第四章 空間統(tǒng)計分析初步課件

第四章空間統(tǒng)計分析甘肅農(nóng)業(yè)大學資源與環(huán)境學院第四章+空間統(tǒng)計分析初步本章主要內(nèi)容第一節(jié)探索性空間統(tǒng)計分析

第二節(jié)地統(tǒng)計分析方法第四章+空間統(tǒng)計分析初步空間統(tǒng)計分析,即空間數(shù)據(jù)（spatialdata）的統(tǒng)計分析，是現(xiàn)代計量地理學中一個快速發(fā)展的方向和領域。空間統(tǒng)計分析，其核心就是認識與地理位置相關的數(shù)據(jù)間的空間依賴、空間關聯(lián)或空間自相關，通過空間位置建立數(shù)據(jù)間的統(tǒng)計關系?？臻g統(tǒng)計分析的任務，就是運用有關統(tǒng)計方法，建立空間統(tǒng)計模型，從凌亂的數(shù)據(jù)中挖掘空間自相關與空間變異規(guī)律。

空間統(tǒng)計分析第四章+空間統(tǒng)計分析初步空間數(shù)據(jù)分析與傳統(tǒng)統(tǒng)計分析主要有兩大差異：(1)空間數(shù)據(jù)間并非獨立，而是在維空間中具有某種空間相關性，且在不同的空間分辨率下呈現(xiàn)不同之相關程度；(2)地球只有一個，大多數(shù)空間問題僅有一組（空間分布不規(guī)則的）觀測值，而無重復觀測數(shù)據(jù)。因此，空間現(xiàn)象的了解與描述是極為復雜的，而傳統(tǒng)方法，尤其是建立在獨立樣本上的統(tǒng)計方法，不適合分析空間數(shù)據(jù)?？臻g統(tǒng)計VS.經(jīng)典統(tǒng)計經(jīng)典統(tǒng)計：獨立性、隨機性假設空間統(tǒng)計：自相關、依賴性、異質(zhì)性第四章+空間統(tǒng)計分析初步地理學第一定律（FLG）:everythingisrelatedtoeverythingelse,butnearthingsaremorerelatedthandistantthings(Tobler,1970).空間統(tǒng)計的基本思想：WaldoTobler（bornin1930）receivingaplaqueforhiscontributionstogeography.OntheeventofhisNovember2000birthday.

Tobler,W.R.(1970)."AcomputermoviesimulatingurbangrowthintheDetroitregion".EconomicGeography,46(2):234-240.FLG的一般性:自然地理、人文地理、社會經(jīng)濟第四章+空間統(tǒng)計分析初步空間自相關是普遍存在的，否則地理分析便沒有多大意義。

經(jīng)典統(tǒng)計：獨立

空間自相關的存在，使得經(jīng)典統(tǒng)計學所要求的樣本獨立性假設不滿足。如果地理學從根本上值得研究，必然是因為地理現(xiàn)象在空間上的變化不是隨機的。

經(jīng)典統(tǒng)計：隨機第四章+空間統(tǒng)計分析初步可以借助空間統(tǒng)計更好地理解地理現(xiàn)象。

或許學習空間統(tǒng)計最重要的原因是我們不僅僅想知道問題“怎么樣”，更想知道“哪里怎么樣”

空間統(tǒng)計學可以幫助我們準確地判斷具體地理模式的原因。

JohnSnow的霍亂地圖

當發(fā)現(xiàn)某種病僅僅發(fā)生在靠近河流的村莊時，河流中的寄生物可能是病源。空間統(tǒng)計學可以幫助我們處理大的復雜數(shù)據(jù)集,這是GIS經(jīng)常面對的事情。為什么要用空間統(tǒng)計第四章+空間統(tǒng)計分析初步霍亂病死者居住分布圖(JohnSnow,1854)1854年8月到9月英國倫敦霍亂流行時，當局始終找不到發(fā)病的原因，后來醫(yī)生約翰·斯諾(JohnSnow)參與調(diào)查。他在繪有霍亂流行地區(qū)所有道路、房屋、飲用水機井等內(nèi)容的1：6500比例尺地圖上，標出了每個霍亂病死者的居住位置，得到了霍亂病死者居住分布圖。第四章+空間統(tǒng)計分析初步第1節(jié)探索性空間統(tǒng)計分析

基本原理與方法

應用實例

第四章+空間統(tǒng)計分析初步探索性空間數(shù)據(jù)分析(ESDA)ESDA是指利用統(tǒng)計學原理和圖形圖表相結合對空間信息的性質(zhì)進行分析、鑒別，用以引導確定性模型的結構和解法。ESDA與EDA區(qū)別在于它考慮了數(shù)據(jù)的空間特性，在方法上它將數(shù)據(jù)分解為一般趨勢和疊加于其上的局部變化兩部分。然后用一定的數(shù)學函數(shù)去擬合由樣本點產(chǎn)生的經(jīng)驗變率函數(shù)，進行諸如克立格內(nèi)插等空間操作。第四章+空間統(tǒng)計分析初步

通常定義一個二元對稱空間權重矩陣W，來表達n個位置的空間區(qū)域的鄰近關系，其形式如下式中：Wij表示區(qū)域i與j的臨近關系，它可以根據(jù)鄰接標準或距離標準來度量。

