工程力學(xué) 第5版 課件 第2章 平面力系

第二章平面力系本章討論平面力系的簡化與平衡問題，并介紹超靜定問題的概念及簡單靜定桁架的內(nèi)力計算。第二章平面力系2.1平面任意力系的簡化及簡化結(jié)果的討論2.2平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用2.3物體系統(tǒng)的平衡2.4平面靜定桁架2.5摩擦2.1平面任意力系的簡化及簡化結(jié)果的討論第二章平面力系2.1平面任意力系的簡化及簡化結(jié)果的討論平面任意力系的概念力系中各力的作用線都在同一平面內(nèi)，它們既不匯交于一點，也不全部平行，此力系稱為平面任意力系。2.1平面任意力系的簡化及簡化結(jié)果的討論平面任意力系的簡化點O：任意選擇的簡化中心將力F1

平移至點O,將其他力也平移至點O.2.1平面任意力系的簡化及簡化結(jié)果的討論平面任意力系的簡化由于作用于O的力構(gòu)成平面匯交力系,可以將這些力計算出矢量合F'R,:所有的附加力偶形成平面力偶系，同樣可以得到合力偶:2.1平面任意力系的簡化及簡化結(jié)果的討論平面任意力系的簡化1)我們把平面力系中所有各力的矢量和稱為主矢

(PrincipleVector)—F'R2)我們把各力對于任選的簡化中心O的矩的代數(shù)和稱為主矩

(PrincipleMoment)—MO結(jié)論：平面力系向作用面內(nèi)任選一點O簡化，一般可以得到一個力和一個力偶，這個力等于該力系的主矢，作用于簡化中心O,這個力偶的矩等于該力系對于點O

的主矩。2.1平面任意力系的簡化及簡化結(jié)果的討論平面任意力系的簡化1)主矢與簡化中心的位置無關(guān)，因為主矢是由原力系各力的大小和方向決定的。2)主矩與簡化中心的位置有關(guān)2.1平面任意力系的簡化及簡化結(jié)果的討論簡化結(jié)果的討論將原力系用新的僅包含主矢和主矩的力系來等效替代：平面力系向作用面內(nèi)一點簡化的結(jié)果，可能有四種情況:

平面力系平衡:

平面力系簡化為一個力偶，這種情況下，主矩與簡化中心的選擇無關(guān)

原力系可合成為一個合力，合力等于主矢，合力的作用線通過簡化中心。2.1平面任意力系的簡化及簡化結(jié)果的討論簡化結(jié)果的討論根據(jù)力的平移定理的逆定理，主矢和主矩可合成為一合力2.1平面任意力系的簡化及簡化結(jié)果的討論簡化結(jié)果的討論如圖所示平面力系中，F(xiàn)1=1kN，F(xiàn)2=F3=F4=5kN，M=3kN

m，求該力系向點O、A的簡化結(jié)果?！纠}】2.1平面任意力系的簡化及簡化結(jié)果的討論簡化結(jié)果的討論【解】向點O簡化2.1平面任意力系的簡化及簡化結(jié)果的討論簡化結(jié)果的討論【解】【課堂練習(xí)】，自行求解力系向點A的簡化結(jié)果，以驗證主矢與簡化中心無關(guān)，而主矩與簡化中心有關(guān)。2.2平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用第二章平面力系2.2平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用平面任意力系的平衡方程當(dāng)平面力系向一點簡化，其主矢和主矩均等于零，即此時原力系必為平衡力系，故其為平面力系平衡之充分條件。只有當(dāng)主矢和主矩都等于0時，力系才能平衡；只要主矢和主矩其中之一不為0，則原力系簡化為一個合力或一個力偶，力系不能平衡，故其為平面力系平衡之必要條件。平面力系平衡的充要條件：力系的主矢和對于任一點的主矩都等于零。2.2平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用平面任意力系的平衡方程平面任意力系平衡方程的基本形式平面力系平衡的充要條件：力系中各力在兩個任選的坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對于任一點之矩的代數(shù)和也等于零。2.2平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用平面任意力系的平衡方程平面任意力系平衡方程的三種方式1、基本形式由于簡化中心任選，故可取不同的矩心，列出不同的力矩方程。2.2平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用平面任意力系的平衡方程2、二矩式方程注意：x

