專題04 圓的方程及直線與圓圓與圓的位置關(guān)系（考點清單+知識導(dǎo)圖+ 21個考點清單-題型解讀）（原卷版）

清單04圓的方程及直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系（個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程我們把方程稱為圓心為半徑為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【清單02】點與圓的位置關(guān)系判斷點與：位置關(guān)系的方法:幾何法:設(shè)到圓心的距離為，則①則點在外②則點在上③則點在內(nèi)【清單03】圓上的點到定點的最大、最小距離設(shè)的方程，圓心，點是上的動點，點為平面內(nèi)一點；記;①若點在外，則;②若點在上，則;③若點在內(nèi)，則;【清單04】圓的一般方程對于方程（為常數(shù)），當(dāng)時，方程叫做圓的一般方程.①當(dāng)時，方程表示以為圓心，以為半徑的圓；②當(dāng)時，方程表示一個點③當(dāng)時，方程不表示任何圖形說明：圓的一般式方程特點：①和前系數(shù)相等（注意相等，不一定要是1）且不為0；②沒有項；③.【清單05】直線與圓的位置關(guān)系:幾何法圖象位置關(guān)系相交相切相離判定方法；。圓心到直線的距離：。圓與直線相交。；。圓心到直線的距離：。圓與直線相切。；。圓心到直線的距離：。圓與直線相離。【清單06】直線與圓相交記直線被圓截得的弦長為的常用方法1、幾何法（優(yōu)先推薦）①弦心距（圓心到直線的距離）②弦長公式：2、代數(shù)法直線：；圓聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)弦長公式：【清單07】直線與圓相切（1）圓的切線條數(shù)①過圓外一點，可以作圓的兩條切線②過圓上一點，可以作圓的一條切線③過圓內(nèi)一點，不能作圓的切線（2）過一點的圓的切線方程（）①點在圓上步驟一：求斜率：讀出圓心，求斜率，記切線斜率為，則步驟二：利用點斜式求切線（步驟一中的斜率+切點）②點在圓外記切線斜率為，利用點斜式寫成切線方程；在利用圓心到切線的距離求出（注意若此時求出的只有一個答案；那么需要另外同理切線為）（3）切線長公式記圓:；過圓外一點做圓的切線，切點為,利用勾股定理求；切線長公式【清單08】圓上點到直線的最大（小）距離設(shè)圓心到直線的距離為，圓的半徑為①當(dāng)直線與圓相離時，圓上的點到直線的最大距離為：，最小距離為：；②當(dāng)直線與圓相切時，圓上的點到直線的最大距離為：，最小距離為：；③當(dāng)直線與圓相交時，圓上的點到直線的最大距離為：，最小距離為：；【清單09】圓與圓的公共弦1、圓與圓的公共弦圓與圓相交得到的兩個交點，這兩點之間的線段就是兩圓的公共弦.2、公共弦所在直線的方程設(shè)::聯(lián)立作差得到：即為兩圓共線方程【考點題型一】二元二次方程表示曲線與圓的關(guān)系核心方法：當(dāng)時，方程叫做圓的一般方程.【例1】（24-25高二上·吉林通化·期中）若方程表示一個圓，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式1-1】（24-25高二上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）若方程表示圓，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C．. D．【變式1-2】（24-25高二上·福建漳州·期中）若方程表示圓，則（

）A．1 B． C． D．或1【考點題型二】求圓的方程【例2】（24-25高三上·河北滄州·階段練習(xí)）過點，且與直線相切于點的圓的方程為．【變式2-1】（24-25高二上·河南洛陽·期中）已知，，，則的外接圓方程為（

