專題07 圓錐曲線中與弦有關(guān)的問題（中點(diǎn)弦+弦長+面積）（期末壓軸專項(xiàng)訓(xùn)練40題）（解析版）-25學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講

專題07圓錐曲線中與弦有關(guān)的問題（中點(diǎn)弦+弦長+面積）（期末壓軸專項(xiàng)訓(xùn)練40題）一、單選題1．已知直線被橢圓截得的弦長為，則下列直線中被橢圓截得的弦長一定有的有（）A． B．C． D．【答案】BCD【知識點(diǎn)】求橢圓中的弦長【分析】作圖，用對稱性即可求解.【詳解】如圖所示，BCD三項(xiàng)的直線均和對稱而橢圓關(guān)于原點(diǎn)對稱，故弦長都相同故選：BCD2．直線：在橢圓上截得的弦長是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】求橢圓中的弦長【分析】聯(lián)立直線與橢圓方程得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理以及弦長公式可求解出結(jié)果.【詳解】設(shè)與橢圓交于，聯(lián)立可得，且，，所以，故選：D.3．已知斜率為1的直線l過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】求橢圓中的弦長、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)【分析】根據(jù)題意求得直線l的方程，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理求得，再利用弦長公式即可得出答案.【詳解】由橢圓知，，所以，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消y得，，則，所以.即弦AB長為.故選：C.4．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，當(dāng)?shù)拿娣e為2時，等于（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】A【知識點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、橢圓中三角形（四邊形）的面積【分析】根據(jù)三角形面積得到點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入橢圓方程可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可得：，則.設(shè)，由題意可得：，解得，代入方程可得，解得，∵，∴.故選：A.5．已知直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，橢圓的兩個焦點(diǎn)是，，線段AB的中點(diǎn)為，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】根據(jù)橢圓方程求a、b、c、橢圓中三角形（四邊形）的面積、由中點(diǎn)弦坐標(biāo)或中點(diǎn)弦方程、斜率求參數(shù)【分析】運(yùn)用點(diǎn)差法求得的值，進(jìn)而求得的值，結(jié)合求解即可.【詳解】如圖所示，由直線可知，直線斜率，設(shè)，，則①，②，又因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，則，，由①②可得，即，又因?yàn)椋越獾?，所以橢圓方程為，經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)C在橢圓內(nèi)，所以，解得，則，所以.故選：C.6．已知橢圓，為兩個焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、橢圓定義及辨析、求橢圓的焦點(diǎn)、焦距、橢圓中三角形（四邊形）的面積【分析】首先得，進(jìn)一步得焦距，由橢圓定義結(jié)合得，由此即可進(jìn)一步求解.【詳解】由題意，所以，因?yàn)椋?，而，所以，所以的面積為.故選：C.7．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】已知兩點(diǎn)求斜率、根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、由中點(diǎn)弦坐標(biāo)或中點(diǎn)弦方程、斜率求參數(shù)【分析】設(shè)Ax1,y1【詳解】設(shè)Ax代入橢圓方程可得：，兩式作差可得：，又的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，又，所以，即，又，所以，所以橢圓的方程為：.故選：.8．已知斜率為的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為.則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】由弦中點(diǎn)求弦方程或斜率【分析】設(shè)出坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，又點(diǎn)在橢圓上，則，兩式相減可得:，所以，又，則，又點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則，則,所以.故選：D.9．已知橢圓C：（且），直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則橢圓的焦距為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】求橢圓的焦點(diǎn)、焦距、由弦中點(diǎn)求弦方程或斜率【分析】根據(jù)點(diǎn)差法求解中點(diǎn)弦問題求解即可.【詳解】設(shè)，，則，將A，B的坐標(biāo)代入橢圓方程得：，，兩式相減，得：，變形為，又直線的斜率為，所以，即，因此橢圓的焦距為，故選：B.10．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為是面積為3的直角三角形，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】利用定義解決雙曲線中焦點(diǎn)三角形問題、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題【分析】可利用三邊斜率問題與正弦定理，轉(zhuǎn)化出三邊比例，設(shè)，由面積公式求出，由勾股定理得出，結(jié)合第一定義再求出.【詳解】如下圖：由題可知，點(diǎn)必落在第四象限，，設(shè)，，由，由，解得，因?yàn)?，所以，求得，即，由，解得，由正弦定理可得：，則由得，由得，則，由雙曲線第一定義可得：，，所以雙曲線的方程為.故選：A11．拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在雙曲線C：的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則△PFO的面積為（

