工程力學(xué) 第5版 課件 第10章 直梁的彎曲

第十章直梁的彎曲直梁的彎曲是桿件橫截面上應(yīng)力呈線性分布的另一種基本變形，本章將討論直梁彎曲變形時(shí)梁的內(nèi)力(剪力、彎矩)、強(qiáng)度與剛度問題。第十章直梁的彎曲10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算10.3梁的剛度計(jì)算10.4提高梁強(qiáng)度和剛度的措施第十章直梁的彎曲10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)第十章直梁的彎曲10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)

桿件承受垂直于其軸線的外力或位于其軸線所在平面內(nèi)的力偶作用時(shí)，其軸線將彎曲成曲線，這種受力與變形形式稱為彎曲（bending）。主要承受彎曲的桿件稱為梁（beam）。棟梁（屋頂最高處的水平木梁，支承著椽子的上端）之才10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)平面彎曲的概念

當(dāng)桿件承受垂直于其軸線的外力，或在過其軸線的平面內(nèi)作用有外力偶時(shí)，桿的軸線將變?yōu)榍€，這種變形稱為彎曲。平面彎曲梁軸線縱向?qū)ΨQ面變形后，梁的軸線彎成外載荷作用平面內(nèi)的平面曲線。10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖及分類支座的簡(jiǎn)化固定鉸支座可動(dòng)鉸支座10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖及分類支座的簡(jiǎn)化固定鉸支座可動(dòng)鉸支座固定端約束問題：這些約束上有哪些約束反力(偶)？10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖及分類梁的類型簡(jiǎn)支梁外伸梁懸臂梁10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖及分類靜定梁和超靜定梁

支座約束反力均可由靜平衡條件完全確定，稱靜定梁。

梁的約束反力數(shù)目多于靜力平衡方程數(shù)目，約束反力不能完全由靜力平衡方程確定，這種梁稱為超靜定梁或靜不定梁10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖及分類

橋式吊車的大梁可以簡(jiǎn)化為兩端餃支的簡(jiǎn)支梁。在起吊重量(集中力FP)及大梁自身重量(均布載荷q)的作用下,大梁將發(fā)生彎曲。10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖及分類

石油、化工設(shè)備中各種直立式反應(yīng)塔，底部與地面固定成一體，因此，可以簡(jiǎn)化為一端固定的懸臂梁。在風(fēng)力載荷作用下，反應(yīng)塔將發(fā)生彎曲變形。10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)梁的內(nèi)力計(jì)算如圖所示簡(jiǎn)支梁，求任意截面處的內(nèi)力可求約束反力利用截面法求內(nèi)力FQ

剪力

與橫截面相切的分布內(nèi)力系的合力M

彎矩

與橫截面垂直的分布內(nèi)力系的合力偶矩10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)梁的內(nèi)力計(jì)算剪力方程和彎矩方程

一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置而變化，若以橫座標(biāo)x表示橫截面在梁軸線上的位置，則各橫截面上的剪力和彎矩都可以表示為x的函數(shù)(分段函數(shù))。剪力方程彎矩方程

依照剪力方程和彎矩方程繪制的內(nèi)力曲線圖(x軸-橫截面位置，y軸-剪力彎矩)稱為剪力圖和彎矩圖。10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)梁的內(nèi)力計(jì)算凡剪力對(duì)所取梁內(nèi)任一點(diǎn)的力矩順時(shí)針轉(zhuǎn)向的為正，反之為負(fù)；凡彎矩使所取梁段產(chǎn)生上凹下凸變形的為正，反之為負(fù)。10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)梁的內(nèi)力計(jì)算【例題】