）A． B．C． D．【變式2-2】（24-25高二上·陜西·期中）過點，，三點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【考點題型三】判斷直線與圓的位置關(guān)系核心方法：幾何法或代數(shù)法【例3】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知圓，直線，則直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法判斷【變式3-1】（24-25高二上·江蘇南京·期中）設(shè)k為實數(shù)，直線與圓交點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．無法確定【變式3-2】（23-24高二上·江西贛州·期中）已知直線與圓，則直線與圓相交．．【考點題型四】由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)核心方法：幾何法【例4】（24-25高二上·遼寧·期中）已知直線與圓相離，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式4-1】（24-25高二上·吉林通化·期中）若直線與曲線C：有兩個不同的公共點，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式4-2】（24-25高二上·遼寧·期中）已知直線與圓相切，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【考點題型五】直線與圓交點坐標(biāo)核心方法：代數(shù)法聯(lián)立【例5】（23-24高三上·江蘇南通）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓過點，為圓上一點，且弧的中點為，則點的坐標(biāo)為.【變式5-1】（24-25高二·全國·課后作業(yè)）設(shè)圓C：，直線l：x－y－5＝0，則圓C上到直線l距離最近的點的坐標(biāo)和最遠的點的坐標(biāo)分別為．【考點題型六】直線與圓相交（韋達定理應(yīng)用）核心方法：代數(shù)法聯(lián)立，求韋達定理【例6】（24-25高二上·遼寧沈陽·期中）已知圓關(guān)于直線對稱，且經(jīng)過點和.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過點且與圓相切的直線方程；(3)過點的直線與圓交于兩點，若（為坐標(biāo)原點），求直線的方程.【變式6-1】（24-25高二上·河北邢臺·階段練習(xí)）已知點，，動點滿足，點為線段的中點.(1)求點的軌跡的方程；(2)過點作直線與曲線交于兩點，，設(shè)直線，的斜率分別為，，求的值.【變式6-2】（24-25高二上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知圓．(1)若滿足，求的取值范圍；(2)若直線與圓交于不同的兩點，當(dāng)為銳角時，求的取值范圍；【變式6-3】（23-24高二上·山東煙臺·期中）已知點，，動點P滿足，設(shè)P的軌跡為C．(1)求C的軌跡方程；(2)若過點A的直線與C交于M，N兩點，求取值范圍．【考點題型七】過圓上一點作圓的切線核心方法：幾何法（圓心到直線距離等于半徑）【例7】（24-25高二上·山西·期中）已知在中，，，，記的外接圓為圓.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過點且與圓相切的直線的方程.【變式7-1】（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）過點作圓的切線，則切線方程為（

）A． B． C． D．【變式7-2】（24-25高二上·福建·期中）已知點，.(1)求直線MN的一般式方程；(2)求以線段MN為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)求（2）中的圓在點處的切線方程.【考點題型八】過圓外一點作圓的切線核心方法：幾何法（圓心到直線距離等于半徑）【例8】（24-25高二上·海南省直轄縣級單位·期中）平面直角坐標(biāo)系中，曲線與兩條坐標(biāo)軸的三個交點都在圓上.(1)求圓的方程;(2)過點作圓的切線，求切線的方程.【變式8-1】（24-25高二上·江蘇連云港·期中）已知圓經(jīng)過點，，.(1)求圓的方程；(2)求過點且與圓相切的直線方程.【變式8-2】（24-25高二上·重慶·階段練習(xí)）已知、，動點滿足，設(shè)動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過點且與曲線相切的直線的方程.【考點題型九】切線長核心方法：勾股定理【例9】（24-25高二上·廣東深圳·期中）設(shè)是直線上的動點，過作圓的切線，則切線長的最小值為.【變式9-1】（24-25高二上·重慶·期中）已知直線是圓的一條對稱軸，過點向圓作切線，切點為，則.【變式9-2】（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）已知圓，直線過點.(1)求圓的圓心坐標(biāo)及半徑長；(2)若直線與圓相切，求直線的方程；(3)當(dāng)直線的斜率存在且與圓相切于點時，求.【考點題型十】已知切線求參數(shù)核心方法：幾何法（圓心到直線距離等于半徑）+代數(shù)法【例10】（24-25高二上·廣東深圳·階段練習(xí)）過點可以作圓的兩條切線，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式10-1】（24-25高二上·山東菏澤·期中）已知圓與x軸相切，則.【變式10-2】（24-25高二上·天津武清·期中）若直線與圓相切，則實數(shù)．【考點題型十一】切點弦及其方程【例11】（2024高三·全國·專題練習(xí)）過點作圓C：的兩條切線，切點分別為A，B，則直線的方程為（）A． B．C． D．【變式11-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知圓外一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為和，則直線的方程為.【變式11-2】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）過原點O作圓的兩條切線，設(shè)切點分別為P，Q，求線段PQ的長．【考點題型十二】直線與圓綜合（圓的弦長）核心方法：【例12】（24-25高二上·四川成都·階段練習(xí)）已知圓經(jīng)過點，，三點，直線的方程為.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：直線恒過定點；(3)當(dāng)為何值時，直線被圓截得的弦長最短？并求出最短弦長.【變式12-1】（24-25高二上·云南昭通·期中）已知圓心為的圓經(jīng)過點和，且圓心在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點作圓的切線，求切線方程；(3)求直線上被圓所截得的弦長MN.【變式12-2】（24-25高二上·江蘇揚州·期中）已知圓及點，過點的直線與圓交于、兩點．(1)若弦長，求直線的方程；(2)求△面積的最大值，并求此時弦長的值．【考點題型十三】已知圓的弦長求方程或參數(shù)核心方法：【例13】（24-25高二上·江蘇揚州·期中）已知圓C過點，，且圓心C在直線上.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點的直線l被圓截得的線段長度為，求直線l的方程.【變式13-1】（24-25高二上·上海·期中）已知圓M經(jīng)過兩點，且圓心M在直線上.(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線過點，且被圓M截得的弦長為，求直線的方程.【變式13-2】（24-25高二上·北京順義·期中）圓（圓心為整數(shù)點）經(jīng)過，，且滿足_________①與直線相切