）A．1 B． C．或 D．或【答案】D【知識點(diǎn)】根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題【分析】確定焦點(diǎn)和漸近線方程，設(shè)，，再計(jì)算面積即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，雙曲線C：的漸近線為，不妨取，設(shè)，，解得或，或.故選：D12．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P是C上位于第一象限的一點(diǎn)，且，則的面積為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】利用定義解決雙曲線中焦點(diǎn)三角形問題、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題【分析】利用勾股定理、雙曲線定義求出，再利用三角形的面積公式計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，由雙曲線的定義可得，所以，解得，故的面積為．故選：B.13．設(shè)，是雙曲線C：的兩個焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C的漸近線上，且，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】已知方程求雙曲線的漸近線、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題【分析】求出漸近線，由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)，由列方程解出參數(shù)，求出，即可求面積.【詳解】雙曲線的漸近線為，由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)，由得，又，∴的面積.故選：A14．已知雙曲線，過點(diǎn)作直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰好是線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】求弦中點(diǎn)所在的直線方程或斜率【分析】利用點(diǎn)差法可求得直線斜率，進(jìn)而得到方程，與雙曲線聯(lián)立檢驗(yàn)即可確定結(jié)果.【詳解】設(shè)，且，由得：，即，為中點(diǎn)，，，，直線方程為：，即；由得：，則，滿足題意；直線的方程為：.故選：A.15．直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且為AB的中點(diǎn)，則l的斜率為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【知識點(diǎn)】討論雙曲線與直線的位置關(guān)系、由弦中點(diǎn)求弦方程或斜率【分析】根據(jù)給定條件，利用“點(diǎn)差法”求出l的斜率，再驗(yàn)證作答.【詳解】設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)锳B的中點(diǎn)，則有，又點(diǎn)A，B在雙曲線上，則，即，則l的斜率，此時，直線l的方程：，由消去y并整理得：，，即直線l與雙曲線交于兩點(diǎn)，所以l的斜率為2.故選：C16．已知雙曲線，過點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于M?N兩點(diǎn)，若P為線段MN的中點(diǎn)，則弦長|MN|等于（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】求雙曲線中的弦長、由弦中點(diǎn)求弦方程或斜率【分析】設(shè)直線MN為，聯(lián)立雙曲線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求k值，利用弦長公式求解即可.【詳解】由題設(shè)，直線l的斜率必存在，設(shè)過的直線MN為，聯(lián)立雙曲線：設(shè)，則，所以，解得，則，.弦長|MN|.故選：D.17．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)且在第一象限，，若將直線繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到直線，且直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】拋物線的焦半徑公式、利用焦半徑公式解決直線與拋物線交點(diǎn)問題【分析】先根據(jù)焦半徑公式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出直線的傾斜角，從而可得直線的傾斜角，即可得出直線的方程，，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式即可得解.【詳解】F1,0設(shè)，則，所以，則，故，所以，則直線的傾斜角，所以直線的斜率，所以直線的方程為，聯(lián)立，消得，，設(shè)，則，所以.

