工程力學 第5版 課件 第5章 點的合成運動與剛體的平面運動

第五章點的合成運動與剛體的平面運動第四章用分析法討論了點的曲線運動與剛體基本運動的全過程，而本章則提出了用運動的合成與分解的方法分析物體與機構(gòu)上某一點在特定瞬間的運動情況。如果引入可變幾何參量也能全過程地分析動點的運動，并進而研究剛體的平面運動。第五章點的合成運動和剛體的平面運動5.1點的合成運動的概念5.2點的速度合成定理5.3點的加速度合成定理5.4剛體平面運動的簡化及其運動方程5.5求平面圖形上各點的速度5.6用基點法求平面圖形上各點的加速度第五章點的合成運動與剛體的平面運動5.1點的合成運動的概念第五章點的合成運動與剛體的平面運動5.1點的合成運動的概念在工程中，常常需要同時用兩個不同的參考系去描述同一個點的運動情況。

點的運動是絕對的，但是對點的運動的描述是相對的，同一個點對于不同的參考系下的運動描述不同但又有關(guān)聯(lián)。

圖示無風下雨時雨滴的運動，對于地面上的觀察者來說，雨滴是鉛垂向下的；但是對于正在行駛的車上的觀察者來說，雨滴便是傾斜向后的。產(chǎn)生這種差別的原因是由于觀察者所在的參考系不一樣。但是，兩者得出的結(jié)論都是正確的，都反映了雨滴M的運動這一客觀存在。5.1點的合成運動的概念一般工程問題中，把固連在地球或相對于地球不動的機架上的坐標系統(tǒng)稱為靜參考系，用xyz表示；

固連在其他相對于地球運動的參考體上的坐標系稱為動參考系，用x’y’z’表示。動點在不同的參考系下的運動描述不同。5.1點的合成運動的概念5.1點的合成運動的概念動點:

車刀的刀尖相對于靜參考系

xyz:相對于動參考系

x’y’z’

:直線運動螺旋線運動5.1點的合成運動的概念絕對運動動點相對于靜參考系的運動—點的運動相對運動動點相對于動參考系的運動—點的運動牽連運動動參考系相對于靜參考系的運動—剛體的運動5.1點的合成運動的概念動點的絕對運動和相對運動均指點的運動直線運動，圓周運動或者其他某種曲線運動牽連運動是動參考系(剛體)相對于靜參考系的運動

剛體運動平動、定軸轉(zhuǎn)動、平面運動、一般運動5.1點的合成運動的概念關(guān)于動點:絕對速度絕對加速度相對速度相對加速度關(guān)于牽連點

:牽連速度牽連加速度5.1點的合成運動的概念某一瞬時，在動參考系上與動點重合的點稱為牽連點牽連點相對于靜參考系的速度和加速度被稱為動點的牽連速度和牽連加速度牽連點的特點:瞬時性和重合性5.1點的合成運動的概念

動點的一般選擇規(guī)律:主動件和被動件的接觸點一般被選為動點。該動點在動參考系和靜參考系下都有運動描述。

動參考系的一般選擇規(guī)律:

動參考系一般選擇為動點相對于動參考系的相對運動軌跡已知或比較清晰的坐標系。5.2點的速度合成定理第五章點的合成運動與剛體的平面運動5.2點的速度合成定理動點:M動參考系:AB絕對位移相對位移牽連點的位移5.2點的速度合成定理5.2點的速度合成定理5.2點的速度合成定理說明：1、在推導速度合成定理時，并未限定動系作何種運動，因此本定理適用于牽連運動為任何運動的情況；2、速度合成定理是瞬時矢量式，每一項有大小、方向兩個要素，因此共有六個要素，在平面問題中，一個矢量式相當于兩個代數(shù)方程，如果已知其中四個元素，可以求出其他兩個。5.2點的速度合成定理【例題】桿AB以恒定速度u向上運動,桿剛開始運動時,j

