新編應(yīng)用數(shù)學(xué) 課件 第4章一元函數(shù)積分學(xué)

第4章一元函數(shù)積分學(xué)4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-2原函數(shù)與不定積分4-3積分法4-4定積分在幾何上的應(yīng)用

第4章一元函數(shù)積分學(xué)

4-5定積分在物理中的應(yīng)用4-6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

4-7數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

Matlab在積分學(xué)中的應(yīng)用

4-1定積分的概念與性質(zhì)一、問題引入二、定積分的基本概念三、定積分的基本性質(zhì)四、小結(jié)一、問題的引入4-1定積分的概念與性質(zhì)

引例1[曲邊梯形的面積]

下面我們討論由連續(xù)曲線y=f(x)(設(shè)f(x)≥0)，直線x=a,x=b和x軸(y=0)所圍成的曲邊梯形面積.所謂曲邊梯形，是指如圖所示的圖形AabB，其中有兩邊平行，第三邊與這兩邊垂直，第四條邊是曲線。

它的面積不能用初等數(shù)學(xué)的方法來解決，于是人們產(chǎn)生了如下想法：4-1定積分的概念與性質(zhì)

用平行與y軸的直線將曲邊梯形切割成若干個(gè)小曲邊梯形，每個(gè)小曲邊梯形用相應(yīng)的小矩形近似代替，把這些小矩形的面積累加起來，就得到曲邊梯形面積的一個(gè)近似值，當(dāng)分割得無限細(xì)時(shí)，這個(gè)近似值就無限趨近于所求曲邊梯形的面積．4-1定積分的概念與性質(zhì)

(1)分割.

在[a,b]中插n-1個(gè)分點(diǎn)把區(qū)間[a,b]分成個(gè)小區(qū)間：其中第個(gè)小區(qū)間長度為過每個(gè)分點(diǎn)作平行于y軸的直線，曲邊梯形被分成n個(gè)小曲邊梯形.

，，，，4-1定積分的概念與性質(zhì)

在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)

，以

為底邊、為高作小矩作，其面積為

(2)取近似.4-1定積分的概念與性質(zhì)

當(dāng)很小時(shí)，窄曲邊梯形的面積

與小矩形面積

近似相等,即4-1定積分的概念與性質(zhì)

（3）求和.

將各窄曲邊梯形面積的近似值加起來即得所求大曲邊梯形面積的近似值.4-1定積分的概念與性質(zhì)

（4）取極限.

記Δx=max{Δxi},當(dāng)Δx→0時(shí),取上述和式的極限,得曲邊梯形的面積為

求曲邊梯形的面積就歸結(jié)為求上述這種和式的極限.4-1定積分的概念與性質(zhì)

引例2[變速直線運(yùn)動的路程]

4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-1定積分的概念與性質(zhì)

從上述兩個(gè)例子可以看出，雖然它們的實(shí)際意義不同，但撇開這些問題所代表的幾何、物理意義，處理這些問題所使用的思想方法和步驟、以及最后所得出的數(shù)學(xué)表達(dá)式來看都是相同的.即歸結(jié)為對某個(gè)量進(jìn)行“分割、取近似、求和、取極限”，或者說都轉(zhuǎn)化為具有特定結(jié)構(gòu)的和式的極限問題．

在自然科學(xué)和工程技術(shù)中有很多問題，如變力沿直線做功、物質(zhì)的質(zhì)量、平均值、曲線的弧長等，都可以歸結(jié)為這種特定和式的極限.由此，抽象出定積分的概念．

4-1定積分的概念與性質(zhì)

二、定積分及其基本概念4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-1定積分的概念與性質(zhì)

（2）從定義可以推出定積分存在的必要條件是被積函數(shù)在上有界．（3）由定義可知，當(dāng)

在區(qū)間

上的定積分存在時(shí)，定積分的值只與被積函數(shù)以及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記號無關(guān)，即有4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-1定積分的概念與性質(zhì)

x

yOab

y

f(x)

y

-f(x)=-A=-A4-1定積分的概念與性質(zhì)

b

y=f(x)aO

y

x－＋＋4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-1定積分的概念與性質(zhì)

例1利用定積分定義計(jì)算4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-1定積分的概念與性質(zhì)

案例1[汽車行駛的路程]一汽車以速度

（

的單位：秒，的單位：米/秒）作直線運(yùn)動，試用定積分表示汽車在時(shí)間區(qū)間

內(nèi)經(jīng)過的路程

．解由定積分的定義知，物體經(jīng)過的路程

是速度

在時(shí)間區(qū)間

上的定積分,即4-1定積分的概念與性質(zhì)

