遼寧省普通高中2025屆高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省普通高中2025屆高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，則，所以，，所以，.故選：D.2.下列四個(gè)命題中是假命題的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】，解得，所以，是真命題；，即，解得，所以，是真命題；，所以，解得，所以，是假命題；，是真命題.故選：.3.已知集合為全集，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則、均不為空集，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，則，又因?yàn)闉榈恼孀蛹?，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，D對(duì).故選：D.4.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于，代入原式中得：，解得：；又.故選：D5.若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則有解，即在上有解，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A6.已知定義在上的函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，滿足，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，則，因?yàn)?，所以，所以?,+∞上單調(diào)遞增，，即，又，則，所以，即，所以，解得.故選：.7.已知高為的正四棱臺(tái)的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，為內(nèi)部（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.平面與平面的夾角為B.球的體積為C.的最小值為D.與平面所成角度數(shù)的最大值為【答案】D【解析】對(duì)于：取中點(diǎn)為，連接，則，所以平面與平面的夾角為，因?yàn)?，所以，，又高為，所以，所以，即平面與平面的夾角為.故錯(cuò)誤；對(duì)于：，所以點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)的距離都為，所以點(diǎn)即為正四棱臺(tái)的外接球的球心，所以球的半徑為，所以球的體積為，故錯(cuò)誤；對(duì)于：易得平面，且平面，所以平面平面，連接，交于點(diǎn)，連接，則四邊形為菱形，所以，，又平面，平面平面，所以平面，連接，因?yàn)槠矫妫?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)等號(hào)成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于：因?yàn)槠矫?，垂足為，平面，所以為直線到平面的距離，所以點(diǎn)到平面的距離為，設(shè)直線與平面所成角為，則，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)等號(hào)成立，所以與平面所成角度數(shù)的最大值為，故正確.故選：8.已知函數(shù)，若在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，不滿足題意；所以，令，則，令，得，當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，所以，即上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，則，滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，即單調(diào)遞增，又因?yàn)?，假設(shè)存在唯一，使成立，則必有，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，必有，不滿足題意；綜上，.故選：D.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A.在上單調(diào)遞減B.曲線的對(duì)稱中心為，C.直線是曲線的一條對(duì)稱軸D.在上有一個(gè)極值點(diǎn)【答案】ACD【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，可得，因?yàn)?，則，所以，，對(duì)于A選項(xiàng)，由，得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由得，所以，曲線的對(duì)稱中心為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，由得，當(dāng)時(shí)，，則直線是曲線的一條對(duì)稱軸，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，由可得，所以，函數(shù)在上只有一個(gè)極值點(diǎn)，D對(duì).故選：ACD.10.在邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（）A. B.在上的投影向量為C.存在點(diǎn)，使得直線 D.的最小值為【答案】AD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，，則，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，在上的投影向量為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，由題意可知，，，因?yàn)闉榫€段上的動(dòng)點(diǎn)，所以，設(shè)，其中，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，若存在點(diǎn)使得，則，故，該方程無(wú)解，故不存在點(diǎn)，使得，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，，又因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，取到最小值，D對(duì).故選：AD.11.設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.已知函數(shù)，則（）A.若有極值點(diǎn)，則B.若當(dāng)時(shí)，有極值，則對(duì)應(yīng)的拐點(diǎn)為或C.若當(dāng)時(shí)，在上無(wú)極值點(diǎn)，則的取值范圍為D若當(dāng)，時(shí)，曲線與軸分別交于、、，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若函數(shù)有極值點(diǎn)，則有兩個(gè)不等的零點(diǎn)，所以，，即，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值，則，解得或，當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，該函數(shù)無(wú)極值，經(jīng)檢驗(yàn)，，合乎題意，所以，，，令，可得，此時(shí)，函數(shù)對(duì)應(yīng)的拐點(diǎn)為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)，則函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)，則恒成立，則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，由有，等式兩邊同除可得，令，則、、是方程的三個(gè)根，所以，，即，所以，，，，所以，，D對(duì).