故選：A.18．已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，以F為圓心的圓與E交于A，B兩點(diǎn)，與E的準(zhǔn)線交于C、D兩點(diǎn)，若，則（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【知識點(diǎn)】圓的弦長與中點(diǎn)弦、根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線、求直線與拋物線相交所得弦的弦長【分析】設(shè)點(diǎn)在第一象限，由，可確定圓的半徑，利用拋物線的定義求出，即可求得結(jié)果.【詳解】由拋物線方程知：，，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，如圖所示，直線與軸交于點(diǎn)，

由，則，圓的半徑，所以，由拋物線的定義可得：，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，．故選：D.19．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】拋物線定義的理解、求直線與拋物線相交所得弦的弦長、拋物線中的三角形或四邊形面積問題、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)【分析】設(shè)AB的中點(diǎn)為H，A、B、H在準(zhǔn)線上的射影分別為，由題意和拋物線的定義可得，即，設(shè)，設(shè)直線AB方程，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理求出直線AB的斜率，求得H的坐標(biāo)，進(jìn)而求出其中垂線方程，可得D的坐標(biāo)，結(jié)合弦長公式和三角形面積公式計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)AB的中點(diǎn)為H，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)A、B、H在準(zhǔn)線上的射影分別為，則，由拋物線的定義可知，，所以，得,即點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為2，設(shè)直線AB：，代入拋物線方程，得，由，得且.設(shè)，則，解得或（舍去）.所以直線AB：，，所以AB的中垂線方程為，令，解得，即，則，又，所以，所以.故選：C.20．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的面積為（

）A． B． C．12 D．【答案】A【知識點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、拋物線中的三角形或四邊形面積問題【分析】設(shè)出切線方程并聯(lián)立拋物線方程可得，令及韋達(dá)定理可得、的值，再結(jié)合三角形的面積公式計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示，

設(shè)，，過點(diǎn)且與拋物線相切的直線方程為，聯(lián)立，消去，得，則，即．設(shè)方程的兩解為，，則，，則，．易知，則，，．故選：A.21．已知拋物線，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn).若線段的中點(diǎn)為，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】拋物線的中點(diǎn)弦、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)【分析】設(shè)直線的方程為并與拋物線聯(lián)立，由中點(diǎn)坐標(biāo)可得，求得直線方程.【詳解】易知直線的斜率不為0，設(shè)方程為，Ax1,聯(lián)立，整理可得，，由中點(diǎn)為可得，可得，因此直線的方程為，即.故選：A22．已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率為（

）A． B．2 C． D．6【答案】A【知識點(diǎn)】直線與拋物線交點(diǎn)相關(guān)問題、拋物線的中點(diǎn)弦【分析】根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，利用點(diǎn)差法可求直線斜率.【詳解】設(shè)，則，兩式相減得.因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以.故選：A.二、填空題23．過點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，線段的長度是.【答案】【知識點(diǎn)】求橢圓中的弦長、由弦中點(diǎn)求弦方程或斜率【分析】用點(diǎn)差法即可求出直線的斜率，再用點(diǎn)斜式即可求出直線的方程，結(jié)合弦長公式即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)Ax1,y1，B則，兩式相減化簡可得，所以，即直線的斜率為，可得直線的方程為，即，聯(lián)立方程，消去x可得，則，所以線段的長度是.故答案為：.三、解答題24．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，動點(diǎn)滿足：直線PM與直線PN的斜率之積是.(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程；(2)直線與（1）中軌跡相交于，兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，求直線的方程；(3)在（2）的條件下，求弦長.【答案】(1)(2)(3)【知識點(diǎn)】軌跡問題——橢圓、求橢圓中的弦長、由中點(diǎn)弦坐標(biāo)或中點(diǎn)弦方程、斜率求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)斜率乘積得到方程，化簡即可；（2）利用點(diǎn)差即可得到直線的斜率，再寫出點(diǎn)斜式化簡即可；（3）聯(lián)立直線與橢圓，再利用弦長公式即可得到答案.【詳解】（1）由題意，化簡，又因?yàn)橹本€PA、PB的斜率存在，則.故動點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）設(shè)Ax1,y1則有，，兩式作差可得，即有，又為線段AB的中點(diǎn)，則有，，代A即得直線的斜率為，直線的方程為，經(jīng)檢驗(yàn)此時該直線與橢圓有兩交點(diǎn)，整理可得直線的方程為.（3），設(shè)Ax1,y1，B故.25．已知橢圓上的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程.【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】利用橢圓定義求方程、由弦中點(diǎn)求弦方程或斜率【分析】（1）由橢圓的定義求得，再結(jié)合求得，得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）首先確定直線的斜率存在，然后設(shè)Ax1,y1,Bx2,y【詳解】（1）設(shè)右焦點(diǎn)，則，得，又，故，故橢圓的方程為.（2）①當(dāng)直線垂直于軸時，顯然不符合題意；②當(dāng)直線不垂直于軸時，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，設(shè)Ax1,y1,Bx聯(lián)立方程則得，故直線的方程為，即.26．已知橢圓E：的短軸長為2，且離心率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求E的方程；(2)過點(diǎn)且不與y軸重合的動直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，求面積的最大值及此時直線l的方程.【答案】(1)(2)；或【知識點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中三角形（四邊形）的面積、求橢圓中的最值問題、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)【分析】（1）待定系數(shù)法求橢圓方程；（2）設(shè)方程，直線與橢圓聯(lián)立消去利用韋達(dá)定理表示弦長，結(jié)合三角形面積公式和基本不等式計(jì)算求得直線斜率最后得到直線方程.【詳解】（1）設(shè)的半焦距為，由已知，得，解得，故的方程為.（2）

