安徽省濱湖壽春中學2025屆高考數(shù)學一模試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

安徽省濱湖壽春中學2025屆高考數(shù)學一模試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖所示的“數(shù)字塔”有以下規(guī)律:每一層最左與最右的數(shù)字均為2,除此之外每個數(shù)字均為其兩肩的數(shù)字之積,則該“數(shù)字塔”前10層的所有數(shù)字之積最接近()A. B. C. D.2.設是定義域為的偶函數(shù),且在單調遞增,,則()A. B.C. D.3.已知非零向量滿足,,且與的夾角為,則()A.6 B. C. D.34.設數(shù)列是等差數(shù)列,,.則這個數(shù)列的前7項和等于()A.12 B.21 C.24 D.365.已知角的終邊經(jīng)過點,則A. B.C. D.6.已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線的離心率e的取值范圍是()A. B.(1,2), C. D.7.某人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓,其軌道的離心率為,設地球半徑為,該衛(wèi)星近地點離地面的距離為,則該衛(wèi)星遠地點離地面的距離為()A. B.C. D.8.定義在R上的函數(shù),,若在區(qū)間上為增函數(shù),且存在,使得.則下列不等式不一定成立的是()A. B.C. D.9.設,,則“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10.函數(shù)的圖象大致為A. B. C. D.11.已知集合,則元素個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.412.若雙曲線:()的一個焦點為,過點的直線與雙曲線交于、兩點,且的中點為,則的方程為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且,則________.14.設,滿足約束條件,則的最大值為______.15.實數(shù)滿足,則的最大值為_____.16.已知變量x,y滿足約束條件x-y≤0x+2y≤34x-y≥-6,則三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知關于的不等式有解.(1)求實數(shù)的最大值;(2)若,,均為正實數(shù),且滿足.證明:.18.(12分)在世界讀書日期間,某地區(qū)調查組對居民閱讀情況進行了調查,獲得了一個容量為200的樣本,其中城鎮(zhèn)居民140人,農(nóng)村居民60人.在這些居民中,經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民有100人,農(nóng)村居民有30人.(1)填寫下面列聯(lián)表,并判斷能否有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關?城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計經(jīng)常閱讀10030不經(jīng)常閱讀合計200(2)從該地區(qū)城鎮(zhèn)居民中,隨機抽取5位居民參加一次閱讀交流活動,記這5位居民中經(jīng)常閱讀的人數(shù)為,若用樣本的頻率作為概率,求隨機變量的期望.附:,其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(12分)如圖,在正四棱錐中,,,為上的四等分點,即.(1)證明:平面平面;(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.20.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若關于的不等式在區(qū)間內無解,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)若函數(shù)存在零點,求的求值范圍.22.(10分)如圖,直三棱柱中,分別是的中點,.(1)證明:平面;(2)求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

結合所給數(shù)字特征,我們可將每層數(shù)字表示成2的指數(shù)的形式,觀察可知,每層指數(shù)的和成等比數(shù)列分布,結合等比數(shù)列前項和公式和對數(shù)恒等式即可求解【詳解】如圖,將數(shù)字塔中的數(shù)寫成指數(shù)形式,可發(fā)現(xiàn)其指數(shù)恰好構成“楊輝三角”,前10層的指數(shù)之和為,所以原數(shù)字塔中前10層所有數(shù)字之積為.故選:A【點睛】本題考查與“楊輝三角”有關的規(guī)律求解問題,邏輯推理,等比數(shù)列前項和公式應用,屬于中檔題2、C【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質,比較即可.【詳解】解:顯然,所以是定義域為的偶函數(shù),且在單調遞增,所以故選:C【點睛】本題考查對數(shù)的運算及偶函數(shù)的性質,是基礎題.3、D【解析】

利用向量的加法的平行四邊形法則,判斷四邊形的形狀,推出結果即可.【詳解】解:非零向量,滿足,可知兩個向量垂直,,且與的夾角為,說明以向量,為鄰邊,為對角線的平行四邊形是正方形,所以則.故選:.【點睛】本題考查向量的幾何意義,向量加法的平行四邊形法則的應用,考查分析問題解決問題的能力,屬于基礎題.4、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質可得,由等差數(shù)列求和公式可得結果.【詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列,,所以,即,又,所以,,故故選:B【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式,性質,等差數(shù)列的和,屬于中檔題.5、D【解析】因為角的終邊經(jīng)過點,所以,則,即.故選D.6、A【解析】