軸不能垂直于A,B的連線。(保證三個方程式是相互獨立的)基本形式的線性變換，它也是平面力系平衡的充要條件。2.2平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用平面任意力系的平衡方程3、三矩式方程注意：A，B，C三點不能共線。它也是平面力系平衡的充要條件。2.2平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用平面任意力系的平衡方程平面任意力系平衡方程的三種方式平面力系有三個獨立的平衡方程，能求解三個未知量。平衡方程的三種形式是相互等價的。實際應(yīng)用時，根據(jù)具體情況選用，力求使每一個方程只包含一個未知量，以減少聯(lián)立方程引起的計算困難。2.2平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用平面任意力系的平衡方程鋼索牽引加料小車沿傾角為a的軌道勻速上升，如圖所示，C為小車的重心。已知小車的重力G、尺寸a、b、h、e和傾角a。不計小車和斜面的摩擦，試求鋼索拉力FT和軌道作用于小車的約束力。【例題】2.2平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用平面任意力系的平衡方程取小車為研究對象，畫出受力分析圖?！窘狻?.2平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用平面任意力系的平衡方程【例題】計算圖中各柔性索受到的拉力。2.2平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用平面任意力系的平衡方程【例題3解答方法1】1)畫出剛體ABC的受力分析圖2)平衡方程需要聯(lián)立方程求解，不利于計算2.2平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用平面任意力系的平衡方程【例題解答方法2】1)畫出剛體ABC的受力分析圖2)平衡方程利用方程檢驗2.2平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用平面任意力系的平衡方程從上述例題可以總結(jié)出兩個有用的技巧：技巧1:

矩方程的矩心是任意選擇的，因此可以選擇剛體形狀以外(延拓)的點作為矩心。技巧2:

矩方程矩心選擇在兩個(多個)未知力的作用線的交點可以簡化方程。2.2平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用平面任意力系的平衡方程【例題】搖臂吊車如圖所示，水平梁承受拉桿的拉力FT。已知梁的重力為G=4kN，載荷為W=20kN，梁長l=2m，載荷到鉸A的距離x=1.5m，拉桿傾角a=30°。求拉桿的拉力和鉸鏈A處的約束力。2.2平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用平面任意力系的平衡方程【解】取梁AB為研究對象畫出受力分析圖2.2平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用平面任意力系的平衡方程剛架結(jié)構(gòu)F=50kNq=10kN/m

M=30kN·m計算固定端A的約束反力?！纠}】2.2平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用平面任意力系的平衡方程1)畫出剛架的受力分析圖【解】2.2平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用平面任意力系的平衡方程2)建立平衡方程均布載荷在進(jìn)行計算求解時可以簡化為一個靜力等效的集中力Fq。2.2平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用平面任意力系的特殊形式1、平面匯交力系對匯交點的矩方程自然滿足。2個獨立方程，解決兩個未知量。矩心不能選擇到匯交點上。2.2平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用平面任意力系的特殊形式2、平面平行力系對x軸的投影方程自然滿足。2個獨立方程，解決兩個未知量。A,B

連線不能垂直于x

軸2.2平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用平面任意力系的特殊形式3、平面力偶系對x，y

軸的投影方程自然滿足。1個獨立方程，解決一個未知量。根據(jù)力偶的性質(zhì)，可不必注明矩心。2.2平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用平面任意力系的特殊形式【例題】外伸梁如圖所示，作用在梁上的載荷F=qa/2，M=2qa2，其中q和a已知。求支座A、B處的約束力。2.2平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用平面任意力系的特殊形式【解】取梁AB為研究對象畫受力圖。均布載荷q簡化為作用于點D的一個集中力FQ=3qa。2.3物體系統(tǒng)的平衡第二章平面力系2.3物體系統(tǒng)的平衡由若干個物體通過適當(dāng)?shù)穆?lián)接方式(約束)組成的系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)。工程實際中的結(jié)構(gòu)或者機(jī)構(gòu)，如多跨梁、三鉸拱、組合構(gòu)架、曲柄滑塊機(jī)構(gòu)等都可以看作物體系統(tǒng)。研究物體系統(tǒng)平衡問題時,必須綜合考慮整體和局部的平衡.當(dāng)物(剛)體系統(tǒng)平衡時,組成該系統(tǒng)的任何一個局部系統(tǒng)以至任何一個物(剛)體也必然處于平衡狀態(tài)。2.3物體系統(tǒng)的平衡思考：作用在物體系統(tǒng)上的力系是平衡力系，物體系是否必是平衡？作用在物體系統(tǒng)上的力系是平衡力系只是物體系平衡的必要條件而非充分條件2.3物體系統(tǒng)的平衡求解物體系統(tǒng)平衡問題的基本步驟：1、畫出物體系統(tǒng)整體和各個部分的受力分析圖2、一般情況下，先從整體受力分析圖入手，如果可能，計算出外部的約束反力。3、進(jìn)一步分析物體系統(tǒng)中其他的部分，計算出其他的未知量。2.3物體系統(tǒng)的平衡【例題】