②經(jīng)過點C?2,0

③圓心在直線上．請從以上三個條件中選擇一個條件填到橫線上完成下列問題(1)求圓的方程；(2)過點的直線被圓截得的弦長為6，求直線的方程．【考點題型十四】直線與圓的實際應(yīng)用核心方法：建系法【例14】（24-25高二上·廣西南寧·期中）為了保證我國東海油氣田海域海上平臺的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺的北偏西方向處設(shè)立觀測點，在平臺的正東方向處設(shè)立觀測點，規(guī)定經(jīng)過三點的圓以及其內(nèi)部區(qū)域為安全預(yù)警區(qū).如圖所示：以為坐標(biāo)原點，的正東方向為軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系.(1)試寫出的坐標(biāo)，并求兩個觀測點之間的距離；(2)試求經(jīng)過三點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)某日經(jīng)觀測發(fā)現(xiàn)，在該平臺正南方向的處，有一艘輪船正以每小時的速度沿北偏東方向行駛，如果航向不變，該輪船是否會進入安全預(yù)警區(qū)？如果不進入，請說明理由；如果進入，則它在安全預(yù)警區(qū)內(nèi)會行駛多長時間？【變式14-1】（24-25高二上·海南·期中）據(jù)文獻及繪畫作品記載，中國最早的拱橋可以追溯到東漢或西晉時期.某拱橋及其示意圖如下，橋拱是一段圓弧，橋的跨度，拱高，與相距的支柱，則（

）A．5 B． C．15 D．【變式14-2】（24-25高二上·浙江·期中）一條東西走向的高速公路沿線有三座城市，其中在正西處，在正東處，臺風(fēng)中心在城市西偏南方向處，且以每小時的速度沿東偏北方向直線移動，距臺風(fēng)中心內(nèi)的地區(qū)必須保持一級警戒，則從地解除一級警戒到地進入一級警戒所需時間（單位：小時）在以下哪個區(qū)間內(nèi)（

