專題12 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點（方程的根）（考點清單+知識導(dǎo)圖+ 7個考點清單-題型解讀）（解析版）-25學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點大串講

清單12導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點（方程的根）（個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】函數(shù)的零點（1）函數(shù)零點的定義：對于函數(shù)，把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點．（2）三個等價關(guān)系方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點的橫坐標函數(shù)有零點．【清單02】函數(shù)零點的判定如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得，這個也就是的根．我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點存在性定理．注意：單調(diào)性+存在零點=唯一零點【考點題型一】判斷函數(shù)零點（方程的根）的個數(shù)【例1】（23-24高二下·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知函數(shù).(1)求的極值點；(2)判斷方程在區(qū)間上的解的個數(shù)，并說明理由.【答案】(1)極大值點為1，無極小值點(2)1個，理由見解析【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、求已知函數(shù)的極值點【分析】（1）求出f′x，利用f′（2）令，利用導(dǎo)數(shù)判斷出在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合極值、端點值可得答案.【詳解】（1），當時，f′x>0；當時，f′∴fx在0,1單調(diào)遞增，1,+∴fx（2）方程在區(qū)間上只有1個解，理由如下：令，則，當時，；當時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，在有一個零點，在無零點，所以方程在區(qū)間上只有1個解.【變式1-1】（23-24高二下·廣西桂林·期末）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)判斷在1,2上是否有零點，并說明理由．【答案】(1)增區(qū)間為，減區(qū)間為，極小值為，無極大值；(2)函數(shù)在上有零點，理由見解析【知識點】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、求已知函數(shù)的極值、零點存在性定理的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點【分析】（1）先確定函數(shù)的的定義域，再求導(dǎo)確定單調(diào)區(qū)間和極值；（2）根據(jù)零點存在定理確定函數(shù)在上是否有零點.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為0,+∞，，令，得，的增區(qū)間為1,+∞，令，得，的減區(qū)間為0,1的極小值為，無極大值.（2）在上有零點，因為，，所以，由零點存在定理可知，函數(shù)在上有零點.【變式1-2】（23-24高二下·河南鄭州）已知函數(shù).(1)求的極值；(2)判斷在上的零點個數(shù)，并說明理由.【答案】(1)有極大值，無極小值(2)在上有兩個零點，理由見解析【知識點】求已知函數(shù)的極值、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點【分析】（1）先研究函數(shù)導(dǎo)數(shù)正負，進而得函數(shù)單調(diào)性即可求解函數(shù)極值.（2）根據(jù)（1）得函數(shù)單調(diào)性，從而根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性和最值以及端點值情況即可求解判斷.【詳解】（1）由題，則恒成立，所以f′x在上單調(diào)遞減，又，所以時，f′x>0；x∈0,+所以在上單調(diào)遞增，在0,+∞上單調(diào)遞減，所以有極大值，無極小值.（2）在上有兩個零點，理由如下：由（1）在上單調(diào)遞增，在0,+∞上單調(diào)遞減，所以函數(shù)有最大值，又，故在上有兩個零點.【考點題型二】證明函數(shù)零點（方程的根）的唯一性【例2】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；(2)當時，求證：在上有唯一零點.【答案】(1)(2)證明見解析【知識點】由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題【分析】（1）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在上恒成立，然后轉(zhuǎn)化為最值問題，求導(dǎo)即可得到結(jié)果；（2）對函數(shù)求導(dǎo)構(gòu)造新函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，進而確定在上存在唯一的零點，分情況討論函數(shù)各區(qū)間零點個數(shù)，即可得解.【詳解】（1）因為在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即.令，x>0，因為且，所以在上恒成立.所以在上單調(diào)遞增，所以，即.（2）考慮，則.因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，①，所以，所以，即②.令，則，所以在上單調(diào)遞增.由①得，又，且的圖象在上不間斷，所以在上存在唯一的零點，記為.當時，，單調(diào)遞減，又，所以在上恒成立，且；當時，，單調(diào)遞增，由②知，又，所以在上存在唯一的零點.綜上所述，函數(shù)在上有唯一零點.【點睛】思路點睛：涉及含參的函數(shù)零點問題，利用導(dǎo)數(shù)分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題.