由題可設(shè).將代入，消去，得.當(dāng)，即時，有.所以又點(diǎn)到直線的距離，所以的面積.設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，且滿足.所以的面積最大值為，此時直線的方程為或.27．已知橢圓的一個焦點(diǎn)為，且離心率為，(1)求橢圓的方程；(2)不過原點(diǎn)O的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求面積的最大值及此時直線的方程．【答案】(1)(2)面積的最大值為，此時直線方程為.【知識點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中三角形（四邊形）的面積【分析】（1）求出基本量后可求橢圓方程；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程后結(jié)合弦長公式、面積公式可求面積表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求何時取何最大值，故可求最大值及對應(yīng)的直線.【詳解】（1）因?yàn)?，故，而離心率為，故，，故橢圓方程為：.（2）由得到，故，故，而直線不過原點(diǎn)，故，故或.故，又到的距離為，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故面積的最大值為，此時直線方程為.28．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，左右頂點(diǎn)分別為，.已知橢圓的離心率為，.(1)求橢圓的方程；(2)已知為橢圓上一動點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線交軸于點(diǎn)，且，若三角形與三角形的面積比為1:2，求直線的方程.【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中三角形（四邊形）的面積、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)已知線段長度與離心率，求解出的值，然后根據(jù)求解出的值，則橢圓方程可求；（2）根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為三角形與三角形的面積比，由此得到關(guān)于的關(guān)系式，通過聯(lián)立直線與橢圓方程求得對應(yīng)坐標(biāo)，然后求解出參數(shù)值得的坐標(biāo)，則可求直線方程.【詳解】（1）因?yàn)?，，，所以，所以，所以，所以橢圓方程為；（2）如圖，因?yàn)槿切闻c三角形的面積之比為，所以三角形與三角形的面積比為，所以，得，顯然直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，所以，所以，，所以，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故直線的方程為.29．已知雙曲線：（，）的一個焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為1，離心率為.設(shè)直線交雙曲線的右支于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，為原點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)求直線的方程；(3)求的面積.【答案】(1)(2)(3)2【知識點(diǎn)】求點(diǎn)到直線的距離、根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題、由中點(diǎn)弦坐標(biāo)或中點(diǎn)弦方程、斜率求參數(shù)【分析】（1）運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離即可求出，結(jié)合離心率可以求出；（2）中點(diǎn)弦問題利用點(diǎn)差法求解即可；（3）運(yùn)用弦長公式求出，再利用點(diǎn)到直線的距離求出三角形的高，再利用三角形面積公式求解即可.【詳解】（1）不妨設(shè)雙曲線的一個焦點(diǎn)為，雙曲線的一條漸近線為，即，依題意，結(jié)合，化簡得，又離心率，所以所以雙曲線C的方程為.（2）設(shè)，由題意得，又，，兩式相減得，所以，又直線l過點(diǎn),所以直線l的方程為,即，經(jīng)驗(yàn)證此時直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)，滿足題意.（3）聯(lián)立，消去y得，所以，所以，又點(diǎn)到直線l的距離，所以的面積.

