2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義精講精練第32講-計(jì)數(shù)原理(解析)

第32講計(jì)數(shù)原理學(xué)校____________姓名____________班級(jí)____________知識(shí)梳理基本計(jì)數(shù)原理1.分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事，如果有n類辦法，且：第一類辦法中有m1種不同的方法，第二類辦法中有m2種不同的方法……第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事，如果需要分成n個(gè)步驟，且：做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法.3.分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類”問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問題，各個(gè)步驟中的方法相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事.排列與組合1.排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同對(duì)象中取出m(m≤n)個(gè)對(duì)象并按照一定的順序排成一列，稱為從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的一個(gè)排列組合并成一組，稱為從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的一個(gè)組合2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)從n個(gè)不同對(duì)象中取出m(m≤n)個(gè)對(duì)象的所有排列的個(gè)數(shù)，稱為從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的排列數(shù)，用符號(hào)Aeq\o\al(m,n)表示.(2)從n個(gè)不同對(duì)象中取出m(m≤n)個(gè)對(duì)象的所有組合的個(gè)數(shù)，稱為從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的組合數(shù)，用符號(hào)Ceq\o\al(m,n)表示.3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！).(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)(n，m∈N*，且m≤n).特別地Ceq\o\al(0,n)＝1性質(zhì)(1)0?。?；Aeq\o\al(n,n)＝n！.(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m＋1,n)＋Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1)二項(xiàng)式定理1.二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通項(xiàng)公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項(xiàng)；(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)描述對(duì)稱性與首末等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)增減性二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)當(dāng)k＜eq\f(n＋1,2)(n∈N*)時(shí)，是遞增的當(dāng)k＞eq\f(n＋1,2)(n∈N*)時(shí)，是遞減的二項(xiàng)式系數(shù)最大值當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)與相等且取得最大值3.各二項(xiàng)式系數(shù)和(1)(a＋b)n展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(2)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.考點(diǎn)和典型例題1、基本計(jì)數(shù)原理【典例1-1】（2022·湖北·天門市教育科學(xué)研究院模擬預(yù)測(cè)）甲乙丙丁四個(gè)同學(xué)星期天選擇到東湖公園，西湖茶經(jīng)樓，歷史博物館和北湖公園其中一處去參觀游玩，其中茶經(jīng)樓必有人去，則不同的參觀方式共有（

）種.A．24 B．96 C．174 D．175【答案】D【詳解】若4人均去茶經(jīng)樓，則有1種參觀方式，若有3人去茶經(jīng)樓，則從4人中選擇3人，另1人從另外3處景點(diǎn)選擇一處，有種參觀方式；若有2人去茶經(jīng)樓，則從4人中選擇2人，另外2人從另外3處景點(diǎn)任意選擇一處，有種參觀方式；若有1人去茶經(jīng)樓，則從4人中選擇1人，另外3人從另外的3處景點(diǎn)任意選擇一處，有種參觀方式，綜上：共有種參觀方式.故選：D【典例1-2】（2023·山西大同·高三階段練習(xí)）高中數(shù)學(xué)新教材有必修一和必修二，選擇性必修有一?二?三共5本書，把這5本書放在書架上排成一排，必修一?必修二不相鄰的排列方法種數(shù)是（

）A．72 B．144 C．48 D．36【答案】A【詳解】先將選擇性必修有一?二?三這三本書排成一排，有種方法，再將必修一?必修二這兩本書插入兩個(gè)空隙中，有種方法，所以把這5本書放在書架上排成一排，必修一?必修二不相鄰的排列方法種數(shù)是：.故選：A.【典例1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））2010年世界杯足球賽預(yù)計(jì)共有24個(gè)球隊(duì)參加比賽，第一輪分成6個(gè)組進(jìn)行單循環(huán)賽（在同一組的每兩個(gè)隊(duì)都要比賽），決出每個(gè)組的一、二名，然后又在剩下的12個(gè)隊(duì)中按積分取4個(gè)隊(duì)（不比賽），共計(jì)16個(gè)隊(duì)進(jìn)行淘汰賽來確定冠亞軍，則一共需比賽（

）場(chǎng)次．A．53 B．52 C．51 D．50【答案】C【詳解】第一輪分成6個(gè)組進(jìn)行單循環(huán)賽共需要場(chǎng)比賽，淘汰賽有如下情況：16進(jìn)8需要8場(chǎng)比賽，8進(jìn)4需要4場(chǎng)比賽，4進(jìn)2需要2場(chǎng)比賽，確定冠亞軍需要1場(chǎng)比賽，共需要場(chǎng)比賽故選：C．【典例1-4】（2022·河南·濮陽一高高三階段練習(xí)（理））某醫(yī)院從7名男醫(yī)生（含一名主任醫(yī)師），6名女醫(yī)生（含一名主任醫(yī)師）中選派4名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生支援抗疫工作，若要求選派的醫(yī)生中有主任醫(yī)師，則不同的選派方案數(shù)為（

