中考數(shù)學專項復習：絕對值

專題1.2絕對值

，典例精析

【典例1】結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：

(1)數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是；表示-3和2兩點之間的距離是；一般地，數(shù)軸上

表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于|m-n|.

(2)如果|x+l|=3,那么x=；

(3)若|a-3|=2,|b+2|=l,且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點A、點B,則A、B兩點間的最大距離

是，最小距離是.

(4)若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于-4與2之間，貝”a+4|+|a-2|=.

I___1111〉

-5-4-3-2-1012345

【思路點撥】

(1)根據(jù)數(shù)軸，觀察兩點之間的距離即可解決；

(2)根據(jù)絕對值可得：x+l=±3,即可解答；

(3)根據(jù)絕對值分別求出a,b的值，再分別討論，即可解答；

(4)根據(jù)|a+4|+|a-2|表示數(shù)a的點到-4與2兩點的距離的和即可求解.

【解題過程】

解：(1)數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是：4-1=3；表示-3和2兩點之間的距離是：2-(-3)=

5,故答案為：3,5；

(2)|x+l|=3,

x+l=3或x+l=-3,

x=2或x=-4.

故答案為：2或-4；

(3)v|a-3|=2,|b+2|=L

，a=5或1,b=-1b=-3,

當a=5,b=-3時，則A、B兩點間的最大距離是8,

當a=l,b=-1時，則A、B兩點間的最小距離是2,

則A、B兩點間的最大距離是8,最小距離是2；

故答案為：8,2；

（4）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于-4與2之間，

|a+4|+|a-2|=（a+4）+（2-a）=6.

故答案為：6.

0學霸必刷

1.（2022?高郵市模擬）若|x|+|x-4|=8,則x的值為（）

A.-2B.6C.-2或6D.以上都不對

【思路點撥】

根據(jù)絕對值的意義得出，|x|+|x-4|=8表示到原點和4的距離和是8的數(shù)，分兩種情況求出x的值即可.

【解題過程】

解：???W+|x-4|=8,

二當x>4時，x+x-4=8,

解得x=6,

當尤<0時，-x+4-x=8,

解得x=-2,

故選：C.

2.（2021秋?西峽縣期末）\x+S\+\x+l\+\x-3|+|x-5|的最小值等于（）

A.10B.11C.17D.21

【思路點撥】

由|x+8|+|x+l|+|x-3|+|x-5|所表示的意義，得出當-1W爛3時，這個距離之和最小，再根據(jù)數(shù)軸表示數(shù)的特

點進行計算即可.

【解題過程】

解：|x+8|+|x+l|+|x-3|+|x-5|表示數(shù)軸上表示數(shù)x的點，到表示數(shù)-8,-1,3,5的點的距離之和，

x

_|-------------1_??------1_>

-8-1035

由數(shù)軸表示數(shù)的意義可知,

當-時，這個距離之和最小，

最小值為|5-(-8)|+|3-(-1)|=13+4=17,

故選：C.

3.如果有理數(shù)a,b,c滿足|a-b|=l,|b+c|=2,|a+c|=3,那么|a+2b+3c|等于()

A.5B.6C.7D.8

【思路點撥】

通過對式子|a+c|=3的變形，確定已知之間的關(guān)系，再進行分類討論，結(jié)合對所求式子的變形，找到已知所

求之間的關(guān)系，再進行求解.

【解答過程】

解：|a+c|=|a-b+b+c|=3,

v|a-b|=l,|b+c|=2,

???a-b=l,b+c=2或a-b=-1,b+c=-2,

分兩種情況討論：

①若a-b=Lb+c=2,則兩式相加，得a+c=3,

|a+2b+3c|=|a+c+2(b+c)|=|3+2x2|=7；

②若a-b=-l,b+c=-2,則兩式相加，得a+c=-3,

|a+2b+3c|=|a+c+2(b+c)|=|-3+2x(-2)|=7.

