多元函數(shù)的極值與最優(yōu)化問題

章節(jié)一、多元函數(shù)的無條件極值二、多元函數(shù)的最值多元函數(shù)的極值與最優(yōu)化問題三、多元函數(shù)的條件極值——拉格朗日乘數(shù)法2021/6/27一、多元函數(shù)的無條件極值2021/6/271.極值定義若函數(shù)極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)的某則稱函數(shù)在點(diǎn)取得極大值鄰域內(nèi)有定義且滿足稱為極值點(diǎn).推廣：n元函數(shù)f(P),(極小值)定義8.102021/6/27(1)(2)(3)例2例3例12021/6/27證即2.多元函數(shù)取得極值的條件定理8.10(必要條件)設(shè)函數(shù)且在該點(diǎn)取得極值，則有具有偏導(dǎo)數(shù)，2021/6/272021/6/27注1o2o

仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為多元函數(shù)的駐點(diǎn).駐點(diǎn)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)2021/6/27事實(shí)上，yxzo問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？2021/6/27定理8.11(充分條件)若函數(shù)某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且記則A<0時(shí)是極大值;A>0時(shí)是極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時(shí),不能判定,需另行討論.時(shí),不是極值.2021/6/27即有

2021/6/272021/6/27例4例5解1o求駐點(diǎn)①②2021/6/27①②當(dāng)a=0時(shí)，有唯一駐點(diǎn)：(0,0)當(dāng)a

0時(shí)，代入①，①–②：2021/6/272o判斷(1)當(dāng)a0時(shí)，駐點(diǎn)

2021/6/27(2)當(dāng)a=0時(shí)，在唯一駐點(diǎn)(0,0)處，充分判別法失效！2021/6/27xyo+當(dāng)a=0時(shí)，-2021/6/27二、多元函數(shù)的最值函數(shù)f

在有界閉區(qū)域D上連續(xù)函數(shù)f

在該區(qū)域D上一定取得最值假設(shè):目標(biāo)函數(shù)可微且只有有限個(gè)駐點(diǎn).(這實(shí)際上是條件極值問題，邊界方程即為條件方程)情形1D是有界閉區(qū)域，求最值的一般方法：2021/6/27情形2在D內(nèi)有唯一的駐點(diǎn)，則認(rèn)為該駐點(diǎn)即為f(x,y)2021/6/27解例6設(shè)(x,y)為該三角形內(nèi)任一點(diǎn),所求點(diǎn)一定在x=0,y=0,x+2y-16=0三直線所圍三角形的內(nèi)部.則它到三直線的距離平方和為:目標(biāo)函數(shù)(x,y)x+2y-16=02021/6/27而駐點(diǎn)唯一,由問題性質(zhì)知存在最小值,2021/6/27例7求函數(shù)f(x,y)=x2+2y2-x2y2在區(qū)域上的最大值和最小值.解(方法1)xyO1

先求f(x,y)在D內(nèi)的駐點(diǎn)-222021/6/27xyOL1L2在L1上,

f(x,y)的最大值為g(±2)=

f(±2,0)=

4，最小值為g(0)=

f(0,0)=

0.2

再求f(x,y)在D邊界上的最值-222021/6/27xyOL1L2-22在L2上,

f(x,y)的最大值為8，最小值為綜上,

f(x,y)

在D上的最大值為8，最小值為0.2021/6/27實(shí)例

小王有200元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買x

張磁盤，y

盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為：三、條件極值、拉格朗日乘數(shù)法設(shè)每張磁盤8

元，每盒磁帶10元，問他如何分配這200

元以達(dá)到最佳效果．2021/6/27一般地，所謂條件極值，就是求在附加條件：問題的實(shí)質(zhì)：求2021/6/27求條件極值的方法主要有兩種：的無條件極值.2.拉格朗日乘數(shù)法1.將條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值下的極值可疑點(diǎn).2021/6/271

構(gòu)造函數(shù)),(),(),(yxyxfyxF

+=解出x0,y0,

2o解方程組3o判斷，得極值可疑點(diǎn)：拉格朗日函數(shù)(1)拉格朗日乘子

步驟：2021/6/27原理：設(shè)2021/6/272021/6/27這正是(1)式.條件極值的必要條件注

拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)的情形：2021/6/271

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)2o解方程組如：目標(biāo)函數(shù)2021/6/27得極值可疑點(diǎn)：3o判斷.2021/6/27例7求函數(shù)f(x,y)=x2+2y2-x2y2在區(qū)域上的最大值和最小值.解(方法2)在D內(nèi)與邊界L1上同方法1.xyOL1L2-222021/6/27解得極值可疑點(diǎn)：綜上,

f(x,y)

