專題06 橢圓+雙曲線 離心率+焦點三角形問題（期末壓軸專項訓(xùn)練30題）（解析版）-25學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點大串講

專題06橢圓+雙曲線離心率焦點三角形問題（期末壓軸專項訓(xùn)練30題）一、單選題1．設(shè)橢圓：（）的左、右焦點分別為，，直線過點.若點關(guān)于的對稱點恰好在橢圓上，且，則的離心率為（

）.A． B． C． D．【答案】C【知識點】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍【分析】利用橢圓的定義結(jié)合余弦定理求解出，結(jié)合求解出離心率的值.【詳解】如圖，由已知可得，，，由橢圓定義，得，在中，由余弦定理得，所以，又，整理得，又橢圓的離心率，所以，解得或（舍去），所以的離心率.故選：C.2．已知、為橢圓的左、右焦點，點為該橢圓上一點，且滿足，若的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的64倍，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】余弦定理解三角形、橢圓中焦點三角形的周長問題、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、橢圓中焦點三角形的面積問題【分析】根據(jù)橢圓的定義，余弦定理，面積相等即可求解．【詳解】如圖，由橢圓定義可知，且，又，利用余弦定理可知：，化簡可得，所以的面積為，設(shè)的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，由正弦定理可得，可得，易知的周長為，利用等面積法可知，解得，又的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的64倍，即，所以，即可得，所以，離心率.故選：3．已知，是橢圓：的左、右焦點，是的下頂點，直線與的另一個交點為，且滿足，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】余弦定理解三角形、橢圓定義及辨析、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍【分析】先利用橢圓的定義及勾股定理用表示出，在△中求出，再在△中，通過余弦定理得到與的關(guān)系，即可求出離心率.【詳解】由題意得，，令，則∵，∴，即，∴，,在△中，，在△中，，∴，∴.故選：A.4．在平面直角坐標(biāo)系中，，為雙曲線的左、右焦點，，P為E左支上異于頂點的一點，直線PM平分，，，則E的離心率為（

）A． B．2 C． D．4【答案】A【知識點】利用定義解決雙曲線中焦點三角形問題、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【分析】由題意得，設(shè)與交于點，可得，利用雙曲線定義可得，由離心率公式計算即可.【詳解】由，得，設(shè)與交于點，如圖，由直線PM平分，且，可得為等腰三角形，則為的中點，可得，又因為，可得，即，所以雙曲線E的離心率為.故選：A.5．已知雙曲線的左頂點為，左，右焦點分別為，，且關(guān)于它的一條漸近線的對稱點為，若以為圓心，為半徑的圓過原點，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】已知方程求雙曲線的漸近線、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【分析】根據(jù)題意可知，根據(jù)漸近線和中位線可知，即可得離心率.【詳解】由題意可知：，設(shè)與漸近線的交點為，則為的中點，且，則點到直線的距離，可得，又因為分別為的中點，則，即，所以雙曲線的離心率為.故選：B.6．已知雙曲線的一個頂點為，左、右焦點分別為，，直線經(jīng)過，且與交于，兩點.若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【分析】設(shè)，則，利用雙曲線的定義表示，，由勾股定理可得關(guān)系進而可得離心率．【詳解】由題意知，，且A，B都在雙曲線的右支上．設(shè)，則，，．在中，，得，則，.在中，，即，得．所以雙曲線C的離心率為.故選：B二、多選題7．設(shè)橢圓：的左、右焦點分別為，，是橢圓上的動點，則下列說法中正確的是（

