高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及綜合應(yīng)用課件

第五章

平面向量、復(fù)數(shù)第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及綜合應(yīng)用·考試要求·1．理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義．2．了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義．3．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算．4．能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．5．會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、物理問題以及其他一些實際問題．必備知識落實“四基”

×××√

√

∠AOB0≤θ≤π0π

√

√

|a||b|cos

θ03．?dāng)?shù)量積a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于向量a的長度與向量b在向量a的方向上的投影的乘積．4．運算律：對于向量a，b，c和實數(shù)λ，有(1)a·b＝______；(2)(λa)·b＝_________＝_________；(3)(a＋b)·c＝____________．注意點：由a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，兩邊不能約去同一個向量．b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c

核心回扣已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.結(jié)論符號表示坐標(biāo)表示模夾角a⊥b的充要條件_________x1x2＋y1y2＝0a·b|與|a||b|的關(guān)系||a·b|≤|a||b|

a·b＝0【常用結(jié)論】1．平面向量數(shù)量積運算的常用公式：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有關(guān)向量夾角的兩個結(jié)論：(1)若a與b的夾角為銳角，則a·b>0；若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0.(2)若a與b的夾角為鈍角，則a·b<0；若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角或π.應(yīng)用1已知a，b為非零向量，則“a·b>0”是“a與b的夾角為銳角”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件B

解析：根據(jù)向量數(shù)量積的定義可知，若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或零角；若a與b的夾角為銳角，則一定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a與b的夾角為銳角”的必要不充分條件．√

核心考點提升“四能”

√

√

計算平面向量數(shù)量積的主要方法(1)利用定義：a·b＝|a||b|cos

〈a，b〉．(2)利用坐標(biāo)運算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求數(shù)量積．(4)靈活運用平面向量數(shù)量積的幾何意義．

√

√(3)(2023·新高考全國Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，則(

)A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1 D．λμ＝－1D

解析：

因為a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)．由(a＋λb)⊥(a＋μb)，可得(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.√

√

[變式]本例中條件改為“m＝(sinα－2，－cos

α－1)，n＝(－sinα，cos

α)”，若m∥n，求tanα.解：由m∥n得(－sinα)(－cos

α－1)＝(sinα－2)cos

α，化簡得sinα＝－2cosα，所以tanα＝－2.平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路(1)題目條件給出的向量坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式時，先運用向量相關(guān)知識，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解．(2)當(dāng)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的模或者其他向量的表達形式時，其解題思路是通過向量的運算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性求解．

向量求最值(范圍)的常用方法(1)利用三角函數(shù)求最值(范圍)．(2)利用基本不等式求最值(范圍)．(3)建立坐標(biāo)系，設(shè)變量，構(gòu)造函數(shù)求最值(范圍)．(4)數(shù)形結(jié)合，應(yīng)用圖形的幾何性質(zhì)求最值．

√

√

平面向量與三角形的“四心”

在近幾年的高考中經(jīng)常考查向量的數(shù)量積及靈活運用，并需要一定的計算技巧，考查考生的理性思維的廣度和深度以及進一步學(xué)習(xí)的能力，符合對數(shù)學(xué)能力考查的命題思想．在高考命題中，三角形的“四心”顯得非常重要．平面幾何中三角形的“四心”，即三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心．在引入向量這個工具后，我們可以從動和靜兩個角度看三角形中的“四心”的向量表示：其一可以使我們對三角形中的“四心”有全新的認識；其二使我們對向量形式的多樣性和向量運算的靈活性有更清楚的認識