《數(shù)字信號(hào)處理》課件-第3章

3.1引言3.2傅里葉變換的幾種形式3.3離散傅里葉級(jí)數(shù)變換(DFST)3.4離散傅里葉變換的定義3.5離散傅里葉變換的主要性質(zhì)3.6頻率域采樣3.7離散傅里葉變換的應(yīng)用3.8離散時(shí)間信號(hào)的抽取和內(nèi)插習(xí)題與上機(jī)題

離散時(shí)間信號(hào)經(jīng)過(guò)傅里葉變換或Z變換后得到相應(yīng)的頻譜，即可在變換域(頻域或復(fù)頻域)對(duì)其進(jìn)行分析處理，而實(shí)際使用中還有另一種變換——離散傅里葉變換(Discrete

FourierTransform，DFT)。

3.1引言由于有限長(zhǎng)的離散時(shí)間信號(hào)經(jīng)離散傅里葉變換后也是有限長(zhǎng)和離散的，而且適應(yīng)了計(jì)算機(jī)、DSP芯片等的實(shí)際計(jì)算環(huán)境，同時(shí)該變換的多種快速算法(統(tǒng)稱FastFourierTransform，F(xiàn)FT)相繼出現(xiàn)使得數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)時(shí)性、靈活性得以實(shí)現(xiàn)，因此離散傅里葉變換的應(yīng)用較傅里葉變換和Z變換更為廣泛。3.2.1連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)

已知滿足狄里赫利條件的連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)(周期為T=2π/Ω)及其傅里葉級(jí)數(shù)Xa(jkΩ)，且

(3.2.1)

(3.2.2)3.2傅里葉變換的幾種形式由式(3.2.2)可知，周期的連續(xù)時(shí)間信號(hào)可以分解成頻率為0，±Ω，±2Ω，…離散值的復(fù)指數(shù)信號(hào)之和，并且這些復(fù)指數(shù)信號(hào)的幅度和相位由傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)Xa(jkΩ)決定。因此，周期的連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜是離散、非周期的，如圖3.2.1所示。圖3.2.1連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)及其傅里葉級(jí)數(shù)(a)連續(xù)時(shí)間周期信號(hào);(b)傅里葉級(jí)數(shù)3.2.2連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的傅里葉變換

如果以上討論的周期信號(hào)的周期T趨于無(wú)限大，則可作為非周期信號(hào)來(lái)處理，此時(shí)信號(hào)頻譜由于相鄰譜線的間隔Ω趨于無(wú)窮小而成為連續(xù)頻譜。

設(shè)絕對(duì)可積的連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)為xa(t)，其傅里葉變換為Xa(jΩ)，且

(3.2.3)

(3.2.4)則非周期的連續(xù)時(shí)間信號(hào)及其傅里葉變換也是非周期、連續(xù)的，且稱Xa(jΩ)為xa(t)的頻譜密度函數(shù),如圖3.2.2所示(此圖為近似圖，我們假設(shè)信號(hào)時(shí)域近似有限，頻域也近似有限)。圖3.2.2連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)及其傅里葉變換(a)連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào);(b)傅里葉變換3.2.3離散時(shí)間非周期信號(hào)的序列傅里葉變換

在第2章中我們介紹過(guò)離散時(shí)間信號(hào)僅在離散時(shí)刻點(diǎn)上有定義，它往往是由連續(xù)時(shí)間信號(hào)采樣獲得的，其頻譜呈現(xiàn)周期性，因此，時(shí)域離散化帶來(lái)頻域函數(shù)的周期延拓。

設(shè)絕對(duì)可和的非周期離散時(shí)間信號(hào)為x(n)，其序列傅里葉變換為X(ejω)，且

(3.2.5)

(3.2.6)則非周期的離散時(shí)間信號(hào)及其序列傅里葉變換是周期、連續(xù)的，如圖3.2.3所示。圖3.2.3離散時(shí)間非周期信號(hào)及其序列傅里葉變換(a)離散時(shí)間非周期信號(hào);(b)序列傅里葉變換綜上所述，周期的連續(xù)時(shí)間信號(hào)對(duì)應(yīng)非周期的離散頻譜，非周期的離散時(shí)間信號(hào)對(duì)應(yīng)周期的連續(xù)頻譜。傅里葉變換除了以上三種形式外還有一種形式，即周期的離散時(shí)間信號(hào)對(duì)應(yīng)周期的離散頻譜。3.3.1周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)變換

在第2章中，我們利用正交完備集{e-jωn}中的單位復(fù)指數(shù)序列將離散時(shí)間信號(hào)分解成如式(2.2.4)所示的形式，其中的數(shù)字角頻率ω是連續(xù)的。對(duì)于周期的離散時(shí)間信號(hào)，由3.2

節(jié)的分析可以斷定其頻譜應(yīng)該是周期離散的，因此需要利用同樣是周期離散的周期單位復(fù)指數(shù)序列

3.3離散傅里葉級(jí)數(shù)變換(DFST)周期單位復(fù)指數(shù)序列對(duì)n、k而言都是以N為周期的，即

(3.3.1)

(3.3.2)

(3.3.3)此外，由周期單位復(fù)指數(shù)序列組成的集合為正交完備集。

滿足

(3.3.4)

證明：

(1)當(dāng)((m-k))N=0時(shí)，，故

(2)當(dāng)((m-k))N≠0時(shí)，，故

因此，任意的周期序列可以展成正交函數(shù)(

)線性組合的無(wú)窮級(jí)數(shù)，與第2章序列的傅里葉變換推導(dǎo)過(guò)程相同，得到

(3.3.5)

(3.3.6)稱為的離散傅里葉級(jí)數(shù)變換，且稱式(3.3.5)為離散傅里葉級(jí)數(shù)變換的正變換(DFST)，式(3.3.6)為離散傅里葉級(jí)數(shù)反變換(IDFST)，如圖3.3.1所示。圖3.3.1周期序列及其離散傅里葉級(jí)數(shù)變換(a)周期序列;(b)離散傅里葉級(jí)數(shù)變換由式(3.3.6)可以看出，周期為N的周期序列，可以分解成N個(gè)周期復(fù)指數(shù)序列的和，這些周期復(fù)指數(shù)序列的數(shù)字角頻率為，它們的幅度和相位由離散傅里葉級(jí)數(shù)決定。

數(shù)字信號(hào)處理中經(jīng)常使用以下基本的周期序列，它們的離散傅里葉級(jí)數(shù)變換可以計(jì)算如下。

【例3.3.1】求的離散傅里葉級(jí)數(shù)變換。

解

時(shí)如圖3.3.2所示。圖3.3.2及其離散傅里葉級(jí)數(shù)變換(a)序列;(b)離散傅里葉級(jí)數(shù)變換

【例3.3.2】求1的離散傅里葉級(jí)數(shù)變換。

解，N=4時(shí)如圖3.3.3所示。

周期為N的基本周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)變換如表3.3.1所示。圖3.3.3序列1及其離散傅里葉級(jí)數(shù)變換(a)序列1;(b)離散傅里葉級(jí)數(shù)變換表3.3.1基本周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)變換3.3.2周期序列的傅里葉變換表示式

式(3.3.6)說(shuō)明周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)反映了該序列在數(shù)字角頻率為處頻率分量的大小，進(jìn)一步的分析可以證明，是對(duì)主值序列的序列傅里葉變換的采樣。

設(shè)周期序列的主值序列為x(n)，其序列傅里葉變換為X(ejω)=SFT［x(n)］，由于

(3.3.7)

與式(3.3.5)對(duì)比，可得

(3.3.8)因此，周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)是其主值序列的序列傅里葉變換以2π/N為間隔的采樣，其中-∞<ω<+∞、-∞<k<+∞。