）A． B．橢圓的離心率C．的最大值是 D．面積的最大值為【答案】ACD【知識點】橢圓定義及辨析、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、橢圓中三角形（四邊形）的面積、求橢圓中的最值問題【分析】由橢圓方程得出，由橢圓的定義判斷A；由離心率公式判斷B；設(shè)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷C；面積，結(jié)合的范圍判斷D【詳解】因為橢圓C的方程，故，由橢圓的定義可知，故A正確；離心率，故B錯；由橢圓性質(zhì)可知，所以的最大值是3，故C對；因為，又，當(dāng)時，即P在短軸的頂點時面積的取得最大值，，故D對；故選：ACD8．已知橢圓分別為的左、右焦點，A，B分別為的左、右頂點，點是橢圓上的一個動點，且點到距離的最大值和最小值分別為3和1.下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓的離心率為B．存在點，使得C．若，則外接圓的面積為D．的最小值為【答案】ACD【知識點】正弦定理求外接圓半徑、基本不等式求和的最小值、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、橢圓中存在定點滿足某條件問題【分析】A由題可得，然后可計算離心率；B等價于判斷方程組是否有解；C設(shè)，由余弦定理及題目條件可得，然后由正弦定理可得外接圓半徑，即可判斷選項正誤；D設(shè)，可將化為，后由基本不等式可得最小值.【詳解】A選項，因為點是橢圓上的一個動點，且點到距離的最大值和最小值分別為3和1，故有：，解得：，橢圓的離心率，故A正確；B選項，若橢圓上存在點，使得，則點在圓上，又因為方程組無解，故B錯誤；C選項，設(shè)，則，若，即，在中，由余弦定理可得，因為，所以，根據(jù)正弦定理可知，，故C正確；D選項，設(shè)，則：，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以的最小值為，故D正確.故選：ACD【點睛】方法點睛：對于外接圓問題，常聯(lián)想正弦定理，外心，向量等知識；對于最值問題，常聯(lián)想基本不等式，函數(shù)單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)等知識.9．已知橢圓的左、右焦點分別為，左右頂點為，，過左焦點斜率存在且不為的直線交橢圓于兩點，過的切線為，的中點為，若，則下列說法正確的是（

）A．的離心率為 B．的周長為C． D．【答案】ABD【知識點】橢圓定義及辨析、橢圓中焦點三角形的周長問題、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍【分析】由離心率的齊次式可得A正確；由橢圓的定義可得B正確，由當(dāng)點的橫坐標(biāo)在到之間變化時，可得C錯誤；由點差法，橢圓的第三定義，橢圓的切線方程的設(shè)法可得D正確；【詳解】A，，故A正確；B，的周長為，由可得周長為，故B正確；

C，因為，所以，當(dāng)與點重合時，，當(dāng)點的橫坐標(biāo)為時，，所以當(dāng)點的橫坐標(biāo)在到之間變化時，的長度一定有小于的情況，故C錯誤；D，設(shè)，因為在橢圓上，所以，兩式相減可得，即，設(shè)過點的切線方程為，則，，所以，又，所以，又，即，代入斜率表達(dá)式并結(jié)合化簡可得，所以，故D正確；故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題D選項的關(guān)鍵是能夠用點差法表示以及過點的切線方程的設(shè)法為.10．已知點是橢圓：上一點，，是橢圓的左、右焦點，且的面積為4，則下列說法正確的是（

）A．點的縱坐標(biāo)為 B．C．的周長為 D．的內(nèi)切圓半徑為【答案】BC【知識點】橢圓中焦點三角形的周長問題、橢圓中焦點三角形的面積問題、橢圓中焦點三角形的其他問題【分析】此題先算出橢圓的基本量，運用三角形面積公式即得；再利用點的坐標(biāo)易于求得的邊長，運用勾股定理逆定理即得；根據(jù)橢圓的定義式可得的周長；最后利用面積相等即得內(nèi)切圓半徑.【詳解】依題意，不妨設(shè)點，由可得故，則的面積為解得：，對于A選項，由上分析知點的縱坐標(biāo)為，故A項錯誤；對于B選項，由知，此時點為橢圓短軸頂點，故，又由知，故B項正確；對于C選項，因點在橢圓上，故有于是的周長為故C項正確；對于D選項，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則由三角形面積相等可得：，解之得：故D項錯誤.故選：BC.11．已知橢圓分別為它的左右焦點，點是橢圓上的一個動點，下列結(jié)論中正確的有（

）A．橢圓離心率為B．C．若，則的面積為D．最大值為【答案】BCD【知識點】橢圓定義及辨析、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、橢圓中焦點三角形的面積問題【分析】由橢圓方程得到的值，根據(jù)離心率的定義可判斷A，根據(jù)橢圓的定義可判斷B，根據(jù)勾股定理和橢圓的定義可得到，從而由三角形面積公式可判斷C，由對勾函數(shù)可判斷D.【詳解】由橢圓方程可知，，，，所以橢圓的離心率，故A錯誤；由橢圓定義知，故B正確；又，因為，所以，，解得：，所以的面積為，故C正確；因為，即，設(shè)，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，所以，故D正確.故選：BCD.12．《文心雕龍》中說“造化賦形，支體必雙，神理為用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成雙成對的.已知動點到定點的距離和它到直線的距離的比是常數(shù).若某條直線上存在這樣的點，則稱該直線為“成雙直線”，下列說法正確的是（