=0。計算當j

=p/4時，

D

點的速度。機構(gòu)的尺寸如圖所示。5.2點的速度合成定理【解】1選擇合理的動點和動參考系動點:A(固連在AB上)動參考系：OD2畫出速度合成示意圖牽連點5.2點的速度合成定理【解】5.2點的速度合成定理【例題】

如圖所示鉸接四邊形機構(gòu)中，O1A=O2B=100mm，O1O2=AB，桿O1A以等角速度w

=2rad/s繞軸O1轉(zhuǎn)動。桿AB上有一套筒C可沿桿AB相對滑動，此套筒與桿CD相鉸接，機構(gòu)的各部件都在同一鉛垂平面內(nèi)。求當j

=60°時，桿CD的速度。5.2點的速度合成定理【解】(1)運動分析動點:套筒C（桿CD上C）動系:桿AB絕對運動：上下直線運動相對運動：動點沿直線AB運動牽連運動：桿AB曲線平移5.2點的速度合成定理【解】(2)速度分析O1A=O2B=100mm，w

=2rad/sj

=60°5.2點的速度合成定理求解合成運動速度問題的一般步驟1選擇合理的動點和動參考系；如何選擇合理的動點和動參考系？

A.動點應具有較為簡單的相對運動軌跡

B.動點不應和動參考系相固連2分析三種運動；3畫出速度合成示意圖；4將速度合成定理公式在坐標軸上進行投影，并計算出未知量。5.2點的速度合成定理曲柄OA的角速度等于w,長度等于l,計算圖示位置BC桿的速度。

課堂小練習5.2點的速度合成定理5.3點的加速度合成定理第五章點的合成運動與剛體的平面運動5.3點的加速度合成定理點的速度合成定理適用于任何運動形式的牽連運動，但是加速度合成的問題則比較復雜，牽連運動平動時的加速度合成關(guān)系與牽連運動為轉(zhuǎn)動時并不相同。盡管如此，所得結(jié)論雖然在形式上不同，但本質(zhì)上卻又是統(tǒng)一的。下面先就牽連運動為一般運動時的情況進行研究。5.3點的加速度合成定理5.3點的加速度合成定理aC是反映了因動點的相對運動改變了它在動系中牽連點的位置，從而導致牽連速度大小與方向的變化，又因牽連運動的轉(zhuǎn)動而改變了相對運動的方向，它是牽連、相對兩種運動相互影響的結(jié)果。5.3點的加速度合成定理在任一瞬時，動點的絕對加速度等于在同一瞬時動點相對加速度、牽連加速度和科氏加速度的矢量和，即牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理?？剖霞铀俣?.3點的加速度合成定理科氏加速度的計算矢量表達式:計算表達式:平面機構(gòu)的運動問題，只需將相對速度vr按照we的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)90度，就得到ac的方向。5.3點的加速度合成定理科里奧利（Coriolis,GustaveGaspardde）

法國物理學家。1792年5月21日生于巴黎；1843年9月19日卒于巴黎。科氏加速度，是由科里奧利(G.G.Coriolis)于1835年首先提出的?？剖霞铀俣仁莿踊霓D(zhuǎn)動與動點相對運動相互耦合引起的加速度?？剖霞铀俣鹊姆较虼怪庇诮撬俣仁噶亢拖鄬λ俣仁噶俊?.3點的加速度合成定理關(guān)于加速度合成定理的說明1、動參考系平動時，aC=0，因此上式是點的加速度合成定理的普遍形式；2、將公式在自然坐標系下分解:5.3點的加速度合成定理【例題】凸輪在水平面上運動，瞬時速度和瞬時加速度分別為v

和a方向如圖所示,計算圖示位置時桿AB的加速度.5.3點的加速度合成定理【解】1選擇動點和動參考系動點:A(固連在桿AB上)動參考系：凸輪C2畫出速度合成示意圖5.3點的加速度合成定理【解】3畫出加速度合成示意圖數(shù)值：