故選：C.

\a+b\2\b+c\3|c+a|

4.(2021秋?洛川縣校級期末)已知：m=-----+------+—--,且abc>0,a+b+c=0.則機共有x

cab

個不同的值，若在這些不同的加值中，最大的值為》則x+y=()

A.4B.3C.2D.1

【思路點撥】

根據(jù)絕對值的意義分情況說明即可求解.

【解題過程】

解：^abc>0,q+b+c=0,

“、b、c為兩個負數(shù)，一個正數(shù)，

q+b=-ctb+c=-cijc+a=-b,

l-d2|-a|3\-b\

m=------+---------+---------

cab

???分三種情況說明：

當a<0,b<0,c>0時，m=\-2-3=-4,

當a<0,c<0,6>0時，m=-]-2+3=0,

當a>0,b<0,c<0時，％=-1+2-3=-2,

共有3個不同的值，-4,0,-2,最大的值為0.

■■x=?>,y=0,

■■x+y—?>.

故選：B.

(x,(x>0)xxxx

5.我們知道|x|=。，(x=0),所以當x>0時，7-7=-=1；當x<0時，7-7=—=-1.下列結(jié)論序號

I-%,(%<o)|%|xm-x

正確的是()

ab

①已知a,6是有理數(shù)，當。厚0時，而+而的值為0或±2；

2ab

②已知a,6是不為。的有理數(shù)，當皿|=-仍時，則而+而的值為±1；

b+ca+ca+b

③已知a,b,c是有理數(shù)，a+6+c=0,abc<0,則7^"+而~+KF=-1或3；

II。II

\abc\\a\\b\\c\、

④已知a,b,。是非零的有理數(shù)，且——=—1,則——+—+一的值為1或-3；

abcabc

abcabc

⑤已知a,6,c是非零的有理數(shù)，a+b+c^Q,則而+而+而+蕨”勺所有可能的值為0.

A.①③④B.②③⑤C.①②④⑤D.①②④

【思路點撥】

關(guān)于絕對值化簡的問題，就要嚴格利用絕對值的定義來化簡，要考慮全面，有時可以用特殊值法.

【解題過程】

解：①因為a厚0,所以有以下幾種情況：

a>0,b<0,原式值是0；

a>0,b>0,原式值是2；

a<0,b>0,原式值是0；

a<0,b<0,原式值是-2.

故①正確；

②???|西=-疝a,6是不為0的有理數(shù)，

■■■ab<0,有以下兩種情況：

a>0,b<0,此時原式值是1；

a<0,b>0,此時原式值是-1,

故②正確；

③已知a,b,c是有理數(shù)且a+6+c=0,abc<0,

則b+c~~~Clia+c=:-b,b+c=-

一CL—b-c

二原式化為面+百

a,b,c兩正一負，有四種情況：

tz>0,b>0,c<0,原式值為-1

a>0,b<0,c>0,原式值為-1

aVO,b>0,c>0,原式值為-1

故③錯誤;

■?■abc<0,分四種情況（同③）

二原式值是T和3,

故④正確；

⑤分兩種情況：

abe

當一正兩負時，而，而?西有一個1，兩個-1，

abc

而abc>0,所以，此時和為1+1-1-1=0；

abc

當一負兩正時，而，兩■?西有一個-1，兩個1，

abc

而abc<0,所以=-1，此時和為-1+1+1-1=0.

故⑤正確.

故選：C.

20212021

6.（2021秋?常州期末）已知x=2八.則,-2|-l|+|x|+|x+l|-|x+2|的值是_右右

乙U乙乙乙U乙乙

【思路點撥】

根據(jù)x的值，判斷無-2,X-1,x+1,尤+2的符號，再根據(jù)絕對值的定義化簡后即可得到答案.