）A．動點的軌跡方程為：B．的最大值為16C．點為動點的軌跡上的任意一點，，，則的面積為D．直線與動點的軌跡交于兩點，則的最小值為【答案】AD【知識點】橢圓的對稱性、軌跡問題——橢圓、求橢圓中的最值問題、橢圓中焦點三角形的面積問題【分析】首先利用軌跡法求點的軌跡方程，再利用橢圓的性質(zhì)和定義，以及基本不等式，即可判斷選項.【詳解】設(shè)，則，化簡為，故A正確；B.由A可知，，的最大值為，故B錯誤；C.由橢圓方程可知，點是橢圓的左焦點，則，即，，，所以，則，故C錯誤；D.四邊形是平行四邊形，即，,當(dāng)，即時，等號成立，所以則的最小值為，故D正確.故選：AD13．已知是橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，則下列說法正確的是（

）A．橢圓的離心率為 B．存在點，使得C．的最小值為 D．內(nèi)切圓半徑的最大值為【答案】AD【知識點】根據(jù)橢圓的有界性求范圍或最值、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、求橢圓中的最值問題、橢圓中焦點三角形的其他問題【分析】對于A：根據(jù)橢圓方程可得，即可得離心率；對于B：分析可知以為直徑的圓與橢圓沒有交點，即可判斷B；對于C：整理可得，結(jié)合的范圍分析判斷；對于D：利用等面積法可得，進而分析的面積的最值即可.【詳解】不妨設(shè)分別是左、右焦點.對于選項A：由橢圓方程可得a=2，，，所以橢圓的離心率為，故A正確；對于選項B：因為，可知以為直徑的圓與橢圓沒有交點，所以不存在點使得，故B錯誤；對于選項C：由于對有，，從而.所以不可能以為最小值，故C錯誤；對于選項D：設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，故.當(dāng)且僅當(dāng)點為短軸頂點時，取到最大值，所以內(nèi)切圓半徑的最大值為，故D正確；故選：AD.14．已知橢圓的左?右焦點分別為，點在上，且的最大值為3，最小值為1，則（

）A．橢圓的離心率為B．的周長為6C．若，則的面積為3D．若，則【答案】ABD【知識點】橢圓中焦點三角形的周長問題、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、橢圓中三角形（四邊形）的面積、橢圓中焦點三角形的其他問題【分析】對A，根據(jù)題意可得，即可求解；對B，根據(jù)橢圓的定義判斷即可；對C，根據(jù)余弦定理結(jié)合橢圓的定義判斷即可；對D，根據(jù)余弦定理與橢圓的定義求解即可．【詳解】對A，由題意，，故，，故A正確；對B，的周長為，故B正確；對C，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因為在上遞減，所以此時最大，又，，所以的最大值為，，不成立，故C錯誤；對D，由余弦定理，即，解得，故，故D正確；故選：ABD15．設(shè)橢圓的焦點為、，點在橢圓上，則（

）A．焦點、坐標(biāo)為， B．的最大值為7，最小值為1C． D．為直角三角形的頂點有4個【答案】BC【知識點】橢圓上點到焦點的距離及最值、根據(jù)橢圓方程求a、b、c、求橢圓的焦點、焦距、橢圓中焦點三角形的其他問題【分析】根據(jù)橢圓的方程可得焦點坐標(biāo)判斷A，根據(jù)橢圓的性質(zhì)判斷B，根據(jù)橢圓的定義判斷C，根據(jù)為直角三角形確定M個數(shù)判斷D.【詳解】由橢圓，可知，且焦點在上，則，焦點坐標(biāo)，，故A錯誤；由橢圓的性質(zhì)知，的最大值為，最小值為，故B正確；由橢圓的定義知，，故C正確；因為，所以以為直徑的圓與橢圓有4個交點，當(dāng)在交點時，為直角三角形有4個，當(dāng)或垂直軸時，為直角三角形有4個，故為直角三角形的頂點共有8個，故D錯誤.故選：BC16．已知雙曲線的左，右焦點分別為F1?c,0、，直線與雙曲線右支相交于（其中在一象限），若，則列說法正確的是（

）A． B．C． D．的面積為15【答案】ACD【知識點】余弦定理解三角形、利用定義解決雙曲線中焦點三角形問題【分析】根據(jù)題意，然后根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合通過余弦定理即可得出結(jié)果.【詳解】，因為,則，A正確；由，根據(jù)雙曲線的定義可得，知，則，中由余弦定理可得，解得(舍)或，故B錯誤；設(shè)，則中由余弦定理,可得，則，C正確；，D正確；故選：ACD17．已知雙曲線的一條漸近線的方程為，上、下焦點分別為，下列判斷正確的是（

