八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)三角形解題技巧

“三線(xiàn)”誤中悟錯(cuò)誤變財(cái)富一、錯(cuò)誤理解中線(xiàn)例1如圖1,在^ABC例1如圖1,在^ABC中D為BC上的一點(diǎn)則AD為（）A.高C.中線(xiàn)錯(cuò)解：選A或B.剖析：有的同學(xué)一B.角平分線(xiàn)D.不能確定看到面積就認(rèn)為與高相關(guān),錯(cuò)選A；有的同學(xué)認(rèn)為平分內(nèi)角必平分三二二S，即AADC角形的面積，錯(cuò)選B.因?yàn)樾呐c心同高,設(shè)高為h，又工bd2BD?h=2CD?h，所以BD=CD.由此可知，AD為工ABC的邊BC上的中線(xiàn).正解：選C.對(duì)癥訓(xùn)練：1.可把三角形分為面積相等的兩部分的是（A.三角形的角平分線(xiàn)C.三角形的高二、錯(cuò)誤理解角平分線(xiàn)例2如圖2,已知/1=/2,B.三角形的中線(xiàn)D.以上都不對(duì)A.角平分線(xiàn)C.一角的平分線(xiàn)B．D．則AH必為△ABC的（中線(xiàn)角平分線(xiàn)所在射線(xiàn)錯(cuò)解剖析正解選A或C.只注意平分內(nèi)角而忽視了三角形的角平分線(xiàn)為線(xiàn)段這一條件，錯(cuò)選A或C.選D.對(duì)癥訓(xùn)練：2.下列說(shuō)法中正確的是（）A．BA．B．C．D．、錯(cuò)誤理解高例3如圖3,AE±BC于點(diǎn)E,試問(wèn)：以AE為高的三角形有哪些？錯(cuò)解：以AE為高的三角形有：△ABC,△ADC.剖析：錯(cuò)認(rèn)為三角形的高一定是在三角形的內(nèi)部,忽視了鈍角三角形的高可以在三角形外部漏掉^ABD，直角三角形的高可以與邊重合漏掉了以AE為直角邊的直角三角形.正解：以AE為高的三角形有：△ABC,△ADC,△ABD,△ADE,△ACE,△ABE.對(duì)癥訓(xùn)練參考答案：1.B 2.A平行線(xiàn)牽手三角形的角