一、基本原理與方法

（一）空間權重矩陣

第四章+空間統(tǒng)計分析初步①簡單的二進制鄰接矩陣②基于距離的二進制空間權重矩陣兩種最常用的確定空間權重矩陣的規(guī)則

第四章+空間統(tǒng)計分析初步（二）全局空間自相關

Moran指數(shù)反映的是空間鄰接或空間鄰近的區(qū)域單元屬性值的相似程度。

Geary系數(shù)與Moran指數(shù)存在負相關關系。

PatrickA.P.Moran（1917-1988）Moran指數(shù)和Geary系數(shù)是兩個用來度量空間自相關的全局指標。第四章+空間統(tǒng)計分析初步

如果是位置（區(qū)域）的觀測值，則該變量的全局Moran指數(shù)I，用如下公式計算式中：I為Moran指數(shù)；

；。第四章+空間統(tǒng)計分析初步Geary系數(shù)C計算公式如下

式中：C為Geary系數(shù)；其他變量同上式。如果引入記號第四章+空間統(tǒng)計分析初步

則全局Moran指數(shù)I的計算公式也可以進一步寫成

Moran指數(shù)I的取值一般在[-1，1]之間,小于0表示負相關，等于0表示不相關，大于0表示正相關；

Geary系數(shù)C的取值一般在[0，2]之間，大于1表示負相關，等于1表示不相關，而小于1表示正相關。

第四章+空間統(tǒng)計分析初步

對于Moran指數(shù)，可以用標準化統(tǒng)計量Z來檢驗n個區(qū)域是否存在空間自相關關系，Z的計算公式為

當Z值為正且顯著時，表明存在正的空間自相關，也就是說相似的觀測值(高值或低值)趨于空間集聚；當Z值為負且顯著時，表明存在負的空間自相關，相似的觀測值趨于分散分布；當Z值為零時，觀測值呈獨立隨機分布。

第四章+空間統(tǒng)計分析初步G系數(shù)探測高值聚集的能力強于低值聚集;當研究范圍內(nèi)同時存在高值和低值聚集時,G系數(shù)會受聚集區(qū)域規(guī)模的影響,當高值聚集區(qū)域和低值聚集區(qū)域規(guī)模相當時,G系數(shù)往往為正數(shù),表明G系數(shù)對高值敏感;Moran指數(shù)主要受聚集區(qū)域規(guī)模的影響,隨著空間聚集范圍的擴展,Moran指數(shù)會明顯增大。第四章+空間統(tǒng)計分析初步

（三）局部空間自相關

局部空間自相關分析方法包括3種:

空間聯(lián)系的局部指標(LISA)；

G統(tǒng)計量；

Moran散點圖。第四章+空間統(tǒng)計分析初步空間聯(lián)系的局部指標(LISA)

空間聯(lián)系的局部指標（localindicatorsofspatialassociation，縮寫為LISA）滿足下列兩個條件：（1）每個區(qū)域單元的LISA，是描述該區(qū)域單元周圍顯著的相似值區(qū)域單元之間空間集聚程度的指標；（2）所有區(qū)域單元LISA的總和與全局的空間聯(lián)系指標成比例。第四章+空間統(tǒng)計分析初步LISA包括局部Moran指數(shù)（localMoranindex）和局部Geary指數(shù)（localGearyindex），下面重點介紹和討論局部Moran指數(shù)。第四章+空間統(tǒng)計分析初步

局部Moran指數(shù)被定義為可進一步寫成

式中：和是經(jīng)過標準差標準化的觀測值。

局部Moran指數(shù)檢驗的標準化統(tǒng)計量為

第四章+空間統(tǒng)計分析初步G統(tǒng)計量

全局G統(tǒng)計量的計算公式為對每一個區(qū)域單元的統(tǒng)計量為

第四章+空間統(tǒng)計分析初步

對統(tǒng)計量的檢驗與局部Moran指數(shù)相似，其檢驗值為

顯著的正值表示在該區(qū)域單元周圍，高觀測值的區(qū)域單元趨于空間集聚，而顯著的負值表示低觀測值的區(qū)域單元趨于空間集聚,與Moran指數(shù)只能發(fā)現(xiàn)相似值(正關聯(lián))或非相似性觀測值(負關聯(lián))的空間集聚模式相比，具有能夠探測出區(qū)域單元屬于高值集聚還是低值集聚的空間分布模式。第四章+空間統(tǒng)計分析初步Moran散點圖

以（Wz，z）為坐標點的Moran散點圖，常來研究局部的空間不穩(wěn)定性，它對空間滯后因子Wz和z數(shù)據(jù)對進行了可視化的二維圖示。全局Moran指數(shù)，可以看作是Wz對于z的線性回歸系數(shù)，對界外值以及對Moran指數(shù)具有強烈影響的區(qū)域單元，可通過標準回歸來診斷出。由于數(shù)據(jù)對（Wz，z）經(jīng)過了標準化，因此界外值可易由2－sigma規(guī)則可視化地識別出來。第四章+空間統(tǒng)計分析初步Moran散點圖的4個象限，分別對應于區(qū)域單元與其鄰居之間4種類型的局部空間聯(lián)系形式：第1象限代表了高觀測值的區(qū)域單元被高值的區(qū)域所包圍的空間聯(lián)系形式；第2象限代表了低觀測值的區(qū)域單元被高值的區(qū)域所包圍的空間聯(lián)系形式；第四章+空間統(tǒng)計分析初步

