安徽省亳州市蒙城縣2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省亳州市蒙城縣2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，，所以，，B錯誤，D正確；顯然，，AC錯誤.故選：D.2.（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.3.中文“函數(shù)”一詞，最早是由近代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯的，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，下列選項中是同一個函數(shù)的是（）A.與B.與C.與D.與【答案】C【解析】對于A，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，兩個函數(shù)定義域不同，A不是；對于B，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為或，兩個函數(shù)定義域不同，B不是；對于C，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，且，兩個函數(shù)定義域相同，對應(yīng)法則也相同，C是；對于D，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，兩個函數(shù)定義域不同，D不是.故選：C.4.2023年某城市美食節(jié)期間，依據(jù)小王與小張2023年12月1日至12月7日每日外賣的單數(shù)（單位：單）數(shù)據(jù)，整理并繪制的折線圖（如圖），小王與小張兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，標(biāo)準(zhǔn)差分別為，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由統(tǒng)計圖知，小王同學(xué)的總體成績要好于小張同學(xué)的成績，且小張同學(xué)的成績波動較大，小王同學(xué)成績較穩(wěn)定，所以.故選：C．5.已知“，”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】“，”為真命題，則“，”為真命題，而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則，所以實數(shù)a的取值范圍為.故選：A.6.我國古代數(shù)學(xué)名若（九章算術(shù)）中有如下問題“今有北鄉(xiāng)八千七百五十八，西鄉(xiāng)七千二百三十六，南鄉(xiāng)八千三百五十六．凡三鄉(xiāng)，發(fā)役北鄉(xiāng)一百三十六人，欲以算數(shù)多少出之，何各幾何？“意思是：北鄉(xiāng)有8758人，西鄉(xiāng)有7236人，南鄉(xiāng)有8356人．現(xiàn)要按人數(shù)多少從北鄉(xiāng)征集136人，問從各鄉(xiāng)征集多少人？在上述問題中．需從南鄉(xiāng)征集的人數(shù)為（）A.128人 B.130人 C.132人 D.134人【答案】B【解析】設(shè)從南鄉(xiāng)征集人，則，解得：人.故選：B.7.函數(shù)在上的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】依題意，，因此函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，排除AB；又，選項C不滿足，D符合題意.故選：D.8.定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)或時，；當(dāng)時，，因，所以或，所以或，解得或，則不等式的解集是．故選：A．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．9.已知，則下列結(jié)論錯誤的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】由及在R上單調(diào)遞增，可得，A正確；取，滿足，而，B錯誤；由，知是否是非負數(shù)不確定，當(dāng)時，不等式無意義，C錯誤；取，滿足，而，D錯誤.故選：BCD.10.已知集合，，則（）A.集合B.C.集合可能是D.可能是B的子集【答案】ABD【解析】集合，，則，，AB正確；顯然，即，而是的真子集，C錯誤；由于，，因此可能是B的子集，D正確.故選：ABD.11.中國四大名樓是一種泛稱，特指山西永濟鸛雀樓、江西南昌滕王閣、湖北武漢黃鶴樓、湖南岳陽岳陽樓．記事件“只去黃鶴樓”，事件“至少去兩個名樓”，事件“只去一個名樓”，事件“一個名樓也不去”，事件“至多去一個名樓”，則下列命題正確是（）A.E與H是互斥事件 B.F與I是互斥事件，且是對立事件C. D.【答案】ABC【解析】對于A，事件E，H不可能同時發(fā)生，是互斥事件，故A正確；對于B，事件F與I不可能同時發(fā)生，且發(fā)生的概率之和為1，是互斥事件，且為對立事件，故B正確；事件“至多去一個名樓”剛好包含事件“只去一個名樓”與事件“一個名樓也不去”，所以，，故C正確，D錯誤.故選：ABC．12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則且B.若函數(shù)有2個零點，則且C.若函數(shù)有1個零點，則且D.若函數(shù)在的最大值為1，則且【答案】AB【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為；當(dāng)時，，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對于A，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，得，解得且，A正確；對于B，當(dāng)時，，函數(shù)在上最多一個零點，由函數(shù)有2個零點，得函數(shù)在上有一個零點，在上有一個零點，因此且，B正確；對于C，當(dāng)時，在上無零點，當(dāng)時，在上有一個零點，則當(dāng)且時，函數(shù)也只有1個零點，C錯誤；對于D，由于函數(shù)在的最大值為1，則在上不能單調(diào)遞減，即，且，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，，不符合題意，當(dāng)時，若，即，則在上單調(diào)遞減，，此時在的最大值為1，因此，若，即，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，必有，解得，則，此時在的最大值為1，因此，綜上所述，函數(shù)在的最大值為1，則且，D錯誤.