【變式2-1】（24-25高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：函數(shù)存在唯一零點．【答案】(1)的增區(qū)間為；(2)詳見解析.【知識點】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用【分析】（1）由題可得，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)可得，進而即得；（2）由題可得時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合零點存在定理可得函數(shù)存在唯一零點，時，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進而即得.【詳解】（1）因為的定義域為，所以，設(shè)，則，由，可得，由，可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，即函數(shù)的增區(qū)間為；（2）由題可知當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，令，則，所以存在，使，即當時，函數(shù)存在唯一零點；當時，，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以存在，，使得，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則時，函數(shù)有極大值，又，設(shè)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故，又時，，所以時，函數(shù)在上存在唯一的零點；綜上，函數(shù)存在唯一零點．【點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究零點問題：（1）確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識確定極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點問題；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.【變式2-2】（24-25高三上·浙江金華）設(shè)，已知函數(shù)，．（1）當時，證明：當時，；（2）當時，證明：函數(shù)有唯一零點．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【知識點】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點【解析】（1）當時，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出當時，，即可證得結(jié)論成立；（2）分析出當時，，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，利用零點存在定理可證得結(jié)論成立.【詳解】，令，（1）證明：要證原不等式，只需證：當時，．則對任意的恒成立.所以，函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，因此，即原不等式成立；（2）（i）由（Ⅰ）可得當時，，故函數(shù)在0,+∞上沒有零點；（ii）當時，．令，．則遞增，且，，在上存在唯一零點，記為，當，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增.，，，，在上存在唯一零點，當時，．故當，；當時，．在上遞增，在上遞減，且．令，當時，則，函數(shù)在上遞增，，，取，且，則，則有，又，由零點存在定理可得，在上存在唯一的零點．綜上可證：函數(shù)在0,+∞上有唯一零點．【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.【考點題型三】討論函數(shù)零點（方程的根）的個數(shù)【例3】（2024·云南曲靖·二模）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；(2)討論方程的實根的個數(shù).【答案】(1)(2)答案見解析【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根【分析】（1）求得，，可求切線方程；（2）求導(dǎo)得，進而可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又時，，時，，可作大致圖象，由圖象可得絕地求生論.【詳解】（1），，又，函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域為，且，時，f′x<0，時，f∴fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，時，，時，，時時.∴fx

當時，方程沒有實數(shù)根；當或時，方程有且只有1個實數(shù)根；當時，方程有2個實數(shù)根.【變式3-1】（24-25高三上·北京海淀·期中）已知函數(shù).(1)若在處取得極大值，求的值；(2)求的零點個數(shù).【答案】(1)(2)1【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點、根據(jù)極值點求參數(shù)【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用極值點導(dǎo)數(shù)為0求出，再檢驗即可得解；（2）分三種情況討論，討論時，列出當變化時，的變化情況，再由零點存在性定理判斷零點個數(shù)即可.【詳解】（1）的定義域為.因為4是的極大值點，所以，即，解得或當時，當變化時，的變化情況如下表：34+00+極大值極小值此時，4是的極小值點，不符合題意；當時，當變化時，的變化情況如下表：46+00+極大值極小值此時4是的極大值點，符合題意.因此，此時.（2）①當時，當變化時，的變化情況如下表：+00+極大值極小值，因此時，，又，因此在上有且僅有一個零點，因此的零點個數(shù)是1.②當時，對任意，在上是增函數(shù)，又，由零點存在定理知，有1個零點，因此的零點個數(shù)是1.③當時，當變化時，的變化情況如下表：+00+極大值極小值，因此時，，又，因此在上有且僅有1個零點，因此的零點個數(shù)是1.綜上，當時，的零點個數(shù)是1.【變式3-2】（23-24高三上·云南·階段練習(xí)）已知．(1)當時，求在上的單調(diào)性；(2)若，令，討論方程的解的個數(shù)．【答案】(1)在上遞增(2)答案見解析【知識點】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，并判斷在的正負，可得在上的單調(diào)性；（2）方程的解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與直線的交點個數(shù)問題，畫出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的手段即可解決.【詳解】（1）因為所以當時，，所以，則當時，，，可得，所以在上遞增．（2）因為，，所以，，令，解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．當時，有極小值．令，解得．令，可得，當時，；當時，．所以，的圖像經(jīng)過特殊點，，．當時，，從而；當時，，，從而．根據(jù)以上信息，我們畫出的大致圖像如圖所示．