方向：?√√√√√?√5.3點的加速度合成定理5.3點的加速度合成定理【例題】

曲桿OAB

以恒定角速度w=0.5rad/s繞點O作定軸轉(zhuǎn)動.圓環(huán)M

在水平桿OC上滑動并和曲桿OAB相套.計算當j

=60°時圓環(huán)M的速度和加速度5.3點的加速度合成定理【解】1選擇動點和動參考系動點:M動參考系：曲桿OAB(定軸轉(zhuǎn)動)2畫出速度合成示意圖5.3點的加速度合成定理【解】3畫出加速度合成示意圖數(shù)值：

方向：?√0√√√√?√√5.3點的加速度合成定理【解】5.3點的加速度合成定理【例題】桿OA

以恒定的角速度w

0作定軸轉(zhuǎn)動,機構(gòu)尺寸如圖所示,

求:當OA

處于水平位置時5.3點的加速度合成定理【解】1選擇動點和動參考系動點:A動參考系：

桿O1D(定軸轉(zhuǎn)動)2畫出速度合成示意圖5.3點的加速度合成定理【解】5.3點的加速度合成定理【解】3畫出加速度合成示意圖5.3點的加速度合成定理【解】數(shù)值：

方向：√√?√√√√?√√5.3點的加速度合成定理5.3點的加速度合成定理課堂小練習依照前面例題得到的結(jié)果，選擇B

作為動點，O1D

作為動參考系,畫出點B的速度合成示意圖和加速度合成示意圖.并建立公式求桿CE的加速度(建議完成時間:5分鐘)5.3點的加速度合成定理速度合成示意圖加速度合成示意圖5.3點的加速度合成定理計算結(jié)果:5.3點的加速度合成定理

求解合成運動加速度問題的基本步驟:1.仔細閱讀問題，確定機構(gòu)各部件的運動.2.選擇合理的動點和動參考系，分析動參考系的運動類型。

牽連運動是定軸轉(zhuǎn)動(平面一般運動)-科氏加速度

牽連運動是平移--不考慮科氏加速度3.畫出速度合成示意圖4.計算科氏加速度（若存在科氏加速度）.5.畫出加速度合成示意圖6.利用公式向坐標系投影的方法求解未知量。5.4剛體平面運動的簡化及其運動方程第五章點的合成運動與剛體的平面運動5.4剛體平面運動的簡化及其運動方程

剛體在運動過程中，其上的任意一點與某一固定平面始終保持相等的距離。剛體的這種運動稱為平面運動。5.4剛體平面運動的簡化及其運動方程平面運動的一般剛體上各點到平面Ω2的距離保持不變，作平面Ω1平行于Ω2，顯然，剛體上過點A且垂直于平面Ω2的直線上的各點A1,A2,….An的運動與點A是相同的，因此，平面Ω1與剛體相交所截取的平面圖形S，就能夠完全表示該剛體的運動。因此，研究剛體的平面運動可以簡化為研究平面圖形S

或其上任一線段AB的運動。5.4剛體平面運動的簡化及其運動方程剛體平面運動的運動方程完全確定平面運動剛體的運動規(guī)律，需要三個獨立變量。取廣義坐標：xA

yA

j運動方程取為：5.4剛體平面運動的簡化及其運動方程剛體平面運動的運動方程圖示曲柄滑塊機構(gòu)，曲柄OA長為r，以勻角速度w

繞軸O轉(zhuǎn)動，連桿AB長為l，求：(1)連桿的平面運動方程；(2)求連桿上一點P(AB=l1)的運動方程?！纠}】5.4剛體平面運動的簡化及其運動方程剛體平面運動的運動方程【解】機構(gòu)組成的三角形OAB，由正弦定理，5.4剛體平面運動的簡化及其運動方程剛體平面運動的運動方程【解】根據(jù)約束條件，點P的運動方程：5.4剛體平面運動的簡化及其運動方程平動繞點A的定軸轉(zhuǎn)動繞點B的定軸轉(zhuǎn)動5.4剛體平面運動的簡化及其運動方程此運動可以分解為兩步：第一步，取點A1為基點，圖形連同其上線段A1B1平移到A2B'2的位置；第二步，繞移動到了A2位置的基點A1轉(zhuǎn)動Dj1到達位置II。實際上這兩步是同時、連續(xù)進行的。由于基點是任意選取的，也可以以B1作為基點，那么圖形可先隨基點B1平移到線段A'2B2處，然后繞基點B1(B2)轉(zhuǎn)動Dj2到達位置II。5.4剛體平面運動的簡化及其運動方程選擇不同的基點，平面圖形隨基點移動的位移矢量不同，這說明隨基點移動的這些運動物理量與基點的選擇有關(guān)。