在D上的最大值為8，最小值為0.2021/6/27例8解

設(shè)長方體位于第一卦限內(nèi)的一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y,z),則長方體的長，寬，高分別為2x,故長方體的體積2y,h-z.(x,y,z)h2021/6/27目標(biāo)函數(shù)2021/6/27由實(shí)際問題存在最大值,及可疑的極值點(diǎn)唯一,有這種解法具有一般性2021/6/27例9解目標(biāo)函數(shù)約束條件2021/6/27注2021/6/27注意常用解題技巧2021/6/27例10A(1,1,1)到點(diǎn)B(2,0,1)的方向?qū)?shù)具有最大值.解著點(diǎn)2021/6/27目標(biāo)函數(shù)：條件：xzoy2021/6/27解方程組：(1)(2)(3)(4)由(1)

y–(2)

x,得2021/6/27由(3)，得代入(4)，得極值可疑點(diǎn)：>2021/6/27內(nèi)容小結(jié)1.如何求函數(shù)的無條件極值第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).解方程組第二步利用充分條件判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).2.如何求函數(shù)的條件極值(1)簡單問題用代入法轉(zhuǎn)化為無條件極值問題求解如對二元函數(shù)(2)一般問題用拉格朗日乘數(shù)法求解2021/6/27先作拉格朗日函數(shù)例如求二元函數(shù)下的極值,然后解方程組第二步作拉格朗日函數(shù)，求駐點(diǎn)并判別?比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小(閉區(qū)域)?根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值(實(shí)際問題)第一步找目標(biāo)函數(shù),確定定義域(及約束條件)3.函數(shù)的最值應(yīng)用問題在條件求出駐點(diǎn).2021/6/27思考題

1.答：

不一定.問：2021/6/27已知平面上兩定點(diǎn)A(1,3),B(4,2),試在橢圓周上求一點(diǎn)C,使△ABC

面積S△最大.解設(shè)C

點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),2.則2021/6/27作拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點(diǎn)對應(yīng)面積而比較可知,點(diǎn)C與

E重合時(shí),三角形面積最大.點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動畫開始或暫停2021/6/27備用題

例4-1

討論函數(shù)及是否取得極值.解顯然(0,0)都是它們的駐點(diǎn),在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負(fù)0在(0,0)點(diǎn)并且在(0,0)都有可能為①②2021/6/27例5-1求函數(shù)解

第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步解方程組的極值.求A、B、C的值，并列表判別2021/6/271206極小，72-52021/6/27解例5-2隱函數(shù)求極值問題2021/6/27即駐點(diǎn)為)1,1(-P,

2021/6/27函數(shù)在P有極值.故2021/6/27例6-1解2021/6/27其次考慮f(x,y)在D的邊界上的取值情況.2021/6/272021/6/27比較上述各點(diǎn)的函數(shù)值可知,函數(shù)的最大值是函數(shù)的最小值是2021/6/27例6-2解設(shè)水箱長,寬分別為x,ym

,則高為水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2的有蓋長方體水箱,問：當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),

才能使用料最省?2021/6/27根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長、寬均為高為時(shí),水箱所用材料最省.2021/6/27例6-3

有一寬為24cm的長方形鐵板,把它折起來解

設(shè)折起來的邊長為xcm,則斷面面積x24做成一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,傾角為

,使斷面面積最大.為問怎樣折法才能2021/6/27令解得由題意知,最大值在定義域D內(nèi)達(dá)到,而在域D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),故此點(diǎn)即為所求.2021/6/27解如圖,xyzo例7-12021/6/272021/6/272021/6/27注2021/6/27解由例7-2

2021/6/27無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.2021/6/27解例8-12021/6/272021/6/272021/6/27即可得2021/6/27例8-2解

設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對的圓心角為x,y,z,這三個(gè)角所對應(yīng)的三角形的面積分別為作拉格朗日函數(shù)求半徑為R

的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者.則2021/6/27解方程組,得故圓內(nèi)接正三角形面積最大,最大面積為2021/6/27為邊的面積最大的四邊形,試列出其目標(biāo)函數(shù)和約束條件.提示:目標(biāo)函數(shù):約束條件:答案:即四邊形內(nèi)接于圓時(shí)面積最大.例8-3求平面上以設(shè)四邊形的一對內(nèi)角分別為α,β2021/6/27例8-4要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為則問題為求令解方程組解設(shè)x,y,z分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.x,y,z使在條件試問水箱長、寬、高等于多少時(shí)所用材料最省？的長方體開口水箱,2021/6/27得唯一駐點(diǎn)由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長、寬為高的2倍時(shí)，所用材料最省.因此,當(dāng)高為思考:1)當(dāng)水箱封閉時(shí),長、寬、高的尺寸如何?提示:

利用對稱性可知,2)當(dāng)開口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時(shí)