例如R4(n)的序列傅里葉變換為

圖3.3.4是其幅頻特性曲線，橫坐標(biāo)為ω/π。圖3.3.4

R4(n)的幅頻特性曲線若以N=4為周期將R4(n)周期延拓，則

如圖3.3.5所示。圖3.3.5以4為周期將R4(n)周期延拓后的傅里葉級(jí)數(shù)變換由于將R4(n)以4為周期進(jìn)行周期延拓后所得到的周期序列實(shí)際上就是，因此由例3.3.2可知其離散傅里葉級(jí)數(shù)變換為，根據(jù)離散傅里葉級(jí)數(shù)變換與周期序列主值序列的序列傅里葉變換之間的關(guān)系，該結(jié)果就是對(duì)X(ejω)以2π/4為間隔的采樣，如圖3.3.6所示。圖3.3.6對(duì)X(ejω)以2π/4為間隔的采樣

【例3.3.3】設(shè)x(n)=R4(n)，以8為周期將其周期延拓得到，求的離散傅里葉級(jí)數(shù)變換。

解

幅頻特性如圖3.3.7所示。由于周期序列不滿足絕對(duì)可和條件，因此嚴(yán)格講其序列傅里葉變換不存在，但是在頻域引入沖激函數(shù)后，利用周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)變換就可以表示周期序列的序列傅里葉變換。設(shè)頻域的沖激函數(shù)為：圖3.3.7以8為周期周期延拓后的離散傅里葉級(jí)數(shù)由第2章所學(xué)知識(shí)可以得到

利用頻移特性可得

因此對(duì)于周期為N的周期序列，其序列傅里葉變換可計(jì)算如下：

其中，是以2π為周期的周期函數(shù)，即

由于是以N為周期的，因此(3.3.9)

式(3.3.9)說(shuō)明周期序列的序列傅里葉變換是一系列的沖激函數(shù)，沖激所在的頻點(diǎn)為2πk/N(k=0，±1，±2，…),強(qiáng)度為該周期序列傅里葉級(jí)數(shù)的2π/N倍。例【3.3.4】設(shè)，以8為周期將其周期延拓得到，求的序列傅里葉變換。

解：由例3.3.3已知

根據(jù)式(3.3.7)得

其幅頻特性如圖3.3.8所示。圖3.3.8的序列傅里葉變換在第2章我們講到用數(shù)字信號(hào)處理的方法處理模擬信號(hào)時(shí)，采樣后所得離散時(shí)間信號(hào)的頻譜是原模擬信號(hào)頻譜的周期延拓。因此，在滿足奈奎斯特采樣定理時(shí)，X(ejω)的主值

即是模擬信號(hào)的頻譜，然而X(ejω)是連續(xù)的，不便于用計(jì)算機(jī)分析。由3.3節(jié)的分析我們知道，將x(n)周期延拓后所得周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)變換是X(ejω)的等間隔采樣，這樣在時(shí)域和頻域都得到了周期離散的序列，便于計(jì)算機(jī)分析計(jì)算。3.4離散傅里葉變換的定義由于周期序列信息的冗余性，我們?cè)跁r(shí)域?qū)Α⒃陬l域?qū)Ψ謩e取主值序列x(n)和X(k)，X(k)就是x(n)的離散傅里葉變換(DFT)，如圖3.4.1所示。圖3.4.1DFT3.4.1DFT的定義

設(shè)x(n)是一個(gè)長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列，定義x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換為

(3.4.1)

X(k)的N點(diǎn)離散傅里葉反變換(IDFT)為

(3.4.2)式中，，N≥M。

離散傅里葉變換符合頻域離散化的要求，同時(shí)也適應(yīng)了計(jì)算機(jī)、數(shù)字信號(hào)處理芯片以及現(xiàn)場(chǎng)可編程門陣列(FPGA)等運(yùn)算平臺(tái)的運(yùn)算環(huán)境，因此其應(yīng)用十分廣泛。由于M點(diǎn)有限長(zhǎng)序列x(n)的N點(diǎn)DFT是對(duì)X(ejω)的采樣，因此DFT也就成為了分析頻譜的有效工具。

【例3.4.1】求R4(n)的4點(diǎn)和8點(diǎn)DFT。

解圖3.4.2

R4(n)的4點(diǎn)DFT幅頻曲線圖3.4.3

R4(n)的8點(diǎn)DFT幅頻曲線即序列的DFT是其SFT在［0，2π)上的N點(diǎn)等間隔采樣。

例3.4.1的Matlab實(shí)現(xiàn)如下:

x=ones(1，4);

fx=fft(x，1024);

figure;plot(abs(fx)，′LineWidth′，1.5);holdon;

%近似為序列傅里葉變換的幅度

stem(0：256：1023，abs(fx(1：256：1024)));

%利用DFT與SFT的關(guān)系畫出DFT幅度譜xlabel(′k′);

ylabel(′|X(k)|′);

figure;plot(abs(fx)，′LineWidth′，1.5);holdon;

%近似為序列傅里葉變換的幅度

stem(0：128：1023，abs(fx(1：128：1024)));

%利用DFT與SFT的關(guān)系畫出DFT幅度譜

xlabel(′k′);

ylabel(′|X(k)|′);

以上程序使用了Matlab的函數(shù)fft(x，N)，該函數(shù)用于計(jì)算序列的離散傅里葉變換，當(dāng)?shù)诙€(gè)參數(shù)所定義的DFT長(zhǎng)度為2的整數(shù)次冪時(shí)，進(jìn)行的是快速傅里葉變換(見(jiàn)第4章)。

上例中，R4(n)的4點(diǎn)DFT以2π/4為間隔，而其8點(diǎn)DFT則以2π/8為間隔采樣同一個(gè)連續(xù)函數(shù)，結(jié)果自然不同(如圖3.4.2和圖3.4.3所示)。3.4.3DFT的隱含周期性

從定義式看，DFT在時(shí)域和頻域各定義了一個(gè)N點(diǎn)有限長(zhǎng)的序列x(n)和X(k)，似乎與周期性無(wú)關(guān)，然而由于DFT是DFST對(duì)X(ejω)采樣所得周期序列的主值序列，并且周期

單位復(fù)指數(shù)序列對(duì)n、k來(lái)說(shuō)均是以N為周期的，因此DFT隱含以N為周期，即

X(k+mN)=X(k)，0≤k≤N-1，m∈Z

x(n+mN)=x(n)，0≤n≤N-1，m∈Z本節(jié)將要介紹離散傅里葉變換的一系列性質(zhì)，雖然這些性質(zhì)與第2章序列傅里葉變換的性質(zhì)存在著相似點(diǎn)，但也不能忽視它們之間的區(qū)別。由于離散傅里葉變換是有限長(zhǎng)序列

x(n)與有限長(zhǎng)序列X(k)之間的對(duì)應(yīng)，并且隱含以N為周期，因此其性質(zhì)既體現(xiàn)了有限區(qū)間的特點(diǎn)，也體現(xiàn)了周期性的特點(diǎn)。3.5離散傅里葉變換的主要性質(zhì)3.5.1線性性質(zhì)

設(shè)有限長(zhǎng)序列x1(n)、x2(n)的長(zhǎng)度分別為N1和N2，取N≥max［N1，N2］，則

DFT［ax1(n)+bx2(n)］=aX1(k)+bX2(k)，0≤k≤N-1

(3.5.1)式中，a、b為常數(shù)；X1(k)和X2(k)分別為x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT。

由于序列相加后有值區(qū)間以及序列長(zhǎng)度發(fā)生變化，因此需要將DFT的長(zhǎng)度確定為N≥max［N1，N2］。3.5.2循環(huán)移位性質(zhì)

