2023年中考數(shù)學真題分項匯編專題24 圓的有關(guān)位置關(guān)系（共45題）（解析版）

專題24因的有關(guān)位置關(guān)系（45題）

一、單選題

1.（2023?四川眉山?統(tǒng)考中考真題）如圖，AB切0。于點B,連接。4交于點C,交于點

D,連接。力，若NO8=25。，則NA的度數(shù)為（）

【答案】C

【分析】如圖，連接。8,證明乙440=90。，/。。8=25。，可得/4。。=2/川）。=50。，從而可得//4=40。.

VA3切OO于點&

ZABO=90°,

VBD//OA,ZOCD=25°,

:.ZCDB=25°,

??.NBOC=2NBDC=5U。,

：.乙4=40。；

故選:C.

【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握基本圖形的性

質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

2.12023?重慶?統(tǒng)考中考真題）如圖，AC是。的切線，3為切點，連接OAOC.若ZA=30。，AB=2區(qū)

8C=3,則OC的長度是（）

o

ABC

A.3B.2GC.V13D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)及正切的定義得到。8=2,再根據(jù)勾股定理得到OC=JI5.

【詳解】解：連接OB,

???AC是（。的切線，8為切點，

???0AJ.4C,

VZA=30°,AB=26

:.在RiOA8中，OB=ABtanZA=2x/3x—=2,

3

,:BC=3,

???在孜-O8g，QC=dOB?+BC2=屈,

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2023.重慶?統(tǒng)考中考真題）如圖，48為。的直徑，直線。。與《。相切于點C,連接AC,若乙48=50。,

則/8AC的度數(shù)為（）

2

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】連接OC，先根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得N"O=90°,從而可得NOC4=40。，再根據(jù)等腰三角形的

性質(zhì)即可得.

【詳解】解：如圖，連接OC,

「直線8與Q相切,

.\OCA.CD,

.?./。6=90。，

ZACD=50°,

.\ZOCA=40°,

.OA=OC,

:.ZBAC=Z(XJA=4QP,

故選:B.

【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓的切線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

4.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形A8CO中，A人。_L<5,以。為圓心，A。為半

A/?I

徑的弧恰好與8c相切，切點為E.若黨=2則sinC的值是（）

3

C.

4D-T

【答案】B

【分析】作CEim延長線于“點，連接根據(jù)圓的基本性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，分別利用勾股定理求

解在RtZkDEC和最終得到OE,即可根據(jù)正弦函數(shù)的定義求解.

【詳解】解：如圖所示，作延長線于尸點，連接OE,

*：AD±AB,AB//CD,

???ZMD=ZADC=ZF=90°,

???四邊形AOC尸為矩形，AF=DC,AD=FC,

JAB為。的切線，

由題意，跖為。。的切線，

ADEIBC,AB=BE,

??AB1

?=—,

CD3

?,?設(shè)AA=4E=a,CD=3a,CE=x,

則8尸=4尸一A8=C￡>—A8=2?,BC=BE+CE=a+x,

在RtADEC中，DE2-CD2CE2-9a2x2，

在RtABFC中，F(xiàn)C2=HC2-BF：=(a+x)2一(2〃『，

???DE=DA=FC,

9a2-x2=+x)2-(2a)2,

解得：工=2〃或x=—M（不合題意，舍去）,

CE=2a,

；?DE=JCD2-CE?=也"-=瓜，

DC3a3

故選:B.

【點睛】本題考查圓的切線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，以及正弦函數(shù)的定義等，綜合性較強，熟練運

用圓的相關(guān)性質(zhì)以及切線的性質(zhì)等是解題關(guān)鍵.

4

5.（2023?四川瀘州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtaABC中，NC=90。，點。在斜邊A8上，以AD為直徑的

半圓。與相切于點E,與AC相交于點尸，連接OE.若AC=8,BC=6,則OE的長是（）

8

D.

3

【答案】B

【分析】連接OE,AE,首先根據(jù)勾股定理求出〃==]0,然后證明出.ACASBEO,利用

相似三角形的性質(zhì)得到。石晉四爭證明出..小sm利用相似三角形的性質(zhì)求出由孚

AE,

VZC=9O°,AC=8,BC=6,

?*-AB=VAC2+BC2=10?

