《電工電子技術(shù)及應用》課件-第5章

第5章一階瞬態(tài)電路分析5.1瞬態(tài)電路的基本概念與換路定則5.2瞬態(tài)電路的三要素分析法5.3RC瞬態(tài)電路的應用5.4工程中對RL瞬態(tài)電路

“放電”的應對方法5.5RC電路的工程應用習題5

5.1瞬態(tài)電路的基本概念與換路定則

5.1.1瞬態(tài)電路的基本概念1.電路中的瞬態(tài)過程自然界許多宏觀事物的運動都存在由一個穩(wěn)定狀態(tài)向另一個穩(wěn)定狀態(tài)的過渡,這一過程稱為過渡過程。有些事物的過渡過程歷時很長,有些事物的過渡時間較短。電路中也存在這一現(xiàn)象。而電路中過渡過程用時很短,幾乎可以用“瞬間”來說明,因此把這一過程又稱為電路的瞬態(tài)過程。處于瞬態(tài)過程的電路便是瞬態(tài)電路。

電路的接通、斷開、短路、電源或電路中參數(shù)的突然改變等稱為換路,而電路中的瞬態(tài)過程發(fā)生在電路換路時。究其原因,是因為電路中有儲能元件(電感或電容)的存在,而宏觀能量是不能躍變的,即只能連續(xù)地變化。亦即儲能元件所儲存能量的連續(xù)性變化產(chǎn)生了電路中的瞬態(tài)過程。由于換路現(xiàn)象,而使得電路進入瞬態(tài)過程,其原因是由于電路中存在儲能元件由于換路而發(fā)生的充、放電過程。可以說,當儲能元件的充、放電過程結(jié)束時,則意味著電路的瞬態(tài)過程結(jié)束,重新進入新的穩(wěn)定過程。

研究電路瞬態(tài)過程中電壓或電流隨時間的變化規(guī)律u(

t)、i(t)及瞬態(tài)過程時間的長短稱為瞬態(tài)分析。

需要注意的是,瞬態(tài)過程只是一個電路的一種狀態(tài)。其電路響應是時刻變化的,不是穩(wěn)定的、保持不變的。

瞬態(tài)過程在日常的生活和工作中經(jīng)常遇到,如電感鎮(zhèn)流式熒光燈就是利用電感線圈在突然斷電時產(chǎn)生的自感高壓使熒光燈啟輝的,電子時間繼電器是利用電容充電或放電的快慢程度來控制延時時間的,電子技術(shù)中的波形變換也是利用了瞬態(tài)電路。然而在電力電路中的大部分情況下,瞬態(tài)過程會出現(xiàn)過電壓或過電流現(xiàn)象,甚至會損壞電氣設備,造成嚴重事故。因此,分析電路的瞬態(tài)過程,目的在于掌握規(guī)律以便在工作中用其“利”,克其“弊”。

2.瞬態(tài)過程的研究方法

只含有一個儲能元件或可等效為一個儲能元件的線性電路,其瞬態(tài)過程可以用一階微分方程描述,這種電路稱為一階電路。

在瞬態(tài)過程分析中,由于電容元件和電感元件的伏安特性是微分或積分關系,所得到的電路方程是以電壓、電流為變量的微分方程。對于一階線性電路可以不必求解微分方程而利用所謂三要素進行求解,稱為三要素法。

5.1.2換路定則與初始值計算

由于電路換路時,電路中的能量發(fā)生變化,這種變化只能是漸變的,而不能是躍變的,否則將使功率達到無窮大,這在實際中顯然是不可能的。換路時電容和電感儲存的能

量不能躍變,所以電容電壓uC和電感電流iL只能連續(xù)變化,一般也不能躍變。設t=0為換路瞬間,則t=0-為換路瞬間前,t=0+便為換路瞬間后,而t→∞則表示電

路重新處于穩(wěn)定狀態(tài)了。

從0-到0+的換路瞬間,電容元件上的電壓和電感元件中的電流不能躍變,是連續(xù)變化的,所以有

這就是換路定則。它適用的前提條件分別是在換路瞬間,電容中的電流iC有限,電感中的電壓uL有限,而這一條件在一般實際情況下都是滿足的。

需要注意的是,在任何時刻,電路中的電學量都必須遵守基爾霍夫定律(KCL和KVL),同時,各電路元件的伏安特性也依然成立。在換路瞬間,對于電容元件而言,其電壓不能躍