人字梯置于光滑水平面上靜止，F(xiàn)=600N,l=3m,a=45o,計算水平面對人字梯的反力以及鉸C處的力。2.3物體系統(tǒng)的平衡【分析】

畫出整體和各個部分的受力分析圖2

未知量2

獨立方程4

未知量3

獨立方程.4

未知量3

獨立方程.2.3物體系統(tǒng)的平衡1從整體受力分析圖中可以計算出反力FA

和FB.2在ADC

和BEC

受力分析圖中，F(xiàn)A

和FB成為已知量。3

選擇ADC

或BEC,計算出Fcx

和Fcy.利用另外一個圖進(jìn)行結(jié)果的校驗。FA,FB

Fcx,Fcy

校驗2.3物體系統(tǒng)的平衡【求解】2.3物體系統(tǒng)的平衡【求解】2.3物體系統(tǒng)的平衡【校驗】如果下面的方程式可以滿足，則說明前面的計算結(jié)果是正確的。2.3物體系統(tǒng)的平衡【例題】

如圖所示結(jié)構(gòu)由T字梁與直梁在B處鉸接而成。已知F=2kN，q=0.5kN/m，M=5kN·m，l=2m，求支座C及固定端A處約束力。2.3物體系統(tǒng)的平衡【求解】分別取整體和CB桿為研究對象畫出受力分析圖

【整體】

4個未知量，

3個獨立方程

【CB桿】

3個未知量，3個獨立方程【基本思路】

CB桿受力圖計算FC

整體受力圖計算A處的反力(偶)2.3物體系統(tǒng)的平衡【求解】

【CB桿】

2.3物體系統(tǒng)的平衡【求解】

【整體】

2.3物體系統(tǒng)的平衡【求解】

【整體】

2.3物體系統(tǒng)的平衡【例題】如圖所示,l

=

2R,BD

=

2l,計算A和B處的約束反力2.3物體系統(tǒng)的平衡【分析】

畫出整體和各個部分的受力分析圖4

未知量

3

獨立方程.4

未知量

3

獨立方程.4

未知量

3

獨立方程.2.3物體系統(tǒng)的平衡【分析】可算出可算出FBy

,FCy

,FCx

FByFAy2.3物體系統(tǒng)的平衡【求解】2.3物體系統(tǒng)的平衡【求解】2.3物體系統(tǒng)的平衡【課堂練習(xí)】如圖所示結(jié)構(gòu)，能否直接判斷約束A和B處的水平約束反力等于0？為什么?2.3物體系統(tǒng)的平衡【課堂練習(xí)】雖然結(jié)構(gòu)沒有受到水平方向的外力作用，但不能想當(dāng)然地直接判斷A和B處的水平約束反力等于02.3物體系統(tǒng)的平衡靜定和超靜定的概念未知量的數(shù)目等于獨立平衡方程的數(shù)目靜定問題未知量的數(shù)目多于獨立平衡方程的數(shù)目超靜定問題2.3物體系統(tǒng)的平衡靜定和超靜定的概念實際工程中，有時為了提高結(jié)構(gòu)的剛度和堅固性，經(jīng)常在結(jié)構(gòu)上增加多余約束，這樣原來的靜定結(jié)構(gòu)就變成了超靜定結(jié)構(gòu)。如圖所示，求固定端的約束力平面一般力系，通過靜力學(xué)平衡方程可以解出全部的三個約束反力。若在C處增加一個約束則無法僅通過靜力學(xué)平衡方程求出全部的四個未知力。2.3物體系統(tǒng)的平衡靜定和超靜定的概念求解超靜定問題，必須考慮物體在受力后產(chǎn)生的變形，根據(jù)物體的變形條件，列出足夠的補(bǔ)充方程以后，才能求出全部的未知量。這類問題已經(jīng)超出了剛體靜力學(xué)的范圍，將在材料力學(xué)等課程中討論。在理論力學(xué)中只研究靜定問題。2.4平面靜定桁架第二章平面力系2.4平面靜定桁架桁架是一種由桿件彼此在兩端用鉸鏈連接而成的結(jié)構(gòu)，各桿的鉸接點稱為節(jié)點。它在受力后幾何形狀不變。理想桁架的三點假定：1.每個節(jié)點都是光滑的理想鉸結(jié)點；2.每根桿件的軸線都是直線，且都通過鉸的中心；3.所有荷載都作用在鉸接點上。桁架的基本概念2.4平面靜定桁架桁架的基本概念各桿均為二力桿(鏈桿)，只承受軸向力。優(yōu)點：節(jié)約材料；自重輕；能跨越更大的空間(大跨度結(jié)構(gòu)大都采用桁架)2.4平面靜定桁架桁架的基本概念由于外力作用而引起的桿件內(nèi)部各部分之間的相互作用力的改變量，稱為附加內(nèi)力，簡稱內(nèi)力軸向力2.4平面靜定桁架軸向拉伸內(nèi)力軸向壓縮內(nèi)力2.4平面靜定桁架節(jié)點法桁架的每個節(jié)點都受到一個平面匯交力系的作用。為了求每個桿件的內(nèi)力，可以逐個地取節(jié)點為研究對象，由已知力求出全部未知力（桿件的內(nèi)力），這就是節(jié)點法。2.4平面靜定桁架節(jié)點法