???以八。為直徑的半圓O與BC相切于點E,

：?OE1BC,

???ZC=90°,

???/C=NOEB=90。,

:.AC//OE,

；?ZA=NEOB,

???BCA^.BEO,

.OEOBBEOE\Q-OEBE

??==,即llH=--------=,

ACAB68106

.nr40女尸10

93

10Q

??.CE=CB-BE=6--=-t

33

AE=VAC2+CE2=IVio,

,:NO￡B=90。,

NOED+NDEB=9()。,

,/20DE+Z.EAD=90°,40DE=ZOED,

&AD=NDEB,

又丁=

JDBES-EBA,

??匹二絲，即產(chǎn)立

AEAB號m10

???解得。E=生叵

故選:B.

【點睛】此題考查了圓與三角形綜合題，切線的性質(zhì)定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識，

解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點.

二、填空題

6.（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考中考真題）如圖，點A是。外一點，A3,AC分別與8。相切于點8,C,點。

在BQC上，已知NA=50。，則/。的度數(shù)是.

【答案】65°

【分析】連接CO,80,根據(jù)切線的性質(zhì)得出NACO=NABO=90。，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得出NCOB=130。,

根據(jù)圓周角定理即可求解.

【詳解】解：如圖C0,80,

6

A

1)

VAB,AC分別與CO相切于點B,C,

，ZACO=ZABO=90°,

?/ZA=5O°,

???ACOB=36()°-9()°-9()°-5()°=13()°,

,:BC=BC，

??.ND=L/BOC=65。,

2

故答案為：65°.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，求得NCO8=130°是解題的關(guān)鍵.

7.12023?黑龍江?統(tǒng)考中考真題)如圖，A8是CO的直徑，Q4切于點A,尸。交CO于點C,連接3C,

若/8=28。，則NP=

【答案】34

【分析】首先根據(jù)等邊對等先得到/B=NOCB=28。，然后利用外角的性質(zhì)得到40C=NB+N0CB=56。,

利用切線的性質(zhì)得到NQ4P=90°,最后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：VZi5=28n,OB=OC,

???ZB=ZOCB=28°,

AZAOC=ZB+NOCB=56°,

???R4切。。于點A,

ZCMP=90°,

???Z.P=180°-^OAP-ZAOP=34°.

故答案為：34.

【點睛】此題考查了切線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握以上知識點.

8.12023?湖南?統(tǒng)考中考真題）如圖，八。是。的直徑，人8是2。的弦，BC與O相切于點3,連接。8,

若ZABC=65。，則/8O。的大小為.

【答案】50°

【分析】證明NQ8C=90。，可得/。8￡>=90。-65。=25。，結(jié)合08=04,證明NA=NOB4=25。，再利用

三角形的外角的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：:Be與O相切干點8,

:.ZOBC=90°,

<ZABC=65°,

NOBD=90°-65°=25°,

,:OB=OA,

乙4=NQ8A=25。，

，ZBOD=2x25°=50°,

故答案為:500

【點睛】本題考查的是圓的切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟記基本圖形的性質(zhì)

是解本題的關(guān)犍.

9.12023?山東濱州?統(tǒng)考中考真題）如圖，R4/8分別與（O相切于A8兩點，且NAQB=56。.若點C是O

上異于點A3的一點，則/AC8的大小為.

【答案】62。或118。

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到NP4O=NPBO=90。，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360。，得出/AOB,然后根據(jù)圓

周角定埋即可求解.

8

【詳解】解：如圖所示，連接AC8C,當點C在優(yōu)弧A8上時，

???PAPB分別與〔O相切于AB兩點

???"AO=々50=90°,

???ZAPB=56°.

Z4OB=360°-90°-90°-56°=124°

AB=AB

，ZAC￡?=-ZAOB=62°,

2

當點。'在48上時，

???四邊形ACBC是圓內(nèi)接四邊形，

???ZC=18O°-ZC=118°,

故答案為：62。或118。.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，多邊形內(nèi)角和，熟練掌握切線的性質(zhì)與圓周角定理是解題

的關(guān)鍵.

10.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，ZC=90°,七為A8邊上一點，以AE為直徑的

半限IO與BC相切于點。，連接人。，BE=3、BD=3?.p是八8邊上的動點，當為等腰三角形時,

人尸的長為_____________

【答案】2月或6

【分析】連接。。，勾股定理求出半徑，平行線分線段成比例，求出CD的長，勾股定理求出AC和AO的

長，分4P=AD和"二尸。兩種情況進行求解即可.