30．已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)求與雙曲線有共同的漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)若直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，且、的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程.【答案】(1)(2)(3)【知識點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、求共漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、由弦中點(diǎn)求弦方程或斜率【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得雙曲線的方程.（2）設(shè)過點(diǎn)的雙曲線為，利用點(diǎn)求得，從而求得該雙曲線的方程.（3）利用點(diǎn)差法求得直線的方程.【詳解】（1）橢圓，即，所以，所以，所以雙曲線的方程為.（2）雙曲線，對應(yīng)，所以漸近線方程為，設(shè)過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，所以.（3）設(shè)，則，兩式相減并化簡得，所以直線的斜率為，所以直線的方程為.由，消去并化簡得，符合.所以直線的方程為.31．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，過點(diǎn)，且與雙曲線有相同的漸近線.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知、是雙曲線上的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，求直線的方程.【答案】(1)；(2).【知識點(diǎn)】求共漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、求弦中點(diǎn)所在的直線方程或斜率【分析】（1）根據(jù)給定條件，設(shè)出雙曲線方程，利用待定系數(shù)法求出方程.（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，借助中點(diǎn)坐標(biāo)求解.【詳解】（1）由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，設(shè)雙曲線的方程為，而點(diǎn)在雙曲線上，因此，方程為，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）顯然直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為，由消去得，由線段的中點(diǎn)為M1,1，得，解得，此時方程為，，因此，所以直線的方程為，即.32．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為右支上一點(diǎn)，且直線與軸垂直.(1)證明：；(2)若的角平分線恰好過點(diǎn)，求的面積.【答案】(1)證明見解析(2)【知識點(diǎn)】雙曲線定義的理解、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題【分析】（1）由題意可得，根據(jù)雙曲線的定義可得，即可證明；（2）根據(jù)雙曲線幾何性質(zhì)及定義，可用表示出PF1與，再利用角平分線定理，求得，即可用表示出所求面積.【詳解】（1）由題意知，將代入方程，得，即，由雙曲線的定義知，，所以，所以，即證；（2），則，，由（1）知，，由雙曲線定義可知：，由角平分線性質(zhì)定理可得：，即，整理得，由解得，.

33．已知雙曲線C：（，）與雙曲線有相同的漸近線，與橢圓有相同的焦點(diǎn)，雙曲線C的左右焦點(diǎn)分別為，，直線l過且與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn).(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l的斜率為1，求線段AB的長；(3)若的面積是12，求直線AB的方程.【答案】(1)(2)(3)或.【知識點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)雙曲線的漸近線求標(biāo)準(zhǔn)方程、求雙曲線中的弦長、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題【分析】（1）由題意可得，，解出，即可求出雙曲線C的方程；（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線l與曲線C的方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，代入弦長公式化簡即可得出答案.（3）先設(shè)直線和得到韋達(dá)定理，表示出三角形的面積公式，代入韋達(dá)定理求出參數(shù)的值即可.【詳解】（1）雙曲線有相同的漸近線為，雙曲線C：（，）與雙曲線有相同的漸近線，所以，又因?yàn)殡p曲線C與橢圓有相同的焦點(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以雙曲線C的方程為：.（2）,直線l過且斜率為1，設(shè)直線l的方程為：，設(shè)，聯(lián)立，消去得，由根與系數(shù)關(guān)系可得，所以.（3）若直線的斜率為0，此時為軸，為左右頂點(diǎn)，此時不構(gòu)成三角形，矛盾，所以直線的斜率不為0，設(shè)，，聯(lián)立，消去得，應(yīng)滿足，由根與系數(shù)關(guān)系可得，，,則，則，解得：或（舍去），則，直線AB的方程為.則直線AB的方程為：或.