第3象限代表了低觀測值的區(qū)域單元被低值的區(qū)域所包圍的空間聯(lián)系形式；第4象限代表了高觀測值的區(qū)域單元被低值的區(qū)域所包圍的空間聯(lián)系形式。第四章+空間統(tǒng)計分析初步

與局部Moran指數(shù)相比，其重要的優(yōu)勢在于能夠進一步具體區(qū)分區(qū)域單元和其鄰居之間屬于高值和高值、低值和低值、高值和低值、低值和高值之中的哪種空間聯(lián)系形式。并且，對應于Moran散點圖的不同象限，可識別出空間分布中存在著哪幾種不同的實體。將Moran散點圖與LISA顯著性水平相結合，也可以得到所謂的“Moran顯著性水平圖”，圖中顯示出顯著的LISA區(qū)域，并分別標識出對應于Moran散點圖中不同象限的相應區(qū)域。

第四章+空間統(tǒng)計分析初步二、應用實例

中國大陸30個省級行政區(qū)人均GDP的空間關聯(lián)分析。根據(jù)各?。ㄖ陛犑小⒆灾螀^(qū)）之間的鄰接關系，采用二進制鄰接權重矩陣，選取各?。ㄖ陛犑?、自治區(qū)）1998—2002年人均GDP的自然對數(shù)，依照公式計算全局Moran指數(shù)I，計算其檢驗的標準化統(tǒng)計量Z（I），結果如下表所示。年份IZP19980.50014.50350.000019990.50694.55510.000020000.51124.59780.000020010.50594.55320.000020020.50134.53260.0000第四章+空間統(tǒng)計分析初步

從表中可以看出，在1998—2002年期間，中國大陸30個省級行政區(qū)人均GDP的全局Moran指數(shù)均為正值；在正態(tài)分布假設之上，對Moran指數(shù)檢驗的結果也高度顯著。這就是說，在1998—2002年期間，中國大陸30個省級行政區(qū)人均GDP存在著顯著的、正的空間自相關，也就是說各省級行政區(qū)人均GDP水平的空間分布并非表現(xiàn)出完全的隨機性，而是表現(xiàn)出相似值之間的空間集聚，其空間聯(lián)系的特征是：較高人均GDP水平的省級行政區(qū)相對地趨于和較高人均GDP水平的省級行政區(qū)相鄰，或者較低人均GDP水平的省級行政區(qū)相對地趨于和較低人均GDP水平的省級行政區(qū)相鄰。第四章+空間統(tǒng)計分析初步

選取2001年我國30個省級行政區(qū)人均GDP數(shù)據(jù)，計算局部Gi統(tǒng)計量和局部Gi統(tǒng)計量的檢驗值Z(Gi)，并繪制統(tǒng)計地圖如下。第四章+空間統(tǒng)計分析初步

檢驗結果表明，貴州、四川、云南西部3省的Z值在0.05的顯著性水平下顯著，重慶的Z值在0.1的顯著性水平下顯著，該4省市在空間上相連成片分布，而且從統(tǒng)計學意義上來說，與該區(qū)域相鄰的省區(qū)，其人均GDP趨于為同樣是人均GDP低值的省區(qū)所包圍。由此形成人均GDP低值與低值的空間集聚，據(jù)此可認識到西部落后省區(qū)趨于空間集聚的分布特征。

第四章+空間統(tǒng)計分析初步

東部的江蘇、上海、浙江三省市的Z值在0.05的顯著性水平下顯著，天津的Z值在0.1的顯著性水平下顯著。而東部上海、江浙等發(fā)達省市趨于為一些相鄰經(jīng)濟發(fā)展水平相對較高的省份所包圍，東部發(fā)達地區(qū)的空間集聚分布特征也顯現(xiàn)出來。第四章+空間統(tǒng)計分析初步

以（Wz,z）為坐標，進一步繪制Moran散點圖可以發(fā)現(xiàn)，多數(shù)?。ㄖ陛犑小⒆灾螀^(qū)）位于第1和第3象限內(nèi)，為正的空間聯(lián)系，屬于低低集聚和高高集聚類型，而且位于第3象限內(nèi)的低低集聚類型的?。ㄖ陛犑小⒆灾螀^(qū)）比位于第1象限內(nèi)的高高集聚類型的?。ㄖ陛犑小⒆灾螀^(qū)）更多一些。第四章+空間統(tǒng)計分析初步第四章+空間統(tǒng)計分析初步

上圖進一步顯示了30個省級行政區(qū)人均GDP局部集聚的空間結構。可以看出，從人均GDP水平相對地來看：高值被高值包圍的高高集聚省（直轄市）有：北京、天津、河南、安徽、湖北、江西、海南、廣東、福建、浙江、山東、上海、江蘇；低值被低值包圍的低低集聚?。ㄗ灾螀^(qū)）有：黑龍江、內(nèi)蒙古、新疆、吉林、甘肅、山西、陜西、青海、西藏、四川、云南、遼寧、貴州；被低值包圍的高值?。ㄖ陛犑校┯校褐貞c、廣西、河北；被高值包圍的低值省份只有湖南。第四章+空間統(tǒng)計分析初步1978、1990、2001和2007年人均GDP的Moran散點圖第四章+空間統(tǒng)計分析初步1978、1990、2001、2007年全國各省市人均GDP的LISA顯著水平圖第四章+空間統(tǒng)計分析初步上海市1990,2000年人口密度變化自相關分析第四章+空間統(tǒng)計分析初步第四章+空間統(tǒng)計分析初步第2節(jié)地統(tǒng)計分析方法地統(tǒng)計方法的基本原理