【詳解】解:連接O。，

H

,/以AE為直徑的半圓0與相切于點。，

：?ODA.BC,OA=OE=OD,

?\NOO6=90°

設(shè)O4=OE=OD=r,則。3=QE+8E=3+r,

在RtZ\ODA中：OD2+BD2=OB\即：r+（3>/5）：=（3+r）2,

解得：r=6,

OA=OE=OD=6,

:.OB=9?AB=15,AE=12,

YNC=NODB=90。,

:.OD//AC,

,OBDB93

??==-=一,

OADC62

,/DB=35

???CD=2亞,

BC=DB+CD=5>/5,

：?AC7AB—BC2=10,

???AD=XIAC2+CD2=2X/30；

???△4?為等腰三角形，

當AD=AP時，AP=2回，

當期時，

?：OA=OD,

...點產(chǎn)與點。重合，

/.AP=OA=6,

10

不存在PD=AD的情況；

綜上：的長為2回或6.

故答案為：2而或6.

【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，勾股定理，等腰三角形的定義.熟練掌握切線的性

質(zhì)，等腰三角形的定義，確定點尸的位置，是解題的關(guān)鍵.

11.（2023?河南?統(tǒng)考中考真題）如圖，必與0。相切于點A,PO交GO于點B,點C在小上，且C8=C4.若

【答案】y

【分析】連接OC，證明,Q4C會。8C,設(shè)C8=C4=x,則PC二一C4=12-x,再證明，244PBC,

列出比例式計算即可.

【詳解】如圖，連接OC,

???力與,。相切于點A,

A

OA=OB

?:,CA=CB,

oc=oc

???OAC^OBC,

???NOAC=NOBC=90。,

NPAO=NPBC=90。,

,/ZP=ZP,

PAO^PBC,

.POAO

PCBC

V0A=5,PA=\2,

-**PO=J52+。=13,

設(shè)CB=C4=x,貝IJPC=E—C4=12—x,

.135

12-xx

解得x=￥，

故C4的長為與，

故答案為：學.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判斷和性質(zhì)，熟練

掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.（2023?湖北?統(tǒng)考中考真題）如圖，在二43c中，ZACB=70°，AABC的內(nèi)切圓O與AB8。分別相切

于點。，E,連接OEAO的延長線交OE于點尸，則4W7）=.

【答案】35°

【分析】如圖所示，連接OEOD,OB,設(shè)08、DE交于H,由內(nèi)切圓的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出

408=125。，再由切線長定理得到進而推出OB是。石的垂直平分線，即/。”產(chǎn)=90。，則

ZAFD=ZAOH-ZOHF=35°.

12

【詳解】解：如圖所示，連接OEOD,OB,設(shè)08、DE交于H,

。是ABC的內(nèi)切圓，

A0A.08分別是/C4B、NC84的角平分線，

???N0A8」NC48NOBA’/CBA,

22

?；乙4c8=70。，

，ZC4B+/CBA=1800-4cB=110°,

???/048+/OBA=-/CBA+-ZCAB=55°,

22

???乙AOB=180°-ZOAB-NOBA=125°,

()0hiAB,BC分別相切于點O，E，

:.BD=BE,

乂;OD=OE,

???OB是OE的垂直平分線，

：?OBtDE,即NO"/7=90。，

???ZAFD=ZAOH-/OHF=35°,

故答案為：35。.

【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓，切線長定理，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定，三角

形外角的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

13.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtZXABC中，4cA=90。,4c=8,8。=6.以點。為圓心，「為

半徑作圓，當所作的圓與斜邊AB所在的直線相切時，/?的值為

B

【答案】y

【分析】根據(jù)勾股定理，得人8=病不=1（），根據(jù)切線的性質(zhì)，得到圓的半徑等于人A邊上的高，根據(jù)直

角三角形的面積不變性計算即可.

【詳解】VZACB=90°,AC=8,5C=6,

???AB=^82+62=10?

根據(jù)切線的性質(zhì)，得到圓的半徑等于A8邊上的高，

：.-ABxr=-ACxBC,

22

.ACxBC8x624

..r=-------------=-------=—,

AB105

24

故答案為：—.

【點睛】本題考杳了勾股定理，切線的性質(zhì)，熟練掌提勾股東理，切線的性質(zhì)是解撅的關(guān)鍵.