如圖所示簡(jiǎn)支梁，AC段受均布載荷q作用，支座B內(nèi)側(cè)受力偶Me=ql2作用，求截面D-D、E-E上的剪力和彎矩，其中截面E-E無(wú)限接近于右端支座但位于集中力偶作用處的左側(cè)。10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)梁的內(nèi)力計(jì)算【解答】(1)求約束力(過程略)(2)求截面D-D上的內(nèi)力(3)求截面E-E上的內(nèi)力10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)梁的內(nèi)力計(jì)算【注釋】(1)力矩平衡方程中未寫下標(biāo)表示默認(rèn)向橫截面形心取矩。(2)梁任一橫截面上的剪力，數(shù)值上等于該截面左邊(或右邊)梁上所有外力的代數(shù)和。截面左邊梁上向上的外力(或截面右邊梁上向下的外力)引起的剪力為正，反之為負(fù)。(3)梁任一橫截面上的彎矩，數(shù)值上等于該截面左邊(或右邊)梁上所有外力對(duì)該截面形心C之矩的代數(shù)和。截面左邊梁上的外力和外力偶對(duì)該截面形心C之矩為順時(shí)針(或截面右邊梁的外力和外力偶對(duì)該截面形心C之矩為逆時(shí)針)轉(zhuǎn)向的為正，反之為負(fù)。10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)梁的內(nèi)力計(jì)算

AB段上無(wú)外載，剪力不變，剪力圖為水平直線。集中力作用處，剪力圖沿集中力方向突變集中力值。10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)梁的內(nèi)力計(jì)算

AB段上作用均布載荷，剪力圖表現(xiàn)為線性漸變。在集中力偶Me作用兩側(cè)，剪力圖不變化，彎矩圖突變集中力偶值；10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)彎矩、剪力與載荷集度間的關(guān)系

由于載荷的不同，梁的剪力和彎矩圖也不同。

圖中FQ=0的截面上，彎矩有極值，其他的例子中也總結(jié)了一些規(guī)律，這都說明載荷、剪力、彎矩之間存在著一定的關(guān)系；

找到這些關(guān)系，對(duì)我們方便快速地畫出剪力彎矩圖具有很大的益處。10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)彎矩、剪力與載荷集度間的關(guān)系如圖所示受任意載荷的直梁建立坐標(biāo)系取其中一微段dxq(x)為連續(xù)函數(shù)，規(guī)定向上為正將該微段取出，加以受力分析10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)彎矩、剪力與載荷集度間的關(guān)系由（1）式可得:（2）式中略去高階微量注意在集中力和集中力偶作用處微分關(guān)系不成立10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)彎矩、剪力與載荷集度間的關(guān)系剪力圖上某點(diǎn)的斜率等于分布載荷的數(shù)值彎矩圖上某點(diǎn)的斜率等于剪力的數(shù)值10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)彎矩、剪力與載荷集度間的關(guān)系在剪力圖無(wú)突變(無(wú)集中力作用)的某段梁上，有在彎矩圖無(wú)突變(無(wú)集中外力偶作用)的某段梁上，有上述積分關(guān)系有時(shí)可簡(jiǎn)化控制截面的內(nèi)力計(jì)算。q圖的面積FQ圖的面積10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)彎矩、剪力與載荷集度間的關(guān)系若q(x)為常數(shù)，則可根據(jù)這些關(guān)系得到如下表格10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)彎矩、剪力與載荷集度間的關(guān)系忽略高階微量忽略高階微量在有集中力F

作用處兩側(cè)截面上剪力值突變F在有集中力偶M作用處兩側(cè)橫截面上彎矩值突變Me若梁上某處既有集中力，又有集中力偶，則該截面剪力突變，彎矩突變10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)彎矩、剪力與載荷集度間的關(guān)系【例題】

如圖所示，不列剪力方程和彎矩方程，畫出剪力圖和彎矩圖（已知均布載荷q=3kN/m,集中力偶M=3kN·m）10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)彎矩、剪力與載荷集度間的關(guān)系(1)計(jì)算約束力q=3kN/m,M=3kN·m(2)畫出剪力圖集中力突變均布載荷線性漸變10.1彎曲內(nèi)力圖(剪力圖與彎矩圖)(3)畫出彎矩圖根據(jù)微分關(guān)系列表(熟練后可省略)