方程的解的個數(shù)為函數(shù)的圖像與直線的交點個數(shù)．所以，關(guān)于方程的解的個數(shù)有如下結(jié)論：當時，解為0個；當或時，解為1個；當時，解為2個．【點睛】方法點睛：解決方程的解的個數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點的個數(shù)問題，畫出兩函數(shù)的圖像，采取數(shù)形結(jié)合的手段解決.【考點題型四】利用極值（最值）研究函數(shù)的零點（方程的根）【例4】（24-25高三上·廣東梅州·期中）已知函數(shù)在處取得極大值.(1)求的值；(2)若有且只有個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識點】根據(jù)極值點求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點【分析】（1）由題意可得，可求出的值，然后就的值進行檢驗，即可得出實數(shù)的值；（2）分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：因為，則，因為函數(shù)在處取得極大值，則，解得或.當時，，由得或；由得.此時，函數(shù)在上遞減，在上遞增，則極小值為，不合題意；當時，，由得或；由得；所以，函數(shù)在上遞增，在上遞減，此時，函數(shù)極大值，合乎題意.綜上，.（2）解：由（1）可知，，，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為。所以，函數(shù)極大值，極小值，又因為有且只有個零點，則，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是.【變式4-1】（23-24高二下·湖北孝感·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)如果過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)b的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點【分析】（1）先對求導(dǎo)，將代入推出斜率，即可推出結(jié)論；（2）先設(shè)切點，推出切線方程為，化簡整理得，記，則有三個不同的零點，即可推出結(jié)論．【詳解】（1），所以，則曲線在點處的切線方程為：．（2）設(shè)切點，則切線方程為，又切線過點，所以，即，由題意，上述關(guān)于方程有三個不同的實數(shù)解，設(shè)，則有三個不同的零點，而，令，得或，當時，，則在和上單調(diào)遞增，當，，則在上單調(diào)遞減，若有三個不同的零點，則，解得，所以實數(shù)b的取值范圍為．【變式4-2】（23-24高二下·江蘇無錫·期中）已知函數(shù)，當時，取得極值．(1)求的解析式；(2)若在區(qū)間上有解，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識點】根據(jù)極值求參數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、根據(jù)極值點求參數(shù)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)極值點和函數(shù)極值，列出方程組，即可求得答案；（2）由題意求出函數(shù)在區(qū)間上的值域，即得答案.【詳解】（1）依題意可得，又當時，取得極值，所以，即；解得，則，當或時，f′x>0；當時，f′即在上均單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故為的極小值點，極小值為，符合題意，所以；（2）由（1）可知，令，可得或，當變化時，的變化情況如下表所示：0,22,3f單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增因此，在區(qū)間上，的最小值為，最大值為，若在區(qū)間上有解，則的范圍即為的值域，所以.【考點題型五】數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點（方程的根）【例5】（2024高三上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).若有兩個零點.求a的取值范圍.【答案】【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）【分析】令.參變分離.然后構(gòu)造函數(shù).將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線的交點問題.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.然后作圖可知.【詳解】令.得.記.則.記.因為.所以hx在R上單調(diào)遞減.又.所以.當時.hx>0.即.單調(diào)遞增；當時.hx<0.即.單調(diào)遞減.所以當時，有最大值.而.又當時.恒成立.所以可得函數(shù)的草圖如圖所示.由圖可知.當時.函數(shù)的圖象與直線有兩個交點.所以有兩個零點時.a的取值范圍為0,1.【變式5-1】（2024高三上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).若有兩個零點.求的取值范圍【答案】【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍【分析】將函數(shù)有兩個零點.