若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率.根據(jù)這個結論可以求出雙曲線離心率的取值范圍.【詳解】已知雙曲線的右焦點為,若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率,,離心率,,故選:.【點睛】本題考查雙曲線的性質及其應用,解題時要注意挖掘隱含條件.7、A【解析】

由題意畫出圖形,結合橢圓的定義,結合橢圓的離心率,求出橢圓的長半軸a,半焦距c,即可確定該衛(wèi)星遠地點離地面的距離.【詳解】橢圓的離心率:,(c為半焦距;a為長半軸),設衛(wèi)星近地點,遠地點離地面距離分別為r,n,如圖:則所以,,故選:A【點睛】本題主要考查了橢圓的離心率的求法,注意半焦距與長半軸的求法,是解題的關鍵,屬于中檔題.8、D【解析】

根據(jù)題意判斷出函數(shù)的單調性,從而根據(jù)單調性對選項逐個判斷即可.【詳解】由條件可得函數(shù)關于直線對稱;在,上單調遞增,且在時使得;又,,所以選項成立;,比離對稱軸遠,可得,選項成立;,,可知比離對稱軸遠,選項成立;,符號不定,,無法比較大小,不一定成立.故選:.【點睛】本題考查了函數(shù)的基本性質及其應用,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.9、A【解析】

根據(jù)對數(shù)的運算分別從充分性和必要性去證明即可.【詳解】若,,則,可得;若,可得,無法得到,所以“”是“”的充分而不必要條件.所以本題答案為A.【點睛】本題考查充要條件的定義,判斷充要條件的方法是:①若為真命題且為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;②若為假命題且為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;③若為真命題且為真命題,則命題p是命題q的充要條件;④若為假命題且為假命題,則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍,再根據(jù)“誰大誰必要,誰小誰充分”的原則,判斷命題p與命題q的關系.10、D【解析】

由題可得函數(shù)的定義域為,因為,所以函數(shù)為奇函數(shù),排除選項B;又,,所以排除選項A、C,故選D.11、B【解析】

作出兩集合所表示的點的圖象,可得選項.【詳解】由題意得,集合A表示以原點為圓心,以2為半徑的圓,集合B表示函數(shù)的圖象上的點,作出兩集合所表示的點的示意圖如下圖所示,得出兩個圖象有兩個交點:點A和點B,所以兩個集合有兩個公共元素,所以元素個數(shù)為2,故選:B.【點睛】本題考查集合的交集運算,關鍵在于作出集合所表示的點的圖象,再運用數(shù)形結合的思想,屬于基礎題.12、D【解析】

求出直線的斜率和方程,代入雙曲線的方程,運用韋達定理和中點坐標公式,結合焦點的坐標,可得的方程組,求得的值,即可得到答案.【詳解】由題意,直線的斜率為,可得直線的方程為,把直線的方程代入雙曲線,可得,設,則,由的中點為,可得,解答,又由,即,解得,所以雙曲線的標準方程為.故選:D.【點睛】本題主要考查了雙曲線的標準方程的求解,其中解答中屬于運用雙曲線的焦點和聯(lián)立方程組,合理利用根與系數(shù)的關系和中點坐標公式是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

利用正弦定理將邊化角,即可容易求得結果.【詳解】由正弦定理可知,,即.故答案為:.【點睛】本題考查利用正弦定理實現(xiàn)邊角互化,屬基礎題.14、29【解析】

由約束條件作出可行域,化目標函數(shù)為以原點為圓心的圓,數(shù)形結合得到最優(yōu)解,聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標,代入目標函數(shù)得答案.【詳解】由約束條件作出可行域如圖:聯(lián)立,解得,目標函數(shù)是以原點為圓心,以為半徑的圓,由圖可知,此圓經(jīng)過點A時,半徑最大,此時也最大,最大值為.所以本題答案為29.【點睛】線性規(guī)劃問題,首先明確可行域對應的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線,其次確定目標函數(shù)的幾何意義,是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等,最后結合圖形確定目標函數(shù)最值取法、值域范圍.15、.【解析】