解由定積分的意義知，流入水箱的總量

是水流到水箱的速度

在時(shí)間區(qū)間

上的定積分，即4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-1定積分的概念與性質(zhì)

從性質(zhì)4立刻推出如下推論:

推論1:若

在區(qū)間

上可積，且

，則4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-1定積分的概念與性質(zhì)

證因?yàn)?/p>

在

上連續(xù)，所以

在

上可積，且有最小值

和最大值

．則在

上，4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-1定積分的概念與性質(zhì)

解（1）當(dāng)4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-1定積分的概念與性質(zhì)

例3估計(jì)定積分

的大?。?-1定積分的概念與性質(zhì)

解函數(shù)在區(qū)間[2,4]上的平均值為5，由積分中值定理有4-1定積分的概念與性質(zhì)

解全波整電流的周期,求周期函數(shù)的平均值是求一個(gè)周期上的平均值，于是四、小結(jié)4-1定積分的概念與性質(zhì)

1.掌握定積分的基本概念（1）定積分的定義（2）定積分的幾何意義（3）定積分存在定理2.理解定積分的基本性質(zhì)，能熟練運(yùn)用性質(zhì)求定積分4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-2原函數(shù)與不定積分4-3積分法4-4定積分在幾何上的應(yīng)用

第4章一元函數(shù)積分學(xué)

4-5定積分在物理中的應(yīng)用4-6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

4-7數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

Matlab在積分學(xué)中的應(yīng)用

4-2原函數(shù)與不定積分一、問題引入二、原函數(shù)的概念三、不定積分的概念四、基本積分表五、不定積分的線性性質(zhì)六、直接積分法4-2原函數(shù)和不定積分一.問題引入

4-2原函數(shù)和不定積分

本例為已知曲線上每一點(diǎn)切線的斜率，求曲線方程.實(shí)際上是已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的表達(dá)式的問題.這實(shí)際是導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算問題.即研究從已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求原來的函數(shù)．解決這個(gè)問題不僅是數(shù)學(xué)理論的需要，更是解決許多實(shí)際問題的需要．4-2原函數(shù)和不定積分

二.原函數(shù)概念

例如，

是

在區(qū)間

上的一個(gè)原函數(shù)，因?yàn)?/p>

；

又如，在

內(nèi)

，故路程函數(shù)

是速度函

的一個(gè)原函數(shù)．4-2原函數(shù)和不定積分

4-2原函數(shù)和不定積分

在上節(jié)中知道：凡在區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)都有原函數(shù)．由于初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的.因此，初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都有原函數(shù)

上述結(jié)果表明，如果

在

上有一個(gè)原函數(shù)

，則它就有無窮多個(gè)原函數(shù)，且全體原函數(shù)可寫成的形式

，其中

為任意常數(shù)．4-2原函數(shù)和不定積分由原函數(shù)定義下面引入不定積分的概念4-2原函數(shù)和不定積分

三.不定積分的定義1.定義4.2.2

函數(shù)的全部原函數(shù)，稱為的不定積分，記作

．其中“”稱為積分號,稱為積分變量，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式．如果是的一個(gè)原函數(shù)，則（為任意常數(shù)）．其中稱為積分常數(shù)．4-2原函數(shù)和不定積分

4-2原函數(shù)和不定積分

4-2原函數(shù)和不定積分

3.不定積分的幾何意義

如果是的一個(gè)原函數(shù)，則的不定積分．對于每一給定的常數(shù)，表示坐標(biāo)平面上的一條確定的曲線，這條曲線稱為的一條積分曲線．由于可以取任意值，因此不定積分表示的一族積分曲線．

4-2原函數(shù)和不定積分

3.不定積分的幾何意義4-2原函數(shù)和不定積分

4-2原函數(shù)和不定積分

例1設(shè)曲線通過點(diǎn)（0，1），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方，求此曲線的方程．4-2原函數(shù)和不定積分

4-2原函數(shù)和不定積分

4-2原函數(shù)和不定積分

解當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以．．所以．4-2原函數(shù)和不定積分

四、基本積分表4-2原函數(shù)和不定積分基本積分表4-2原函數(shù)和不定積分

五、不定積分的線性性質(zhì)性質(zhì)1不定積分與求導(dǎo)數(shù)或微分互為逆運(yùn)算．(2)或．(1)或．性質(zhì)2被積表達(dá)式中的非零常數(shù)因子，可以移到積分號前．(，常數(shù)).4-2原函數(shù)和不定積分