轉(zhuǎn)化為與有兩個交點問題.利用導(dǎo)數(shù)研究并作出函數(shù)hx的圖象.即得的取值范圍.【詳解】令gx=0得設(shè)，則.當x∈0,1時.在0,1上遞減；當x∈1,+∞時.在1,+則.又因時，，，時作出函數(shù)的圖象.由圖可得.要使直線與函數(shù)hx的圖象有兩個交點.須使.即.故的取值范圍是0,1.【變式5-2】（2024·貴州貴陽）已知函數(shù).(1)當時.求在處的切線方程;(2)若方程存兩個不等的實數(shù)根，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、求在曲線上一點處的切線方程（斜率）【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）方程進行分離參數(shù)變形為，引入函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合函數(shù)圖象得出結(jié)論．【詳解】（1）當時，，則，所以，，所以在處的切線方程為：，即．（2）由得，，易知，顯然當時等式不成立，所以當時，令，則，當或時，，當時，，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，作出的大致圖象，如圖，由的圖象可知當時，方程有兩個不同的解，即方程有兩個不等的實數(shù)根，所以的取值范圍是．.【變式5-3】（2024高二·河南南陽·專題練習(xí)）若函數(shù)，當時，函數(shù)有極值．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若關(guān)于的方程有三個零點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點】根據(jù)極值求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根【分析】（1）對函數(shù)進行求導(dǎo)，利用，解方程即可得答案；（2）作出函數(shù)的圖象，直線與函數(shù)圖象需有3個交點，即可得答案.【詳解】（1），當時，函數(shù)有極值，所以，解得，得到解析式為，經(jīng)檢驗，符合題意，所以所求函數(shù)解析式為.（2）由（1）可知令，得或當變化時，f′x、的變化情況如下表：f＋－＋↗↘↗因此，當時，有極大值，當時，有極小值，所以大致圖象如圖所示，又因為有三個零點，即有三個實數(shù)解，所以實數(shù)的取值范圍為.【考點題型六】利用同構(gòu)函數(shù)法研究函數(shù)的零點（方程的根）【例6】（24-25高三上·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）設(shè)，若不等式在時恒成立，則k的最大值為【答案】【知識點】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題【分析】利用同構(gòu)法整理不等式，構(gòu)造函數(shù)并研究單調(diào)性，可化簡不等式，利用分離參數(shù)，再構(gòu)造新函數(shù)，利用單調(diào)性，可得答案.【詳解】由于在時恒成立，則在時恒成立.令，，則，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，當時，由，則；當時，由，則顯然成立；綜上所述：，可得，即.令，，則，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.所以，所以，則的最大值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵在于利用冪指恒等代換進同構(gòu)整理，由此構(gòu)造函數(shù)即可.【變式6-1】（24-25高三上·安徽·期中）已知，對任意的，不等式恒成立，則k的取值范圍是．【答案】【知識點】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性得到，分離參數(shù)，求出，，的最大值即可【詳解】由條件得，構(gòu)造函數(shù)，對其求導(dǎo)得，令得，于是當時，f′x<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，f′x>0因為，，所以，，根據(jù)，得到，分離參數(shù)得對恒成立，只需構(gòu)造函數(shù)，，對其求導(dǎo)得，令得，于是當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，于是，因此k的取值范圍是故答案為：【變式6-2】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）若a>0且關(guān)于的不等式在0,+∞上恒成立，則的取值范圍是．【答案】【知識點】函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題【分析】首先構(gòu)造函數(shù)，由a>0得在0,+∞單調(diào)遞增，將題目中不等式轉(zhuǎn)化為，由單調(diào)性得出，再構(gòu)造，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)范圍即可．【詳解】由，所以，設(shè)，由a>0得在0,+∞單調(diào)遞增，所以，設(shè)，則，顯然單調(diào)遞增，令，得，①當，即時，在時，，則在單調(diào)遞減，在時，，則在單調(diào)遞增，所以，因為當時，，不合題意；②當，即時，則當時，，在0,+∞單調(diào)遞增，所以，令得，，則當時，，當時，，不合題意；綜上所述，，故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵在于構(gòu)造，將轉(zhuǎn)化為，簡化運算進而求解．【考點題型七】導(dǎo)數(shù)中新定義題【例7】（24-25高三上·山東菏澤·期中）若函數(shù)在上存在，使得，則稱為在區(qū)間上的“奇點”，若存在、，使得，，則稱是上的“雙奇點函數(shù)”，其中、也稱為在上的奇點.(1)已知函數(shù)是區(qū)間上的雙奇點函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(2)已知函數(shù)，；（i）當時，若為在區(qū)間上的“奇點”，證明：；（ii）求證：對任意的，在區(qū)間上存在唯一“奇點”.