在序列傅里葉變換中，線性移位性質(zhì)表明線性移位前后兩序列的幅頻特性相同，相頻特性相差一個(gè)e±jωm。但是，對(duì)一個(gè)區(qū)間為［0，N-1］的有限序列做線性移位，有值區(qū)間必然超出［0，N-1］，無(wú)法對(duì)移位后的序列作DFT，因此我們引入循環(huán)移位，以保證移位前后的序列有值區(qū)間在［0，N-1］。

1.序列的循環(huán)移位

設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，則x(n)的N點(diǎn)循環(huán)移位定義為

y(n)=x((n+m))NRN(n)

(3.5.2)

也可記為。由式(3.5.2)可以看出，循環(huán)移位前后的序列位于同一區(qū)間，長(zhǎng)度同為N，長(zhǎng)度N不同時(shí)，循環(huán)移位結(jié)果不同。

【例3.5.1】設(shè)序列x(n)={1，2，3，4，4，3，2，1}［0,7］，求N=8和N=11時(shí)的。

解如圖3.5.1和圖3.5.2所示。

N=8時(shí)，

N=11時(shí)，

按照循環(huán)移位的定義式，x(n)的循環(huán)移位求解步驟是：將x(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓，然后將得到的周期序列作相應(yīng)的線性移位，最后取主值序列。因此，N不同時(shí)序列進(jìn)行周期延拓的結(jié)果不一樣，導(dǎo)致循環(huán)移位結(jié)果不一樣。另外，觀察這一求解過(guò)程也可以發(fā)現(xiàn)，循環(huán)移位實(shí)質(zhì)上是將x(n)左移m位，移出主值區(qū)間的序列值依次從右側(cè)進(jìn)入主值區(qū)間，

相應(yīng)地，若將x(n)右移m位，則移出主值區(qū)間的序列值依次從左側(cè)進(jìn)入主值區(qū)間。圖3.5.1N=8時(shí)的圖3.5.2N=11時(shí)的

【例3.5.2】設(shè)序列x(n)={1，2，3，3，2}［0,4］，求N=5時(shí)的循環(huán)右移序列。

解如圖3.5.3所示

圖3.5.3循環(huán)移位的步驟

【例3.5.3】設(shè)序列x(n)={1，2，3，4}［0,3］，求N=4時(shí)的循環(huán)反轉(zhuǎn)序列。

解如圖3.5.4所示

圖3.5.4循環(huán)反轉(zhuǎn)的步驟

2.時(shí)域循環(huán)移位定理

設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，y(n)為x(n)的循環(huán)移位，即

y(n)=x((n+m))NRN(n)

則

(3.5.3)其中，X(k)=DFT［x(n)］，0≤k≤N-1。

證明：

有限長(zhǎng)序列在時(shí)域做循環(huán)移位，不影響其DFT的幅頻特性，只影響相頻特性。實(shí)際上，

循環(huán)移位前的序列和循環(huán)移位后的序列在時(shí)域已經(jīng)不相等了，因此二者的序列傅里葉變換是不相等的。然而，DFT對(duì)SFT采樣采到的N個(gè)頻率處，二者的DFT模值恰好相同，導(dǎo)致二者DFT的幅頻特性相同。此時(shí)，增加DFT點(diǎn)數(shù)破壞二者的循環(huán)移位關(guān)系，即可看到不同的頻譜，如下例。

【例3.5.4】求序列x1(n)={1,2,3,4,4,3,2,1}［0,7］和x2(n)={4,3,2,1,1,2,3,4}［0,7］的8點(diǎn)和16點(diǎn)DFT。

解因?yàn)镹=8時(shí)x2(n)=x1((n-4))8R8(n)，所以|X2(k)|=|X1(k)|，如圖3.5.5和圖3.5.6所示。

N=16時(shí)，二者之間循環(huán)移位關(guān)系不成立，|X2(k)|≠|(zhì)X1(k)|，如圖3.5.7和圖3.5.8所示。圖3.5.5

x1(n)8點(diǎn)DFT的幅頻特性圖3.5.6

x2(n)8點(diǎn)DFT的幅頻特性圖3.5.7

x1(n)16點(diǎn)DFT的幅頻特性圖3.5.8

x2(n)16點(diǎn)DFT的幅頻特性

3.頻域循環(huán)移位定理

有限長(zhǎng)序列x(n)的DFT為X(k)，即X(k)=DFT［x(n)］，0≤k≤N-1。設(shè)Y(k)為X(k)的循環(huán)移位，有

Y(k)=X((k+l))NRN(k)

(3.5.4)3.5.3循環(huán)卷積定理

在序列傅里葉變換中，時(shí)域線性卷積對(duì)應(yīng)著頻域相乘。我們知道對(duì)兩個(gè)長(zhǎng)度分別為N和M的有限序列做線性卷積，其結(jié)果長(zhǎng)度為N+M-1。由于DFT的點(diǎn)數(shù)不同，結(jié)果也不同，

因此無(wú)法尋找線性卷積前后序列之間的DFT關(guān)系。所以，我們引入循環(huán)卷積，以保證卷積前后的序列有值區(qū)間在［0，N-1］。

1.循環(huán)卷積

設(shè)有限長(zhǎng)序列x1(n)、x2(n)的長(zhǎng)度分別為N1和N2，取N≥max［N1，N2］，定義y(n)為x1(n)和x2(n)的循環(huán)卷積，即

(3.5.5)

可見(jiàn)，循環(huán)卷積序列的長(zhǎng)度仍為N。和循環(huán)移位一樣，對(duì)于同樣兩個(gè)序列，循環(huán)卷積所取長(zhǎng)度不同，結(jié)果不同。依據(jù)式(3.5.5)可以計(jì)算出兩序列的N點(diǎn)循環(huán)卷積，其方法與線性卷積的求法相似，區(qū)別是將線性移位改為循環(huán)移位，這里不再舉例。當(dāng)循環(huán)卷積的長(zhǎng)度N不大時(shí)，還可以用不進(jìn)

位乘法計(jì)算序列的循環(huán)卷積，即

【例3.5.5】設(shè)x(n)={3，2，1，4}，h(n)={1，1，2}，求。

解N=4時(shí)，

將結(jié)果相加得y(n)={9，13，9，9}，以上過(guò)程用豎式計(jì)算如下：

N=6時(shí)，所以y(n)={3，5，9，9，6，8}。

從例3.5.5中我們可以看出，求解兩序列的N點(diǎn)循環(huán)卷積時(shí)，首先將各序列都補(bǔ)齊到N點(diǎn)(不足N點(diǎn)的添零)，而后將其中一個(gè)序列依次循環(huán)移位0~N-1位和另一序列n=0~N-1位置的值相乘,最后將乘得的序列加起來(lái)即獲得結(jié)果。

2.時(shí)域循環(huán)卷積定理

設(shè)有限長(zhǎng)序列x1(n)、x2(n)的長(zhǎng)度分別為N1和N2，取N≥max［N1，N2］，y(n)為x1(n)和x2(n)的循環(huán)卷積，即

，則

Y(k)=DFT［y(n)］=X1(k)X2(k)，0≤k≤N-1

(3.5.6)其中，X1(k)和X2(k)分別是x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT。

證明：

該定理的意義在于利用DFT(實(shí)際使用中利用其快速算法)計(jì)算序列x(n)通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)h(n)的輸出。簡(jiǎn)單步驟為：利用FFT分別求X(k)、H(k)和反變換X(k)H(k)，獲得，再通過(guò)循環(huán)卷積與線性卷積的關(guān)系，求出序列過(guò)系統(tǒng)的輸出x(n)*h(n)。

