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文檔簡介
北京理工大附中2025屆高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),則()A.2 B.3 C.4 D.52.設(shè)一個正三棱柱,每條棱長都相等,一只螞蟻從上底面的某頂點出發(fā),每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點,算一次爬行,若它選擇三個方向爬行的概率相等,若螞蟻爬行10次,仍然在上底面的概率為,則為()A. B.C. D.3.已知向量,,則與共線的單位向量為()A. B.C.或 D.或4.函數(shù)的部分圖象如圖所示,已知,函數(shù)的圖象可由圖象向右平移個單位長度而得到,則函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.5.過拋物線的焦點F作兩條互相垂直的弦AB,CD,設(shè)P為拋物線上的一動點,,若,則的最小值是()A.1 B.2 C.3 D.46.如圖,正三棱柱各條棱的長度均相等,為的中點,分別是線段和線段的動點(含端點),且滿足,當運動時,下列結(jié)論中不正確的是A.在內(nèi)總存在與平面平行的線段B.平面平面C.三棱錐的體積為定值D.可能為直角三角形7.已知(),i為虛數(shù)單位,則()A. B.3 C.1 D.58.已知表示兩條不同的直線,表示兩個不同的平面,且則“”是“”的()條件.A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要9.如圖,在中,點,分別為,的中點,若,,且滿足,則等于()A.2 B. C. D.10.函數(shù)圖象的大致形狀是()A. B.C. D.11.函數(shù)的大致圖象是A. B. C. D.12.已知是虛數(shù)單位,若,則()A. B.2 C. D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)在的零點個數(shù)為_________.14.若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點,則實數(shù)的取值范圍有___________.15.若正實數(shù)x,y,滿足x+2y=5,則x216.已知,橢圓的方程為,雙曲線方程為,與的離心率之積為,則的漸近線方程為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,、、的對應(yīng)邊分別為、、,已知,,.(1)求;(2)設(shè)為中點,求的長.18.(12分)在中,角的對邊分別為,且.(1)求角的大小;(2)已知外接圓半徑,求的周長.19.(12分)已知動圓恒過點,且與直線相切.(1)求圓心的軌跡的方程;(2)設(shè)是軌跡上橫坐標為2的點,的平行線交軌跡于,兩點,交軌跡在處的切線于點,問:是否存在實常數(shù)使,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.20.(12分)在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城”過程中,運城市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況,進行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查(一位市民只能參加一次),通過隨機抽樣,得到參加問卷調(diào)查的人的得分統(tǒng)計結(jié)果如表所示:.組別頻數(shù)(1)由頻數(shù)分布表可以大致認為,此次問卷調(diào)查的得分似為這人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表),利用該正態(tài)分布,求;(2)在(1)的條件下,“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案:①得分不低于的可以獲贈次隨機話費,得分低于的可以獲贈次隨機話費;②每次獲贈的隨機話費和對應(yīng)的概率為:贈送話費的金額(單位:元)概率現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查,記(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附:參考數(shù)據(jù)與公式:,若,則,,21.(12分)已知函數(shù),函數(shù)在點處的切線斜率為0.(1)試用含有的式子表示,并討論的單調(diào)性;(2)對于函數(shù)圖象上的不同兩點,,如果在函數(shù)圖象上存在點,使得在點處的切線,則稱存在“跟隨切線”.特別地,當時,又稱存在“中值跟隨切線”.試問:函數(shù)上是否存在兩點使得它存在“中值跟隨切線”,若存在,求出的坐標,若不存在,說明理由.22.(10分)在四棱柱中,底面為正方形,,平面.(1)證明:平面;(2)若,求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)分段函數(shù)直接計算得到答案.【詳解】因為所以.故選:.【點睛】本題考查了分段函數(shù)計算,意在考查學(xué)生的計算能力.2、D【解析】