【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【知識點】根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范圍、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點、函數(shù)新定義【分析】（1）根據(jù)“奇點”的定義分析可知，方程在有兩解，令，根據(jù)二次函數(shù)的零點分布可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍；（2）（i）根據(jù)“奇點”的定義以及已知條件推導(dǎo)出，將要證的不等式變形為，即，令，可變形為，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析該函數(shù)的單調(diào)性，即可證得結(jié)論成立；（ii）令，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性得出函數(shù)值的范圍結(jié)合零點存在定理即可證明.【詳解】（1）因為，則，由，所以有兩解，即在有兩解，令，所以，解得：.（2）（i）因為，，當時，，則，因為，，所以，，即，要證，即證，即，令，因為，所以，設(shè)，所以，所以在1,+∞上單調(diào)遞增，所以，所以，即證.（ii）令，即，因為，，所以，所以在區(qū)間是單調(diào)遞減的，因為，令，所以，所以，設(shè)，所以，當時，；當時，.即在0,1上單調(diào)遞減，1,+∞上單調(diào)遞增，所以，即，因為，，所以；同理，因為，，所以，即，所以，所以，因為，且在區(qū)間是單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上存在唯一零點，即對任意的，在區(qū)間上的“奇點”是唯一的.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).【變式7-1】（24-25高三上·上海·階段練習(xí)）已知的子集和定義域同為的函數(shù)，．若對任意，，當時，總有，則稱是的一個“關(guān)聯(lián)函數(shù)”．(1)求的所有關(guān)聯(lián)函數(shù)；(2)若是其自身的一個關(guān)聯(lián)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(3)對定義在R上的函數(shù)，證明：“對任意x∈R成立”的充分必要條件是“存在函數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都是的一個關(guān)聯(lián)函數(shù)”．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【知識點】充要條件的證明、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、函數(shù)新定義【分析】（1）要根據(jù)“S關(guān)聯(lián)函數(shù)”的定義找出滿足條件的函數(shù)；（2）需要利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性結(jié)合定義求出m的取值范圍；（3）要從充分性和必要性兩個方面進行證明.【詳解】（1）設(shè)是的關(guān)聯(lián)函數(shù).對于任意，當時，.因為，所以，設(shè)，則，令，，那么.所以的關(guān)聯(lián)函數(shù)為.（2）因為是其自身的一個關(guān)聯(lián)函數(shù).對任意，當時，.設(shè)，（），則.展開得.對求導(dǎo)，.因為在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立.即在上恒成立，設(shè)，.令，得.在上遞減，在上遞增，.所以.（3）充分性：假設(shè)存在函數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都是的一個關(guān)聯(lián)函數(shù).當時，.對于任意，取，，當（足夠大時）.有，當時，，即.

必要性：若，定義.對于任意正整數(shù)，對于任意，當時..因為，所以.故命題得證.【點睛】思路點睛：對新定義的題型要注意一下幾點：（1）讀懂定義所給的主要信息篩選出重要的關(guān)鍵點（2）利用好定義所給的表達式以及相關(guān)的條件（3）含有參數(shù)是要注意分類討論的思想.【變式7-2】（24-25高三上·安徽·階段練習(xí)）定義：記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f′x，若f′x在區(qū)間上單調(diào)遞增，則稱為區(qū)間上的凹函數(shù)；若f′x在區(qū)間上單調(diào)遞減，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù).已知函數(shù).(1)求證：為區(qū)間上的凹函數(shù)；(2)若為區(qū)間的凸函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(3)求證：當時，.【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【知識點】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用為區(qū)間0,+∞上的凹函數(shù)的定義證明；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用為區(qū)間0,+∞上的凹函數(shù)的定義求解；（3）由題意得到，分，，討論證明；【詳解】（1）由題意得，，記f′x的導(dǎo)函數(shù)為f則，所以f′x在區(qū)間0,+所以為區(qū)間0,+∞上的凹函數(shù).（2）由題意得，，則，令，則，故.令，則，故在上單調(diào)遞增，故，則，故，故實數(shù)的取值范圍為.（3）由題意得，.當時，，符合題意，當時，因為，則，則即證，即證，設(shè)，則，所以在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，故.故當時，，即成立.當時，由（1）知在0,+∞上單調(diào)遞增，又，所以，使得，所以，因為，所以，所以.i）當時，，即證，設(shè)，則，所以Fx在上單調(diào)遞減，所以.ii）當時，，即，即證，設(shè)，則，令，則，故在上單調(diào)遞增，則，故在上單調(diào)遞增，則，則，則在上單調(diào)遞增，故當時，.綜上，當時，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問關(guān)鍵是由時，根據(jù)在0,+∞上單調(diào)遞增，利用零點存在定理，得到，使得，再分和而得證.提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高三上·山東菏澤·期中）函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．0 C．3 D．2【答案】A【知識點】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，即可判斷出答案.【詳解】由，可得，即定義域為?1,1，所以，由于，故，即f′x≥0即在?1,1上為單調(diào)遞增函數(shù)，又，所以僅有一個零點．故選：A．2．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是（