3.頻域循環(huán)卷積定理

設(shè)有限長(zhǎng)序列x1(n)、x2(n)的長(zhǎng)度分別為N1和N2，取N≥max［N1，N2］，y(n)為x1(n)和x2(n)的乘積，即y(n)=x1(n)x2(n)，則

(3.5.7)

其中，X1(k)和X2(k)分別是x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT。證明方法與時(shí)域循環(huán)移位定理類似。3.5.4共軛對(duì)稱性

1.復(fù)共軛序列的DFT

設(shè)有限長(zhǎng)序列x(n)的長(zhǎng)度為N，且x*(n)是它的復(fù)共軛序列，若X(k)=DFT［x(n)］，則

(3.5.8)

證明：

因?yàn)镈FT是DFST的主值，將x(n)以N為周期周期延拓為，則

2.一般條件奇偶對(duì)稱

實(shí)序列關(guān)于n=0的奇偶對(duì)稱性是我們?cè)诘?章中討論復(fù)序列的共軛對(duì)稱性和共軛反對(duì)稱性的基礎(chǔ)，但是［0，N-1］內(nèi)的有限長(zhǎng)實(shí)序列顯然不滿足奇偶對(duì)稱性。因此，對(duì)以上

序列我們引入一般條件奇偶對(duì)稱。設(shè)有限長(zhǎng)的實(shí)序列x(n)長(zhǎng)度為N，且滿足

(3.5.9)則稱x(n)關(guān)于條件偶對(duì)稱，一般可簡(jiǎn)寫為x(n)=x(N-n)。

同理，若

(3.5.10)

則稱x(n)關(guān)于條件奇對(duì)稱，一般可簡(jiǎn)寫為x(n)=-x(N-n)。如圖3.5.9所示，(a)圖所示周期序列是關(guān)于n=0的一般偶對(duì)稱序列，(b)圖為其主值序列，參照式(3.5.9)可知該序列為條件偶對(duì)稱序列。這一結(jié)論不是偶然，因?yàn)殡x散傅里葉變換對(duì)中的序列是離散傅里葉級(jí)數(shù)變換中的主值序列，那么，針對(duì)有限長(zhǎng)序列的條件奇(偶)對(duì)稱即是用主值序列研究周期序列產(chǎn)生的一種對(duì)稱關(guān)系。所以，一般奇(偶)對(duì)稱的周期序列其主值序列必然是條件奇(偶)對(duì)稱的。圖3.5.9一般偶對(duì)稱與條件偶對(duì)稱的關(guān)系(a)一般偶對(duì)稱;(b)條件偶對(duì)稱相應(yīng)地，將條件奇(偶)對(duì)稱的序列周期延拓后得到的

周期序列則是關(guān)于n=0或n=N/2點(diǎn)的一般奇(偶)對(duì)稱序列。需要注意的是，一般奇(偶)對(duì)稱的對(duì)稱中心為n=0，而條件奇(偶)對(duì)稱的對(duì)稱中心為n=N/2，并且條件奇(偶)對(duì)稱序列在n=0這一點(diǎn)沒(méi)有對(duì)稱點(diǎn)。

3.有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱和反對(duì)稱序列

共軛對(duì)稱性是序列傅里葉變換的一條重要性質(zhì)，如式(2.2.17)和式(2.2.18)所示，利用該性質(zhì)時(shí)要將x(n)和X(ejω)分別進(jìn)行共軛對(duì)稱分解得到共軛對(duì)稱分量xe(n)及Xe(ejω)和共

軛反對(duì)稱分量xo(n)及Xo(ejω)。但是，區(qū)間［0，N-1］內(nèi)的N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，其共軛對(duì)稱或反對(duì)稱序列必然為區(qū)間［-N+1，N-1］內(nèi)的2N-1點(diǎn)序列。因此，我們引入?yún)^(qū)間［0，N-1］內(nèi)的有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱或反對(duì)稱序列。設(shè)有限長(zhǎng)序列x(n)長(zhǎng)度為N，且，定義有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列xep(n)為

(3.5.11)一般可簡(jiǎn)寫為。

定義有限長(zhǎng)共軛反對(duì)稱序列xop(n)為

(3.5.12)一般可簡(jiǎn)寫為。

不難驗(yàn)證，有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列xep(n)由其實(shí)部的條件偶對(duì)稱和虛部的條件奇對(duì)稱組成，有限長(zhǎng)共軛反對(duì)稱序列xop(n)則由其實(shí)部的條件奇對(duì)稱和虛部的條件偶對(duì)稱組成，如圖

3.5.10和圖3.5.11所示。因此，二者的模都是條件偶對(duì)稱的，而xep(n)的相角是條件奇對(duì)稱的。

此外，有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱和反對(duì)稱序列也是用主值序列研究周期序列的產(chǎn)物。圖3.5.10有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列的組成(a)實(shí)部的條件偶對(duì)稱;(b)虛部的條件奇對(duì)稱圖3.5.11有限長(zhǎng)共軛反對(duì)稱序列的組成(a)實(shí)部的條件奇對(duì)稱;(b)虛部的條件偶對(duì)稱

4.有限長(zhǎng)序列共軛對(duì)稱分解定理

設(shè)有限長(zhǎng)序列x(n)的長(zhǎng)度為N，則x(n)可分解成有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列和有限長(zhǎng)共軛反對(duì)稱序列的和，即

x(n)=xep(n)+xop(n)

且

(3.5.13)

(3.5.14)

證明：

xop(n)的證明與此相似，在此不再贅述。

5.共軛對(duì)稱性

設(shè)N點(diǎn)有限長(zhǎng)復(fù)序列x(n)可以分解成

x(n)=xR(n)+jx1(n)

(3.5.15)

x(n)=xep(n)+xop(n)

(3.5.16)

其N點(diǎn)DFT可以分解成

X(k)=XR(k)+jXI(k)

(3.5.17)

X(k)=Xep(k)+Xop(k)

(3.5.18)則

DFT［xep(n)］=XR(k)

(3.5.19)

DFT［xop(n)］=jX1(k)

(3.5.20)

Xep(k)=DFT［xR(n)］(3.5.21)

Xop(k)=DFT［jx1(n)］(3.5.22)

證明：離散傅里葉變換的共軛對(duì)稱性表明，當(dāng)序列是有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列時(shí)，其離散傅里葉變換是實(shí)序列，相應(yīng)地，實(shí)序列的離散傅里葉變換是有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列。實(shí)際應(yīng)用中常遇到x(n)為實(shí)序列的情形，由于其離散傅里葉變換X(k)是有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列，即

X(k)=X*(N-k)因此|X(k)|為條件偶對(duì)稱，X(k)的相位為條件奇對(duì)稱。若實(shí)序列x(n)滿足條件偶對(duì)稱，則其離散傅里葉變換X(k)也是實(shí)的條件偶對(duì)稱序列。因此，DFT具有以下的奇偶虛實(shí)特性：實(shí)的條件奇對(duì)稱序列的DFT是純虛的條件奇對(duì)稱序列，純虛的條件偶對(duì)稱序列的DFT是純虛的條件偶對(duì)稱序列，純虛的條件奇對(duì)稱序列的DFT是實(shí)的條件奇對(duì)稱序列。

【例3.5.6】設(shè)序列x(n)為實(shí)的條件奇對(duì)稱序列，證明其離散傅里葉變換X(k)為虛的條件奇對(duì)稱序列。

證明因?yàn)閤(n)為實(shí)序列，由式(3.5.21)知X(k)是有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列，即

X(k)=X*(N-k)

又因?yàn)閤(n)為條件奇對(duì)稱序列，由式(3.5.20)知X(k)是純虛序列，設(shè)