）A． B． C． D．12,1【考點題型十五】直線與圓的定點問題核心方法：韋達定理【例15】（24-25高二上·遼寧·期中）已知圓的圓心在以點為端點的線段的垂直平分線上，圓的所有過點的弦中最短弦長為.(1)求圓的方程；(2)過點的直線交圓于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點，并求出該定點的坐標(biāo).【變式15-1】（24-25高二上·貴州六盤水·期中）若圓與圓相交于P，Q兩點，，且為線段PQ的中點，則稱是的m等距共軛圓.已知點，均在圓上，圓心在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若圓是圓的8等距共軛圓，設(shè)圓心的軌跡為.（i）求的方程.（ii）已知點，直線l與曲線交于異于點H的E，F(xiàn)兩點，若直線HE與HF的斜率之積為3，試問直線l是否過定點？若過定點，求出該定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.【變式15-2】（24-25高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知圓．(1)求過點且與圓相切的直線的方程；(2)若點是圓上兩點，①若共線，求的面積最大值及此時直線的方程；②若直線斜率存在，且直線與斜率互為相反數(shù)，證明：直線經(jīng)過定點．【考點題型十七】直線與圓的位置關(guān)系中的最值問題核心方法：幾何法【例16】（24-25高二上·寧夏銀川·期中）已知關(guān)于直線對稱，且圓心在軸上.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知動點在直線上，過點引的切線MA，求的最小值.【變式16-1】（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圓O：，直線．(1)若直線l與圓O交于不同的兩點A，B，當(dāng)時，求k的值；(2)若時，點P為直線l上的動點，過點P作圓O的兩條切線PC，PD，切點分別為C，D，求四邊形的面積的最小值．【變式16-2】（24-25高二上·江西撫州·階段練習(xí)）（1）若直線的一個方向向量為，且在軸上的截距為，求直線的方程；（2）已知直線恒過定點P，直線恒過定點Q，已知和交于點M．①求出定點P，Q的坐標(biāo)；②求面積的最大值．【考點題型十七】判斷圓與圓的位置關(guān)系核心方法：幾何法【例17】（24-25高二上·河南鄭州·期中）已知圓，圓，則圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．內(nèi)含 B．外切 C．相交 D．外離【變式17-1】（24-25高二上·河南洛陽·階段練習(xí)）圓與的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相離 C．外切 D．內(nèi)切【變式17-2】（24-25高二上·浙江紹興·期中）圓和圓的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．外切 C．內(nèi)切 D．內(nèi)含【考點題型十八】由圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)核心方法：幾何法【例18】（24-25高二上·重慶·期中）若圓與圓有公切線，則實數(shù)的范圍是（

）A． B．C． D．【變式18-1】（24-25高二上·重慶榮昌·期中）已知圓與圓有且僅有一條公共切線，則實數(shù)的值為（

）A．3 B．2 C．2或-1 D．3或【變式18-2】（24-25高二上·上?！て谥校┮阎獔A：和圓：外切，則的值為.【考點題型十九】圓的公切線條數(shù)核心方法：幾何法【例19】（24-25高二上·河南洛陽·期中）已知圓，圓，則兩圓的公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式19-1】（24-25高二上·江蘇·期中）已知圓，圓，則圓與圓的公切線條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式19-2】（24-25高二上·重慶·期中）已知圓與圓有條公切線，則實數(shù)的取值是.【考點題型二十】相交圓的公共弦方程核心方法：作差【例20】（24-25高二上·江西新余·階段練習(xí)）過點作圓的兩條切線，與圓相切于，則直線的方程為.【變式20-1】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）已知圓：，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，則直線的方程是．【變式20-2】（24-25高二上·天津河北·期中）已知圓和圓，則兩圓公共弦所在直線的方程為：公共弦長為.【考點題型二十一】相交圓的公共弦長核心方法：【例21】（23-24高三上·廣東汕尾）過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則【變式21-1】（23-24高二下·浙江·開學(xué)考試）若圓：與圓：相交于、兩點，且兩圓在點處的切線互相垂直，則線段的長是．【變式21-2】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）若圓O：x2＋y2＝5與圓O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則直線AB的方程為；線段AB的長為．

提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高二上·四川成都·期中）若直線始終平分圓的周長，則的最小值為（

）A．8 B．12 C．16 D．202．（24-25高三上·天津·期中）經(jīng)過三點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】B3．（24-25高二上·湖北·期中）圓與圓的公共弦長為（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·福建福州·期中）已知實數(shù)，滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．5．（24-25高二上·福建福州·期中）過點的直線與圓交于A，B兩點，當(dāng)弦AB最短時，直線的方程為（

）A． B． C． D．6．（24-25高二上·山東濟南·階段練習(xí)）若直線與直線交于點，則到坐標(biāo)原點距離的最大值為（

）A． B． C． D．7．（24-25高三上·北京順義·階段練習(xí)）已知直線與圓相交于兩點，且，則值為（

）A．或 B．或C．或 D．或8．（24-25高二上·浙江紹興·期中）已知點是直線上的動點，過點引圓的兩條切線為切點，當(dāng)?shù)淖畲笾禐?，則的值為（

）A．4 B