）A．(1,+∞) B． C． D．【答案】D【知識點】根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點【分析】通過對進行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)零點的存在性定理，判斷出函數(shù)在定義域上的零點，進而得出結(jié)果．【詳解】因為，所以當時，由，解得或，且有，，當，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；又，則需，所以；當時，令，解得或，且有，，當，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；又,所以僅有一個負數(shù)零點，所以滿足題意；綜上，的取值范圍是或．故選：D.3．（24-25高三上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）已知函數(shù).若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點【分析】利用導(dǎo)數(shù)畫出的圖象，結(jié)合的零點個數(shù)求得的取值范圍.【詳解】當時，，所以在區(qū)間上，當且僅當x=0時，所以函數(shù)fx在上單調(diào)遞減，.當時，，令解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，當時，，當時，，由此畫出、的大致圖象如下圖所示，函數(shù)有三個零點，等價于與圖象有三個交點，所以的取值范圍是.故選：C.

【點睛】易錯點睛：在通過圖象判斷函數(shù)零點個數(shù)時，容易由于圖象的不準確或?qū)?shù)符號變化的錯誤判斷，導(dǎo)致零點個數(shù)錯誤．在分析圖象時，要特別注意極值點的準確位置.4．（24-25高三上·山東菏澤·期中）若關(guān)于的方程有3個不同的根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根【分析】問題轉(zhuǎn)化為有3個不同的根，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性和極值，數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】由方程有3個不同的根，即有3個不同的根，令，，則，令f′x>0，解得或，令f′x所以函數(shù)在和1,+∞上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，作出圖象如下：所以，即.故選：B.5．（24-25高三上·山東·開學(xué)考試）若函數(shù)的圖象與直線有3個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并且通過導(dǎo)數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而得到函數(shù)的極值，從而求出的范圍．【詳解】由題意可得：．令，則或，令，則，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，減區(qū)間為，所以當時函數(shù)有極大值，當x=1時函數(shù)有極小值，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有三個不同的交點，所以實數(shù)的取值范圍是．故選：B．6．（23-24高二下·山東東營·期末）已知函數(shù)，若方程有三個實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、求已知函數(shù)的極值、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍【分析】先利用導(dǎo)數(shù)刻畫的圖像，再根據(jù)直線與y=fx的圖像有3個不同的交點可得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】，當或時，；當時，，故在，1,+∞上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故的極大值為，的極小值為，當時，，當時，，故的圖像如圖所示：故，故選：A.二、填空題7．（24-25高三上·湖南常德·階段練習(xí)）若點，關(guān)于原點對稱，且均在函數(shù)的圖象上，則稱是函數(shù)的一個“匹配點對”（點對與視為同一個“匹配點對”）.已知恰有兩個“匹配點對”，則的取值范圍是.【答案】【知識點】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與在上有兩個交點，進而有有兩個不同的正根，利用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性及區(qū)間符號，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，要使恰有兩個“匹配點對”，只需與在上有兩個交點，所以有兩個不同的正根，令且，則，所以時，即在上遞減；時，即在上遞增；又時，時，且最小值，所以，要使有兩個不同的正根，只需，所以.故答案為：8．（23-24高三下·安徽黃山·階段練習(xí)）已知，若函數(shù)恰有三個零點，則的取值范圍為.【答案】【知識點】根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點【分析】首先設(shè)，則方程轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為分析函數(shù)和和的交點個數(shù)問題.