性質(zhì)3

兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的不定積分，等于兩個(gè)函數(shù)積分的代數(shù)和．．一般地，．六、不定積分的直接積分法4-2原函數(shù)和不定積分

這13個(gè)公式必須熟記，它們是求積分的基礎(chǔ).下面舉例說明利用基本積分公式和積分的性質(zhì)求不定積分的方法，即直接積分法.4-2原函數(shù)和不定積分

例7

求積分解4-2原函數(shù)和不定積分

在進(jìn)行不定積分的計(jì)算時(shí)，兩個(gè)不定積分應(yīng)該各含一個(gè)積分常數(shù)，但由于任意常數(shù)的和仍為任意常數(shù)，所以在整個(gè)不定積分的運(yùn)算結(jié)果中只需寫一個(gè)任意常數(shù)即可．4-2原函數(shù)和不定積分

4-2原函數(shù)和不定積分

4-2原函數(shù)和不定積分

4-2原函數(shù)和不定積分

4-2原函數(shù)和不定積分

解

（1）由速度和加速度的關(guān)系

知,速度函數(shù)滿足

，且

，則4-2原函數(shù)和不定積分

（2）由路程與速度的關(guān)系

知，路程函

數(shù)滿足

則將

代入上式，得

，所以,4-2原函數(shù)和不定積分

解已知

，由不定積分定義得

將

代入上式，得

，所以4-2原函數(shù)和不定積分

解由

，由不定積分定義,得其中

開始結(jié)冰，此時(shí)冰的厚度為0，即有

，代入上式得

，所以4-2原函數(shù)和不定積分

案例4[總收入]設(shè)某廠生產(chǎn)某種商品的邊際收益函數(shù)

,其中

為該商品的產(chǎn)量，如果該商品可在市場上全部售出，求總收入函數(shù)七、小結(jié)1.掌握不定積分的基本概念（1）不定積分的定義（2）不定積分的幾何意義（3）不定積分性質(zhì)2.能熟練運(yùn)用不定積分的性質(zhì)求不定積分——直接積分法4-2原函數(shù)和不定積分

4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-2原函數(shù)與不定積分4-3積分法

4-4定積分在幾何上的應(yīng)用

第4章一元函數(shù)積分學(xué)

4-5定積分在物理中的應(yīng)用4-6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

4-7數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

Matlab在積分學(xué)中的應(yīng)用

4-3積分法一、問題引入二、微積分基本公式三、換元積分法四、分部積分法五、小結(jié)4-3積分法

定積分是一種特殊和式的極限.用定義計(jì)算定積分十分繁瑣，即使是很簡單的被積函數(shù)，也是十分困難的．本節(jié)將通過微積分基本公式，揭示微分與積分、不定積分與定積分的關(guān)系，從而確定定積分運(yùn)算的基本方法．一、問題引入

解：當(dāng)列車速度為

時(shí)停下，解出

（

）.一方面，由變速直線運(yùn)動路程的計(jì)算有另一方面，由速度和路程的關(guān)系

且

.因此，求

，即

，轉(zhuǎn)化為求

的不定積分，而4-3積分法

將

代入上式，得

，所以

將

代入上式，可得列車從減速開始到停下經(jīng)過3秒時(shí)間，所經(jīng)過的路程為即列車在離站臺1.5千米處開始減速.

從這一案例可以看出，求函數(shù)的定積分

可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)

的不定積分.4-3積分法

4-3積分法

二.微積分基本公式1.積分變上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)4-3積分法

其幾何意義是圖4-9所示陰影的面積

4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

2.微積分基本公式

4-3積分法

（4.3.1）

4-3積分法

4-3積分法4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

三.換元積分法解由加速度和速度的關(guān)系

，有

下一步如何求原函數(shù)

的不定積分呢？只利用基本積分表和積分的性質(zhì)，顯然是不夠的．必須探尋更加切實(shí)可行的方法．4-3積分法

（一）不定積分的換元積分法1.第一類換元法4-3積分法

第一換元法求不定積分的一般步驟如下：（令

）4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

熟練之后，可以省去中間的換元過程．4-3積分法

常用的湊微分形式

序號微分公式序號微分公式1

（為常數(shù)且

）8293104115126137144-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

進(jìn)行不定積分的運(yùn)算時(shí)，有時(shí)被積函數(shù)需要先做適當(dāng)變形，然后再運(yùn)用第一換元積分法進(jìn)行求解．