34．已知雙曲線C:x2a2?(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)點(diǎn)為的左頂點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線與的右支交于兩點(diǎn)，且直線與軸分別交于兩點(diǎn)，記四邊形的面積為的面積為，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、已知方程求雙曲線的漸近線、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)【分析】（1）由雙曲線的性質(zhì)得到焦點(diǎn)和漸近線方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式解得，再由離心率和求出雙曲線方程即可；（2）設(shè)直線的方程為：，直曲聯(lián)立，表示出韋達(dá)定理，再由三角形的面積公式結(jié)合韋達(dá)定理化簡即可；【詳解】（1）由題意可知，的一條漸近線方程為，右焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)到漸近線的距離，解得，由離心率，又，解得，雙曲線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，恒成立，，直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，，解得.，.

35．已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的點(diǎn)，且．(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求直線的方程．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的中點(diǎn)弦、直線與拋物線交點(diǎn)相關(guān)問題【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義求解；（2）設(shè)點(diǎn)代入拋物線方程，然后利用點(diǎn)差法求解直線的斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式即可解得直線的方程；【詳解】（1）因?yàn)?，所以，故拋物線的方程為．（2）

易知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則兩式相減得，整理得．因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，所以直線的方程為，即.36．已知拋物線的焦點(diǎn)為.(1)求的值；(2)過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩個不同點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，求的面積.【答案】(1)2；(2).【知識點(diǎn)】根據(jù)焦點(diǎn)或準(zhǔn)線寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、求直線與拋物線相交所得弦的弦長、拋物線中的三角形或四邊形面積問題、拋物線的中點(diǎn)弦【分析】（1）解，即可得出答案；（2）點(diǎn)差法求出直線的斜率，得到直線的方程，根據(jù)拋物線的定義求出，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離，即可求出面積.【詳解】（1）由已知可得，，所以.（2）由（1）知，拋物線的方程為.設(shè)，，則有，，顯然，兩式作差可得，，即.因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，則，即，所以直線斜率為，此時直線方程為，即.聯(lián)立與拋物線的方程可得，，，直線與拋物線有兩個交點(diǎn)，滿足.所以，直線方程為.又，根據(jù)拋物線的定義可知.點(diǎn)到直線的距離，所以的面積.37．已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)的直線與拋物線：交于兩點(diǎn)，且，連接，直線斜率與直線的斜率之積為?2.

(1)求的值；(2)若線段AB的垂直平分線與拋物線交于，兩點(diǎn)，求的面積.【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】拋物線中的三角形或四邊形面積問題、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)題意可得直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解即可；（2）由（1）可得直線的方程為，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理求弦長，進(jìn)而可得面積.【詳解】（1）設(shè)Ax1,y1由題可知：點(diǎn)，則直線的斜率為：；因?yàn)橹本€斜率與直線的斜率之積為?2，則，解得k=1，又因?yàn)辄c(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，故直線的方程為，即，聯(lián)立方程，消去可得，則，可得，因?yàn)?，則，整理可得，即，解得.（2）由題可知，直線垂直平分線段AB，

設(shè)線段AB的中點(diǎn)為，直線的斜率為，由（1）知，則，即，且，所以直線的方程為，即，聯(lián)立方程，消去可得，可得，設(shè)，則，所以，且點(diǎn)到直線的距離為，所以的面積為.38．已知拋物線：經(jīng)過點(diǎn)，直線：與的交點(diǎn)為A，B，且直線與傾斜角互補(bǔ).(1)求拋物線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求的值；(3)若，求面積的最大值.【答案】(1)(2)(3)【知識點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、求拋物線的切線方程、拋物線中的三角形或四邊形面積問題、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)題意先求出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在P點(diǎn)的切線斜率，從而得出切線方程.（2）將直線與拋物線方程聯(lián)立，由題意因?yàn)橹本€與傾斜角互補(bǔ)，則直線與斜率互為相反數(shù)，即，結(jié)合韋達(dá)定理可求出