X(k)=jX1(k)式中X1(k)為實(shí)序列，因此有

X(k)=jX1(k)=X*(N-k)=-jX1(N-k)

所以，X(k)是虛的條件奇對(duì)稱序列。

【例3.5.7】利用離散傅里葉變換的共軛對(duì)稱性，求兩個(gè)實(shí)序列的N點(diǎn)DFT。要求是只能計(jì)算一次N點(diǎn)DFT。

解設(shè)x1(n)、x2(n)為兩個(gè)N點(diǎn)的實(shí)序列，構(gòu)造復(fù)數(shù)序列x(n)=x1(n)+jx2(n)，求該序列的DFT得X(k)，則兩個(gè)實(shí)序列的DFT分別為

所以，將兩個(gè)實(shí)序列構(gòu)造成復(fù)序列x(n)后只需計(jì)算一次DFT求得X(k)，然后求Xep(k)和-jXop(k)就可得到所需的結(jié)果。3.5.5離散帕斯瓦爾定理

設(shè)N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列x(n)的DFT為X(k)，則

(3.5.23)

式(3.5.23)說(shuō)明DFT變換不會(huì)造成能量的損失。表3.5.1列出了一些基本序列的DFT，供讀者參考。表3.5.2歸納了DFT的基本性質(zhì)。表3.5.1基本序列的離散傅里葉變換表3.5.2DFT的主要性質(zhì)由時(shí)域采樣定理可知，若連續(xù)時(shí)間信號(hào)xa(t)是頻帶有限的，即

Xa(jΩ)=0，|Ω|≥Ωmax

則以采樣周期T=2π/Ωs對(duì)其采樣得到采樣信號(hào)xa(nT)，當(dāng)Ωs≥2Ωmax時(shí)，可由xa(nT)恢復(fù)出xa(t)。3.6頻率域采樣根據(jù)時(shí)域與頻域的對(duì)偶性原理可以斷定，對(duì)離散時(shí)間信號(hào)x(n)的序列傅里葉變換X(ejω)等間隔采樣得到X(k)，在一定條件下應(yīng)該可以由X(k)恢復(fù)出X(ejω)。本節(jié)要解決的問(wèn)題是，頻域采樣在時(shí)域產(chǎn)生什么影響，以及采樣滿足什么條件時(shí)，可由頻域采樣序列X(k)恢復(fù)出X(ejω)和X(z)。3.6.1頻率域采樣定理

設(shè)序列x(n)的傅里葉變換為X(ejω)，在區(qū)間［0，2π)內(nèi)對(duì)X(ejω)進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣(采樣間隔為2π/N)得到序列X(k)，且X(k)的N點(diǎn)IDFT為xN(n)，即

(3.6.1)

(3.6.2)由于將xN(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓后的周期序列與X(k)以N為周期周期延拓后的周期序列互為DFST變換對(duì)，即

則

因?yàn)?/p>

所以

(3.6.3)可見(jiàn)，對(duì)X(ejω)等間隔采樣導(dǎo)致時(shí)域序列x(n)周期延拓，并且在區(qū)間［0，2π)內(nèi)以2π/N

為間隔采樣得到的序列X(k)，其IDFT為原序列x(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓后的

主值序列。若序列x(n)的長(zhǎng)度為M，則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)N≥M時(shí)，xN(n)=x(n)，此時(shí)才可以由頻域采樣序列X(k)恢復(fù)出X(ejω)。因此，只有當(dāng)時(shí)域序列有限長(zhǎng)時(shí)，以適當(dāng)?shù)牟?/p>

樣間隔對(duì)X(ejω)采樣才不會(huì)丟失信息。

【例3.6.1】序列x(n)=(1/2n)u(n)的序列傅里葉變換為X(ejω)，對(duì)X(ejω)在［0，2π)內(nèi)等間隔采樣得到10點(diǎn)序列Y(k)，求y(n)=IDFT［Y(k)］。

解由式(3.6.3)知，

由于序列x(n)為因果序列，其右移(r<0)序列均超出y(n)的主值區(qū)間［0，9］，因此y(n)由x(n)的左移(r≥0)序列確定，即

【例3.6.2】設(shè)x(n)={1，2，3，4，3，2，1}［0,6］，

X(ejω)=SFT［x(n)］，對(duì)X(ejω)在［0，2π)內(nèi)分別進(jìn)行4點(diǎn)和8點(diǎn)的采樣得到序列Y1(k)和Y2(k)，試編寫Matlab程序求相應(yīng)的DFT反變換y1(n)和y2(n)。

解Matlab程序如下:

x=［1，2，3，4，3，2，1］;fx=fft(x，1024);

fy1=fx(1：256：1024); %取4點(diǎn)值

fy2=fx(1：128：1024);

%取8點(diǎn)值

y1=ifft(fy1);

y2=ifft(fy2);figure;plot((0：1023)*2/1024，abs(fx)，′LineWidth′，1.5);holdon;

stem((0：256：1023)*2/1024，abs(fy1)，′k.-′);xlabel(′k′);ylabel(′|Y_{1}(k)|′);

figure;plot((0：1023)*2/1024，abs(fx)，′LineWidth′，1.5);holdon;

stem((0：128：1023)*2/1024，abs(fy2)，′k.-′);xlabel(′k′);ylabel(′|Y_{2}(k)|′);

figure;stem(y1);

xlabel(′n′);ylabel(′y_{1}(n)′);

figure;stem(y2);

xlabel(′n′);ylabel(′y_{2}(n)′);

程序運(yùn)行結(jié)果如圖3.6.1~圖3.6.4所示。圖3.6.14點(diǎn)采樣圖3.6.28點(diǎn)采樣圖3.6.3

y1(n)圖3.6.4

y2(n)由圖3.6.5可以看出，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)N小于序列長(zhǎng)度M時(shí)，反變換后的序列與原序列已經(jīng)不相等了，這樣一來(lái)它們的頻譜除了在采樣點(diǎn)上是相同的，其它頻率處都不一樣。

圖中虛線為原序列的幅頻特性，實(shí)線為采樣、反變換后所得序列的幅頻特性。圖3.6.5

N<M時(shí)X(ejω)與Y1(ejω)的頻譜對(duì)比所以，頻率域采樣只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)N大于等于原序列的長(zhǎng)度M時(shí)，時(shí)域周期延拓不出現(xiàn)混疊現(xiàn)象，此時(shí)才能由采樣后的X(k)恢復(fù)出X(ejω)和X(z)。3.6.2內(nèi)插公式

用頻域采樣序列X(k)表示X(ejω)和X(z)的公式為內(nèi)插公式，在第8章中我們將會(huì)講到頻域內(nèi)插公式是有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器頻率采樣結(jié)構(gòu)的理論依據(jù)。

1.由X(k)表示X(z)的內(nèi)插公式

設(shè)序列x(n)長(zhǎng)度為M，對(duì)其Z變換X(z)在單位圓上等間隔采樣N點(diǎn)得序列X(k)，N≥M，即

(3.6.4)

(3.6.5)由頻域采樣定理知，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)N≥M時(shí)，有

代入X(z)表示式，得

所以

(3.6.6)

式中

(3.6.7)

φk(z)稱為用X(k)表示X(z)的內(nèi)插函數(shù)，當(dāng)滿足N≥M時(shí)，可由X(k)及內(nèi)插公式求得任意z處的X(z)值。

2.由X(k)表示X(ejω)的內(nèi)插公式

將X(k)表示X(z)的內(nèi)插公式中z用ejω代替即可得到X(k)表示

(3.6.8)

令

(3.6.9)

則

所以

(3.6.10)