4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

解設(shè)

表示從1970年（

）起到第年石油消耗的總量，

就是石油消耗率

，即

.于是由變化率求總消耗量，得，先湊微分

，則有令

得

4-3積分法

4-3積分法

2.第二類換元法定理4.3.5（第二類換元法）4-3積分法

4-3積分法

(1)無理代換

4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法例19求

4-3積分法

(2)三角代換

4-3積分法

例20

求．

解

設(shè)，則，．所以4-3積分法

．由，所以．于是因此，所求不定積分．4-3積分法

．

例21

求．

解設(shè)，則

，

所以．

為了返回原積分變量，可由作輔助三角形．4-3積分法

所以，其中.，4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

解對

積分，得4-3積分法

解法一

用第一換元積分法得將

時(shí)

，代入上式,得

，所以

.4-3積分法

解法二

用第二換元積分法得

4-3積分法

(二）定積分的換元積分法4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

也可用＂湊微分法＂求，即

4-3積分法

4-3積分法

4-3積分法

解在時(shí)間

段內(nèi)，天然氣的產(chǎn)量（產(chǎn)量微元）為該新井前4年的總產(chǎn)量為四、分部積分法4-3積分法

設(shè)函數(shù)

與

均可導(dǎo)，則根據(jù)乘積的求導(dǎo)法則，有即

將上式兩邊求不定積分得，（一）不定積分的分部積分法4-3積分法

因此，不定積分的分部積分公式為

(4.3.5)4-3積分法

解解法一若令

，則得解法二若令

，則得4-3積分法（1）

要容易求得；（2）

比

容易積出.

注意：一般地，如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正（余）弦函數(shù)(或指數(shù)函數(shù))的乘積，可用分部積分法，選冪函數(shù)為u；如果被積函數(shù)是冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（或反三角函數(shù)）的乘積，選對數(shù)函數(shù)（或反三角函數(shù)）為u.4-3積分法

例27求下列不定積分：（1）

；（2）

；（3）

.（2）（3）注意：分部積分法的使用遠(yuǎn)非限于上述幾種函數(shù)乘積的形

式．對它的靈活運(yùn)用會大大擴(kuò)充其適用范圍．4-3積分法（二）定積分的分部積分法

設(shè)函數(shù)

、

在區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，利用微積分基本公式，相應(yīng)地有定積分的分部積分公式.

定理4.3.7若

，

在

上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則

(4.3.6)4-3積分法4-3積分法

例28計(jì)算下列定積分：解（1）

4-3積分法

4-3積分法所以，4-3積分法

解

由變化率求總該變量得4-3積分法

解該廠在

年排出的廢氣量（廢氣量微元）為

，因此該廠在

和

年間排出的總廢氣量為4-3積分法

注意：換元積分法和分部積分法是求不定積分和定積分的基本方法，初等函數(shù)的積分公式組成基本積分表．“兩法一表”是進(jìn)行積分運(yùn)算的主要依據(jù)．五、小結(jié)1.掌握微積分基本公式的概念及應(yīng)用3.分部積分法（1）不定積分的分部積分法（2）定積分的分部積分法4-3積分法

2.換元積分法（1）不定積分的換元積分法（2）定積分的換元積分法4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-2原函數(shù)與不定積分4-3積分法4-4定積分在幾何中的應(yīng)用第4章一元函數(shù)積分學(xué)

4-5定積分在物理中的應(yīng)用4-6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

4-7數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

Matlab在積分學(xué)中的應(yīng)用

4-4定積分在幾何中的應(yīng)用一、微元法二、平面圖形的面積三、旋轉(zhuǎn)體的體積四、平面曲線的弧長五、小結(jié)4.4定積分在幾何中的應(yīng)用

4.4定積分在幾何中的應(yīng)用

一、微元法4.4定積分在幾何中的應(yīng)用

現(xiàn)在來簡化這個(gè)過程，一般可概括為以下兩步：

稱為所求量

微元(元素)，記為

4.4定積分在幾何中的應(yīng)用

第二步：求和取極限

這種方法稱為微元法．4.4定積分在幾何中的應(yīng)用

引例1[由變化率求總改變量]則由微元法，得從

到

的總變化量為4.4定積分在幾何中的應(yīng)用

二.平面圖形的面積圖4-13（4.4.1）4.4定積分在幾何中的應(yīng)用

圖4-144.4定積分在幾何中的應(yīng)用用元素法求它的面積．（3）在區(qū)間上

積分，即得所求圖形的面積（4.2）（1）取橫坐標(biāo)