由于剪力值均為負(fù)，且AC段無(wú)集中力偶，故AC段任一截面上彎矩不可能大于0

剪力為0處彎矩極值，按照幾何關(guān)系求出剪力為0的位置E注意此處MD為D截面左側(cè)的彎矩與鉸支座彎矩為0相符10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算第十章直梁的彎曲10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算純彎曲AC、DB段既有剪力又有彎矩，橫截面上同時(shí)存在正應(yīng)力和切應(yīng)力，這種情況稱為橫力彎曲(TransverseBending)CD段只有彎矩，橫截面上就只有正應(yīng)力而無(wú)切應(yīng)力，這種情況稱為純彎曲(PureBending)10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算純彎曲純彎曲的實(shí)驗(yàn)觀察10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算純彎曲純彎曲的實(shí)驗(yàn)觀察10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算實(shí)驗(yàn)觀察與假設(shè)現(xiàn)象1)縱向線彎曲成圓弧線，其縱向線間距不變。2)橫向線仍為直線，且與縱向線正交，橫向線間相對(duì)地轉(zhuǎn)過了一個(gè)微小的角度。假設(shè)1)梁彎曲變形時(shí)，其橫截面仍保持平面，且繞某軸轉(zhuǎn)過了一個(gè)微小的角度。2)設(shè)梁由無(wú)數(shù)縱向纖維組成，則這些纖維處于單向受拉或單向受壓狀態(tài)。10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算實(shí)驗(yàn)觀察與假設(shè)變形前變形后

由于彎曲的作用，上部纖維縮短，下部纖維伸長(zhǎng)。

中間必有一層保持原長(zhǎng)，這一層稱為:中性層(Neutrosphere)10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算實(shí)驗(yàn)觀察與假設(shè)cc是中性層和橫截面的交線，稱為中性軸(Neutralaxis)

除平面假設(shè)外，我們還假設(shè)縱向纖維之間無(wú)擠壓，即縱向纖維間無(wú)正應(yīng)力。10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算彎曲正應(yīng)力的計(jì)算正應(yīng)力的分布1)中性軸由于既不伸長(zhǎng)，也不縮短，所以其上各點(diǎn)的線應(yīng)變?yōu)榱悖龖?yīng)力亦為零。2)距中性軸距離相等的各點(diǎn)，其線應(yīng)變相等。根據(jù)胡克定律，它們的正應(yīng)力也相等。3)在正彎矩作用下，中性軸上部各點(diǎn)正應(yīng)力為負(fù)值，中性軸下部各點(diǎn)正應(yīng)力為正值。說明中性軸上部受壓，下部受拉。4)根據(jù)平截面假設(shè)，以及實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象可以推出正應(yīng)力沿y

軸線性分布，即s(y)=Ky，K為待定常數(shù)，如圖所示。10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算彎曲正應(yīng)力的計(jì)算正應(yīng)力的計(jì)算純彎曲情況下：定義截面對(duì)z軸的靜矩表明：中性軸z必然通過截面的形心10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算彎曲正應(yīng)力的計(jì)算正應(yīng)力的計(jì)算定義截面對(duì)z軸的慣性矩10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算彎曲正應(yīng)力的計(jì)算

由公式可知，某一截面的最大正應(yīng)力發(fā)生在距離中性軸最遠(yuǎn)處。Wz

抗彎截面系數(shù)/彎曲截面系數(shù)單位m310.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算彎曲正應(yīng)力的計(jì)算

工程中實(shí)際的梁大多發(fā)生橫力彎曲，橫截面由于切應(yīng)力的存在而發(fā)生翹曲。此外，橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓。平面假設(shè)和縱向線之間無(wú)擠壓的假設(shè)實(shí)際上都不成立。

但彈性力學(xué)的分析結(jié)果表明，受滿布荷載的矩形截面簡(jiǎn)支梁，當(dāng)其跨長(zhǎng)與截面高度之比l/h大于5時(shí)，梁的跨中橫截面上按純彎曲理論算得的最大正應(yīng)力其誤差不超過1%，

故在工程應(yīng)用中就將純彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算公式用于橫力彎曲情況，10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算慣性矩與抗彎截面系數(shù)