【解題過程】

2021

解：vx=2022,即0<xVl,

???x-2<0fx-1<0,x+1>0,x+2>0,

*,?|x-2|-\x~l|+|x|+|x+l|-|x+2|

=2-x-(1-x)+x+x+1-x-2

—2~x-1+x+x+x+l-x-2

=x

2021

=2022,

2021

故答案為：荻,

7.(2021秋?綿竹市期末)代數(shù)式|x+1009|+|x+506|+|x-1012|的最小值是2021.

【思路點撥】

利用絕對值的定義，結(jié)合數(shù)軸可知最小值為1012到-1009的距離.

【解題過程】

解：小+1009|=|x-(-1009)|,|x+506|=|x-(-506)|,

--1009~^50601012*

由絕對值的定義可知:由4009代表x到-1009的距離；|x+506|代表x到-506的距離；|x-1012代表x到

1012的距離；

結(jié)合數(shù)軸可知：當x在-1009與1012之間，且x=-506時，距離之和最小，

最小值=1012-(-1009)=2021,

故答案為:2021.

8.(2021春?楊浦區(qū)校級期末)已知a,b,c為整數(shù)，M|a-Z)|2021+|c-a|2020=1,則|a-6|+|6-c|+|c-a|=_0

或2.

【思路點撥】

因為a、b、C都為整數(shù)，而且|a-6|202i+|c-.2020=1,所以|a-句與|c-a|只能是0或者1,于是進行分類討

論即可得出.

【解題過程】

解：?:a、b、c為整數(shù),且|。-6產(chǎn)1+匕"|加20=1,

.,.有|a-6|=l,|c-a|=O或|a-臼=0,|c-a|=l

①若|a-6|=l,|c-a|=0,

貝I」a-b=±l,a=c,

?,?「-c\=\c-b\=\a-b\=l,

???|q-b\+\b-c\-\c-q|=l+l+0=2,

@\a-Z?|=0,\c-a\—\,

貝!Ja=b,c-a=±l,

'?\b-c\—\c-b\=\c-a\=l,

-b\+\b-c\-\c-3=0+1—1=0,

故答案為：0或2.

9.（2021秋?大田縣期中）三個整數(shù)q,9。滿足qVbVc,且q+b+c=0.若同V10,則同+|臼+|c|的最大值

為34.

【思路點撥】

根據(jù)a+b+c=0,a<b<c,可得aVO,c>0,a+b<0,則同>口|,再由同V10,a,b,c都是整數(shù)，得到

|?|<9,則堆8,根據(jù)一+臼=-。+〃）=-b-af\b\>-b,\a\>a,即可得到|c|=|a-臼=。+臼3同+步區(qū)17,

由此求解即可.

【解題過程】

解：,.?a+b+c=O,a〈b〈c,

"VO,c>0,a+b<0,

??.13>|臼，

v|a|<10,a,b,c都是整數(shù)，

,-'\a+b\=-（b+q）=-b-a,|6|>-b,\a\>a,

'?\c\=\-a-b\=|a+Z>|<|a|+|h|<l7,

??.|a|+|b|+|c|的值最大為9+8+17=34,

故答案為：34.

10.（2021秋?雁塔區(qū)校級期中）如果|〃+3|+|a-2\+\b-4\+\b-7|=8,則〃-b的最大值等于-2.

【思路點撥】

根據(jù)題意可得|〃+3|+|〃-2|=5,|6-4|+|fe-7|=3,此時-30W2,4<6<7,可求得-10%-店-2,即可求

解.