應用實例

第四章+空間統(tǒng)計分析初步地統(tǒng)計學(Geostatistics),又稱地質(zhì)統(tǒng)計學，是法國著名統(tǒng)計學家G.Matheron在大量理論研究基礎上提出的。地統(tǒng)計學是以區(qū)域化變量理論為基礎，以變異函數(shù)為主要工具，研究那些在空間分布上既有隨機性又有結構性，或空間相關和依賴性，或空間格局與變異，并對這些數(shù)據(jù)進行最優(yōu)無偏內(nèi)插估計，或模擬這些數(shù)據(jù)的離散性、波動性。協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)是以區(qū)域化變量理論為基礎建立起來的地統(tǒng)計學的兩個最基本的函數(shù)。地統(tǒng)計學的主要方法之一，克立格法就是建立在變異函數(shù)理論和結構分析基礎之上的。

第四章+空間統(tǒng)計分析初步

當一個變量呈現(xiàn)為空間分布時，就稱之為區(qū)域化變量（regionalizedvariable）。這種變量常常反映某種空間現(xiàn)象的特征，用區(qū)域化變量來描述的現(xiàn)象稱之為區(qū)域化現(xiàn)象。

區(qū)域化變量，亦稱區(qū)域化隨機變量，G.Matheron（1963）將它定義為以空間點x的三個直角坐標為自變量的隨機場區(qū)域化變量具有兩個最顯著，而且也是最重要的特征，即隨機性和結構性。一、地統(tǒng)計方法的基本原理

（一）區(qū)域化變量

第四章+空間統(tǒng)計分析初步區(qū)域化變量是一種在空間上具有數(shù)值的實函數(shù)，它具有以下屬性：空間局限性連續(xù)性各向異性區(qū)域化變量被限制于一定空間范圍，這稱為幾何域。在幾何域內(nèi)，區(qū)域化變量的屬性最為明顯；在幾何域外，不明顯。不同的區(qū)域化變量具有不同程度的連續(xù)性，用區(qū)域化變量的半變異函數(shù)來描述。當區(qū)域化變量在各個方向上具有相同性質(zhì)時稱各向同性，否則稱為各向異性。第四章+空間統(tǒng)計分析初步其它屬性：①區(qū)域化變量在一定范圍內(nèi)呈一定程度的空間相關，當超出這一范圍之后，相關性變?nèi)跎踔料?。②對于任一區(qū)域化變量，特殊的變異性可以疊加在一般的規(guī)律之上。第四章+空間統(tǒng)計分析初步隨機變量隨機函數(shù)隨機過程隨機場區(qū)域化變量與時間有關的隨機函數(shù)帶有多個(2個以上)自變量的隨機函數(shù)以空間點的三個直角坐標為自變量第四章+空間統(tǒng)計分析初步1962年，法國學者Matheron提出區(qū)域化變量的理論并創(chuàng)立了地質(zhì)統(tǒng)計學，在實踐中不斷得以完善。1963年，Matheron將區(qū)域化變量定義為：以空間點的三個直角坐標為自變量的隨機場。ProfessorGeorgesMatheron(1930-2000.8.7)法國數(shù)學家和地質(zhì)學家

第四章+空間統(tǒng)計分析初步區(qū)域化變量的功能：

由于區(qū)域化變量是一種隨機函數(shù)，因而能同時反映空間變量的結構性和隨機性。一方面，當空間點x固定后，Z(x)就是一個隨機變量，這體現(xiàn)了其隨機性。另一方面，在空間兩個不同點x與x+h處的區(qū)域化變量值具有某種程度的相關性，這體現(xiàn)了其結構性。第四章+空間統(tǒng)計分析初步區(qū)域化變量的組成部分

數(shù)據(jù)點結構性可以用均值和常數(shù)趨勢表示空間相關數(shù)據(jù)通常呈現(xiàn)正空間相關性

隨機性測量誤差，其他誤差

第四章+空間統(tǒng)計分析初步第四章+空間統(tǒng)計分析初步distance

elevation

結構性隨機性實際值第四章+空間統(tǒng)計分析初步（二）協(xié)方差函數(shù)

協(xié)方差函數(shù)的概念

區(qū)域化隨機變量之間的差異，可以用空間協(xié)方差來表示。在概率論中,隨機向量X與Y的協(xié)方差被定義為

區(qū)域化變量在空間點x和x+h處的兩個隨機變量和的二階混合中心矩定義為Z(x)的自協(xié)方差函數(shù)，即（4.2.2）(4.2.1)第四章+空間統(tǒng)計分析初步協(xié)方差函數(shù)的計算公式

式中：h為兩樣本點空間分隔距離或距離滯后；為在空間位置處的實測值；是在處距離偏離h的實測值[i=1，2，…，]，是分隔距離為h時的樣本點對（paris）總數(shù)，和分別為和的樣本平均數(shù),即(4.2.3)(4.2.4)(4.2.5)第四章+空間統(tǒng)計分析初步