、平行線(xiàn)牽手三角形內(nèi)角TOC\o"1-5"\h\z例1如圖1,AB//CD,AD和6。相交于點(diǎn)。，ZA=20°, 7H/cod=ioo°,則zc的度數(shù)為（）A.80° B.70° C.60° D.50° 匚/分析:根據(jù)平行線(xiàn)性質(zhì)求出ND,利用三角形的內(nèi)角和定理得出 圖1ZC=180°-ZD-ZC0D,代入求出即可.解：因?yàn)锳B〃CD,所以ND=NA=20°.因?yàn)镹C0D=100°,所以NC=180°-ND-NC0D=60°.故選C.點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理與平行線(xiàn)性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出ND的度數(shù).例2如圖2,點(diǎn)5,C,E,b在同一條直線(xiàn)上，AB//DC,DE//GF.若/5=//=72。,貝1]/D=度.分析:根據(jù)“兩直線(xiàn)平行，同位角相等”可得/DCE=/B,ZDEC=ZF再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可.解：因?yàn)锳B//DC,DE〃GF,所以ZDCE=ZB,ZDEC=ZF,又ZB=ZF=72°,所以ZDCE=ZDEC=72°.在^CDE中，ZD=180°—ZDCE—ZDEC=180°—72°—72°=36°.故填36.點(diǎn)評(píng)：先利用平行線(xiàn)的性質(zhì)將已知角轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，再用三角形的內(nèi)角和定理解題.、平行線(xiàn)牽手三角形外角例3如圖3,AB/CD,ZABE=60°,ZD=50°,則ZE的度數(shù)為（ ）A.30°B.20° C.10° D.40°分析：由AB/CD,易知ZEFC=ZABE=60°,利用三角形外角的性質(zhì)求得ZE的度數(shù).解：因?yàn)锳B/CD,ZABE=60°,所以ZEFC=ZABE=60°.因?yàn)閆D=50°,所以ZE=ZEFC—ZD=60°—50°=10°.故選C.點(diǎn)評(píng)：根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行角三角形的角新題展示一、定義新概念型例1當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角a是另一個(gè)內(nèi)角P的兩倍時(shí)，我們稱(chēng)此三角形為“特征三角形”，其中a稱(chēng)為“特征角”.如果一個(gè)“特征三角形”的“特征角”為100°,那么這個(gè)“特征三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為.解析：根據(jù)題目給出的定義，得Za=100°,所以2ZB=100°,即ZB=50°.所以這個(gè)“特征三角形”的最小內(nèi)角為180°-100°-50°=30°.故填30°.點(diǎn)評(píng):解題的關(guān)鍵在于掌握新定義類(lèi)題目的解法，讀懂題目的定義，根據(jù)定義來(lái)求得具體角度.二、學(xué)科綜合型TOC\o"1-5"\h\z例2如圖1所示，ZAOB的兩邊OA,OB均為平面反光鏡，ZAOB=35°, A在OB上有一點(diǎn)E.從E點(diǎn)射出一束光線(xiàn)經(jīng)OA上的點(diǎn)D反射后，反射光線(xiàn)DC恰 口B .?,￡ O圖5題好與OB平行，則/DEB的度數(shù)是（ ）A.35°B,70°C.110°D,120°解析:由。得=2495=35。.又由入射角與反射角相等，可推得乙4。。=/0?！?35。.因?yàn)??！?是的一個(gè)外角，所以/?！?=/0?！?/405=70。.故選B.點(diǎn)評(píng)：掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)，三角形的外角以及反射角相等.三、規(guī)律探索型例3如圖2,在AABC中，NA=m。，NABC和NACD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，得NA/NA]BC和NA]CD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)A2,得NA?；…；ZA^BC和NAzoizCD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)A20J3,則NA20]3= 度.解析:根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)解題.因?yàn)锳1B平分NABC,A1c平分NACD,所以NA1BC：1ZABC,ZA1CD=1ZACD.1 2所以ZA1cDuZA4ZAFC,即1ZACD=ZA1+1ZABC.所以ZA^1(ZACD-ZABC).因?yàn)閆A+ZABC=ZACD,所以ZA=ZACD-ZABC.所以ZA^1ZA.所以ZA]二同理,由ZA1=2益,可得/*2ZA1=22ZA，…,以此類(lèi)推得ZA2013二白Z.故填.故填m22013點(diǎn)評(píng):解題的關(guān)鍵是推導(dǎo)出ZA1=1ZA,然后找出規(guī)律.三角形的應(yīng)用生活秀一、有幾種選法例1小明要制作一個(gè)三角形木架，現(xiàn)有兩根長(zhǎng)度分別為8cm和5cm的木棒，如果要求第三根木棒的長(zhǎng)度是整數(shù)，小明有幾種選法？第三根木棒的長(zhǎng)度可以是多少？解：由三角形的三邊關(guān)系很容易得到，小明有9種選法.第三根木棒的長(zhǎng)度可以是4cm、5cm、6cm、7cm、8cm、9cm、10cm、11cm、12cm.

二、巧分土地例2有一塊三角形的優(yōu)良品種試驗(yàn)土地（如圖1）,現(xiàn)在引進(jìn)四個(gè)優(yōu)良品種進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，需將這塊土地分成面積相等的四塊，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出兩種劃分方案供選擇（畫(huà)圖說(shuō)明）.解析：本題為動(dòng)手操作型問(wèn)題，結(jié)論具有開(kāi)放性，劃分方案不唯一，可以利用“三角形的中線(xiàn)把三角形分成面積相等的兩部分”這一性質(zhì)進(jìn)行劃分.答案不唯一，如圖2所示.（對(duì)于本題，你還有其他劃分方案嗎？動(dòng)手試試看）三、確定維修站位置例3如圖3,草原上有四口油井位于四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)處，現(xiàn)要建立一個(gè)維修站H,試問(wèn)：維修站H要建立在何處，才能使它到四口油井的距離之和HA+HB+HC+HD為最??？說(shuō)明這樣做的理由.解：如圖4,維修站H應(yīng)建在AC,BD的交點(diǎn)處.理由：假設(shè)維修站建在H以外任一點(diǎn)P,則到A,B,C,D四口油井的距離之和為PA+PB+PC+PD.因?yàn)镻A+POAC,PB+PD>BD,所以PA+PB+PC+PD>AC+BD.因?yàn)锳C+BD=HA+HB+HC+HD,所以異于H的任一點(diǎn)到A,B,C,D的距離之和都大于AC+BD,從而維修站H應(yīng)建在AC,BD的交點(diǎn)處.三角形三邊關(guān)系秀應(yīng)用一、判定能否構(gòu)成三角形例1下列每組數(shù)分別表示三根木棒的長(zhǎng)度，將它們首尾連接后，能組成三角形的一組是（）