14.（2023?山東煙臺?統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標系中，，4與x軸相切于點仇C3為A的宜徑，點C

在函數(shù)），=々4>0/>0）的圖象上，。為》軸上一點，-48的面積為6,則攵的值為.

X

【答案】24

【分析］設(shè)則OB=",AC=A,則AC=：8C=與，根據(jù)三角形的面積公式得出

Ia）a22a

Sg,=；AC?O8=6，列出方程求解即可?

【詳解】解：設(shè)c（a，：），

???0A與x軸相切于點3,

???8C_Lx軸，

???。8=氏AC=V，則點D到AC的距離為“，

a

???C8為；，A的直徑，

14

???AC=-BC=—,

22a

.ock_k

??SACD=-=7=6

22a4

解得：攵=24,

故答案為：24.

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵掌握切線的定義：經(jīng)過半徑

外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.

15.（2023?四川?統(tǒng)考中考真題）如圖，ZACB=45°,半徑為2的GO與角的兩邊相切，點，是上任意

一點,過點尸向角的兩邊作垂線，垂足分別為E,扛設(shè)f=PE+&PF，則/的取值范圍是.

【答案】2N/2</<2X/2+4

【分析】利用切線的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)求得CO=D〃=2夜+2,再求得，=PE+PQ=EQ，

分兩種情況討論，畫出圖形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：設(shè)。與NAC3兩邊的切點分別為力、G,連接OG、。。，延長。。交C8于點從

???ZACB=45°,

/.NO”C=45。，

0”=&0G=2&，

:,CD=DH=2丘+2,

如圖，延長EP交C8于點Q,

A

同理PQ=&P尸，

?：[=PE+4iPF，

t—PE+PQ—EQ,

當EQ與（O相切時，￡Q有最大或最小值，

連接OP,

:。、E都是切點，

???NODE=NDEP=/OPE=90°,

???四邊形斡是矩形，

?：OD=OP，

???四邊形OOEP是正方形，

???/的最大值為￡Q=CE=CO+OE=2x/5+4；

如圖，

綜上，/的取值范圍是2&KY2我+4.

故答案為：2&KY2&+4.

【點睛】本題考查/切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求得“EQ是解題的關(guān)鍵.

16.（2U23?湖南岳陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，在0。中，AA為直徑，8。為弦，點C為30的中力、，以也C'為

16

切點的切線與A5的延長線交于點E.

⑵若等《則親——?

【答案】2兀；1

【分析】（I）連接0c。。，根據(jù)點。為3。的中點，根據(jù)已知條件得出NBO/）=120。，然后根據(jù)弧長公式

即可求解；

（2）連接OC,根據(jù)垂徑定理的推論得匣OCJLBD,EC；罡O的切線，則OC'_LEC,得出EC〃8。，根據(jù)

PB1

平行線分線段成比例得出瓦=屋設(shè)吁火則叱6小勾股定理求得ECJ進而即可求解.

▼【詳解】解：（1）如圖，連接OCOQ,

EC

丁點。為8。的中點，

???BC=CD，

又；ZA=30°,

???Z.BOC=NCOD=2Z4=60°，

:.N4OD=120。，

???AB=6,

???OB=』A3=3,

2

-I=—X7tx3=27r.

故答案為：2兀.

(2)解：如圖，連接0C,

.?點。為80的中點，

***BC=CD，

???0C1BD,

,：比是。。的切線，

，0C1EC,

:.EC//BD

?CFEB

??春一麗’

??CF1

?=一,

AF3

.EB1

??=一，

AB3

設(shè)EB=2a,則AB-6a,BO=3。,EO=EB+BO=5a,

,,EC=VECf—CO1=V52—32ci—4a?AE=2a+6a=8a，

.CE4a1

??-------——.

AESa2

故答案為：y.

【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)，弧長公式，平行線分線段成比例定理等知識，

綜合性較強，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

17.(2023?上海?統(tǒng)考中考真題)在二45c中A〃=7,8C=3,/C=90。，點。在邊AC上，點E在6延長線

上，且8=。石，如果過點A,0E過點。，若B與OE有公共點，那么LE半徑r的取值范圍是.

【答案】Vio<r<2Vio

【分析】先畫出圖形，連接跖，利用勾股定理可得8￡=j9+4/，AC=2x/l0,從而可得JTS<rK2何,

再根據(jù)與1歸有公共點可得一個關(guān)于「的不等式組，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得.