若==m（常數(shù)），則上式可以改寫為

式中：m為樣本平均數(shù)，可由一般算術平均數(shù)公式求得，即

(4.2.6)第四章+空間統(tǒng)計分析初步（三）變異函數(shù)

變異函數(shù)的概念

變異函數(shù)(variograms)，又稱變差函數(shù)、變異矩，是地統(tǒng)計分析所特有的基本工具。在一維條件下變異函數(shù)定義為，當空間點x在一維x軸上變化時，區(qū)域化變量Z(x)在點x和x+h處的值Z(x)與Z(x+h)差的方差的一半為區(qū)域化變量Z(x)在x軸方向上的變異函數(shù)，記為γ(h)，即

(4.2.7)第四章+空間統(tǒng)計分析初步

在二階平穩(wěn)假設條件下，對任意的h有因此，公式可以改寫為

從上式可知，變異函數(shù)依賴于兩個自變量x和h，當變異函數(shù)僅僅依賴于距離h而與位置x無關時，可改寫成，即

(4.2.9)(4.2.8)第四章+空間統(tǒng)計分析初步變異函數(shù)的性質(zhì)

設Z(x)是區(qū)域化變量，在滿足二階平穩(wěn)假設條件下，變異函數(shù)式具有如下性質(zhì)：

(1)=0，即在h=0處，變異函數(shù)為0；

(2)=，即關于直線h=0是對稱的，它是一個偶函數(shù)；

(3)≥0，即只能大于或等于0；第四章+空間統(tǒng)計分析初步(4)|h|→∞時，→c(0)或=c(0),即當空間距離增大時,變異函數(shù)接近先驗方差

(5)[-]必須是一個條件非負定函數(shù)，由[-]構成的變異函數(shù)矩陣在條件時，為非負定的。第四章+空間統(tǒng)計分析初步變異函數(shù)的計算公式

設是系統(tǒng)某屬性Z在空間位置x處的值，為一區(qū)域化隨機變量，并滿足二階平穩(wěn)假設，h為兩樣本點空間分隔距離，和分別是區(qū)域化變量在空間位置和處的實測值[i=1,2,…,N(h)]，那么，變異函數(shù)的離散計算公式為(4.2.10)第四章+空間統(tǒng)計分析初步

這樣對不同的空間分隔距離h，計算出相應的和值。如果分別以h為橫坐標，或為縱坐標，畫出協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)曲線圖，就可以直接展示區(qū)域化變量Z(x)的空間變異特點?？梢姡儺惡瘮?shù)能同時描述區(qū)域化變量的隨機性和結構性，從而在數(shù)學上對區(qū)域化變量進行嚴格分析，是空間變異規(guī)律分析和空間結構分析的有效工具。第四章+空間統(tǒng)計分析初步第四章+空間統(tǒng)計分析初步例如：假設某地區(qū)降水量Z(x)（單位：mm）是二維區(qū)域化隨機變量，滿足二階平穩(wěn)假設，其觀測值的空間正方形網(wǎng)格數(shù)據(jù)如圖4.2.1所示（點與點之間的距離為h=1km）。試計算其南北方向及西北和東南方向的變異函數(shù)。第四章+空間統(tǒng)計分析初步圖4.2.1空間正方形網(wǎng)格數(shù)據(jù)（點間距h=1km）

從圖4.2.1可以看出，空間上有些點，由于某種原因沒有采集到。如果沒有缺失值，可直接對正方形網(wǎng)格數(shù)據(jù)結構計算變異函數(shù)；在有缺失值的情況下，也可以計算變異函數(shù)。只要“跳過”缺失點位置即可（圖4.2.2）。第四章+空間統(tǒng)計分析初步圖1

空間正方形網(wǎng)格數(shù)據(jù)（點間距h=100m）

第四章+空間統(tǒng)計分析初步第四章+空間統(tǒng)計分析初步

首先計算南北方向上的變異函數(shù)值，由變異函數(shù)的計算公式可得

=385/72=5.35圖4.2.2缺失值情況下樣本數(shù)對的組成和計算過程

☉為缺失值

第四章+空間統(tǒng)計分析初步

同樣計算出最后，得到南北方向和西北—東南方向上的變異函數(shù)計算結果見下表。同樣可以計算東西方向上的變異函數(shù)。

方向

南北

方向

西北—東南

h12345h1.412.824.245.657.07N(h)

362721135N(h)

322113825.359.2617.5525.6922.907.0612.9530.8558.1350.00第四章+空間統(tǒng)計分析初步變異函數(shù)的參數(shù)

變異函數(shù)有4個非常重要的參數(shù)，即基臺值（sill）、變程（range）或稱空間依賴范圍（rangeofspatialdependence）、塊金值（nugget）或稱區(qū)域不連續(xù)性值（localizeddiscontinuity）和分維數(shù)（fractaldimension）。前3個參數(shù)可以直接從變異函數(shù)圖中得到。它們決定變異函數(shù)的形狀與結構。變異函數(shù)的形狀反映自然現(xiàn)象空間分布結構或空間相關的類型，同時還能給出這種空間相關的范圍。第四章+空間統(tǒng)計分析初步