設(shè)任意形狀平面圖形如圖所示。其圖形面積為A，任取微面積dA，則積分

分別稱為平面圖形對(duì)軸y與軸z

的慣性矩或二次矩（Momentofinertia）。慣性矩

Iy和Iz

恒為正，其量綱為長(zhǎng)度的四次方。

iy和iz分別稱為平面圖形對(duì)軸y和軸z

的慣性半徑（Radiusofinertia）。慣性半徑的量綱為長(zhǎng)度。10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算慣性矩與抗彎截面系數(shù)求實(shí)心和空心圓對(duì)形心軸的慣性矩和抗彎截面系數(shù)。(1)實(shí)心圓極慣性矩抗彎截面系數(shù)10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算慣性矩與抗彎截面系數(shù)(2)空心圓慣性矩抗彎截面系數(shù)10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算慣性矩與抗彎截面系數(shù)求矩形圖形對(duì)形心軸的慣性矩。

微面積取寬為dy

，高為h且平行于軸z的狹長(zhǎng)矩形，即

矩形圖形對(duì)軸z的慣性矩為

矩形圖形對(duì)軸z的抗彎截面系數(shù)10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算慣性矩與抗彎截面系數(shù)對(duì)于由規(guī)則的矩形截面構(gòu)成的組合截面，應(yīng)當(dāng)首先確定其形心、形心軸的位置，然后通過平行移軸公式計(jì)算截面對(duì)形心軸的慣性矩。即其中IzC是對(duì)圖形形心軸的慣性矩，d是平行于形心軸z和形心軸zC之間的距離。顯然截面對(duì)形心軸的慣性矩最小。10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算慣性矩與抗彎截面系數(shù)【例題】求圖示T

形截面圖形對(duì)其形心軸

zC的慣性矩IzC。10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算慣性矩與抗彎截面系數(shù)【求解】10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算彎曲切應(yīng)力簡(jiǎn)介橫力彎曲矩形截面梁橫截面的切應(yīng)力儒拉夫斯基假設(shè)1）截面上任意一點(diǎn)的切應(yīng)力

t的方向和該截面上的剪力FQ的方向平行。2）切應(yīng)力沿寬度均勻分布，即t的大小只與距離中性軸的距離有關(guān)。10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算彎曲切應(yīng)力簡(jiǎn)介整個(gè)橫截面上的剪力整個(gè)截面對(duì)中性軸的慣性矩梁橫截面上距中性軸為y的橫線以外部分的面積對(duì)中性軸的靜矩的絕對(duì)值所求切應(yīng)力點(diǎn)的位置的梁截面寬度。10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算彎曲切應(yīng)力簡(jiǎn)介對(duì)于矩形截面梁，取公式改寫為在截面的兩端，y=±h/2在中性層，y=010.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算梁的強(qiáng)度計(jì)算在進(jìn)行梁的強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，首先要確定梁的危險(xiǎn)截面以及危險(xiǎn)截面上的危險(xiǎn)點(diǎn)。對(duì)于等截面細(xì)長(zhǎng)直梁，其危險(xiǎn)截面在彎矩最大的截面，而危險(xiǎn)截面上的邊緣是最大正應(yīng)力所在的位置。無(wú)論是橫力彎曲還是純彎曲，距離中性軸最遠(yuǎn)處的點(diǎn)只有正應(yīng)力而無(wú)切應(yīng)力，因此正應(yīng)力強(qiáng)度條件可寫為式中[s]是彎曲許用正應(yīng)力，作為近似，可取為材料在軸向拉壓時(shí)的許用正應(yīng)力。10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算梁的強(qiáng)度計(jì)算對(duì)于橫力彎曲梁，在支座附近容易形成比較大的剪力，這種情況下有時(shí)需要考慮切應(yīng)力強(qiáng)度，即對(duì)于變截面梁、材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力不相等（如鑄鐵等脆性材料）、中性軸不是截面的對(duì)稱軸等情況，則需要綜合分析內(nèi)力和截面幾何性質(zhì)，分析梁上可能的危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算梁的強(qiáng)度計(jì)算在設(shè)計(jì)梁的截面時(shí)，通常先按照正應(yīng)力強(qiáng)度條件計(jì)算，必要時(shí)再進(jìn)行切應(yīng)力強(qiáng)度校核。根據(jù)強(qiáng)度條件，我們可以驗(yàn)算梁的強(qiáng)度是否滿足條件，判斷梁的工作是否安全，即對(duì)梁進(jìn)行強(qiáng)度校核；根據(jù)梁的最大載荷和材料的許用應(yīng)力，確定梁橫截面的尺寸和形狀，或選用合適的標(biāo)準(zhǔn)型鋼，即對(duì)梁進(jìn)行截面設(shè)計(jì)；根據(jù)梁截面的形狀和尺寸以及許用應(yīng)力，確定梁可承受的最大彎矩，再由彎矩和載荷的關(guān)系確定梁的許用載荷，即許可載荷的確定。10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算梁的強(qiáng)度計(jì)算【例題】如圖所示的吊車梁，用32c工字鋼制成，將其簡(jiǎn)化為一簡(jiǎn)支梁的力學(xué)模型。梁長(zhǎng)l=10m，吊車梁及其所有附件自重不計(jì)。若最大起重載荷為F=35kN，梁許用應(yīng)力為[s]=130MPa，校核梁的強(qiáng)度。10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算梁的強(qiáng)度計(jì)算【求解】1)求最大彎矩。2)校核梁的強(qiáng)度，32c工字鋼的抗彎截面系數(shù)該梁滿足強(qiáng)度要求。10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算梁的強(qiáng)度計(jì)算