畫出可行域,解出可行域的頂點坐標,代入目標函數(shù)求出相應的數(shù)值,比較大小得到目標函數(shù)最值.【詳解】解:作出可行域,如圖所示,則當直線過點時直線的截距最大,z取最大值.由同理,,取最大值.故答案為:.【點睛】本題考查線性規(guī)劃的線性目標函數(shù)的最優(yōu)解問題.線性目標函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得,所以對于一般的線性規(guī)劃問題,若可行域是一個封閉的圖形,我們可以直接解出可行域的頂點,然后將坐標代入目標函數(shù)求出相應的數(shù)值,從而確定目標函數(shù)的最值;若可行域不是封閉圖形還是需要借助截距的幾何意義來求最值.16、-5【解析】

畫出x,y滿足的可行域,當目標函數(shù)z=x-2y經(jīng)過點A時,z最小,求解即可?!驹斀狻慨嫵鰔,y滿足的可行域,由x+2y=34x-y=-6解得A-1,2,當目標函數(shù)z=x-2y經(jīng)過點A【點睛】本題考查的是線性規(guī)劃問題,解決線性規(guī)劃問題的實質是把代數(shù)問題幾何化,即數(shù)形結合思想。需要注意的是:一,準確無誤地作出可行域;二,畫目標函數(shù)所對應的直線時,要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率進行比較,避免出錯;三,一般情況下,目標函數(shù)的最大值或最小值會在可行域的端點或邊界上取得。三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析【解析】

(1)由題意,只需找到的最大值即可;(2),構造并利用基本不等式可得,即.【詳解】(1),∴的最大值為4.關于的不等式有解等價于,(?。┊敃r,上述不等式轉化為,解得,(ⅱ)當時,上述不等式轉化為,解得,綜上所述,實數(shù)的取值范圍為,則實數(shù)的最大值為3,即.(2)證明:根據(jù)(1)求解知,所以,又∵,,,,,當且僅當時,等號成立,即,∴,所以,.【點睛】本題考查絕對值不等式中的能成立問題以及綜合法證明不等式問題,是一道中檔題.18、(1)見解析,有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關.(2)【解析】

(1)根據(jù)題意填寫列聯(lián)表,利用公式求出,比較與6.635的大小得結論;(2)由樣本數(shù)據(jù)可得經(jīng)常閱讀的人的概率是,則,根據(jù)二項分布的期望公式計算可得;【詳解】解:(1)由題意可得:城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計經(jīng)常閱讀10030130不經(jīng)常閱讀403070合計14060200則,所以有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關.(2)根據(jù)樣本估計,從該地區(qū)城鎮(zhèn)居民中隨機抽取1人,抽到經(jīng)常閱讀的人的概率是,且,所以隨機變量的期望為.【點睛】本題考查獨立性檢驗的應用,考查離散型隨機變量的數(shù)學期望的計算,考查運算求解能力,屬于基礎題.19、(1)答案見解析.(2)【解析】

(1)根據(jù)題意可得,在中,利用余弦定理可得,然后同理可得,利用面面垂直的判定定理即可求解.(2)以為原點建立直角坐標系,求出面的法向量為,的法向量為,利用空間向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】(1)由由因為是正四棱錐,故于是,由余弦定理,在中,設再用余弦定理,在中,∴是直角,同理,而在平面上,∴平面平面(2)以為原點建立直角坐標系,如圖:則設面的法向量為,的法向量為則,取于是,二面角的余弦值為:【點睛】本題考查了面面垂直的判定定理、空間向量法求二面角,屬于基礎題.20、(1);(2).【解析】

(1)只需分,,三種情況討論即可;(2)在區(qū)間上恒成立,轉化為,只需求出即可.【詳解】(1)當時,,此時不等式無解;當時,,由得;當時,,由得,綜上,不等式的解集為;(2)依題意,在區(qū)間上恒成立,則,當時,;當時,,所以當時,,由得或,所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查絕對值不等式的解法、不等式恒成立問題,考查學生分類討論與轉化與化歸的思想,是一道基礎題.21、(1)或;(2).【解析】

(1)通過討論的范圍,將絕對值符號去掉,轉化為求不等式組

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