Dj1、

Dj2兩個角位移具有相同的大小和轉(zhuǎn)向，因此與之相關(guān)的角速度和角加速度也必定分別相同，這就表明，無論取平面圖形上哪個點作為基點，繞基點轉(zhuǎn)動的角位移、角速度和角加速度分別都是相同的，與基點的選擇無關(guān)。所以，在提及平面圖形的角速度、角加速度時，無需指明基點所在，也就無需指明轉(zhuǎn)軸。5.5平面圖形上各點的速度第五章點的合成運動與剛體的平面運動5.5平面圖形上各點的速度剛體的平面運動既然可以分解為隨基點的移動(牽連運動)和繞基點的轉(zhuǎn)動(相對運動)，那么平面圖形上任意一點的速度就可以利用點的速度合成定理進行求解。求解的方法通常有速度基點法、速度投影法和速度瞬心法三種。5.5平面圖形上各點的速度基點法(速度合成法)點A:基點固連在基點上的動參考系的平動（牽連運動）牽連速度:以基點為圓心的圓周運動（相對運動）相對速度:方向:依照角速度w

垂直于

BA5.5平面圖形上各點的速度基點法(速度合成法)點A:基點

平面圖形上任意一點的速度等于基點的速度和相對于基點轉(zhuǎn)動的速度的矢量和。采用選擇基點這樣的方法稱為基點法?；c法是求平面運動圖形上點的速度的基本方法。5.5平面圖形上各點的速度速度投影法在任意瞬時，平面運動剛體上任意兩點的速度在兩點的連線上的投影相等。5.5平面圖形上各點的速度速度投影法【課堂思考與討論】判斷圖示剛體上各點的速度方向是否可能，并說明原因。5.5平面圖形上各點的速度【例題】OA=r,AB=b,O1B=d，

w

為常量計算wAB

和w1()

5.5平面圖形上各點的速度【解法1-速度基點法】選擇點A作為基點5.5平面圖形上各點的速度【解法1-速度投影法】

使用速度投影定理，將點A和點B的速度向連線AB上投影

使用速度投影定理，相對速度vBA

不能立即求出，因此也不能直接計算出角速度

wBA5.5平面圖形上各點的速度【例題】

雙搖桿機構(gòu)中，O1A

的角速度等于w1,O2B的角速度等于w2,計算圖示瞬時點

C

的速度。

(圖中標出機構(gòu)的尺寸)5.5平面圖形上各點的速度【解】將點C的速度分解為vCx

和vCy根據(jù)速度投影定理:5.5平面圖形上各點的速度【例題】

半徑為R的圓輪沿直線軌道作純滾動，如圖所示。已知輪心0的速度v0。求輪緣上點1，2，3，4的速度。5.5平面圖形上各點的速度【解】以點O'（與點0重合）為基點圓輪作純滾動點1：點2：點3：點4：5.5平面圖形上各點的速度5.5平面圖形上各點的速度速度瞬心法

如果vC=0則

平面圖形上某瞬時是否存在唯一一個點C，其速度為零？5.5平面圖形上各點的速度速度瞬心法在某瞬時，平面圖形上(或平面內(nèi)剛體延拓上)速度為零的點稱為平面圖形在該瞬時的瞬時速度中心，簡稱速度瞬心或瞬心。若5.5平面圖形上各點的速度速度瞬心法點C