【詳解】解：由題意畫出圖形如卜.：連接班;，

18

E

.)8過點A,且AB=7,

二?e8的半徑為7,

史過點。，它的半徑為，且CD=DE,

:.CE=CD+DE=2r,

BC=3,NC=90。，

:.BE^BC+CE?=：9+4>,AC7ABi-BC?=2而，

。在邊AC上，點上在。延長線上,

CD<ACr<2V10

,即

CE>AC2r>2V10'

.?而C「42加,

B與。石有公共點，

79+4r2<7+r?

AB-DE<BE<AB+DE,即〈

7-r<x/9+4r2?

不等式①可化為3——14-40WO，

20

解方程3r-14-40=0得：r=-2Hltr=y.

畫出函數(shù)丁=3，-14「-40的大致圖象如下:

y

o20X

3

由函數(shù)圖象可知，當）TO時，-2<r<y,

70

即不等式①的解集為-2?七三，

20

同理可得：不等式②的解集為/*22或「4-丁，

則不等式組的解集為2W種20，

X-V10<r<2>/i（）,

半徑廠的取值范圍是屈<r<2V10，

故答案為：Vio<r<2>/io.

【點睛】本題考查了勾股定理、圓與圓的位置關(guān)系、二次函數(shù)與不等式，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系正確建立

不等式組是解題關(guān)鍵.

三、解答題

18.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題）如圖，A8是的直徑，C是。上一點，過點C作O的切線C。,

交A8的延長線于點O,過點A作AEJ.CD于點E.

20

(1)若N"C=25。，求NACO的度數(shù).

(2)若08=2,80=1,求CE的長.

【答案】(1)115。

(2)CE=|>/5

【分析】(1)根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，44Cr>=NAEC+NE4C即可求解.

(2)根據(jù)CD是］。的切線，可得N(7CD=90",在R【ZXO8中.勾股定理求得S>=6，根據(jù)OC〃AE,

可得名=絲，進而即可求解?

CEOA

【詳解】(1)解：lAELCD于點E,

???ZAEC=90°,

??.ZACD=ZAEC+ZE4C=90°+25°=115°.

(2);。。是O的切線，。。是1O的半徑,

ZOCD=90°.

在RtZXOC。中,

???0C=OB=2,0D=OB+BD=3,

?**CD=^ODT-OC2=石?

ZOCD=Z4EC=90°,

:.OC//AE

.?總=嗎即

CEOACE2

：.CE=-yf5.

【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，熟練掌握以上知

識是解題的關(guān)鍵.

19.（2023?湖南張家界?統(tǒng)考中考真題）如圖，。是/WC的外接圓，AO是：0的直徑，”是A。延長線

上一點，連接CD3,且NOCF=NC4O.

⑴求證：CF是。。的切線；

3

（2）若直徑AO=10,cos8=—,求尸。的長.

5

【答案】（1）詳見解析

c90

⑵彳

【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，余角的性質(zhì)即可求得結(jié)論；

⑵根據(jù)已知條件可知-/C4用C,再根據(jù)正切的定義和相似三角形的性質(zhì)得到線段的關(guān)系即可求得線段

FQ的長度.

【詳解】（1）證明：連接0C，

???A。是。。的直徑，

JZACD=90°,

Z4DC+ZC4D=90°,

乂'：OC=OD,

：,AADC=ZOCD,

又；NDCF=/CAD,

JZDCF+ZOCD=90°,

即OC_LRT,

???廣。是。的切線；

(2)解：V=Z4DC,cos^=p

22

cosZ.ADC=—,

5

3CD

■:在RAS中，cosZADC=-=—,AD=10,

5AD

3

CD=ADcosZADC=10x1=6,

?**AC=ylAD2-CD2=8*

.CD3

??,

AC4

?:乙FCD=/FAC,ZF=ZF,

，一FCnFAC,

.CDFC_FD3

**AC-E4-7c-4,

設(shè)F￡)=3x,則fT=4x,AF=3x+l(),

又?：FC2=FI)FA,

即(4X)2=3X(3X+I0),

30

解得x(取正值)，

???FD=3x吟,

【點睛】本題考查了圓周角的性質(zhì)，切線的判定定理，正切的定義，相似三角形的性質(zhì)和判定，找出正切

的定義與相似三角形相似比的關(guān)聯(lián)是解題的關(guān)鍵.