為積分變量，4.4定積分在幾何中的應(yīng)用

（4.4.3）圖4-154.4定積分在幾何中的應(yīng)用

例1求由兩條拋物線

，

，所圍圖形（圖4-16）的面積．4.4定積分在幾何中的應(yīng)用

解得

及

．x0圖4-16所圍的面積為4.4定積分在幾何中的應(yīng)用

解聯(lián)立解之得曲線與直線的交點(diǎn)

和

．以

為積分變量，則所求面積為4.4定積分在幾何中的應(yīng)用

x圖4-17從例2看出，適當(dāng)選取積分變量，會給計(jì)算帶來方便．4.4定積分在幾何中的應(yīng)用

解由于橢圓關(guān)于軸與軸都是對稱的，故它的面積是位于第一象限內(nèi)的面積的4倍．圖4-184.4定積分在幾何中的應(yīng)用

4.4定積分在幾何中的應(yīng)用

4.4定積分在幾何中的應(yīng)用

Oyx0.64米1.60圖4-19解

建立直角坐標(biāo)系如圖4-19所示，即拋物線方程為

，因?yàn)樗^點(diǎn)

，所以

，即拋物線方程為

.此圖形的面積實(shí)際上是由曲線

與直線

所圍成的面積·面積微元為

面積為4.4定積分在幾何上的應(yīng)用4.4定積分在幾何上的應(yīng)用

三.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，這條直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱，圓錐，圓臺，球體等都可以看成是旋轉(zhuǎn)體．故所求旋轉(zhuǎn)體的體積為

（4.4.5）4.4定積分在幾何上的應(yīng)用4.4定積分在幾何上的應(yīng)用

4.4定積分在幾何上的應(yīng)用

例5求底面半徑為r，高為h的正圓錐體的體積．所以體積4.4定積分在幾何上的應(yīng)用

解

如圖4-23所示，根據(jù)求旋轉(zhuǎn)體的體積公式，得圖4-234.4定積分在幾何上的應(yīng)用

解

這個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體可看作由半個(gè)橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成．所以它的體積特別當(dāng)

時(shí),得半徑為

的球體體積4.4定積分在幾何上的應(yīng)用

四.平面曲線的弧長

設(shè)有一曲線弧段

，它的方程是如果

在

上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則稱弧段是光滑的，試求這段光滑曲線的長度．于是得弧長元素(也稱弧微分)因此，所求的弧長為（4.4.7）y4.4定積分在幾何上的應(yīng)用

4.4定積分在幾何上的應(yīng)用

解

代入公式(7)式，得axy0圖4-254-4定積分在幾何中的應(yīng)用

1.微元法的應(yīng)用；2.平面圖形的面積的求法；3.旋轉(zhuǎn)體的體積的求法；4.平面曲線的弧長的求法；五、小結(jié)5.應(yīng)用舉例。4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-2原函數(shù)與不定積分4-3積分法4-4定積分在幾何中的應(yīng)用第4章一元函數(shù)積分學(xué)

4-5定積分在物理中的應(yīng)用4-6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

4-7數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

Matlab在積分學(xué)中的應(yīng)用

4-5定積分在物理中的應(yīng)用一、變力沿直線做功二、壓力三、小結(jié)4.5定積分在物理中的應(yīng)用

從物理學(xué)知道，若物體在作直線運(yùn)動的過程中一直受與運(yùn)動方向一致的常力

的作用，則當(dāng)物體有位移時(shí)，力

所做的功為一.變力沿直線做功4.5定積分在物理中的應(yīng)用

所以當(dāng)物體沿x軸從

移動至

時(shí)，作用在其上的力所做的功為(5.1)4.5定積分在物理中的應(yīng)用

解設(shè)鐵釘擊入木板的深度為

，所受阻力

（

為比例常數(shù)）鐵錘第一次將鐵釘擊入木板1

，所做的功為4.5定積分在物理中的應(yīng)用

由于第二次錘擊鐵釘所做的功與第一次相等，故有其中

為兩錘共將鐵釘擊入木板的深度．上式即4.5定積分在物理中的應(yīng)用

二．壓力例2[水閘門所受的壓力]有一圓柱形大蓄水池，直徑為20米，高為30米，池中盛水半滿（即水深15米）．求將水從池口全部抽出所做的功．4.5定積分在物理中的應(yīng)用