）A．的方程為B．的離心率為C．若點為的上支上的任意一點，，則的最小值為D．若點為的上支上的一點，則△的內(nèi)切圓的半徑為【答案】ACD【知識點】利用定義解決雙曲線中焦點三角形問題、利用定義求雙曲線中線段和、差的最值、根據(jù)雙曲線的漸近線求標(biāo)準(zhǔn)方程、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【分析】根據(jù)漸近線方程求，根據(jù)雙曲線方程求離心率，即可判斷AB，根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合判斷C，根據(jù)雙曲線方程求點的坐標(biāo)，再根據(jù)的面積和周長，即可求內(nèi)切圓的半徑，判斷D.【詳解】A.由雙曲線方程可知，雙曲線的漸近線方程為，又雙曲線的一條漸近線方程為，所以，所以的方程為，故A正確；B.由雙曲線的方程，可知，，，則，所以離心率，故B錯誤；C.，，，當(dāng)點三點共線且依序排列時，等號成立，所以的最小值為，故C正確；D.D.的方程為，當(dāng)時，，，，計算可得，，，所以的面積為，的周長為，設(shè)△的內(nèi)切圓的半徑為，則，得，故D正確.故選：ACD18．已知橢圓和雙曲線具有相同的焦點，，點是它們的一個公共點，且在圓上，橢圓和雙曲線的離心率分別為，且，則下列說法正確的是（

）A．B．雙曲線的方程為C．的面積為D．的周長為【答案】ABC【知識點】橢圓定義及辨析、利用定義解決雙曲線中焦點三角形問題、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍、橢圓中三角形（四邊形）的面積【分析】結(jié)合對稱性，利用橢圓與雙曲線的定義可得，，再由點在圓上得，消去可得的關(guān)系，即，聯(lián)立解得，進而可得，再依選項逐個求解判斷可得.【詳解】由題意知，設(shè)焦距為，則.設(shè)橢圓的長軸長為，短軸長為，雙曲線的實軸長為，虛軸長為，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)橢圓與雙曲線的交點在第一象限，由橢圓的定義知，，則由雙曲線的定義知，，則由兩式相加化簡得，點在圓上，，，則，則，又，A項，聯(lián)立，解得，，故A正確；B項，由A可知，，，解得，，則，所以雙曲線方程為，故B正確；C項，由，，則，所以的面積，故C正確；D項，的周長為，故D錯誤.故選：ABC.19．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作斜率為的直線與雙曲線的右支交于，兩點（在第一象限），，為線段的中點，為坐標(biāo)原點，則（

）A．B．雙曲線的離心率為C．的面積為D．直線的斜率為【答案】ABD【知識點】利用定義解決雙曲線中焦點三角形問題、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題、求弦中點所在的直線方程或斜率【分析】利用雙曲線的定義求出、，可判斷A選項；在中，應(yīng)用余弦定理可得出關(guān)于、的齊次等式，可求得雙曲線的離心率，可判斷B選項；利用三角形的面積公式可判斷C選項；利用點差法求出直線的斜率，可判斷D選項.【詳解】如下圖所示：對于A選項，因為，所以，由雙曲線的定義可得，所以，，所以選項A正確，對于B選項，設(shè)直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則為銳角且，由可得，則，在中，由余弦定理得，即，等式兩邊同時除以可得，因為，解得，所以選項B正確，對于C選項，因為，則為鈍角，所以，，所以選項C錯誤，對于D選項，設(shè)Ax1,y1，B因為，則，由，得，所以，則，則直線的斜率為，所以選項D正確，故選：ABD．20．如圖，是橢圓：與雙曲線：（，）在第一象限的交點，且，共焦點，，，的離心率為，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．， B．若雙曲線的方程是，則C．若，則 D．的面積為【答案】ABD【知識點】利用定義解決雙曲線中焦點三角形問題、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍、橢圓中焦點三角形的面積問題、橢圓中焦點三角形的其他問題【分析】對于A：根據(jù)橢圓、雙曲線的定義運算求解即可；對于B：可得，結(jié)合選項A可得，，即可得結(jié)果；對于C：根據(jù)題意利用余弦定理分析可得，即可得離心率；對于D：根據(jù)余弦定理結(jié)合橢圓、雙曲線的定義整理可得，進而可求面積.【詳解】對于選項A：由橢圓：可知，即，雙曲線：可知，且點在第一象限，則，解得，故A正確；對于選項B：若雙曲線的方程是，則，可得，，則，即，所以，故B正確；對于選項C：若，在中，由余弦定理可得，即，解得，所以，故C錯誤；對于選項D：在中，由余弦定理可得，結(jié)合橢圓定義可得，即，整理可得，結(jié)合雙曲線的定義可得，即，整理可得，則，且為銳角，可得，所以的面積為，故D正確；故選：ABD.21．已知分別是雙曲線的左右焦點，點是圓上的動點，下列說法正確的是（