當變異函數(shù)隨著間隔距離h的增大，從非零值達到一個相對穩(wěn)定的常數(shù)時，該常數(shù)稱為基臺值C0+C。當間隔距離h=0時，γ(0)=C0，該值稱為塊金值或塊金方差（nuggetvariance）?；_值是系統(tǒng)或系統(tǒng)屬性中最大的變異，變異函數(shù)達到基臺值時的間隔距離a稱為變程。變程表示在h≥a以后，區(qū)域化變量Z(x)空間相關性消失。塊金值表示區(qū)域化變量在小于抽樣尺度時非連續(xù)變異，由區(qū)域化變量的屬性或測量誤差決定。

第四章+空間統(tǒng)計分析初步

上述3個參數(shù)可從變異函數(shù)曲線圖直接得到，或通過估計曲線回歸參數(shù)得到。第4個參數(shù)，即分維數(shù)用于表示變異函數(shù)的特性，由變異函數(shù)和間隔距離h之間的關系確定分維數(shù)D為雙對數(shù)直線回歸方程中的斜率，它是一個無量綱數(shù)。分維數(shù)D的大小，表示變異函數(shù)曲線的曲率，可以作為隨機變異的量度。第四章+空間統(tǒng)計分析初步理論變異函數(shù)模型實踐中，常用的是變異函數(shù)圖：偏基臺值:C(partialsill)塊金值:C0(nugget)變程:a(range)h基臺值(sill)notrelatedanymore變程范圍內(nèi)才有結構性變化（有規(guī)律的變化）反映隨機性大小：主要來源于區(qū)域化變量Z(x)在小于抽樣尺度h時所具有的內(nèi)部變異；另外還有抽樣分析誤差。變異函數(shù)是一個單調(diào)不減函數(shù)。當h超過某一個范圍，例如變程，變異函數(shù)不再增大，而是趨于一個極限值，即為基臺值。實際上等于區(qū)域化變量的先驗方差。即，即基臺值與塊金值之差，表示數(shù)據(jù)中存在空間相關性引起的方差變化范圍。第四章+空間統(tǒng)計分析初步變異函數(shù)的理論模型

地統(tǒng)計學將變異函數(shù)理論模型分為3大類：第1類是有基臺值模型，包括球狀模型、指數(shù)模型、高斯模型、線性有基臺值模型和純塊金效應模型；第2類是無基臺值模型，包括冪函數(shù)模型、線性無基臺值模型、拋物線模型；第3類是孔穴效應模型。下面有代表性地介紹幾種常見的變異函數(shù)理論模型。第四章+空間統(tǒng)計分析初步

①純塊金效應模型:其一般公式為式中：c0>0，為先驗方差。該模型相當于區(qū)域化變量為隨機分布，樣本點間的協(xié)方差函數(shù)對于所有距離h均等于0，變量的空間相關不存在。

(4.2.11)第四章+空間統(tǒng)計分析初步②球狀模型:其一般公式為

式中：c0為塊金（效應）常數(shù);c為拱高;c0+c為基臺值;a為變程。當c0=0，c=1時，稱為標準球狀模型。球狀模型是地統(tǒng)計分析中應用最廣泛的理論模型，許多區(qū)域化變量的理論模型都可以用該模型去擬合。

(4.2.12)第四章+空間統(tǒng)計分析初步

③指數(shù)模型:其一般公式為式中：c0和c意義與前相同，但a不是變程。當h=3α時，，即，從而指數(shù)模型的變程約為。當c0=0，c=1時，稱為標準指數(shù)模型。(4.2.13)第四章+空間統(tǒng)計分析初步④高斯模型:其一般公式為式中：c0和c意義與前相同，a也不是變程。當時，，即，因此高斯模型的變程約為。當時，稱為標準高斯函數(shù)模型。(4.2.14)第四章+空間統(tǒng)計分析初步⑤冪函數(shù)模型:其一般公式為式中：θ為冪指數(shù)。當θ變化時，這種模型可以反映在原點附近的各種性狀。但是θ必須小于2，若，則函數(shù)就不再是一個條件非負定函數(shù)了，也就是說它已經(jīng)不能成為變異函數(shù)了。

(4.2.15)第四章+空間統(tǒng)計分析初步⑥對數(shù)模型:其一般公式為顯然，當，這與變異函數(shù)的性質(zhì)不符。因此，對數(shù)模型不能描述點支撐上的區(qū)域化變量的結構。(4.2.16)第四章+空間統(tǒng)計分析初步

⑦線性有基臺值模型:其一般公式為

式中:該模型的變程為a，基臺值為。

⑧線性無基臺值模型:其一般公式為

從式中可以看出，該模型沒有基臺值，也沒有變程。

(4.2.18)(4.2.17)第四章+空間統(tǒng)計分析初步第四章+空間統(tǒng)計分析初步例如:某地區(qū)降水量是一個區(qū)域化變量，其變異函數(shù)的實測值及距離h的關系見下表，下面我們試用回歸分析方法建立其球狀變異函數(shù)模型。實測值γ(h)距離h實測值γ(h)距離h2.10.69.24.94.31.110.35.15.72.210.56.26.52.510.97.57.83.111.29.58.83.812.49.8第四章+空間統(tǒng)計分析初步

從上面的介紹和討論，我們知道，球狀變異函數(shù)的一般形式為當時，有第四章+空間統(tǒng)計分析初步

如果記，則可以得到線性模型

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，對上式進行最小二乘擬合，得到

(4.2.20)