變,但其電流可以躍變;對于電感元件而言,其電流不能躍變,但電壓可以躍變。換句話說,在換路瞬間,除uC和iL外的其他電學量仍然滿足基爾霍夫定律。

換路定則僅適用于換路瞬間。可以根據(jù)換路定則來確定t=0+時電路中電壓和電流之值,即瞬態(tài)過程的初始值。確定各個電壓和電流的初始值可先由t=0-的電路求出iL(0-)或uC(0-),而后由t=0+的電路在已求得的iL(0+)或uC(0+)的條件下求其他電壓和電流的初始值。

在換路前,如果儲能元件沒有儲能,那么在換路瞬間,uC(

0+)=uC(0-)=0,電容相當于短路;iL(0+)=iL(0-)=0,電感相當于開路。

例5.1.1如圖5.1.1所示,t=0時開關S由b點投向a點。已知US=12V,R1=2Ω,R2=6Ω,R3=3Ω,換路前電路已是穩(wěn)定狀態(tài)。求換路瞬間各元件上的電壓和電流。圖5.1.1例5.1.1電路圖

解(1)換路前:開關位于b點,電路已處于穩(wěn)定狀態(tài),所以uC=0V、iL=0A,即

(2)換路:開關離開b點,移向a點。接觸到a點瞬間,電路狀態(tài)發(fā)生改變,即電路與直流電源接通,電路開始其瞬態(tài)過程。

根據(jù)換路定則,可知

而由換路后的電路可知

換路瞬間電路中各元件的電流、電壓的變化有如下規(guī)律:

(1)直流電路中,在換路前已是穩(wěn)態(tài)電路,則iC=0,電容相當于開路;uL=0,電感相當于短路。

(2)換路瞬間電容電壓、電感電流不能發(fā)生躍變,但電容電流和電感電壓卻是可以突變的。

(3)儲能元件沒有儲能,uC(0-)=0,iL(0-)=0,在0+時,電容元件相當于短路,電感元件相當于開路;儲能元件有儲能,uC(0-)=U0,iL(0-)=I0,在0+時,電容元件相當于電壓為U0的恒壓源,電感元件相當于電流為I0的恒流源。

通常,將電路從電源或者信號源輸入的信號稱為激勵,也稱為輸入。電路在外部激勵或者內(nèi)部儲能的作用下所產(chǎn)生的電壓或電流稱為響應,也稱為輸出。電路的瞬態(tài)分析就是分析電路的瞬態(tài)過程,根據(jù)激勵,求電路的響應。按照產(chǎn)生響應的原因,可以將響應分為零輸入響應、零狀態(tài)響應和全響應。

(1)零輸入響應。換路前,儲能元件中已儲存能量,換路時,外部激勵為零,僅由內(nèi)部儲能元件中所儲存的能量引起的響應,稱為零輸入響應。

(2)零狀態(tài)響應。換路時,儲能元件中所儲存的能量為零時,由外部激勵作用下引起的響應,稱為零狀態(tài)響應。

(3)全響應。換路時,儲能元件中存在能量,而且又有外部激勵,這種情況下引起的電路響應稱為全響應。

5.1.3一階RC電路瞬態(tài)過程簡介

根據(jù)儲能元件的儲能狀態(tài)和外部激勵的有無,一階RC電路的響應同樣可以分為零輸入響應、零狀態(tài)響應和全響應。以下主要介紹一階RC電路的全響應。

全響應是指既有初始儲能又有外界激勵產(chǎn)生的響應。RC電路的全響應是指電源激勵和電容元件的初始電壓均不為零時的響應,對應著電容從一種儲能狀態(tài)轉(zhuǎn)換到另一種儲能狀態(tài)的過程,如圖5.1.2所示。圖5.1.2RC電路的全響應

在圖5.1.2所示電路中,開關S處于位置a時,RC電路與激勵(電源)U0接通,電容充電到U0,即uC(0-)=U0。

將開關S撥向位置b,進行換路。t=0,RC電路與激勵(電源)U0斷開,同時接通激勵(電源)US,該電路的響應是由儲能元件和激勵US共同作用的結(jié)果,因此稱為電路的全響應。