F=10kN，計算每個桿件的內(nèi)力大小【例題】2.4平面靜定桁架節(jié)點法【解】1）計算約束反力2.4平面靜定桁架節(jié)點法2）分析節(jié)點

A

假設(shè)對鉸的力都是拉力，則節(jié)點A的受力分析圖如下2.4平面靜定桁架節(jié)點法3）分析節(jié)點

D2.4平面靜定桁架節(jié)點法4）分析節(jié)點

C2.4平面靜定桁架節(jié)點法5）各桿的內(nèi)力情況-10kN-10kN10kN8.66kN8.66kN2.4平面靜定桁架節(jié)點法

節(jié)點法的基本步驟 1.計算作用在桁架上的約束反力. 2.逐個分析各節(jié)點，列出平衡方程求內(nèi)力。由于對每個節(jié)點而言，作用的力組成一個平面匯交力系，因此最多建立兩個平衡方程，求兩個未知量。

3.判斷各桿的內(nèi)力是拉還是壓。2.4平面靜定桁架截面法如果只要求計算桁架內(nèi)某幾個桿件所受的內(nèi)力，可以適當(dāng)?shù)剡x取一截面，假想地把桁架截開，再考慮其中任一部分的平衡，求出這些被截桿件的內(nèi)力，這就是截面法。2.4平面靜定桁架截面法【例題】

各桿的長度均等于l，

計算桿1，2，3的內(nèi)力。2.4平面靜定桁架截面法【解】1）計算約束反力約束反力的計算結(jié)果:

平面一般力系3未知量3獨立方程2.4平面靜定桁架截面法2.4平面靜定桁架截面法

從上面的例題，我們必須注意到除了一些特殊的情況，虛擬截面最多截斷三個桿，那是因為一個平面一般力系只有三個獨立方程，最多只能解三個未知量。2.4平面靜定桁架截面法【思考與討論】如何計算桿DG的內(nèi)力?2.4平面靜定桁架截面法【思考與討論】2.5摩擦第二章平面力系2.5摩擦在實際工程中，摩擦常常起到重要的作用，例如，我們常見的火車、汽車?yán)媚Σ吝M(jìn)行起動和制動，帶輪和摩擦輪的傳動等，這時，就必須考慮摩擦力的作用。按照接觸體之間可能發(fā)生的相對運(yùn)動分類，可以分為滑動摩擦和滾動摩擦。

滑動摩擦：兩個物體有相對滑動或相對滑動趨勢時的摩擦；

滾動摩擦：兩個物體有相對滾動或相對滾動趨勢時的摩擦；2.5摩擦兩個表面粗糙相互接觸的物體，當(dāng)發(fā)生相對滑動或有相對滑動趨勢的時候，在接觸面上產(chǎn)生阻礙相對滑動的力，這種阻力稱為滑動摩擦力，簡稱摩擦力。兩個物體開始相對滑動之前的摩擦力，稱為靜摩擦力；

兩個物體滑動之后的摩擦力，稱為動摩擦力。2.5摩擦由于摩擦力是阻礙兩個物體相對滑動的力，因此物體所受摩擦力的方向總是與物體的相對滑動或者相對滑動趨勢方向相反，它的大小則需要根據(jù)主動力作用的不同來加以分析。靜摩擦力Ff