計算可知，上式的顯著性檢驗參數(shù)F=114.054，R2=0.962，可見模型的擬合效果是很好的。(4.2.19)第四章+空間統(tǒng)計分析初步

比較(4.2.20)式與(4.2.19)式，并做簡單計算可知：c0=2.048，c=1.154，a=8.353，所以，球狀變異函數(shù)模型為(4.2.21)第四章+空間統(tǒng)計分析初步(四)克立格插值方法

克立格（Kriging）插值法，又稱空間局部估計或空間局部插值法，是地統(tǒng)計學的主要內(nèi)容之一?？肆⒏穹ㄊ墙⒃谧儺惡瘮?shù)理論及結構分析基礎之上的，它是在有限區(qū)域內(nèi)對區(qū)域化變量的取值進行無偏最優(yōu)估計的一種方法?？肆⒏穹ㄟm用的條件是，如果變異函數(shù)和相關分析的結果表明區(qū)域化變量存在空間相關性。其實質(zhì)是利用區(qū)域化變量的原始數(shù)據(jù)和變異函數(shù)的結構特點，對未采樣點的區(qū)域化變量的取值進行線性無偏、最優(yōu)估計。從數(shù)學角度抽象來說，克立格是一種對空間分布數(shù)據(jù)求最優(yōu)、線性、無偏內(nèi)插估計量(BestLinearUnbaiasedEstimation)方法。具體來說，它是根據(jù)待估樣點(或待估塊段)有限鄰域內(nèi)若干已測定的樣點數(shù)據(jù)，在認真考慮樣點的形狀、大小和空間相互位置關系，它們與待估樣點相互空間位置關系，以及變異函數(shù)提供的結構信息之后，對該待估樣點值進行的一種線性無偏最優(yōu)估計。第四章+空間統(tǒng)計分析初步

克立格插值（kriginginterpolation)是根據(jù)變異函數(shù)模型而發(fā)展起來的一系列地統(tǒng)計的空間插值方法，包括：普通克立格法（ordinarykriging）;

泛克立格法（universalkriging）;

指示克立格法（indicatorkriging）;

析取克立格法（disjunctivekriging）;

協(xié)同克立格法（cokriging）等。下面僅對普通克立格法作一些簡單介紹。第四章+空間統(tǒng)計分析初步

首先假設區(qū)域化變量滿足二階平穩(wěn)假設和本征假設，其數(shù)學期望為m，協(xié)方差函數(shù)及變異函數(shù)存在。即

假設在待估計點（x）的臨域內(nèi)共有n個實測點，即x1，x2，…，xn，其樣本值為。那么，普通克里格法的插值公式為

(4.2.22)第四章+空間統(tǒng)計分析初步

其中為權重系數(shù)，表示各空間樣本點處的觀測值對估計值的貢獻程度?？梢?，克立格插值的關鍵就是計算權重系數(shù)。顯然，權重系數(shù)的求取必須滿足兩個條件：一是使的估計是無偏的，即偏差的數(shù)學期望為零；二是最優(yōu)的，即使估計值和實際值之差的平方和最小。為此，需要滿足以下兩個條件：第四章+空間統(tǒng)計分析初步(1)無偏性。要使成為的無偏估計量，即。

當時，也就是當時，則有這時，為的無偏估計量。（2）最優(yōu)性。在滿足無偏性條件下，估計方差為(4.2.23)第四章+空間統(tǒng)計分析初步

使用協(xié)方差函數(shù)表達，它可以進一步寫為

(4.2.24)

為使估計方差最小，根據(jù)拉格朗日乘數(shù)原理，令

(4.2.25)

求F對和的偏導數(shù)，并令其為0，得克立格方程組

(4.2.26)

?????íì=--=??=--=????==niiijinjjiFxxcxxcF110)1(202),(2),(2lmmll第四章+空間統(tǒng)計分析初步(4.2.27)(4.2.28)整理后得

解線性方程組(4.2.27)式,求出權重系數(shù)λi和拉格朗日系數(shù)μ,代入公式(4.2.24),可得克立格估計方差第四章+空間統(tǒng)計分析初步

在變異函數(shù)存在的條件下，根據(jù)協(xié)方差與變異函數(shù)的關系：

或，也可以用變異函數(shù)表示普通克立格方程組和克立格估計方差，即

(4.2.29)

解線性方程組(4.2.27)式，求出權重系數(shù)和拉格朗日乘數(shù)μ，代入公式(4.2.24)，可得克立格估計方差，即

(4.2.30)第四章+空間統(tǒng)計分析初步上述過程也可用矩陣形式表示，令

則普通克立格方程組為

(4.2.31)解方程組(4.2.31)式，可得

(4.2.32)其估計方差為

(4.2.33)

第四章+空間統(tǒng)計分析初步

也可以將克立格方程組和估計方差用變異函數(shù)寫成上述矩陣形式。令

在以上的介紹中，區(qū)域化變量的數(shù)學期望可以是已知或未知的。如果m是已知常數(shù)，稱為簡單克立格法；如果m是未知常數(shù)，稱為普通克立格法。不管是哪一種方法，均可根據(jù)方法計算權重系數(shù)和克立格估計量。