換路后,t→∞,電路達穩(wěn)態(tài),uC(∞)=US。

式(5.1.5)是一個一階微分方程,其初始值為uC(0+)=U0(由換路公式和uC(0-)=U0而得)。根據(jù)數(shù)學相關解法,式(5.1.5)微分方程的特解為

5.1.4一階RL電路瞬態(tài)過程簡介

RL串聯(lián)電路是一種常用電路,如電動機勵磁繞組、電磁鐵等電磁元器件都可等效為RL的串聯(lián)電路。因電感是儲能元件,所以,上述電磁元件在換路時也可能會產(chǎn)生瞬態(tài)過程。下面簡要分析一階RL電路的全響應。

在圖5.1.3所示的電路中,電源電壓為US,設開關S閉合時,發(fā)生換路,t=0。換路前,電路已處于穩(wěn)定狀態(tài),電感上已有儲能,電流為圖5.1.3RL電路的全響應

式(5.1.11)和式(5.1.5)一樣是一個一階微分方程,其初始值為(由換路公式和iL(0-)=I0而得)。根據(jù)數(shù)學相關解法,式(5.1.11)微分方程的特解為

與RC電路一樣,若分析復雜的RL電路的瞬態(tài)過程,可應用戴維南定理,將除電感L外的電路等效為一個含有內(nèi)阻的電壓源,再進行分析。

5.2瞬態(tài)電路的三要素分析法

在對RC電路與RL電路的瞬態(tài)過程進行簡要分析后發(fā)現(xiàn),對于式(5.1.5)而言,換路后電路處于穩(wěn)定狀態(tài)時的電容電壓uC是定值US。如果用f(t)代替式(5.1.5)中的uC,用τ代替RC,則可得

同樣對于式(5.1.11),換路后電路處于穩(wěn)定狀態(tài)時的電感電流iL是定值US/R。如果用f(t)代替式(5.1.11)中的iL,用τ代替L/R,則同樣可得式(5.2.1)。而對于式(5.2.1),其解為

由此可見,對于RC與RL電路而言,只要求出f(0+)、f(∞)和τ這三個參數(shù),就能確切寫出uC或iL的解析表達式。

滿足式(5.2.1)的電路即為一階(最高導數(shù))線性(常系數(shù))電路,式(5.2.2)中的f(0+)、f(∞)和τ這三個參數(shù)稱為瞬態(tài)電路的三要素。套用式(5.2.2)求解一階線性電路的方法即是三要素法。其中f(0+)為換路后的初始值,f(∞)為換路后的穩(wěn)態(tài)值,τ為時間常數(shù)?？梢宰C明:對于可化為RC串聯(lián)的電路,其時間常數(shù)為τ=R0C;對于可化為RL串聯(lián)的電路,其時間常數(shù)為τ=L/R0。其中R0是化簡后電路的等效電阻。

三要素法具有方便、實用和物理概念清楚等特點,是求解一階電路常用的方法。下面介紹利用三要素法求解瞬態(tài)電路的步驟和注意事項。

(1)確定初始值f(0+)。

一階電路響應的初始值iL(0+)和uC(0+)必須在換路前t=0-的等效電路圖中進行求解,然后根據(jù)換路定則,得出iL(0+)和uC(0+);如果是其他各量的初始值,則應根據(jù)t=0+的等效電路圖去進行求解(切忌不管什么量都套用換路定則)。

(2)確定穩(wěn)態(tài)值f(∞)。

畫出換路后穩(wěn)態(tài)的等效電路,應用電路的分析方法求解電路中相應的穩(wěn)態(tài)值。

(3)分離儲能元件,計算時間常數(shù)τ。

一階電路的時間常數(shù)τ應在換路后處于穩(wěn)態(tài)時電路的等效電路中求解。當電路為RC一階電路時,時間常數(shù)τ=R0C;當電路為RL一階電路時,時間常數(shù)τ=L/R0。求解時首先將換路后處于穩(wěn)態(tài)時電路的等效電路除源(所有電壓源短路處理,所有電流源開路處理),然后讓儲能元件斷開,并把斷開處看作是無源二端網(wǎng)絡的兩個對外引出端,對此無源二端網(wǎng)絡求出輸入端等效電阻R0。