故選：AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，那么的解析式為______________．【答案】【解析】設(shè)冪函數(shù)為，將點代入得，解得，所以．故答案為：.14.若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則常數(shù)a的取值范圍為_____________．【答案】【解析】因為在上均為增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且函數(shù)圖象連續(xù)不間斷，故若在區(qū)間上存在零點，則解得，故常數(shù)a的取值范圍為．故答案為：.15.已知函數(shù)，若，，且，則的最小值為___________.【答案】36【解析】函數(shù)中，，，則函數(shù)的定義域為，而，則函數(shù)是奇函數(shù)，顯然函數(shù)在上都單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，，由，得，則，即，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為36.故答案為：36.16.“秋風(fēng)起．月漸圓，桂樹落葉，兔兒下凡間”．中秋節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日，為了讓更多的小朋友參與到中秋節(jié)的歡樂氛圍中來，秦皇島市青少年宮特別推出了“團圓中秋喜迎國慶”——中秋猜燈謎活動，歡迎小朋友們前來，感受傳統(tǒng)文化的熏陶，品味傳統(tǒng)習(xí)俗的趣味．現(xiàn)有甲，乙兩位小朋友組成“快樂寶貝隊”參加猜燈謎活動，每輪活動由甲，乙各猜一個燈謎，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪精對的概率為．在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，則“快樂寶貝隊”在兩輪活動中猜對2個燈謎的概率為_________．【答案】【解析】設(shè)分別表示甲兩輪猜對個，個，個燈謎的事件，分別表示乙兩輪猜對個，個，個燈謎的事件．根據(jù)獨立事件的性質(zhì)，可得，，設(shè)“兩輪活動‘快樂寶貝隊’猜對2個燈謎”，則，且互斥，與，與，與分別相互獨立，所以，因此，“快樂寶貝隊”在兩輪活動中猜對2個燈謎的概率是．故答案：.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算：（1）；（2）.解：（1）.（2）.18.現(xiàn)用分層抽樣的方法從某中學(xué)的學(xué)生中抽取100名學(xué)生參加知識競賽，對其成績進行統(tǒng)計分析．得到如下圖所示的頻率分布直方圖．（1）估計該校學(xué)生知識競賽成績的第60百分位數(shù)（精確到0.1）；估計該校學(xué)生知識競賽成績的眾數(shù)、平均數(shù)；（2）從樣本中成績是90分以上（包括90分）的學(xué)生中選一人，求選到前3名學(xué)生的概率（前3名分數(shù)各不同）.解：（1）得分在70以下的學(xué)生所在比例為，得分在80以下的學(xué)生所占比例為，所以第60百分位數(shù)位于內(nèi)，由，估計第百分位數(shù)為，由圖可，得眾數(shù)位于之間，則估計值為，平均數(shù)估計值為：．（2）樣本中成績是以上（包括）的學(xué)生共，則選到前3名學(xué)生的概率．19.已知函數(shù)的定義域為，，，總有成立.若時，.（1）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求解關(guān)于x的不等式的解集.解：（1）在上單調(diào)遞減，證明如下：因為，，總有成立，當(dāng)時，，，且，則，則，即，所以在上單調(diào)遞減.（2）因為，，總有成立，所以，則，因為，所以，所以不等式可化為，所以，解得，所以不等式的解集為.20.已知函數(shù).（1）若關(guān)于的不等式的解集為，求a，b的值；（2）已知當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.解：（1）因為，且的解集為，所以和2是方程的兩個不等實根，且，由韋達定理可得，解得，故，.（2）因為，所以，則可化為，整理可得，令，，所以，則上式可化為在上恒成立，即在上恒成立，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，故，所以，所以實數(shù)a的取值范圍為.21.拉魯濕地國家級自然保護區(qū)位于西藏自治區(qū)首府拉薩市西北角，是國內(nèi)最大的城市濕地自然保護區(qū)，也是世界上海拔最高、面積最大的城市天然濕地．其中央有一座涼亭，涼亭的俯瞰圖的平面圖是如圖所示的正方形結(jié)構(gòu)，其中EFIJ和GHKL為兩個相同的矩形，俯瞰圖白色部分面積為20平方米．現(xiàn)計劃對下圖平面正方形染色，在四個角區(qū)域（即圖中陰影部分）用特等顏料，造價為200元/平方米，中間部分即正方形MNPQ區(qū)域使用一等顏料，造價為150元/平方米，在四個相同的矩形區(qū)域即EFNM，GHPN，PQJI，MQKL用二等顏料，造價為100元/平方米．（1）設(shè)總造價為W元，MN的邊長為x米，AB的邊長為y米，試建立W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）計劃至少要投入多少元，才能完成平面染色．解：（1）由題意得，陰影部分的面積為，，化簡得，顯然，所以，則，故W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．（2），當(dāng)且僅