A.1,2,6B.2,2,4C.1,2,3D.2,3,4分析：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”知，只有D選項(xiàng)中2+3>4,能構(gòu)成三角形.解：選D.二、求三角形的周長(zhǎng)例2若三角形的兩邊長(zhǎng)分別為7和1,且第三邊長(zhǎng)為整數(shù)，則此三角形的周長(zhǎng)為—.分析：要求該三角形的周長(zhǎng)，首先要確定第三邊的長(zhǎng).解：設(shè)該三角形第三邊的長(zhǎng)為％,根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得7-即6<%<8.又％為整數(shù)，所以％=7.所以三角形的周長(zhǎng)為1+7+7=15.故填15.例3（2013年廣安）等腰三角形的一邊長(zhǎng)為6,另一邊長(zhǎng)為13,則它的周長(zhǎng)為（ ）A.25 B.25或32 C.32 D.19分析：題中給出等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6,13,并沒(méi)有明確腰、底分別是多少，所以要分情況討論，再利用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.解：有兩種情況:①當(dāng)腰長(zhǎng)為6時(shí)，底邊長(zhǎng)為13,三角形三邊長(zhǎng)為6,6,13,因?yàn)?+6<13,所以不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)腰長(zhǎng)為13時(shí)，底邊長(zhǎng)為6,三角形三邊長(zhǎng)為13,13,6,能構(gòu)成三角形.所以三角形的周長(zhǎng)為13+13+6=32.故選C.點(diǎn)評(píng)：在解答有關(guān)等腰三角形的題目時(shí)，如果已知中沒(méi)有明確腰和底，要注意分類(lèi)討論.三、化簡(jiǎn)例4已知4,b,c是三角形的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)lq/-cl+3q-cl+lc-q/I的值為 （ ）A.b+a-3cB.a+b+cC.3a+3b+3cD.a+b-c分析：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，先判斷每個(gè)式子的正負(fù)，然后去掉絕對(duì)值進(jìn)行化簡(jiǎn).解：因?yàn)閍,b,c是三角形的三邊長(zhǎng)，所以o+Z?>c,b+c>a,a+c>b.所以q-c<0,Z?-?-c<0,c-?-Z?<0.^\VX\a-b-c\+\b-a-c\+\c-a-b\=-a+b+c-b+a+c~c+a+b=a+b+c.故選B.直尺-三角尺-中考一、直尺截三角尺的兩條直角邊，求一個(gè)角度的大小例1（2014年巴彥淖爾）把一根直尺與一塊三角尺如圖1所示放置，若Nl=55。，則N2的度數(shù)為（ ）A.125° B,135°C.145° D.155。解析:在中，ZA=90°,Nl=55。,所以NAC5=90o-Zl=35o.

所以/BCD=180°-ZACB=145°.因?yàn)镋F〃MN，所以N2=NBCD=145°.故選C.二、直尺截三角尺的兩條直角邊，求兩個(gè)角度的和例2（2014年南平）將直尺和三角尺按圖2所示的樣子疊放在一起，則N1+N2的度數(shù)是（ ）A.45°B.60° C.90° D.180°解析：因?yàn)镹1=NABC,Z2=ZACB,ZA=90°,所以N1+N2=NABC+ZACB=180°-ZA=180°-90°=90°.故選C.三、三角尺的直角頂點(diǎn)在直尺的一條邊上，求一個(gè)角度的大小例3（2014年聊城）如圖3,將一塊含有30°角的直角三角尺的兩個(gè)頂點(diǎn)疊放在直尺的兩條對(duì)邊上.如果Z1=27°,那么Z2的度數(shù)為（ ）A.53° B.55° C.57° D.60°解析：首先利用平行線(xiàn)的性質(zhì)找出Z2的同位角或內(nèi)錯(cuò)角，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解.依題意，顯然有Z2=Z2的同位角（或內(nèi)錯(cuò)角）=30°+27°=57°.故選C.四、比較角的大小例4（2014年泰安）如圖，把一直尺放置在一個(gè)三角形紙片上，則下列結(jié)論正確的是（ ）A.Z1+Z6>180° B,Z2+Z5<180°C.Z3+Z4<180° D.Z3+Z7>180°解析：因?yàn)锳B//CD,所以Z8=Z4.又Z6=Z4,所以Z8=Z6,則Z1+Z6=Z1+Z8.因?yàn)閆1+Z8+ZE=180°,所以Z1+Z8<180°,則Z1+Z6<180°,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;因?yàn)锳B/CD,所以Z3=Z5.所以Z2+