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第二章函數(shù)第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值·考試要求·1.借助函數(shù)圖象,會(huì)用符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值.2.理解函數(shù)的單調(diào)性與最值的作用和實(shí)際意義.必備知識(shí)落實(shí)“四基”
×××
ACA4.設(shè)定義在[-1,7]上的函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________________.5.已知函數(shù)f(x)=x2-2kx+4在[5,20]上單調(diào),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.(-∞,5]∪[20,+∞)
解析:易知f(x)=x2-2kx+4的圖象的對(duì)稱軸為直線x=k,由題意可得k≤5或k≥20.故實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-∞,5]∪[20,+∞).[-1,1]和[5,7]
核心回扣1.增函數(shù)與減函數(shù)注意點(diǎn):?jiǎn)握{(diào)遞增(減)函數(shù)定義中的x1,x2的三個(gè)特征:一是任意性;二是有大小,即x1<x2(或x1>x2);三是同屬于一個(gè)單調(diào)區(qū)間,三者缺一不可.2.單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上____________________,那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間I叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.注意點(diǎn):(1)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,不能用不等式表示.(2)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間或討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí),必須先求函數(shù)的定義域.(3)一個(gè)函數(shù)的同一種單調(diào)區(qū)間用“和”或“,”連接,不能用“∪”連接.(4)“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是M”與“函數(shù)在區(qū)間N上單調(diào)”是兩個(gè)不同的概念,顯然N?M.單調(diào)遞增或單調(diào)遞減
自查自測(cè)知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的最值1.下列函數(shù)在區(qū)間[1,4]上最大值為3的是(
)A.y=x2 B.y=3x-2C.y=x2-13 D.y=1-xC
解析:選項(xiàng)A,B,C在區(qū)間[1,4]上均單調(diào)遞增,選項(xiàng)D在區(qū)間[1,4]上單調(diào)遞減,代入端點(diǎn)值,即可求得最大值為3的是y=x2-13.√
√
核心回扣函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件?x∈D,都有__________;?x0∈D,使得___________?x∈D,都有__________;?x0∈D,使得___________結(jié)論M為最大值M為最小值注意點(diǎn):(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值,當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí),最值一定在端點(diǎn)處取得.(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最小值或最大值.f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M
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√核心考點(diǎn)提升“四能”
√
確定函數(shù)單調(diào)性的常用方法定義法先確定定義域,再根據(jù)取值、作差、變形、定號(hào)的順序得結(jié)論圖象法若函數(shù)是以圖象形式給出的,或者函數(shù)的圖象可作出,可由圖象的升、降寫出它的單調(diào)性性質(zhì)法對(duì)于由基本初等函數(shù)的和、差構(gòu)成的函數(shù),根據(jù)各基本初等函數(shù)的增減性及“增+增=增,增-減=增,減+減=減,減-增=減”進(jìn)行判斷導(dǎo)數(shù)法先求導(dǎo),再確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù),由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合法對(duì)于復(fù)合函數(shù),先將函數(shù)f(g(x))分解成y=f(t)和t=g(x),然后討論(判斷)這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的規(guī)則進(jìn)行判斷
-2
√利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小的方法比較函數(shù)值的大小時(shí),若自變量的值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),要利用其函數(shù)性質(zhì),轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行比較.對(duì)于選擇題、填空題通常選用數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行求解.考向2解函數(shù)不等式【例3】(1)已知函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若f(1)=-1,則滿足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范圍是(
)A.[-2,2] B.[-1,1]C.[0,4] D.[1,3]D
解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù),且f(1)=-1,所以f(-1)=-f(1)=1.由-1≤f(x-2)≤1,得f(1)≤f(x-2)≤f(-1),又函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,所以-1≤x-2≤1,所以1≤x≤3.故選D.√
在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí),往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號(hào)脫掉,使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域.
√D
解析:作出函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示.由圖象可知,若f(x)在(a,a+1)上單調(diào)遞增,需滿足a≥4或a+1≤2,即a≤1或a≥4.(2)已知函數(shù)f(x)=e|x-a|(a為常數(shù)),若f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是________.(-∞,1]
解析:令t=|x-a|,所以y=et.t=|x-a|在(-∞,a]上單調(diào)遞減,在[a,+∞)上單調(diào)遞增.又y=et為增函數(shù),所以f(x)=e|x-a|在(-∞,a]上單調(diào)遞減,在[a,+∞)上單調(diào)遞增.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,所以a≤1.利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的策略(1)視參數(shù)為已知數(shù),依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù).(2)需注意若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)的,則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的.(3)分段函數(shù)的單調(diào)性需要分段研究,既要保證每一段函數(shù)的單調(diào)性,還要注意每段端點(diǎn)值是否可以取到.
√2.已知函數(shù)f(x)=ln2-x-x3,則不等式f(3-x2)>f(2x-5)的解集為(
)A.(-4,2) B.(-∞,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-4)∪(2,+∞)D
解析:由題意知f(x)=-x
ln2-x3,易知函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,而f(3-x2)>f(2x-5),所以3-x2<2x-5,即(x-2)(x+4)>0,解得x>2或x<-4,所以x∈(-∞,-4)∪(2,+∞).故選D.√3.設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,則f(-2),f(π),f(-3)的大小關(guān)系是(
)A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(
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