例5.2.1電路如圖5.2.1所示。已知US=10V,R1=2kΩ,R2=3kΩ,C=20μF,t=0時開關閉合。換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)。求換路后電容上的電壓uC。圖5.2.1例5.2.1電路圖

解電路中含有一個儲能元件電容。換路后,電路從穩(wěn)態(tài)過程變化到了瞬態(tài)過程,瞬態(tài)過程中,電容兩端的電壓處于不斷變化過程中,直至電路重新達到穩(wěn)定狀態(tài)而停止變化?？?/p>

以利用三要素法來進行求解。

(1)求初始值uC(0+)。

換路前電路已處于穩(wěn)態(tài),可知換路前

uC(0-)=0

根據(jù)換路定則,可知電路處于瞬態(tài)過程初始時電容上的電壓(也就是電容電壓的初始值)為

uC(0+)=uC(0-)=0

(2)求穩(wěn)態(tài)值uC(∞)。

換路后,電路達到穩(wěn)態(tài)時,其等效電路如圖(b)所示,則此時的uC為

(3)求時間常數(shù)τ。

由圖5.2.1(a)可知,電阻R1和R2都在換路后的電路中?？衫么骶S南定理把電容C以外的有源二端網(wǎng)絡化為一個等效電壓源,則圖5.2.1(a)所示電路可等效成圖5.2.1(c)所示電路。根據(jù)戴維南定理,其等效電阻為

例5.2.2電路如圖5.2.2所示。已知US=10V,R1=2kΩ,R2=3kΩ,C1=40μF,C2=20μF,C3=20μF,t=0時開關閉合。換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)。求換路后電路中的電流i、i1和i2。圖5.2.2例5.2.2電路圖

解欲求電流i、i1和i2,應先求出a、b兩端點之間的電壓uC?？蓪、b之間的電容等效為

電容等效后,圖5.2.2(a)電路等效為圖5.2.2(b)。圖5.2.2(b)的電路及參數(shù)與圖5.2.1(a)的電路及參數(shù)相同,利用例5.2.1的結(jié)果,得

根據(jù)如下各式,即可求出各電流為．

通過以上兩例,我們可以看出,在用三要素法求解一階RC電路時應注意以下幾點。

(1)根據(jù)換路定則,換路前后瞬間電容上的電壓保持不變。因此,電容上電壓的初始值uC(0+)應由換路前瞬間的值uC(0-)來確定,其他物理量的初始值則由uC(0+)求出。

(2)若uC(0-)=U0≠0,電容元件可用恒壓源代替,其值等于U0;若uC(0-)=0,電容元件視為短路。若iL(0-)=I0≠0,電感元件可用恒流源代替,其值等于I0;若iL(0-)=0,電感元件視為開路。

(3)電容上電壓的穩(wěn)態(tài)值uC(∞)由換路后到達穩(wěn)態(tài)時的電路求得。對于直流電路來說,穩(wěn)態(tài)時電容相當于開路。

(4)在一階RC電路中,時間常數(shù)τ=RC,但是其中的電阻R和電容C是指換路后的等效值。如果換路后的電路中含有多個電阻或電容,應采用適當?shù)姆椒ɑ?求出等效電阻、電容,然后計算時間常數(shù)。

例5.2.3電路如圖5.2.3所示。已知US=12V,R1=R2=6Ω,R3=3Ω,L=1H,t=0時開關閉合。換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)。求換路后電路中R3兩端的電壓u3。圖5.2.3例5.2.3電路圖

解當開關閉合時,電路發(fā)生換路。電路處于瞬態(tài)過程。在瞬態(tài)過程中,電路各處的電流依然要符合電路元件各處的電路特性。對于電阻R3來說,其電流i3與電壓u3之間必然滿足歐姆定律。由于電阻R2與R3并聯(lián),同時根據(jù)基爾霍夫電流定律,可知

所以只要求得iL,就可以得到u3。

5.3RC瞬態(tài)電路的應用

微分電路和積分電路是電容元件充放電的RC電路,這種電路在不同的輸出連接方式及選取不同的時間常數(shù)時,構(gòu)成了輸出電壓波形和輸入電壓波形之間的特定(微分或積分)的關系。