(4.2.34)(4.2.35)(4.2.36)第四章+空間統(tǒng)計分析初步

以圖4.2.1為例，4個觀測點x1，x2，x3，x4的觀測值分別為Z(x1)=37、Z(x2)=42、Z(x3)=36、Z(x4)=35，如果假設降水量的變異函數(shù)是向同性（即變異函數(shù)在各個方向的變化都相同）的二維球狀模型，其具體形式為（4.2.21）式?，F(xiàn)在，我們用普通克立格法估計觀測點x0的降水量值Z(x0)。根據(jù)普通克立格法的基本原理，我們知道，Z(x0)估計的基本公式應該是

第四章+空間統(tǒng)計分析初步

根據(jù)公式(4.2.32)，可知

(4.2.37)

根據(jù)協(xié)方差與變異函數(shù)的關系以及（4.2.21）式，可得協(xié)方差函數(shù)

第四章+空間統(tǒng)計分析初步

當時，根據(jù)克立格矩陣的對稱性，當時，，由此計算可得

第四章+空間統(tǒng)計分析初步第四章+空間統(tǒng)計分析初步將以上計算結果代入克立格方程組（4.2.31），得

第四章+空間統(tǒng)計分析初步

即克立格權重系數(shù)分別為：λ1=0.287，λ2=0.210,λ3=0.202,λ4=0.301，μ=-0.473，所以觀測點的降水量的克立格估計值為：根據(jù)普通克立格法的基本原理，我們知道，Z(x0)估計的基本公式應該是

37.25（mm）。

克立格估計方差為

第四章+空間統(tǒng)計分析初步二、應用實例

年降水量和蒸發(fā)量，既服從地帶性規(guī)律，同時又受隨機性因素的影響，因此它們是典型的區(qū)域化變量。我們以甘肅省53個氣象臺站多年平均降水量和蒸發(fā)量數(shù)據(jù)（見教材表3.1.2）為實測值，擬合了年降水量和蒸發(fā)量的半變異函數(shù)理論模型，并采用普通克立格法和雙變量協(xié)同克里格法，做了空間插值計算，結論如下。

第四章+空間統(tǒng)計分析初步

（一）半變異函數(shù)半變異函數(shù)模型，是克立格空間插值的前提條件，同時它也決定著空間插值的精度。一般情況下，半變異函數(shù)模型是根據(jù)半變異函數(shù)云圖的分布，選擇合適的理論模型，按照估計方差最小的原則，運用最小二乘法求得。圖4.2.4和圖4.2.5分別給出了年降水量和年蒸發(fā)量的半變異函數(shù)云圖。

圖4.2.4年降水量的半變異函數(shù)云圖

第四章+空間統(tǒng)計分析初步

圖4.2.5年蒸發(fā)量的半變異函數(shù)云圖

從圖4.2.4和圖4.2.5可以看出，年降水量和年蒸發(fā)量的塊金效應都不明顯，這是因為樣本點是各個氣象站點的實測值，空間分辨率可以忽略不計，另外實驗誤差和人為誤差基本上都很小。我們選擇各種不同的半變異函數(shù)理論模型，經(jīng)過多次擬合計算和對比分析，發(fā)現(xiàn)指數(shù)模型比較好地描述了年降水量的空間變異規(guī)律。其變異函數(shù)的具體形式如下：第四章+空間統(tǒng)計分析初步(4.2.38)

(4.2.38)式擬合的適度系數(shù)為。我們選擇各種不同的半變異函數(shù)理論模型，經(jīng)過多次擬合計算和對比分析，發(fā)現(xiàn)球狀模型比較好地描述了年蒸發(fā)量的空間變異規(guī)律。其變異函數(shù)的具體形式如下

(4.2.39)(4.2.39)式擬合的適度系數(shù)為。

第四章+空間統(tǒng)計分析初步（二）空間插值結果基于半變異函數(shù)的理論模型(4.2.38)和(4.2.39)，對甘肅省范圍內(nèi)的年降水量和蒸發(fā)量，用普通克立格法進行空間插值計算，得到的結果分別如圖4.2.4和圖4.2.5。（三）結果討論從圖4.2.6可以看出，在甘肅省范圍內(nèi)，年降水量的空間分布格局總體上是東南多西北少，并且呈現(xiàn)從東南方向到西北方向逐漸過渡，梯度變化明顯；山地多，平地少，南北方向從南部祁連山脈向北部的沙漠戈壁逐漸減少。

第四章+空間統(tǒng)計分析初步年降水量的空間變程很大，最多的東南部是最少的西北部的近10倍，其中，甘南東南部瑪曲和祿曲、隴南東南部以及平?jīng)龊挽`臺東南地區(qū)，年降水量達到691.59～786.75mm之間。400mm等降水線靠近蘭州附近，而到了西北端，幾乎整個酒泉市、嘉峪關市和張掖市的西北部，年降水量只有59.17～102.08mm。圖4.2.6甘肅省年降水量的普通克立格空間插值結果第四章+空間統(tǒng)計分析初步

圖4.2.7甘肅省年蒸發(fā)量的普通克立格空間插值結果從圖4.2.7可以看出，年蒸發(fā)量的空間格局，恰好與年降水量的空間格局相反：西北多、東南少，呈現(xiàn)出由西北向東南逐漸減少的變化趨勢，梯度變化明顯。

第四章+空間統(tǒng)計分析初步

年蒸發(fā)量的空間變程雖然小于年降水量，但仍然較大，在西北端的酒泉大部分地區(qū)以及民勤北部的騰格里沙漠地區(qū)，年蒸發(fā)量可以達到293