DFT的快速算法的出現(xiàn)，使DFT在數(shù)字通信、語(yǔ)音信號(hào)處理、圖像處理、功率譜估計(jì)、仿真、系統(tǒng)分析、雷達(dá)理論、光學(xué)、醫(yī)學(xué)、地震以及數(shù)值分析等各個(gè)領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用。然而，各種應(yīng)用一般都以卷積和相關(guān)運(yùn)算為基礎(chǔ)，或者以DFT作為連續(xù)傅里葉變換的近似為基礎(chǔ)。所以本節(jié)主要介紹用DFT計(jì)算卷積和相關(guān)運(yùn)算的基本原理以及用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)和序列進(jìn)行頻譜分析等最基本的應(yīng)用。3.7離散傅里葉變換的應(yīng)用在對(duì)以上兩大應(yīng)用的分析中，第一個(gè)應(yīng)用要借助頻域相乘再進(jìn)行DFT反變換的方法(IDFT［X(k)H(k)］)求序列經(jīng)過(guò)LTI系統(tǒng)后的輸出y(n)=x(n)*h(n)，所以需要分析循環(huán)卷積和線性卷積的關(guān)系;第二個(gè)應(yīng)用則需要分析利用DFT進(jìn)行頻譜分析時(shí)出現(xiàn)的頻譜泄漏、柵欄和頻譜混疊現(xiàn)象。3.7.1用DFT計(jì)算線性卷積

在3.5節(jié)介紹的DFT性質(zhì)中，時(shí)域循環(huán)卷積定理給出了利用DFT計(jì)算循環(huán)卷積的思路，即

y(n)=IDFT［X1(k)X2(k)］式中，X1(k)=DFT［x1(n)］，X2(k)=DFT［x2(n)］，DFT點(diǎn)數(shù)及循環(huán)卷積長(zhǎng)度均為N，則。因此，循環(huán)卷積既可以按照式(3.5.5)在時(shí)域直接計(jì)算，也可以按照上述步驟通過(guò)頻域來(lái)計(jì)算，并且當(dāng)N很大時(shí)，采用DFT的快速算法在頻域?qū)崿F(xiàn)的速度要快得多。實(shí)際應(yīng)用中，為了求序列經(jīng)過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出，需要計(jì)算輸入序列與系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的線性卷積;另外，為了求解兩個(gè)信號(hào)的相關(guān)性或某一信號(hào)經(jīng)過(guò)一段延遲后自身的相關(guān)性，需要計(jì)算相關(guān)函數(shù)，根據(jù)式(1.4.11)和式(1.4.12)，計(jì)算相關(guān)函數(shù)也可以通過(guò)計(jì)算線性卷積來(lái)實(shí)現(xiàn)。與計(jì)算循環(huán)卷積一樣，為了提高計(jì)算線性卷積的速度，也希望能夠利用DFT的快速算法來(lái)計(jì)算。但是，按照定理DFT只能計(jì)算二者的循環(huán)卷積，所以需要推導(dǎo)出線性卷積與循環(huán)卷積的關(guān)系。

1.線性卷積與循環(huán)卷積的關(guān)系

為了得出線性卷積與循環(huán)卷積的關(guān)系，并獲得使二者相等的條件，引入了兩周期序列的周期卷積。設(shè)、是周期為N的周期序列，定義

(3.7.1)為、的周期卷積。周期卷積滿足)。

【例3.7.1】求序列與的周期卷積

解

所以，。由于周期序列的主值序列是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，因此計(jì)算有限長(zhǎng)序列的線性卷積可以利用不進(jìn)位乘法，如果找出周期卷積與線性卷積的關(guān)系，則可以利用線性卷積來(lái)計(jì)算周期卷積。設(shè)x(n)和y(n)是［0，N-1］上長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，二者的線性卷積為f(n)=x(n)*y(n)。將x(n)、y(n)和f(n)以L≥N為周期進(jìn)行周期延拓，則

(3.7.2)證明：

即兩序列的線性卷積序列周期延拓后得到的周期序列等于各序列以相同的周期周期延拓后的周期卷積序列。在例3.7.1中，若按照周期卷積與線性卷積的關(guān)系，可以這樣求解：

(1)計(jì)算兩周期序列的主值序列的線性卷積:

f(n)=x(n)*y(n)={0，1，4，7，6}

(2)將f(n)以3為周期周期延拓，得到，與按照定義式(3.7.1)算出的結(jié)果是相等的。

由于兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的循環(huán)卷積是各序列周期延拓后周期卷積的主值序列，即

(3.7.3)因此，借助式(3.7.2)線性卷積與周期卷積的關(guān)系以及式(3.7.3)循環(huán)卷積與周期卷積的關(guān)系，可以導(dǎo)出線性卷積與循環(huán)卷積的關(guān)系。設(shè)有限長(zhǎng)序列x(n)的長(zhǎng)度為N，h(n)的長(zhǎng)度為M，若它們的線性卷積序列為yl(n)=x(n)*h(n)，長(zhǎng)度Lg=N+M-1，它們進(jìn)行長(zhǎng)度為L(zhǎng)的循環(huán)卷積所得序列為則

(3.7.4)其中

式(3.7.4)說(shuō)明兩序列的循環(huán)卷積序列是它們線性卷積序列以循環(huán)卷積的長(zhǎng)度為周期周期延拓后的主值序列。根據(jù)循環(huán)卷積序列的長(zhǎng)度L與線性卷積序列的長(zhǎng)度Lg及N、M之間的關(guān)系，可以得出以下推論(設(shè)N≥M)：

(1)當(dāng)L=N時(shí)

(2)當(dāng)L=Lg時(shí)，

yc(n)=yl(n)

(3)當(dāng)N≤L<Lg時(shí)

推論(1)中循環(huán)卷積的長(zhǎng)度取的是參與卷積的兩個(gè)序列中較長(zhǎng)的長(zhǎng)度，應(yīng)用于后面要講的重疊保留算法。推論(2)是兩序列的循環(huán)卷積序列等于它們的線性卷積序列的情況，

此時(shí)循環(huán)卷積長(zhǎng)度取為線性卷積的長(zhǎng)度，應(yīng)用于重疊相加算法。圖3.7.1畫出了推論(1)中線性卷積與循環(huán)卷積的關(guān)系。圖3.7.1線性卷積與循環(huán)卷積的關(guān)系

【例3.7.2】已知兩個(gè)有限長(zhǎng)序列，其中x(n)長(zhǎng)度為8、y(n)長(zhǎng)度為20，對(duì)每個(gè)序列做20點(diǎn)的DFT，得到X(k)=DFT［x(n)］，Y(k)=DFT［y(n)］。若F(k)=X(k)Y(k)，f(n)=IDFT［F(k)］,求n為何值時(shí)f(n)=x(n)*y(n)。

解題設(shè)條件知，且兩序列的長(zhǎng)度M=8、N=20，循環(huán)卷積的長(zhǎng)度L=N=20，符合推論的第一種情況，所以當(dāng)M-1≤n≤N-1即7≤n≤19時(shí)f(n)=x(n)*y(n)。

2.有限序列的線性卷積計(jì)算

設(shè)有限長(zhǎng)序列x(n)的長(zhǎng)度為N，h(n)的長(zhǎng)度為M，當(dāng)N+M<+∞時(shí)取DFT點(diǎn)數(shù)(也即循環(huán)卷積長(zhǎng)度)為線性卷積的長(zhǎng)度Lg=N+M-1，則有

這樣，兩序列的線性卷積可以通過(guò)先求二者的DFT及其乘積再反變換得到，計(jì)算流程如圖3.7.2所示。圖3.7.2利用循環(huán)卷積計(jì)算線性卷積的計(jì)算流程