故選：ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則_____.【答案】21【解析】由，可得，所以數(shù)列是一個(gè)公式為的等比數(shù)列，即，所以即，所以由等比數(shù)列的求和公式可得：，故答案為:.13.已知直線是曲線和的公切線，則的值為_(kāi)____.【答案】【解析】令，則，因?yàn)橹本€是曲線的切線，所以由解得，此時(shí)所以在處的切線為，所以，又是的切線，聯(lián)立得，令解得，所以.14.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)，分別是線段，上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若與底面所成角的度數(shù)為，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是_____.【答案】【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，，由題意可設(shè)，，其中，所以，顯然為平面的法向量，所以，化簡(jiǎn)得，顯然（否則矛盾），從而，解得，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的最小值為，最大值為，所以的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且為內(nèi)一點(diǎn).（1）判斷的形狀；（2）若，，，求的最小值.解：（1）在中，因?yàn)?，所以，由正弦定理得，即，則，所以，所以為等腰三角形.（2）由（1）知，中，，又，，所以是邊長(zhǎng)為的正三角形，由為內(nèi)一點(diǎn)，在中，，，設(shè)外接圓的半徑為，則由正弦定理，，解得，則是邊長(zhǎng)為的正三角形，又點(diǎn)在圓的劣弧上運(yùn)動(dòng)，如圖，設(shè)點(diǎn)是在弧上除中點(diǎn)外的一點(diǎn)，因?yàn)?，則當(dāng)點(diǎn)在中點(diǎn)時(shí)，即與弧的交點(diǎn)，取得最小值，又，此時(shí)，即的最小值是.16.已知函數(shù).（1）求極值點(diǎn)；（2）若，有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，，由可得，由可得，此時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以，函數(shù)的極小值點(diǎn)為，無(wú)極大值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，則，由可得或，由可得，此時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，所以，函數(shù)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，則，由可得或，由可得，此時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，所以，函數(shù)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極小值點(diǎn)為，無(wú)極大值點(diǎn).（2）因?yàn)?，?duì)任意的，有，所以，，即，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.17.觀察下面圖形中小正方形的個(gè)數(shù)，若第個(gè)圖形中的小正方形的個(gè)數(shù)為，令.（1）求及數(shù)列bn的前項(xiàng)和；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，求的取值范圍.解：（1）由題意可得，，，，，，所以，，則，所以，.（2）由（1）知，，所以，，①，②②①得，因?yàn)?，即，所以，，由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.如圖，在正三棱柱中，、分別是、的中點(diǎn).若，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：連接，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，則為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平?（2）解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、，所以，，，因?yàn)?，則，解得，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，，因此，平面與平面夾角的余弦值為.19.如果無(wú)窮數(shù)列滿足“對(duì)任意正整數(shù)，，都存在正整數(shù)，使得”，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”.（1）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求證：具有“性質(zhì)”；（2）若等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，求證：具有“性質(zhì)”的充分條件是；（3）如果各項(xiàng)均為正整數(shù)的無(wú)窮等比數(shù)列具有“性質(zhì)”，且，，三個(gè)數(shù)中恰有兩個(gè)出現(xiàn)在數(shù)列中，求滿足題意的的公比.（1）解：當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，整理得，故為首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，故，若，則，則當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)，，都存在正整數(shù)，使得，所以具有“性質(zhì)”；（2）證明：因?yàn)閿?shù)列bn是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，所以，則，若數(shù)列bn具有“性質(zhì)”，則，則，則，故，故當(dāng)時(shí)，上式成立，此時(shí)數(shù)列bn具有“性質(zhì)”，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也是正整數(shù)，即成立，此時(shí)數(shù)列bn具有“性質(zhì)”，數(shù)列數(shù)列bn具有“性質(zhì)”的充分條件為；（3）解：從，，三個(gè)數(shù)中任選兩個(gè)，共有以下3種情況，，和，和，；對(duì)于，，因?yàn)闉檎麛?shù)，可以認(rèn)為，是等比數(shù)列中的項(xiàng)，因?yàn)榈缺葦?shù)列各項(xiàng)均為正整數(shù)，所以公比可能為，若公比為2，則的