如圖所示一槽型截面鑄鐵梁的載荷和截面尺寸，鑄鐵的抗拉許用應(yīng)力[st]=30MPa，抗壓許用應(yīng)力[sc]=120MPa。已知F1=32kN，F(xiàn)2=12kN。試校核該梁的強(qiáng)度。【例題】10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算梁的強(qiáng)度計(jì)算【求解】

對(duì)鑄鐵這樣的抗壓和抗拉強(qiáng)度不一樣的材料，截面中性軸又不在對(duì)稱軸上，同一截面的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力不相等，計(jì)算最大應(yīng)力時(shí)應(yīng)分清抗拉和抗壓強(qiáng)度校核。10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算梁的強(qiáng)度計(jì)算【求解】(1)計(jì)算約束力，畫彎矩圖F1=32kN，F(xiàn)2=12kN10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算梁的強(qiáng)度計(jì)算【求解】(2)計(jì)算截面幾何性質(zhì)求形心C

的位置（負(fù)面積法）橫截面的慣性矩(注意平行移軸公式)10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算梁的強(qiáng)度計(jì)算【求解】(3)對(duì)截面B彎矩負(fù)值，上側(cè)受拉10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算梁的強(qiáng)度計(jì)算【求解】(4)對(duì)截面C彎矩正值，下側(cè)受拉10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算梁的強(qiáng)度計(jì)算【求解】全梁的最大拉應(yīng)力位于截面C

下邊緣全梁的最大壓應(yīng)力位于截面B

下邊緣該梁滿足強(qiáng)度條件10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算梁的強(qiáng)度計(jì)算討論截面C的彎矩不是最大對(duì)于鑄鐵這樣的抗拉強(qiáng)度和抗壓強(qiáng)度不一樣的材料:但全梁的最大拉應(yīng)力卻發(fā)生在截面C的下邊緣。

若中性軸不是對(duì)稱軸，須確定梁的最大正彎矩和最大負(fù)彎矩，分別進(jìn)行強(qiáng)度校核，而不是僅確定一個(gè)危險(xiǎn)截面。10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算梁的強(qiáng)度計(jì)算【例題】

如圖所示矩形截面懸臂梁，承受集度為q的均布載荷作用，求梁內(nèi)最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力之比。10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算梁的強(qiáng)度計(jì)算【求解】

由內(nèi)力分析，梁的最大剪力和最大彎矩位于固定端截面梁最大彎曲正應(yīng)力10.2梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算梁的強(qiáng)度計(jì)算【求解】梁最大彎曲切應(yīng)力梁內(nèi)最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力之比