）A．三角形的周長是12B．若雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且雙曲線的焦距為8，則雙曲線為C．若，則的位置不唯一D．若是雙曲線左支上一動點，則的最小值是【答案】ACD【知識點】雙曲線定義的理解、利用定義解決雙曲線中焦點三角形問題、求雙曲線的焦距、根據(jù)雙曲線的漸近線求標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】結(jié)合雙曲線和圓的性質(zhì)以及點到直線的距離公式可得A正確；由相同漸近線方程設(shè)出雙曲線方程，再由焦距解出即可得B錯誤；由橢圓的軌跡和圓的位置關(guān)系得到C正確；由雙曲線的定義結(jié)合點與圓的位置關(guān)系得到D正確；【詳解】由題意可得雙曲線，，，，，，圓心坐標(biāo)，半徑，A，，，，所以三角形的周長是12，故A正確；B，由題意可設(shè)雙曲線的方程為或，變形為標(biāo)準(zhǔn)形式或，，又雙曲線的焦距為8，所以，所以雙曲線為或，故B錯誤；C，，所以點軌跡為以為焦點的橢圓，且，，，所以軌跡方程為，圓心坐標(biāo)代入橢圓方程可得，所以圓心在橢圓上，又點是圓上點，畫出圖形可得所以，的位置不唯一，故C正確；D，由雙曲線的定義可得，所以，所以，因為，所以當(dāng)三點共線時，取得最小值，又因為的最小值為，所以的最小值是，故D正確；故選：ACD.三、填空題22．已知橢圓：，過左焦點作直線與圓：相切于點，與橢圓在第一象限的交點為，且，則橢圓離心率為.【答案】【知識點】余弦定理解三角形、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、橢圓定義及辨析、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍【分析】由題意利用直線與圓相切可得，再由余弦定理計算得出，利用橢圓定義即可得出離心率.【詳解】設(shè)橢圓右焦點為，連接，如下圖所示：由圓：可知圓心，半徑；顯然，且，因此可得，所以，可得；即可得，又易知；由余弦定理可得，解得，再由橢圓定義可得，即，因此離心率.故答案為：23．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點．設(shè)橢圓方程，、為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)橢圓上的點和點反射后，滿足，，則該橢圓的離心率為．

【答案】/【知識點】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、橢圓中焦點三角形的其他問題【分析】由題意，作圖，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，可設(shè)線段的表示，根據(jù)齊次方程的思想，可得答案.【詳解】由題意，可作圖如下：

則，，即，可設(shè)，，，由，則，即，，在中，，則.故答案為：.24．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，若雙曲線的左支上一點滿足，以為圓心的圓與的延長線相切于點，且，則雙曲線的離心率為.【答案】【知識點】正弦定理解三角形、雙曲線定義的理解、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【分析】先根據(jù)正弦定理結(jié)合雙曲線定義求得，然后根據(jù)相切對應(yīng)的垂直關(guān)系結(jié)合勾股定理得到關(guān)于的方程，則離心率可求.【詳解】在中，由正弦定理得，且，由，得，由，得為的中點，則，又以為圓心的圓與的延長線相切于點，則，，由，得，則，所以雙曲線的離心率.故答案為：25．已知是橢圓：的一個焦點，是的上頂點，的延長線交于點，若，則C的離心率是.【答案】/【知識點】二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形、橢圓定義及辨析、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合橢圓的對稱性及定義、余弦定理求得，再利用二倍角公式及離心率的幾何意義求出離心率.【詳解】不妨設(shè)是橢圓的左焦點，是的右焦點，的焦距為，連接，則，又，所以，在中，由余弦定理得，則，即，所以.故答案為：26．已知橢圓：（）與雙曲線：（，）有共同的焦點，，點P為兩曲線的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，那么的最小值為.【答案】【知識點】基本不等式求和的最小值、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【分析】分別在橢圓和雙曲線中，利用焦點三角形中的余弦定理建立等量關(guān)系，再構(gòu)造，利用基本不等式，即可求解.【詳解】設(shè)兩曲線的半焦距為，由余弦定理得：，在橢圓中，，得，在雙曲線中，，得，從而，得，則，，即，，即，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為：.27．設(shè)為橢圓與雙曲線的公共