）A．350 B．500 C．550 D．700【答案】C【詳解】所選醫(yī)生中只有一名男主任醫(yī)師的選法有，所選醫(yī)生中只有一名女主任醫(yī)師的選法有，所選醫(yī)生中有一名女主任醫(yī)師和一名男主任醫(yī)師的選法有，故所選醫(yī)師中有主任醫(yī)師的選派方法共有種，故選：C【典例1-5】（2023·全國·高三專題練習(xí)）《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳所著.該書記述了我國古代種算法，分別是：積算（即籌算）、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運(yùn)籌算、了知算、成數(shù)算、把頭算、龜算、珠算和計(jì)數(shù).某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組有甲、乙、丙、丁四人，該小組擬全部收集九宮算、運(yùn)籌算、了知算、成數(shù)算和把頭算等種算法的相關(guān)資料，要求每人至少收集其中一種，且每種算法只由一個(gè)人收集，但甲不收集九宮算和了知算的資料，則不同的分工收集方案共有（

）種.A． B．C． D．【答案】C【詳解】分以下兩種情況討論：①若甲只收集一種算法，則甲有種選擇，將其余種算法分為組，再分配給乙、丙、丁三人，此時(shí)，不同的收集方案種數(shù)為種；②若甲收集兩種算法，則甲可在運(yùn)籌算、成數(shù)算和把頭算種算法中選擇種，其余種算法分配給乙、丙、丁三人，此時(shí)，不同的收集方案種數(shù)為種.綜上所述，不同的收集方案種數(shù)為種.故選：C.2、排列與組合【典例2-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B【詳解】因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，故選：B【典例2-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））教育部于2022年開展全國高校書記校長訪企拓崗促就業(yè)專項(xiàng)行動(dòng)，某市3所高校的校長計(jì)劃拜訪當(dāng)?shù)仄髽I(yè)，共有4家企業(yè)可供選擇.若每名校長拜訪3家企業(yè)，每家企業(yè)至少接待1名校長，則不同的安排方法共有（

）A．60種 B．64種 C．72種 D．80種【答案】A【詳解】解：3名校長在4家企業(yè)任取3家企業(yè)的所有安排情況為：種又每家企業(yè)至少接待1名校長，故3名校長選的3家企業(yè)，不全相同，因?yàn)?名校長選的3家企業(yè)完全相同有種，則不同的安排方法共有：種.故選：A.【典例2-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）某校在高一開展了選課走班的活動(dòng)，已知該校提供了3門選修課供學(xué)生選擇，現(xiàn)有5名同學(xué)參加選課走班的活動(dòng)，要求這5名同學(xué)每人選修一門課程且每門課程都有人選，則5名同學(xué)選課的種數(shù)為（

）A．150 B．180 C．240 D．540【答案】A【詳解】先把5名同學(xué)分為3組：（3人,1人,1人）或（2人,2人,1人），再把這3組同學(xué)分配給3門選修課即可解決.則5名同學(xué)選課的種數(shù)為（種）故選：A【典例2-4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）北京2022年冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”一亮相，好評(píng)不斷.為了宣傳2022年北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)，某學(xué)校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個(gè)吉祥物安裝在學(xué)校的體育廣場(chǎng)，每人參與且只參與一個(gè)吉祥物的安裝，每個(gè)吉祥物都至少由兩名志愿者安裝.若小明和小李必須安裝不同的吉祥物，則不同的安排方案有（

）A．6種 B．12種 C．18種 D．24種【答案】B【詳解】由題意可知：應(yīng)將志愿者分為三人組和兩人組.先將小李?小明之外的三人分為兩組，有種分法，再將小李?小明分進(jìn)兩組，有種分法，最后將兩組分配安裝兩個(gè)吉祥物，有種分法，所以共計(jì)有種.故選：B【典例2-5】（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習(xí)（理））貴陽一中體育節(jié)中，乒乓球球單打12強(qiáng)中有4個(gè)種子選手，將這12人平均分成3個(gè)組（每組4個(gè)人）、則4個(gè)種子選手恰好被分在同一組的分法有（

）A．21 B．42 C．35 D．70【答案】C【詳解】4個(gè)種子選手分在同一組，即剩下的8人平均分成2組，方法有種，故選:C．3、二項(xiàng)式定理【典例3-1】（2022·河南洛陽·模擬預(yù)測(cè)（理））的展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．540 B．135 C．18 D．1215【答案】B【詳解】由題意得，所以，所以展開式的通項(xiàng)，令，得，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．故選：B．【典例3-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）按降幕排列的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是（

）A．第項(xiàng)和第項(xiàng) B．第項(xiàng)C．第項(xiàng)和第項(xiàng) D．第項(xiàng)【答案】B【詳解】因?yàn)榈恼归_式通項(xiàng)為，其中第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，但第項(xiàng)的系數(shù)為正，第項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，故按降幕排列的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng).故選：B.【典例3-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）若的展開式中，某一項(xiàng)的系數(shù)為7，則展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)是（

）A．7 B．21 C．35 D．21或35【答案】B【詳解】解：由題意，展開式的通項(xiàng)為，所以某一項(xiàng)的系數(shù)為7，即，解得n＝7，r＝