最大靜摩擦力Fsmax

動摩擦力Fd2.5摩擦靜滑動摩擦庫倫摩擦實驗1)當(dāng)用一個較小的力FT，去拉重力為W的物體時，物體保持靜止平衡。由物體平衡條件可知，摩擦力Ff與主動力FT大小相等。2)當(dāng)FT逐漸增大時，F(xiàn)f也隨之增加。當(dāng)Ff隨FT增加而達(dá)到某一臨界值FSmax時，就不會再增加。若FT繼續(xù)增加，物體就要開始滑動。因此靜摩擦力Ff也可稱為切向有限約束力。2.5摩擦靜滑動摩擦庫倫摩擦實驗1)當(dāng)用一個較小的力FT，去拉重力為W的物體時，物體保持靜止平衡。由物體平衡條件可知，摩擦力Ff與主動力FT大小相等。2)當(dāng)FT逐漸增大時，F(xiàn)f也隨之增加。當(dāng)Ff隨FT增加而達(dá)到某一臨界值FSmax時，就不會再增加。若FT繼續(xù)增加，物體就要開始滑動。因此靜摩擦力Ff也可稱為切向有限約束力。2.5摩擦靜滑動摩擦靜止（臨界狀態(tài)）

靜滑動摩擦因數(shù) 靜滑動摩擦因數(shù)的大小需要由實驗測定。它與接觸物體的材料和表面情況有關(guān)（如粗糙度、溫度和濕度等），而與接觸面的面積無關(guān)。2.5摩擦靜滑動摩擦常用材料的靜滑動摩擦因數(shù)材料名稱鋼-鋼0.15鋁-低碳鋼0.61聚四氟乙烯-鋼0.04鎳-鎳1.10銅–鑄鐵1.052.5摩擦靜滑動摩擦

上述公式事實上只是一個近似公式，它遠(yuǎn)不能完全反映出靜摩擦的復(fù)雜現(xiàn)象。但由于它形式簡單，計算方便，同時其結(jié)果又有足夠的準(zhǔn)確性，因此在工程實際中仍然被廣泛應(yīng)用。2.5摩擦動滑動摩擦實驗表明，動摩擦力的大小與接觸物體間的正壓力成正比。

動摩擦因數(shù)動摩擦因數(shù)與接觸物體的材料和表面情況有關(guān)，還與接觸物體之間相對滑動的速度有關(guān)。一般來說，動摩擦因數(shù)隨著相對速度的增大而減小，當(dāng)速度不大的時候，可以認(rèn)為是一個常數(shù)。2.5摩擦摩擦角與自鎖摩擦角

根據(jù)摩擦角的定義可知，全約束力的作用線不可能超出摩擦角之外，即全約束力必然在摩擦角之內(nèi)。故有：2.5摩擦摩擦角與自鎖

利用摩擦角測定靜滑動摩擦因數(shù)2.5摩擦摩擦角與自鎖自鎖現(xiàn)象

FR:所有主動力的合力.

為保持物體的平衡，全約束力的方向應(yīng)和主動力的方向相反，作用線為同一直線，如圖所示。

下面討論主動力的合力與接觸面法線的夾角a的不同情況下物體靜止平衡的可能性2.5摩擦摩擦角與自鎖

無論主動力的合力多大，只要該合力的作用線位于摩擦角內(nèi)，則最大靜摩擦力不會小于主動力的合力沿接觸面方向的分量，因此物體仍然保持靜止平衡而不會發(fā)生滑動，這種現(xiàn)象稱為自鎖。2.5摩擦摩擦角與自鎖

無論主動力的合力多小，只要主動力的合力的作用線位于摩擦角范圍之外，最大靜摩擦力就不會大于主動力合力沿接觸面方向的分量。因此物體必然不能保持靜止平衡狀態(tài)而發(fā)生滑動。2.5摩擦摩擦角與自鎖FRW2.5摩擦有摩擦的平衡問題基本步驟與不計摩擦的情況相同.分析物體受力，摩擦力的方向一般不能假設(shè)，要根據(jù)相關(guān)物體接觸面的相對滑動趨勢預(yù)先判斷確定。（與物體相對滑動趨勢方向相反）作用在物體上的力系，包括摩擦力在內(nèi)，除了滿足平衡條件外，摩擦力還需滿足摩擦的物理條件，即Ff≤FSmax，補(bǔ)充方程的數(shù)目與摩擦力的數(shù)目相等。由于物體平衡時摩擦力有一定的范圍(0≤Ff≤