2().(2023?江西?統(tǒng)考中考真題)如圖，在中，人5=4,ZC=64°,以A8為直徑的O與AC相交于

點D,E為ABO上一點，且/包七二位.

(1)求8￡的長；

(2)若/七4。=76。，求證：C8為的切線.

【答案】(】)與乃

(2)見解析

【分析】(1)如圖所示，連接0E,先求出OE=O8=Q4=2,再由圓周角定理得到NAQE=2NAOE=80。,

進而求出NBOE=l(X)°,再根據(jù)弧長公式進行求解即可；

(2)如圖所示，連接先由三角形內(nèi)角和定理得到NA￡D=64。，則由圓周角定理可得

ZABD=ZAED=64°,再由84是《O的直徑，得到/4。8=90。，進而求事/84C=26。，進一步推出

48c=90。，由此即可證明8c是《。的切線.

【詳解】(1)解：如圖所示，連接OE，

:A8是。的直徑，且A8=4，

：,OE=OB=OA=2,

為ABD上一點，KZADE=40P,

???ZAOE=2ZADE=80°,

?\ABOE=180°-Z/1OE=100°,

（2）證明：如圖所示，連接8。，

,/Z.EAD=76°,ZADE-40。，

???ZAED=1800-ZEAD-ZADE=64°,

:./ABD=ZAED=64°,

?「AB是。的直徑，

???ZADB=90°,

???NBAC=90°-ZABD=26°,

,/ZC=64",

???ZABC=1800-ZC-ABAC=90。，即ABIBC.

???。8是O的半徑，

???BC是（。的切線.

24

E.

B

【點睛】本題主要考查了切線的判定，求弧長，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理等等，正確作出輔助線是

解題的關(guān)鍵.

21.（2023.江蘇連云港.統(tǒng)考中考真題）如圖，在》8。中，AI3=AC,以A3為直徑的0。交邊AC于點O,

連接4。，過點C作。上〃48.

（1）清用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過點4作。的切線，交CE于點尸；（不寫作法，保留作圖痕跡，標明

字母）

⑵在（I）的條件下，求證：BD=BF.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖，過點A作A8的垂線，交CE于點F,即可求解；

（2）根據(jù)題意切線的性質(zhì)以及直徑所對的圓周角是直角，證明N8OC=/3"C,根據(jù)平行線的性質(zhì)以及等

腰三角形的性質(zhì)得出8CD=N8b,進而證明.B6&BCF（AAS）,即可得證.

【詳解】（1）解：方法不唯一，如圖所示.

E

(2)VAB=AC,

ZABC=ZACB.

又???CE〃A8,

???ZABC=ZBCF,

???ZBCF=ZACB.

???點。在以AB為直徑的圓上,

/.ZAO8=90。，

/.ZBDC=90°.

又???M為。。的切線，

???ZABF=90°.

'：CE//AB,

???ZBFC+Z4BF=I80°,

???ZBFC=90°,

/BDC=NBFC.

:在△BCD和△8C7?中，

/BCD=NBCF、

NBDC=NBFC,

BC=BC,

???3C￡>93b(AAS).

JBD=BF.

【點睛】本題考查了作圓的切線，切線的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟

練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

22.(2023?遼寧?統(tǒng)考中考真題)如圖，八3是〈O的直徑，點C,E在O上，N63=2NE4氏點F在線段A4

的延長線上，且NAFE=ZABC.

(I)求證：EF與O相切；

4

(2)若3b=l,sin/A/^=m，求8c的長.

26

【答案】（1）見解析

（2）?C=y

【分析】（1）利用圓周角定理得到NEO8=2/E4B,結(jié)合已知推出=,再證明△0FESZV1BC,

推出NOE/=NC=90。，即可證明結(jié)論成立；

（2）設(shè)：。半徑為心則O/=4+1,在RIZX。所中，利用正弦函數(shù)求得半徑的長，再在RlAABC中，解

直角三角形即可求解.