【解題過程】

解：\a+3\+\a-2|>5,\b-4\+\b-7|>3,

??.|a+3|+|〃-2\+\b-4|+|b-7|>8,

,a+3|+|a-2|+|6-4|+|6-7尸8,

??.|a+3|+|a-2|=5,n-4|+「-7|=3,

-3<a<2,4<Z><7,

-10<a-b<-2,

?'?a-b的最大值等于-2,

故答案為：-2.

a+b

11.（2021秋?江岸區(qū)校級月考）設有理數(shù)a,b,。滿足a>6>c,這里QCVO且|c|V|臼<同，則—丁|+|

b+ca+c2a+b+c

%——廠I+|%+3-|的最小值為_----

【思路點撥】

根據(jù)acVO可知a,c異號，再根據(jù)a>b>c,以及|c|V以V|a|,即可確定a,-a,b,-b,c,-c在數(shù)軸

a+bb+ca+ca+bb+ca+c

上的位置，而|工一二一|十歸一=-|+|%+二一|表示至|」一^―,一一萬一三點的距離的和，根據(jù)數(shù)軸即可確

2，

定.

【解題過程】

解：

??a,。異號,

'-'a>b>c,

c<0,

X'-*|c|<|fe|<|a|,

-a<-6<c<0<-c1b〈a,

a+bb+ca+ca+bb+ca+c

又|+,一不一|+,+表示至!!不一，—一三一三點的距離的和,

當x在當上時距離最小,

a+bb+ca+ca+ba+c2a+b+c

即,一一^―|+|x——^―|+|x+-I最小，最小值是一^?與一一廠之間的距離，即一;—

、2a+b+c

故答案為：一--

12.2020秋?海曙區(qū)期末）已知a,b,c為3個自然數(shù)，滿足a+26+3c=2021,其中a<b<c,則|a-b\+\b-c|+|c-a\

的最大值是1346.

【思路點撥】

根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡式子，再確定a,b,c的值，由此解答即可.

【解題過程】

解：由題意知6沏，貝!J|a-=6-a,

b<c,貝岫-c|=c-6,

a<c,貝!||c-a\=c-a,

故-b\+\b-c|+|c-a\=b-a+c-b+c-a=2（c-a）,

上式值最大時，即c最大，且a最小時，（即c-。最大時），

又a+26+3c=2021,

2021=3x673+2,

故c的最大值為673,

此時a+26=2,a<b,且a,6均為自然數(shù)，a=0時，6=1,此時a最小，

故2（c-a）的最大值即c=673,a=0時的值，即：2/（673-0）=1346.

故答案為：1346.

13.設x是有理數(shù)，y=|x-l|+|x+l|.有下列四個結(jié)論：①y沒有最小值；②有無窮多個x的值，使y取到

最小值；③有x的值，使y=1.8；④使y=2.5的x有兩個值.其中正確的是（填序號）.

【思路點撥】

依據(jù)絕對值的幾何意義，|x-1|可以看成是x與1的距離，|x+l|可以看出是x與-1的距離，這樣y可以看

成兩個距離之和，即在數(shù)軸上找一點x,使它到1和-1的距離之和等于y.要從三個情形分析討論：①x

在-1的左側(cè)；②x在-1和1之間（包括-1,1）;③x在1的右側(cè).

【解答過程】

解：：區(qū)-1|是數(shù)軸上X與1的距離，|x+l是數(shù)軸上X與-1的距離，

；.y=|x-l|+|x+l|是數(shù)軸上x與1和-1的距離之和.

???當x在-1和1之間（包括-1,1）時，y的值總等于2.如下圖：

X

-5-4-3-24012345>

當X在-1的左側(cè)時，y的值總大于于2.如下圖：

X

[|，|—[I

-5-4-3-2-1012345

當X在1的右側(cè)時，y的值總大于于2.如下圖：

x

_I__I_I_I_4__L_4__L*J_I_L>

-5-4-3-2-1012345

綜上，y有最小值2,且此時-IWxWl.

.?.①③不正確，②正確.

,??使y=2.5的x有-1,25和1,25兩個值，

??.④正確.

故答案為②④.

14.有理數(shù)a,b滿足|a+l|+|2-a|=6-|b+2|-|b+5|,a2+b2的最大值為,最小值為.