3.無(wú)限長(zhǎng)序列與有限長(zhǎng)序列的線性卷積

在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到兩個(gè)序列的長(zhǎng)度相差很大的情況，例如一個(gè)很長(zhǎng)的輸入信號(hào)經(jīng)過(guò)一個(gè)單位脈沖響應(yīng)長(zhǎng)度較短的系統(tǒng)，此時(shí)如果采用上述方法，則要求短序列補(bǔ)很多零，長(zhǎng)序列必須全部輸入完后才能進(jìn)行運(yùn)算，況且，在某些實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合，系統(tǒng)的輸入序列長(zhǎng)度不定或無(wú)限長(zhǎng)，如語(yǔ)音信號(hào)等。因此，無(wú)論從運(yùn)算的時(shí)延，還是運(yùn)算的效率來(lái)看，長(zhǎng)短序列的線性卷積存在其特殊性。實(shí)際中往往將長(zhǎng)序列分解成若干短序列，分段計(jì)算卷積，最后依次將分段計(jì)算的結(jié)果組合起來(lái)，這樣即可滿足實(shí)時(shí)性要求，又可以利用DFT快速算法計(jì)算各段卷積。這種分段處理的方法分為重疊相加法和重疊保留法。

1)重疊相加法

重疊相加法的思路是，將兩個(gè)序列中長(zhǎng)度較長(zhǎng)或無(wú)限長(zhǎng)的序列均勻分段，計(jì)算各個(gè)有限長(zhǎng)的子序列與另一短序列的線性卷積，最后將結(jié)果重疊相加起來(lái)。設(shè)有限長(zhǎng)序列h(n)的長(zhǎng)度為M，x(n)為無(wú)限長(zhǎng)序列，用重疊相加法計(jì)算二者線性卷積的步驟如下：

(1)將x(n)均勻分段，每段長(zhǎng)度為N：

(2)設(shè)，計(jì)算xk′(n)與h(n)的線性卷積yk′(n)：yk′(n)=h(n)*xk′(n)，0≤n≤N+M-2

或

DFT點(diǎn)數(shù)為N+M-1。再將yk′(n)移位得到

(3)將各子序列線性卷積的結(jié)果yk(n)移位后相加得總輸出：

重疊相加法對(duì)序列x(n)分段時(shí)，第k個(gè)子序列xk(n)位于區(qū)間［kN，(k+1)N-1］，各子序列在時(shí)間上沒(méi)有重疊。計(jì)算xk′(n)和h(n)的線性卷積時(shí)，可以按照線性卷積的定義在時(shí)域求，也可以利用時(shí)域循環(huán)卷積定理從頻域求。若選擇后一種方法，則需要將DFT點(diǎn)數(shù)取為線性卷積序列的長(zhǎng)度N+M-1，此時(shí)需要在xk′(n)和h(n)的末尾補(bǔ)零使序列長(zhǎng)度增加至

N+M-1。最后一步，子序列線性卷積的結(jié)果yk(n)移位相加時(shí)，相鄰序列在時(shí)域上重疊M-1個(gè)點(diǎn)。

圖3.7.3為重疊相加法計(jì)算過(guò)程的示意圖。圖3.7.3重疊相加法示意圖實(shí)際編程實(shí)現(xiàn)時(shí)，由于重疊相加法的各段輸入數(shù)據(jù)對(duì)計(jì)算輸出是獨(dú)立的，因此計(jì)算完一段的輸入后，可以利用保存該段輸入數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)空間保存下一段輸入數(shù)據(jù)，這樣處理會(huì)節(jié)省一些內(nèi)存。但是，重疊相加法的每一段輸出對(duì)于最終結(jié)果來(lái)說(shuō)都不是完整的，因此必須將每一段輸出的結(jié)果都保存下來(lái)。

【例3.7.3】

已知x(n)={1，2，3，1，2，3，…，1，2，3}［0,29］，h(n)={1，2}［0,1］，求它們的線性卷積序列y(n)。

解用重疊相加法，依題意M=2，選N=3。

(1)

xk(n)={1，2，3}［3k,3(k+1)-1］，k=0，1，…，9

(2)

yk′(n)=xk′(n)*h(n)={1，4，7，6}［0,3］

(3)

y(n)={1，4，7，6

1，4，7，6

……

1，4，7，6}

={1，4，7，7，4，7，7，4，7，…，7，4，7，6}［0,30］

Matlab程序如下:

xk=［123］; %子序列

h=［12］; %短序列

N=3; %長(zhǎng)度

M=2;

forl=1：10

x((l-1)*N+1：l*N)=xk; %長(zhǎng)序列

end

Hk=fft(h，N+M-1); %短序列的DFT

y=zeros(1，M+N*10-1);%規(guī)定線性卷積序列的總長(zhǎng)度

y(1：N+M-1)=ifft(fft(x(1：N)，N+M-1).*Hk);

forl=2：10

yk=ifft(fft(x((l-1)*N+1：l*N)，N+M-1).*Hk);

y((l-1)*N+1：(l-1)*N+M-1)=yk(1：M-1)+y((l-1)*N+1：(l-1)*N+M-1);

y((l-1)*N+M：l*N+M-1)=yk(M：N+M-1);

end

2)重疊保留法

重疊保留法的思路是，將兩個(gè)序列中較長(zhǎng)或無(wú)限長(zhǎng)的序列在時(shí)間上有重疊地分段，然后計(jì)算各個(gè)子序列與較短序列的循環(huán)卷積，最后依次保留各循環(huán)卷積中等于線性卷積的部分，使得每一段輸出都是完整且不重疊的。按照這種思路，首先要找出影響每個(gè)輸出子序列的輸入序列位于哪個(gè)時(shí)間段。將y(n)均勻分成長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列yk(n)，即

設(shè)

求解［kN，(k+1)N-1］區(qū)間上的yk(n)，與xk(n)有關(guān)的區(qū)間可以確定如下：

因?yàn)閗N≤n≤(k+1)N-1且0≤i≤M-1，所以

kN-M+1≤n-i≤(k+1)N-1可見(jiàn)，［kN，(k+1)N-1］區(qū)間上的yk(n)僅與［kN-M+1，(k+1)N-1］區(qū)間的輸入有關(guān)。

所以，用重疊保留法計(jì)算長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列h(n)與無(wú)限長(zhǎng)序列x(n)的線性卷積時(shí)，其步驟如下：

(1)將x(n)在時(shí)間上有重疊地分段(每一段由kN向前重疊取M-1點(diǎn))，每段長(zhǎng)度為N+M-1點(diǎn)。

(2)設(shè)xk′(n)=xk(n+kN-M+1)，計(jì)算xk′(n)與h(n)的線性卷積yk′(n)。

取循環(huán)卷積長(zhǎng)度為xk′(n)的長(zhǎng)度N+M-1，在h(n)末尾補(bǔ)零使其長(zhǎng)度增加至N+M-1,計(jì)算循環(huán)卷積

根據(jù)循環(huán)卷積與線性卷積關(guān)系的推論(1)，舍掉ykc(n)的前M-1點(diǎn)得yk′(n)=ykc(n)，M-1≤n≤N+M-2，最后移位得到

yk(n)=yk′(n-kN+M-1)。

(3)將輸出子序列yk(n)相加。

計(jì)算過(guò)程如圖3.7.4所示。圖3.7.4重疊保留法示意圖實(shí)際編程實(shí)現(xiàn)時(shí)，由于重疊保留法對(duì)輸入數(shù)據(jù)分段時(shí)有重疊，因此必須將已計(jì)算完輸出的輸入數(shù)據(jù)的后M-1點(diǎn)保存下來(lái)為求解下一段輸出使用。重疊保留法的優(yōu)點(diǎn)是得到的每