:速度瞬心

瞬心可以位于平面圖形之上，也可以位于平面圖形之外

通過瞬心求平面圖形上點的速度通常比較方便。5.5平面圖形上各點的速度速度瞬心法點C:速度瞬心點M:

平面圖形上的任意一點注意：1不同瞬時，瞬心的位置是不同的。2雖然速度瞬心的速度等于零，但并不代表速度瞬心的加速度也等于零。5.5平面圖形上各點的速度速度瞬心法1)已知條件:

平面圖形的角速度以及平面圖形上一點的速度。

畫直線垂直于vA方向與角速度轉(zhuǎn)向一致，可得:5.5平面圖形上各點的速度速度瞬心法2)已知條件

平面圖形上任意兩點的速度，且速度方向不平行。

分別畫兩個速度的垂線，交點即為速度瞬心。5.5平面圖形上各點的速度速度瞬心法3)已知條件剛體上兩點的速度。且兩點的速度均垂直于兩點的連線，大小不等。將速度矢量的兩端用直線相連，延長直線的交點即為瞬心。5.5平面圖形上各點的速度速度瞬心法4)已知條件

平面圖形上兩點的速度。且兩點的速度均垂直于兩點的連線，大小不等，方向相反。將速度矢量的兩端用直線相連，延長直線的交點即為瞬心。5.5平面圖形上各點的速度速度瞬心法5)已知條件：剛體上兩點的速度相互平行，且速度大小相等?？梢缘玫絯AB=0

但aAB

≠0若aAB

=

0，則平面圖形作平動瞬時平移（瞬時平動）5.5平面圖形上各點的速度速度瞬心法6)若輪子沿著固定的軌道只滾不滑，那么輪子和軌道接觸點在瞬時處于靜止，因此該點即為此瞬時的速度瞬心。5.5平面圖形上各點的速度速度瞬心法5.5平面圖形上各點的速度【例題】

平面四連桿機構(gòu)的尺寸如圖所示，若已知

wAB=2rad/s,求:1wBC2wCD3vC5.5平面圖形上各點的速度【解】畫出速度vB及vC的方向,確定速度瞬心I的位置。5.5平面圖形上各點的速度【課堂思考與討論】計算滑塊B在圖示瞬時的速度。5.5平面圖形上各點的速度【課堂思考與討論】注意到桿BC

瞬時平動，故有：方向水平向左。5.6用基點法求平面圖形上各點的加速度第五章點的合成運動與剛體的平面運動5.6用基點法求平面圖形上各點的加速度由于固連在基點上的動參考系的運動為平移，則科氏加速度為零。因此剛體上任意一點的加速度可以看成是固連在基點上的動參考系上牽連點的加速度和相對加速度的矢量和。如選擇剛體上的點A為基點剛體上的點B

相對于基點A的相對加速度用aBA

表示,則有5.6用基點法求平面圖形上各點的加速度5.6用基點法求平面圖形上各點的加速度采用基點法進行平面運動剛體上點的加速度求解的基本步驟：1:在剛體上選擇合適的基點，確定要求加速度的點；2:寫出基點法求加速度的公式，確定已知量和未知量，分析公式中各個量的大小和方向；3:如果公式中未知量的數(shù)量小于或等于2個，則利用公式投影方法對未知量進行求解。5.6用基點法求平面圖形上各點的加速度

若公式中的未知量數(shù)量超過了2個，還是有可能對未知量進行求解，可以通過考慮其他點的加速度聯(lián)立方程進行求解。

平面運動剛體上加速度等于零的點稱為加速度瞬心，一般來說，平面運動剛體上的速度瞬心和加速度瞬心不會是同一個點，而且加速度瞬心的位置比較難以確定，因此在求解加速度問題時，一般不采用加速度瞬心的方法。5.6用基點法求平面圖形上各點的加速度注意點1.若剛體處于瞬時平移狀態(tài)，則表明此瞬時剛體的角速度等于零，但此時剛體的角加速度不