【思路點撥】

將|a+l|+|2-a|以及|b+2|+|b+5|拆分開來看，從而分別得到他們的最值小均為3,而根據(jù)已知知道，它們的和

為6,從而得到|a+l|+|2-a|以及|b+2|+|b+5|的值均為3,從而得到a和b的取值范圍，進而可以求出a?+b2的

最大值和最小值.

【解答過程】

解：|a+l|+|2-a|=6-|b+2|-|b+5|,

*，?|a+l|+|2-a|+|b+2|+|b+5|—6,

表示a至！J-1的距離,

|2-a|表不a至lj2的距離，

*'?|a+l|+|2-a|>3?

又??,|b+2]|表示b至lj-2的距離，

|b+5|表示b到-5的距離，

.-.|b+2|+|b+5|>3,

又???|a+l|+|2-a|+|b+2|+|b+5|=6,

|+|2-a|=3,|b+2|+|b+5|=3,

止匕時一lSag2,-5<b<-2,

?,2的最大值為4,最小值為0,

b2的最大值為25,最小值為4,

.?.a2+b2的最大值為29,最小值為4.

故答案為：29,4.

b+1b+2b+3

15.(2021秋?梁子湖區(qū)期中)已知阿-2|與|6-2|互為相反數(shù)，求嬴T—+的值.

【思路點撥】

根據(jù)絕對值的非負性求出a,6的值，代入代數(shù)式求值即可.

【解題過程】

解：根據(jù)題意得“-2|+|b-2|=0,

---\ab-2|>0,\b-2|>0,

■-ab-2=0,b-2=0,

b=2,

345

:?原式=5—二T+W

35

=77+4+7

24

27

=~"

16.(2021秋?貢井區(qū)期中)如圖，數(shù)軸上的點/,B,C,D,￡對應的數(shù)分別為a,b,ce,且這五

個點滿足每相鄰兩個點之間的距離都相等.

(1)填空：a-c<0,b-a>0,b-d<0(填“>"，”<”或“=")；

(2)化簡：\a-c\-2\b-a\-\b-d\；

(3)若⑷=同，族|=3,直接寫出b-e的值.

...................................A

ABCDE

【思路點撥】

(1)根據(jù)數(shù)軸得出°V6Vc<dVe,再比較即可；

(2)先去掉絕對值符號，再合并同類項即可；

(3)先求出從e的值，再代入求出即可.

【解題過程】

解:(1)從數(shù)軸可知：a<b<c<d<e,

■■a-c<0,b-a>0,b-d<0,

故答案為：V,>,<;

(2)原式=|a-c|-2|6-a|一步-0

-a+c-2(b-a)-(d-6)

=-a+c-2b+2a-d+b

=a-b+c-d\

(3)同=|e|,

??.。、e互為相反數(shù)，

??*|=3,這五個點滿足每相鄰兩個點之間的距離都相等，

???/?=-3,e=6,

:?b-e=-3-6=-9.

17.(2021秋?銅山區(qū)期中)點/、5在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b,A,5兩點之間的距離記為力請回答

下列問題：

(1)數(shù)軸上表示-3和1兩點之間的距離d為4；

(2)數(shù)軸上表示x和-5兩點之間的距離d為lx+51；

(3)若x表示一個有理數(shù)，且x大于-3且小于1,則N-1I+N表1=4；

(4)若x表示一個有理數(shù)，且|x+2|+|x+3]>l,則有理數(shù)x的取值范圍為工<-2或X>-3.

【思路點撥】

(1)根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離公式進行計算；

(2)根據(jù)數(shù)軸上兩點間距離公式列式；

(3)根據(jù)絕對值的意義進行化簡計算；

(4)根據(jù)絕對值的意義和數(shù)軸上兩點間的距離進行分析求解.