【詳解】，設(shè)，則，，得，當，，單調(diào)遞增，當，，單調(diào)遞減，當時，函數(shù)取得最大值1，如圖，畫出函數(shù)的圖象，由，即，則，恒過點，如圖，畫出函數(shù)的圖象，設(shè)過點的切線與相切于點，則，得，即切點0,1，所以切線方程為，如圖，則與有2個交點，，則，如圖可知，若函數(shù)恰有三個零點，則，，則，所以，綜上可知，.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查嵌套零點問題，解題的關(guān)鍵是需通過換元，轉(zhuǎn)化為內(nèi)外層函數(shù)的零點個數(shù)問題.三、解答題9．（24-25高三上·山東臨沂·期中）已知函數(shù).(1)求的導(dǎo)函數(shù)的極值；(2)不等式對任意恒成立，求k的取值范圍；(3)對任意，直線與曲線有且僅有一個公共點，求b的取值范圍.【答案】(1)當時,有極小值2，無極大值.(2)(3)【知識點】求已知函數(shù)的極值、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，得到極值；（2）參變分離后，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題即可；（3）有唯一解，構(gòu)造函數(shù)參變分離，有唯一解，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】（1）因為函數(shù)，所以的定義域為令，則，注意到為增函數(shù)，且，所以當時,，單調(diào)遞減；當時,，單調(diào)遞增；所以當時,有極小值2，無極大值.（2）由題意可知對任意恒成立，即對任意恒成立，設(shè)，則設(shè)，則因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以則在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以則所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以.（3）由題意可知有唯一解，設(shè)注意到，當時,；當時,所以至少有一個解.因為有唯一解，所以有唯一解，設(shè)，因為，所以為單調(diào)函數(shù)，則恒成立，設(shè)，則恒成立,則所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，注意到所以當時,單調(diào)遞減；當時,單調(diào)遞增；故只需即可，所以10．（24-25高三上·湖北·期中）已知函數(shù)在點處的切線方程為(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，且過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2).【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、已知切線（斜率）求參數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切點在曲線上建立方程組，解出即可；（2）先將問題轉(zhuǎn)化為在切點處的切線方程有三個不同的實數(shù)根，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性和極值即可；【詳解】（1）由題意得，故，（2）過點向曲線作切線，設(shè)切點為，則，，則切線方程為，將代入上式，整理得.過點可作曲線的三條切線，方程有三個不同實數(shù)根.記，，令，得或1，則，，的變化情況如下表：01+0-0+極大極小當，有極大值；，有極小值，由題意有，當且僅當即解得時函數(shù)有三個不同零點.此時過點可作曲線的三條不同切線.故的取值范圍是.11．（24-25高三上·河北邯鄲·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若曲線在處的切線過點，求實數(shù)的值；(2)若在內(nèi)有兩個不同極值點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點、根據(jù)極值點求參數(shù)【分析】（1）求導(dǎo)，得出在x0,fx0處的切線方程，過可得，根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性以及，即可得出；（2）對函數(shù)求導(dǎo)，由在內(nèi)有兩個不同極值點x1、x2，轉(zhuǎn)化為有兩個不同的解，即函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，通過分析二次函數(shù)在給定區(qū)間的值域，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意得，，且定義域為．則在x0,fx0則，即．設(shè)，則．當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增．所以，又，且在上單調(diào)遞減，所以.（2）由（1）知，.令，得有兩個不同的解．令，所以，即函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點．因為時，最小，且為，且時，，所以．12．（24-25高三上·陜西咸陽·期中）設(shè)f′x是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，f″x是函數(shù)f′x的導(dǎo)函數(shù)，若方程f″x=0有實數(shù)解，則稱點x(1)求實數(shù)的值；(2)求的零點個數(shù).【答案】(1)(2)有3個零點【知識點】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、求已知函數(shù)的極值、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點、導(dǎo)數(shù)新定義【分析】（1）根據(jù)拐點與對稱中心的關(guān)系可求出的值；（2）研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，再結(jié)合零點存在定理即可判斷函數(shù)的零點個數(shù).【詳解】（1）解：因為，所以，所以，又因為的圖象的對稱中心為，所以，解得（2）解：由（1）知，，，令，得或，所以當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；當