5.3.1微分電路

圖5.3.1所示RC電路中,如果輸入信號是如圖5.3.2(a)所示的矩形脈沖電壓ui

,脈沖電壓的幅值為U、寬度為t

p

,則電阻R兩端輸出的電壓為uo=uR,電壓uR的波形與電路的時間常數(shù)τ有關。當輸入脈沖寬度tp一定時,改變τ和t

p的比值,電容充、放電的快慢就不同,輸出電壓uo的波形也就不同,如圖5.3.2(b)~(e)所示。圖5.3.1微分電路圖5.3.2不同時間常數(shù)對應的輸出波形圖5.3.3RC電路在矩形脈沖作用下的瞬態(tài)過程

5.3.2積分電路

微分和積分在數(shù)學上是矛盾的兩方面。同樣,微分電路和積分電路也是矛盾的兩個方面。若滿足τ?tp,譬如τ?(5~10)tp,從電容上輸出,便構(gòu)成了積分電路,如圖5.3.4所示。圖5.3.4積分電路

下面分析這個電路輸入電壓ui

和輸出電壓uo之間的關系。

在圖5.3.4中,t=t1瞬間,電路接通矩形脈沖信號,ui(t)由零躍變到U,電容開始充電,uC按指數(shù)規(guī)律增長。由于時間常數(shù)τ較大,因此電容C充電緩慢,uo(t)變化也緩慢,電容

上所充電壓uC遠未達到穩(wěn)態(tài)值U時,輸入信號脈沖已結(jié)束(

t=t2)。矩形脈沖由U躍變到零值,相當于短路,電容上所充電壓通過電阻R放電。同樣由于τ較大,電容上電壓衰減緩慢,在遠未衰減完時第二個脈沖又來到,重復以上過程,如圖5.

3.5所示。圖5.3.5RC積分電路的波形圖

這樣積分電路在矩形脈沖信號作用下,將輸出一個鋸齒波信號。τ越大,充放電越慢,所得的鋸齒波電壓線性度就越好。由于τ?tp,充電時uC=uo?uR,因此,在tp時間內(nèi)可近似認為電阻電壓就是輸入電壓,即

因而輸出電壓

這表明輸出電壓與輸入電壓的積分成正比,該電路稱為積分電路。由此可見,RC積分電路具有兩個必備條件:

(1)τ(時間常數(shù))?tp(脈沖寬度)。

(2)從電容C兩端輸出電壓。

電子技術(shù)中,積分電路常用來將矩形波信號變換成鋸齒波信號。

具有初始儲能的電感電路,在穩(wěn)態(tài)的情況下突然切斷開關S,相當于在開關S兩端有一個電阻

就很小,電流變化率很大,在電感線圈上產(chǎn)生很強的

自感應電動勢eL,其極性如圖5.4.1所示。

5.4工程中對RL瞬態(tài)電路“放電”的應對方法圖5.4.1RL電路斷開

eL和電源電壓U疊加在開關S兩端,這樣就在開關觸頭之間使空氣電離形成火花或電弧,延緩了電路的斷開,而火花和電弧具有極高的溫度,可能使開關損壞,甚至危及工作人員的安全。同時出現(xiàn)過高的自感電動勢,也可能將線圈的絕緣材料擊穿損壞。

為了防止這種危害,可在線圈兩端并接一適當阻值的電阻R0(稱為泄放電阻),使τ適當?shù)卦龃?如圖5.4.2(a)所示;或在線圈兩端并以適當電容C,以吸收突然斷開電感時釋放的能量,如圖5.4.2(b)所示;或用二極管與線圈并聯(lián)(稱為續(xù)流二極管)提供放電回路,使電感所儲存的能量消耗在自身的電阻中,如圖5.4.2(c)所示。圖5.4.2防止RL電路突然斷開產(chǎn)生的高電壓

5.5RC電路的工程應用

熱敏電阻阻值隨溫度變化而顯著變化,能直接將溫度的變化轉(zhuǎn)換為電量的變化。可以利用這一特點應用熱敏電阻對溫度進行測量。熱敏電阻的溫度特性如圖5.5.1所示。圖5.5.1熱敏電阻的溫度特性

對于負溫度系數(shù)的熱敏電阻,其溫度與電阻的關系可以表示為

式中,RT、R0分別為溫度T和T0時的阻值;B為熱敏電阻的材料常數(shù)。記

則由式(5.5.1)得

可見αT隨著溫度降低而迅速增大。由圖5.5.1可以看到,熱敏電阻的阻值與溫度不是線性關系。這對利用熱敏電阻進行溫度的測量帶來了一定麻煩。

利用溫度電壓轉(zhuǎn)換電路可以將熱敏電阻與溫度之間的非線性關系進行調(diào)整,使其非線性關系得到一定的改善。圖5.