【詳解】（1）證明：連接0E,

'：BE=BE，工/EOB=2/EAB,

,：ZC4B=2ZE4B,

:.KAB=NEOR,

IA8是OO的直徑,

???ZC=90°,

,?ZAFE=ZABC,

???MOFES4ABC,

???ZOEF=ZC=90°,

????！辏簽椋∣半徑，

???E尸與QO相切;

（2）解：設(shè)O半徑為x,則OF=x+l,

4

VZAFE=ZABC,sinZAFE=~,

4

/.sinZ.ABC=—,

4

在Rt^OE/中，ZOEF=90°,sinZAFE=-,

???絲，，即上,，

OF5x+15

解得x=4,

經(jīng)檢驗，x=4是所列方程的解,

???。半徑為4,則AC=8,

4

在Rt2\A8C中，ZC=90°,sinZABC=-,A8=8,

32

AC=ABsinZABC=—,

5

?----------------74

???BC=yjAB2-AC2

【點睛】本題考查了圓的切線的判定、圓周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，

熟練掌握圓的相關(guān)知識和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鋌.

23.（2023.山東東營?統(tǒng)考中考真題）如圖，在人BC中，AB=AC,以A8為直徑的O交BC于點、D,DE1AC,

垂足為E.

（2）若NC=30。，CD=2上,求BO的長.

【答案】（1）見解析

.4

（2）§乃

【分析】（1）如圖：OD,然后根據(jù)等邊對等角可得ZB=ZODB、NB=NC即NODB=ZC,再根據(jù)OD//AC

可得NO￡>￡=/DEC,進而得到ZODE=900即可證明結(jié)論：

（2）如圖：連接A。，有圓周角定理可得4O/8C,再解宜角三角形可得AC=4,進而得到

OB=2A8=：AC=2,然后說明NBQ￡>=120。，最后根據(jù)弧長公式即可解答.

22

【詳解】（1）證明：如圖：連接。。

V()B=OD,

28

:.4=/0DB,

*/AB=AC,

???ZB=NC,

:./ODB=NC,

：,OD//AC,

??./ODE=NDEC0

'：DEJ.AC,

ZDEC=9(r,

???NODE=90。，

???。。是。的半徑，

，DE是O的切線.

(2)解：加圖：連接入D

:A8是O的直徑,

:.AD1BC,

在RlADC4?,ZC=30°,CD=28,

cos30°=—

AC

:.AC=4,

：.OB=-AB=-AC=2,

22

,/ZC=30°,

/B=NODB=30。,

Z?OD=120°,

.,120x^x2=4

??/0八=—兀.

BD1803

【點睛】本題主要考查了圓的切線證明、圓周角定理、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，靈活

運用相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵.

24.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考中考真題）如圖，AA是的直徑，。是G。上一點過點C作CD_LA8于點E,

交CO于點。，點尸是48延長線上一點，連接CT,AD,/FCD=2NDAF.

⑴求證：CF是。切線;

?

（2）若AF=10,sinF=-,求C。的長.

【答案】（】）見解析

⑵在

3

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓周角定理可推出NCO8=2ND4F,利用已知條件進行等量轉(zhuǎn)換即可求出

4C0B=/FCD,最后利用C0_LA3可證明NR7D+NOCE=90°,從而證明CF是O切線.

（2）根據(jù)互余的兩個角相等，利用sin/2可求出CmF=O斐F=2[,設(shè)參數(shù)表示出OE和。C,再根據(jù)勾股

3CFOC3

定理用參數(shù)表示出CE和所，最后利用A/：=10即可求出參數(shù)的值，從而求出CE長度，即可求8的長.

【詳解】（1）解：連接OC,OD,如圖所示，

CDA.AB,A8為（。的直徑,

BC=BD，

:.NC()B=/BOD,

二NBOD=2/DAF,

NCOB=2NDAF,

.NFCD=2/DAF,

:.NC0B=4FCD,

CDLAB,

:.ZCOB+ZOCE=90°,

:.ZFCD+ZOCE=90°,

30

:.OCLCF,

.?.。尸是1。切線.

（2）解：連接OC,如圖所示,

rtl(1)得，OCA.CF,

CE1AB,

NOCF=NCEF=期,

:.NF=NOCE.

口2

sinr=—,

3

CEOE_2

'~CF~~OC~3'

設(shè)。E=2x則OC=OA=3x,

???在RtOCE中，CE=VOC2-OE2=V9x2-4x2=45.x?

.AF=10,

/.AF=AO+OE+EF=3x+2x+2-x=10,

4

：.x=—,

3

/.CE=x/5x=.

.CELAB,

:.CE=ED=-CD.

2

,d.

3

故答案為：塢.

3

【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，切線的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)和勾股定理，解題的關(guān)鍵在于

利用參數(shù)表達線段長度.