段輸出是相互獨(dú)立的。

【例3.7.4】用重疊保留法重做例3.7.3。

解依題意M=2且選擇N=3，則xk(n)取4點(diǎn)。

(1)x0(n)={0，1，2，3}［-1,2］

xk(n)={3，1，2，3}［3k-1,3(k+1)-1］，k=1，2，…，9

x10(n)={3，0，0，0}［29,32］

(2)y0c(n)={6，1，4，7}［0,3］，舍棄第一點(diǎn)，保留后三點(diǎn)y0′(n)={1，4，7}

ykc(n)={9，7，4，7}［0,3］，每段舍棄第一點(diǎn)，保留后三點(diǎn)yk′(n)={7，4，7}

y10c(n)={3，6，0，0}［0,3］，舍棄第一點(diǎn)，僅留非零值點(diǎn)y10′(n)={6}

(3)y(n)={1，4，7，7，4，7，7，4，7，…，7，4，7，6}［0,30］

Matlab程序如下:

xk=［123］; %子序列

h=［12］;

%短序列

N=3;M=2;

%長(zhǎng)度

forl=1：10

x((l-1)*N+1：l*N)=xk; %長(zhǎng)序列

end

Hk=fft(h，N+M-1); %短序列的DFT

y=zeros(1，M+N*10-1); %規(guī)定線性卷積序列的總長(zhǎng)度

overlap=zeros(1，M-1); %向前重復(fù)取的數(shù)據(jù)

y(1：N+M-1)=ifft(fft(［overlapx(1：N)］，N+M-1).*Hk);

y(1：N)=y(M：N+M-1); %舍棄前M-1點(diǎn)

forl=2：10

overlap=x((l-1)*N-M+2：(l-1)*N);

%向前重復(fù)取的數(shù)據(jù)

yk=ifft(fft(［overlapx((l-1)*N+1：l*N)］，N+M-1).*Hk);y((l-1)*N+1：l*N)=yk(M：N+M-1); %舍棄前M-1點(diǎn)

end

l=l+1;

overlap=x((l-1)*N-M+2：(l-1)*N);

yk=ifft(fft(［overlapzeros(1，N)］，N+M-1).*Hk);

y((l-1)*N+1：l*N)=yk(M：N+M-1); %舍棄前M-1點(diǎn)3.7.2用DFT對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析

非周期的連續(xù)時(shí)間信號(hào)以及非周期的離散時(shí)間信號(hào)，其頻域函數(shù)都是連續(xù)的，不便于直接用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算，使傅里葉變換的應(yīng)用受到限制，而DFT是一種時(shí)域和頻域均離散

化的變換，適合數(shù)值運(yùn)算，成為分析離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)的有力工具。對(duì)于連續(xù)時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)，則可以通過(guò)時(shí)域采樣再應(yīng)用DFT進(jìn)行近似頻譜分析。

1.用DFT對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行頻譜分析

由式(3.4.1)可以看出，做DFT運(yùn)算時(shí)信號(hào)必須是時(shí)域有限的，但時(shí)域有限的信號(hào)其頻帶必然是無(wú)限的，因此用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析時(shí)，在對(duì)信號(hào)采樣之前首先要經(jīng)過(guò)一個(gè)低通濾波器，這樣才能獲得近似頻帶有限(帶限)的信號(hào)。另外，為了保證連續(xù)時(shí)間信號(hào)是時(shí)域有限的，假設(shè)當(dāng)t很大時(shí)該信號(hào)的值很小。設(shè)符合上述條件的連續(xù)時(shí)間信號(hào)為xa(t)，其傅里葉變換為Xa(jΩ)，采樣前xa(t)通過(guò)一個(gè)低通濾波器，使得Xa(jΩ)≈0，|Ω|≥Ωmax。這樣，xa(t)在時(shí)域和頻域都是近似帶限的，可以利用DFT來(lái)分析xa(t)的頻譜。

若以T=2π/Ωs為時(shí)域采樣間隔對(duì)xa(t)進(jìn)行時(shí)域采樣獲得序列x(n)，設(shè)其序列傅里葉變換為X(ejω)，根據(jù)式(2.5.13)可得

設(shè)x(n)的N點(diǎn)DFT為X(k)，根據(jù)式(3.4.4)可得

因此

(3.7.5)令

(3.7.6)

定義Tp為信號(hào)的持續(xù)時(shí)間，則

(3.7.7)所以連續(xù)時(shí)間信號(hào)xa(t)在頻率Fk(0≤k≤N-1)處的頻譜Xa(j2πFk)是序列x(n)的N點(diǎn)DFT在k(0≤k≤N-1)處值的T倍。定義F為譜分析的頻率分辨率，則模擬頻率與DFT中的k存在關(guān)系

(3.7.8)

式(3.7.7)的成立是建立在滿足時(shí)域采樣定理和頻域采樣定理的基礎(chǔ)上的，因此，用DFT分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜時(shí)，引入以下兩個(gè)概念：

(1)譜分析范圍：

(3.7.9)某一系統(tǒng)當(dāng)采樣頻率一定后，該系統(tǒng)所能處理的信號(hào)最高頻率也就確定了。或者說(shuō)，系統(tǒng)的頻譜分析范圍受系統(tǒng)采樣頻率Fs的限制，為了不產(chǎn)生頻譜混疊，通常要求信號(hào)的最高頻率小于采樣頻率的一半(奈奎斯特采樣定理)，即

(2)頻率分辨率：

(3.7.10)頻率分辨率F表示譜分析中能夠分辨的兩個(gè)頻譜分量的最小間隔。F越小，頻率分辨率越高，譜分析越接近原連續(xù)信號(hào)的頻譜。

【例3.7.5】對(duì)fmax=50kHz的實(shí)信號(hào)進(jìn)行譜分析，要求頻率分辨率F≤100Hz。

(1)確定最小記錄時(shí)間Tpmin;

(2)確定最大采樣間隔Tmax;

(3)確定最少采樣點(diǎn)數(shù)Nmin;

(4)如果fmax不變，要求譜分辨率增加一倍，重做(1)、(3)。解

(1)

(2)

(3)

(4)

F≤50Hz，例3.7.5說(shuō)明頻率分辨率要求提高以后，譜分析所選的參數(shù)發(fā)生相應(yīng)的變化。按照式(3.7.10)增加頻譜分辯能力的措施有：DFT點(diǎn)數(shù)一定時(shí)降低采樣頻率，采樣頻率一定時(shí)增加DFT點(diǎn)數(shù)。當(dāng)DFT點(diǎn)數(shù)一定時(shí)，降低采樣頻率以提高頻譜分辨能力，但采樣頻率不能低于奈奎斯特采樣頻率。

當(dāng)采樣頻率一定時(shí)，增加DFT點(diǎn)數(shù)N以提高頻率分辨率。此時(shí)，首選的方法是通過(guò)增加信號(hào)在時(shí)域的采樣點(diǎn)數(shù)來(lái)增加N，也即是增加信號(hào)的持續(xù)時(shí)間。如果信號(hào)持續(xù)時(shí)間實(shí)在

無(wú)法增加(如短時(shí)信號(hào)、觀察有限脈沖響應(yīng)濾波器頻率響應(yīng)等)，則可在原x(n)后補(bǔ)零增加DFT點(diǎn)數(shù)N。這兩種方法雖然都增加了DFT點(diǎn)數(shù)，但本質(zhì)上是有區(qū)別的，如下例。

【例3.7.6】對(duì)采樣后的N點(diǎn)序列x(n)=a1*cos(2πnf1/Fs)+

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