由此可見，當(dāng)梁的跨度l遠(yuǎn)大于其截面高度h時(shí)，梁的最大彎曲正應(yīng)力遠(yuǎn)大于最大彎曲切應(yīng)力。10.3梁的剛度計(jì)算第十章直梁的彎曲10.3梁的剛度計(jì)算梁的彎曲變形概述梁在受到載荷作用后會(huì)發(fā)生變形，微小的彈性變形一般不影響梁的正常工作，但變形過大顯然會(huì)影響機(jī)器的正常運(yùn)行。如齒輪軸變形過大，會(huì)使齒輪不能正常嚙合，產(chǎn)生振動(dòng)和噪聲；機(jī)械加工中刀桿或工件的變形，將導(dǎo)致較大的制造誤差；起重機(jī)橫梁的變形過大，可能導(dǎo)致吊車移動(dòng)困難。因此除了要滿足強(qiáng)度條件外，還要將梁的變形限制在一定范圍內(nèi)，使其滿足剛度條件。特殊情況下，有些梁要有較大的或合適的彎曲變形才能滿足工作要求，如金屬切削工藝實(shí)驗(yàn)中使用的懸臂梁式車削測(cè)力儀及車輛上使用的隔振板簧等。10.3梁的剛度計(jì)算梁的彎曲變形概述取變形前的梁軸線為軸x，垂直向上的軸為軸y平面xy為梁的縱向?qū)ΨQ面

對(duì)稱彎曲的情況下，變形后梁的軸線將成為平面xy內(nèi)的一條曲線，稱為撓曲線。橫截面形心在y方向的位移撓度

w橫截面對(duì)其原來位置轉(zhuǎn)過的角度

轉(zhuǎn)角q10.3梁的剛度計(jì)算梁的彎曲變形概述規(guī)定撓度y向上為正，轉(zhuǎn)角q逆時(shí)針為正。撓曲線方程截面轉(zhuǎn)角

q

就是軸

y

與撓曲線法線的夾角，小變形條件下轉(zhuǎn)角方程10.3梁的剛度計(jì)算梁的剛度條件

對(duì)于有剛度要求的梁，需要限制其最大撓度或最大轉(zhuǎn)角在許可范圍內(nèi)，故剛度條件為或許用撓度許用轉(zhuǎn)角可根據(jù)工作要求或參照有關(guān)手冊(cè)確定。

10.3梁的剛度計(jì)算積分法求梁的變形

撓曲線近似微分方程彎矩與曲率的關(guān)系：平面曲線的曲率數(shù)學(xué)計(jì)算：10.3梁的剛度計(jì)算積分法求梁的變形

撓曲線近似微分方程小變形條件下，撓曲線近似微分方程10.3梁的剛度計(jì)算積分法求梁的變形

積分法求解梁的變形梁的撓曲線近似微分方程對(duì)上式進(jìn)行一次積分,可得到轉(zhuǎn)角方程再進(jìn)行一次積分,可得到撓曲線方程C和D是積分常數(shù)，需要通過邊界條件或者連續(xù)條件來確定其值。10.3梁的剛度計(jì)算積分法求梁的變形

積分法求解梁的變形邊界條件

根據(jù)約束的性質(zhì)，確定約束處的撓度，轉(zhuǎn)角10.3梁的剛度計(jì)算積分法求梁的變形

積分法求解梁的變形連續(xù)條件

在梁的彎矩方程分段處，截面轉(zhuǎn)角相等，撓度相等(撓曲線是光滑連續(xù)曲線)。若梁分為n段積分，則要出現(xiàn)2n個(gè)待定常數(shù)，總可找到2n個(gè)相應(yīng)的邊界條件或連續(xù)條件將其確定。10.3梁的剛度計(jì)算積分法求梁的變形

積分法求解梁的變形【例題】等直懸臂梁受均布載荷q的作用，建立該梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，并求自由端B的轉(zhuǎn)角qB和撓度yB。梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。10.3梁的剛度計(jì)算積分法求梁的變形

積分法求解梁的變形【求解】(1)彎矩方程(2)撓曲線近似微分方程(3)積分(b)10.3梁的剛度計(jì)算積分法求梁的變形

積分法求解梁的變形【求解】(b)(4)確定積分常數(shù)。由邊界條件，固定端A處代入轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，經(jīng)計(jì)算:(5)列出轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程10.3梁的剛度計(jì)算積分法求梁的變形