【解題過程】

解：(1)d—1-(-3)=1+3=4,

.??數(shù)軸上表示-3和1兩點之間的距離d為4,

故答案為：4；

(2)數(shù)軸上表示x和-5兩點之間的距離d=|x-(-5)|=|x+5|,

故答案為：對5|；

(3)-3<%<1,

■■X-KO,x+3>0,

?,■|x_1|+|x+31=1_x+x+3=4,

故答案為：4；

(4)|x+2|+|x+3|表示數(shù)軸上數(shù)x到數(shù)-2和數(shù)-3的距離之和，

-2-（-3）=1,且|x+2|+|x+3|>l,

???x<-2或x>-3,

故答案為：》<-3或工>-2.

18.x取何值時，|x-l|+|x-2|+|x-3|+…1997|取最小值，最小值是多少？

【思路點撥】

利用絕對值的幾何意義分析:尤為數(shù)軸上的一點，|x-l|+|x-2|+|x-3|+…|x-1997|表示:點x到數(shù)軸上的1997

個點（1、2、3、…、1997）的距離之和,進而分析得出最小值為：|999-1|+|999-2|+|999-3|+...|999-1997|

求出即可.

【解題過程】

解：在數(shù)軸上，要使點x到兩定點的距離和最小，

則x在兩點之間，最小值為兩定點為端點的線段長度（否則距離和大于該線段）；

所以：

當1—1997時,|x-l|+|x-1997|有最小值1996；

當2勺勺996時，|x-2|+|x-1996|有最小值1994；

當x=999時，|x-999|有最小值0.

綜上,當x=999時，|x-l|+|x-2\+\x-3\+...\x-1997|能夠取到最小值,

最小值為：|999-11+|999-2|+|999-3|+...|999-1997|

=998+997+996+...+0+1+2+998

（1+998）x998

=2*2

=997002.

19.（2021秋?金鄉(xiāng)縣期中）我們知道：在研究和解決數(shù)學問題時，當問題所給對象不能進行統(tǒng)一研究時，

我們就需要根據(jù)數(shù)學對象的本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將對象區(qū)分為不同種類，然后逐類進行研究和解

決，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解決，這一思想方法，我們稱之為'分類討論的思想”.這一數(shù)學思想

用處非常廣泛，我們經(jīng)常用這種方法解決問題.例如：我們在討論間的值時，就會對。進行分類討論，當

近0時，同=a；當時，同=-a.現(xiàn)在請你利用這一思想解決下列問題：

8-3

CLab

（2）而=1或-1（存0）,而+西=2或0（其中。>0,厚0）

abcabc

(3)若仍分0,試求而+西+西+標鼻的所有可能的值.

【思路點撥】

(1)根據(jù)絕對值的定義即可得到結(jié)論；

(2)分類討論：當a>0時，當?<0時，當6>0時，當b<0時，根據(jù)絕對值的定義即可得到結(jié)論；

(3)分類討論：①當a>0,b>0,c>0時，

②當a,b,c三個字母中有一個字母小于0,其它兩個字母大于0時，③當a,b,c三個字母中有一個字

母大于0,其它兩個字母小于0時，④當a<0,b<Q,c<0時，根據(jù)絕對值的定義即可得到結(jié)論.

【解題過程】

8—3

解：⑴面=1，育=f

故答案為：1,-1;

aa

(2)當q>0時，而=1；當。<0時，面=一1；

CLbab

當Q0時，而+而=1+1=2；當6<0時，向+而=17=0；

故答案為：1或-1,2或0；

abcabc

(3)①當a>0,b>0,c>0時，而+而+兩+的=1+1+1+1=4，

abcabc

②當a,b,c三個字母中有一個字母小于0,其它兩個字母大于0時，而+面+而+正的=-1+1+1-1

=0,

abcabc

③當a,b,。三個字母中有一個字母大于0,其它兩個字母小于0時，而+而+百+日兩=1-1-"1=

0,

abcabc

④當a<0,b<Q,c<0時，而+而+百+兩=-1777=7，

abcabc

綜上所述，而+而+而+時的所有可能的值為±4,0.

20.(2021秋?江岸區(qū)期中)閱讀下