5.2是一個溫度頻率轉(zhuǎn)換電路,該電路利用RC充放電過程的指數(shù)函數(shù)和熱敏電阻的指數(shù)函數(shù)相比較的方法改善熱敏電阻的非線性。圖5.5.2溫度頻率轉(zhuǎn)換器電路圖

轉(zhuǎn)換器電路由溫度電壓轉(zhuǎn)換電路(A1~A3)、RC充放電電路、電壓比較器A4和延時電路組成。其工作原理如下:

溫度電壓轉(zhuǎn)換電路由熱敏電阻RT和運算放大器A1~A3組成,產(chǎn)生一個與溫度相對應的電壓U+,加到比較器A4的正端。運算放大器A1為差動放大器A2提供一個低電壓輸入信號,其目的是減小熱敏電阻自身發(fā)熱所引起的誤差。A2輸出再由反相放大器A3提高信號幅值。

該幅值為

RC電路(見A4反相輸入端)中電容C上的充電電壓為

該轉(zhuǎn)換器是把RC電路充電過程中電容C上的電壓U

C與溫度電壓轉(zhuǎn)換電路的輸出電壓U

+

相比較,當UC>U+時,比較器的輸出電壓由正變負,此負跳變電壓觸發(fā)延時電路

(T1,T2),使延時電路輸出窄脈沖,驅(qū)動開關電路VT,為電容器C構(gòu)成放電通路;當U

C<U

+

時,比較器A4輸出由負變正,延時電路輸出低電位,VT截止,電容器C開始一個新的

充電周期。當溫度恒定時,將輸出一個與該溫度相對應的頻率信號;當溫度改變時,U

+

改變,使比較器輸出電壓極性的改變推遲或提前,于是輸出信號頻率將相應地變化,從而實現(xiàn)

溫度到脈沖頻率的變換,達到測量溫度的目的。

延時電路T1、T2由兩塊LM556組成,它們產(chǎn)生寬度為td1(td1=1.1R1C1)和td2(t

d2=1.1R2C2)的脈沖信號,且使td2?td1

,如圖5.5.3所示。圖5.5.3波形圖

在t=0時,晶體管VT關斷,比較器A4輸出U0=+U1;當t=t1時,UC上升到超過U+,A4輸出電壓U0=-U1,根據(jù)式(5.5.1)、式(5.5.2)及(5.5.3),且令Rf=RT0(溫度T0時

的電阻值),可得

在t=t1時,比較器A4輸出的負跳變電壓觸發(fā)延時電路T1,產(chǎn)生td1=t2-t1的脈沖,在此脈沖的下降沿(t=t2時),觸發(fā)延時電路T2,產(chǎn)生td2=t3-t2的窄脈沖,該脈沖使晶體

管VT導通,使電容C短路,UC下降到零,并使A4輸出由-U1變到+U1,開始一個新周期,待t3到來時,VT截止,電源通過R重新對C充電。

不難看出,A4輸出方波的周期Tm為

將式(5.5.5)代入式(5.5.6),則輸入方波頻率f為

注意:式(5.5.7)中的T是絕對溫度,且

由于td2?td1,若調(diào)整td1,可能使δ減小到零,則式(5.5.7)可簡寫為

可見,輸出頻率與絕對溫度T成正比。所以,該電路在δ=0時,輸出是線性的。即使δ調(diào)不到零,也可使熱敏電阻輸出的非線性得到改善。

習題5

5.1在題5.1圖所示電路中,已知US=50V,R1=R2=5Ω,R3=20Ω。原電路達到穩(wěn)態(tài)。在t=0時斷開開關S,試求換路后初始瞬間的iL、uC、uR2、uR3、iC、uL。題5.1圖

5.2在題5.2圖所示電路中,已知US=6V,R1=1Ω