積分法求解梁的變形【求解】(b)在自由端B，x=l代入方程得10.3梁的剛度計(jì)算積分法求梁的變形

積分法求解梁的變形【例題】

彎曲剛度為EI的簡(jiǎn)支梁如圖所示，在截面C處受一集中力F作用。求梁的撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度。10.3梁的剛度計(jì)算積分法求梁的變形（1）求約束反力FAFB（2）列出彎矩方程AC段CB段（3）建立撓曲線微分方程并積分；由于彎矩方程在C點(diǎn)處分段，故應(yīng)對(duì)AC和CB分別計(jì)算10.3梁的剛度計(jì)算積分法求梁的變形（3）建立撓曲線微分方程并積分；由于彎矩方程在C點(diǎn)處分段，故應(yīng)對(duì)AC和CB分別計(jì)算AC段CB段FAFB10.3梁的剛度計(jì)算積分法求梁的變形FAFB利用邊界條件和連續(xù)條件確定四個(gè)積分常數(shù)AC段CB段邊界條件:連續(xù)條件:代入以上各式

求得積分常數(shù)10.3梁的剛度計(jì)算積分法求梁的變形FAFBAC段CB段求最大撓度最大撓度位于此時(shí)代入得10.3梁的剛度計(jì)算積分法求梁的變形討論FAFB(1)在CB段內(nèi)積分時(shí)，對(duì)含有(x2－a)的項(xiàng)不展開，以(x2－a)為自變量進(jìn)行積分，可使確定積分常數(shù)的工作得到簡(jiǎn)化。(2)結(jié)果為負(fù)，表示撓度方向向下。10.3梁的剛度計(jì)算積分法求梁的變形FAFB(3)跨中撓度若若集中力作用于跨中，則若取極端情形，力F接近于右端支座b0y0此時(shí)而跨中撓度若用跨度中點(diǎn)撓度代替最大撓度，引起的誤差僅為2.6%

10.3梁的剛度計(jì)算疊加法求梁的變形

在桿件符合線彈性、小變形的前提下，變形與載荷成線性關(guān)系，即任一載荷使桿件產(chǎn)生的變形均與其他載荷無(wú)關(guān)。這樣只要分別求出桿件上每個(gè)載荷單獨(dú)作用產(chǎn)生的變形，將其相加，就可以得到這些載荷共同作用時(shí)桿件的變形。這就是求桿件變形的疊加法。

在很多的工程計(jì)算手冊(cè)(教材表10-2)中，已將各種支承條件下的靜定梁在各種典型的簡(jiǎn)單載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角表達(dá)式一一列出，稱為撓度表。實(shí)際工程計(jì)算中，往往只需要計(jì)算梁在幾個(gè)載荷作用下的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角，或某些特殊截面的撓度和轉(zhuǎn)角，此時(shí)用疊加法較為簡(jiǎn)便。10.3梁的剛度計(jì)算疊加法求梁的變形

如圖所示起重機(jī)大梁的自重為均布載荷，集度為q，集中力F=ql

作用于梁的跨度中點(diǎn)C。已知彎曲剛度EI，求跨度中點(diǎn)C的撓度。10.3梁的剛度計(jì)算疊加法求梁的變形=+=+10.3梁的剛度計(jì)算簡(jiǎn)單超靜定梁如圖所示，求固定端的約束力平面一般力系，通過靜力學(xué)平衡方程可以解出全部的三個(gè)約束反力。若在C處增加一個(gè)約束則無(wú)法僅通過靜力學(xué)平衡方程求出全部的四個(gè)未知力。靜定梁超靜定梁10.3梁的剛度計(jì)算簡(jiǎn)單超靜定梁

比較上下兩圖，下面的圖中是在上面的圖中增加了一個(gè)約束。在靜定結(jié)構(gòu)上增加的約束，稱為多余約束。相應(yīng)的反力稱為多余約束力。

多余約束并不“多余”，通過增加多余約束，可提高安全度，減少變形。

超靜定次數(shù)等于多余約束力的個(gè)數(shù)。一次超靜定梁去除B處的多余約束，代以約束力FB原超靜定結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng)此超靜定梁的變形協(xié)調(diào)條件按照疊加法求得

求出FB后，截面A的