25.（2023?湖南常德?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形A8CO是O的內(nèi)接四邊形，人4是直徑，C是80的中

點，過點。作CE_LAO交八。的延長線于點E.

（2）若8C=6,AC=8,求。旦。后的長.

【答案】（1）證明見解析

（2）EC=y,DE=y

【分析】（1）根據(jù)“連半徑，證垂直”即可，

（2）先由“直徑所對的圓周角是直角"，證ABC是直角三角形，用勾股定理求出AB長，再通過三角形相似

即可求解.

【詳解】（1）連接OC

???C為60的中點，

-CD=BCf

???Z1=Z2,

又；辦=",

32

???/2=/3,

/.Z1=Z3,

?\AE//OC.

又1,CE_LAE,

：.CE±OC,0c為半徑，

??.CE為，。的切線，

(2);A3為，：O直徑，

???ZACB=90°,

BC-6,AC-8,

；?AB=10,

又：N1=N2,ZA￡C=ZACB=90°,

???AECsACB,

.ECACEC8

..-----=------,BMJn------=一,

CBAB610

-”24

..EC=一,

5

,:CD=CB，

:.CD=BC=6,

在RtZkDEC中，由勾股定理得：

DE=dCD2—CE?=/2一傳、=￡.

【點睛】此題考查切線的判定，圓周角定理，勾股定理定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握

相美性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

26.(2023?內(nèi)蒙古通遼?統(tǒng)考中考真題)如圖，人B為。的直徑，。，E是上的兩點，延長A4至點C,

連接CD,&DC=ZA,

(1)求證：AACAADCB；

(2)求證：CD是。的切線;

3

(3)若tanE=]AC=10,求的半徑.

5

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)30的半徑為3.2

【分析】(1)利用兩角對應(yīng)相等兩個三角形相似，得出結(jié)論；

(2)連接OO,由圓周角定理得出408=90。，證出OOJ_C乃，由切線的判定可得出結(jié)論；

(3)由相似三角形的性質(zhì)得出段=2=當=3,由比例線段求出C。和的長，可求出A8的長，則

ACCDDA5

可得出答案.

【詳解】(1)證明：VZACD=ZDCB,NBDC=ZA,

???/CWDCBx

???ZAD5=90°,

:.ZA+ZABD=90°,

OB=OD,

:.ZABD=N0DB,

'：ZBDC=ZA,

/BDC+N8B=90°,

；?Z0DC=90°,

：?0DICD,

???。。是。的半徑，

?,.CO是。的切線；

3

(3)解：VZA￡)B=90°,tanE=-,N4=H

34

.BD3

??---=—，

AD5

?：_ACD^DCB,

.CDBCBD3

??--=---=---=一,

ACCDDA5

???AC=10,

ig

/.CD=6,BC=——=3.6,

5

/.AB=/\C-BC=10-3.6=6.4.

:.OO的半徑為3.2.

【點睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，圓周角定理，根據(jù)題

目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

27.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）如圖，在單位長度為1的網(wǎng)格中，點。，A,8均在格點上，。4=3,

A/?=2,以。為圓心，04為半徑畫圓，請按下列步驟完成作圖，并回答問題：

①過點A作切線AC,且AC=4（點。在4的上方）；

②連接OC,交CO于點。；

③連接80,與4c交于點￡

⑴求證：8D為。的切線；

（2）求AE的長度.

【答案】（1）畫圖見解析，證明見解析

3

（2）AE=1

（分析］（1）根據(jù)題意作圖，首先根據(jù)勾股定理得到OC=&W+AC2=5,然后證明出,-AOC與。O8（SAS）,

得到NO4C=NOD8=90。，即可證明出BO為。的切線：

（2）首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到8O=AC=4,然后證明HIVBAESVBQO,利用相似三角形的性質(zhì)求

解即可.

：4。是1。的切線,

???OA_LAC,

?；0A=3,AC=4,

；?OC=y]OA2+AC2=5,

V0A=3,AB=2,

：,OB=OA+AB=5,

：.OB=OC、

又：8=3=3,ZAOC=NDOB,

???_A0&DOB(SAS),

ZOAC=ZODB=90°,

：-ODlBD,

???點。在OO上，

:.B。為OO的切線：

(2)?'AOCKDOB,

:.BD=AC=4,

?；ZABE=ZDHO,ZBAE=ZBDO,

NBAE^NBDO,

.AEAB0nAE2

ODBD34

3

???解得AE=5.