從而所做的功為

圖4-274-5定積分在物理中的應(yīng)用

1.掌握定積分在變力沿直線做功的應(yīng)用；2.掌握定積分在求壓力中的應(yīng)用；

定積分在物理中的應(yīng)用十分廣泛，如計(jì)算物體的質(zhì)量、靜力矩與重心、液體壓力、兩質(zhì)點(diǎn)的引力等問題，都可以應(yīng)用微元法分析處理，類似各種實(shí)例不勝枚舉，重要的是通過學(xué)習(xí)能熟練地運(yùn)用這種方法，以不變應(yīng)萬變。三、小結(jié)4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-2原函數(shù)與不定積分4-3積分法4-4定積分在幾何中的應(yīng)用第4章一元函數(shù)積分學(xué)

4-5定積分在物理中的應(yīng)用4-6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

4-7數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

Matlab在積分學(xué)中的應(yīng)用

4-6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用一、已知邊際函數(shù)求總函數(shù)二、已知邊際函數(shù)求總函數(shù)在區(qū)間上的增量三、已知邊際函數(shù)求總函數(shù)的最值四、求函數(shù)的平均值五、小結(jié)4.6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

4.6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

一.已知邊際函數(shù)求總函數(shù)

由于總函數(shù)（如總成本、總收益、總利潤等）的導(dǎo)數(shù)就是邊際函數(shù)（如邊際成本、邊際收益、邊際利潤等），當(dāng)已知初始條件時(shí)，即可用定積分求出總量函數(shù).在經(jīng)濟(jì)活動中經(jīng)常遇到求總量問題，一般有以下幾類.4.6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

4.6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

3.總利潤等于總收入扣除總成本，記總利潤為

，則

，若已知邊際收入為

，邊際成本為

，則累計(jì)產(chǎn)量

從

到

所獲得的總利潤為4.6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

二.已知邊際函數(shù)求總函數(shù)在區(qū)間上的增量4.6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

三．已知邊際函數(shù)求總函數(shù)的最值

設(shè)邊際收入為

，邊際成本為

，固定成本為

，則總利潤函數(shù)為4.6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

（1）總成本函數(shù)

，總收益

，總利潤

；（2）當(dāng)生產(chǎn)量由10百件增加到15百件時(shí)，平均成本、平均收益、平均利潤是多少？

分析：已知邊際成本

，邊際收益

，如果固定成本記為

，

,則總成本和總收益分別為4.6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

因此，總利潤函數(shù)

為4.6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

4.6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

4.6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

求：(1)銷售40臺時(shí)的總利潤；(2)銷售出60臺時(shí)，前30臺平均利潤和后30臺的平均利潤；(3)銷售多少臺時(shí)利潤最大，最大利潤是多少？4.6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

（2）前30臺平均利潤為后30臺平均利潤為4.6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

所以

當(dāng)臺時(shí)利潤最大.最大利潤為4.6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

解（1）總利潤函數(shù)為,欲求最大利潤，只需求出的最大值

即可.4.6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

4.6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

四．求函數(shù)的平均值4.6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

4.6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

4.6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

1.直流電的平均功率

平均功率又稱為有功功率（activepower),由電工學(xué)知，電流在單位時(shí)間所做的功率稱為電流的功率

，即

直流電通過電阻

，消耗在電阻

上的功率（即單位時(shí)間內(nèi)消耗在電阻上的功）是4.6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用2.交流電的平均功率

交流電雖然在不斷變化，但在很短的時(shí)間間隔內(nèi)，可以近似地認(rèn)為是不變的（即近似地看做是直流電），因而在

時(shí)間內(nèi)

對以常代變，可得到功微元：4.6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用在一個(gè)周期內(nèi)消耗的功率為因此，交流電的平均功率為

4-6定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

1.根據(jù)已知邊際函數(shù)求總成本函數(shù)、總收入函數(shù)、總利潤函數(shù)；2.能根據(jù)已知邊際函數(shù)求總函數(shù)在區(qū)間上的增量；五、小結(jié)3.根據(jù)已知邊際函數(shù)求總函數(shù)的最值；4.會求函數(shù)在區(qū)間上的平均值。4-1定積分的概念與性質(zhì)

4-2原函數(shù)與不定積分4-3積分法