廠作AD的平行線交8c的延長

線于點G,過G作。。的切線GH（切點為H）,求證：FG=HG.

圖①圖②圖③

證明：（1）如圖①,