由題意,設(shè)第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有兩條路,其概率為;②若上一步在下面,則第步不在上面的概率是.如果爬上來,其概率是,兩種事件又是互斥的,可得,根據(jù)求數(shù)列的通項知識可得選項.【詳解】由題意,設(shè)第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有兩條路,其概率為;②若上一步在下面,則第步不在上面的概率是.如果爬上來,其概率是,兩種事件又是互斥的,∴,即,∴,∴數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列,而,所以,∴當時,,故選:D.【點睛】本題考查幾何體中的概率問題,關(guān)鍵在于運用遞推的知識,得出相鄰的項的關(guān)系,這是常用的方法,屬于難度題.3、D【解析】
根據(jù)題意得,設(shè)與共線的單位向量為,利用向量共線和單位向量模為1,列式求出即可得出答案.【詳解】因為,,則,所以,設(shè)與共線的單位向量為,則,解得或所以與共線的單位向量為或.故選:D.【點睛】本題考查向量的坐標運算以及共線定理和單位向量的定義.4、A【解析】
由圖根據(jù)三角函數(shù)圖像的對稱性可得,利用周期公式可得,再根據(jù)圖像過,即可求出,再利用三角函數(shù)的平移變換即可求解.【詳解】由圖像可知,即,所以,解得,又,所以,由,所以或,又,所以,,所以,,即,因為函數(shù)的圖象由圖象向右平移個單位長度而得到,所以.故選:A【點睛】本題考查了由圖像求三角函數(shù)的解析式、三角函數(shù)圖像的平移伸縮變換,需掌握三角形函數(shù)的平移伸縮變換原則,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】
設(shè)直線AB的方程為,代入得:,由根與系數(shù)的關(guān)系得,,從而得到,同理可得,再利用求得的值,當Q,P,M三點共線時,即可得答案.【詳解】根據(jù)題意,可知拋物線的焦點為,則直線AB的斜率存在且不為0,設(shè)直線AB的方程為,代入得:.由根與系數(shù)的關(guān)系得,,所以.又直線CD的方程為,同理,所以,所以.故.過點P作PM垂直于準線,M為垂足,則由拋物線的定義可得.所以,當Q,P,M三點共線時,等號成立.故選:C.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、焦半徑公式的應(yīng)用,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力,求解時注意取最值的條件.6、D【解析】
A項用平行于平面ABC的平面與平面MDN相交,則交線與平面ABC平行;B項利用線面垂直的判定定理;C項三棱錐與三棱錐體積相等,三棱錐的底面積是定值,高也是定值,則體積是定值;D項用反證法說明三角形DMN不可能是直角三角形.【詳解】A項,用平行于平面ABC的平面截平面MND,則交線平行于平面ABC,故正確;B項,如圖:當M、N分別在BB1、CC1上運動時,若滿足BM=CN,則線段MN必過正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面,故正確;C項,當M、N分別在BB1、CC1上運動時,△A1DM的面積不變,N到平面A1DM的距離不變,所以棱錐N-A1DM的體積不變,即三棱錐A1-DMN的體積為定值,故正確;D項,若△DMN為直角三角形,則必是以∠MDN為直角的直角三角形,但MN的最大值為BC1,而此時DM,DN的長大于BB1,所以△DMN不可能為直角三角形,故錯誤.故選D【點睛】本題考查了命題真假判斷、棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間想象力和思維能力,意在考查對線面、面面平行、垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用,是中檔題.7、C【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡得答案.【詳解】由,得,解得.故選:C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算,是基礎(chǔ)題.8、B【解析】
根據(jù)充分必要條件的概念進行判斷.【詳解】對于充分性:若,則可以平行,相交,異面,故充分性不成立;若,則可得,必要性成立.故選:B【點睛】本題主要考查空間中線線,線面,面面的位置關(guān)系,以及充要條件的判斷,考查學(xué)生綜合運用知識的能力.解決充要條件判斷問題,關(guān)鍵是要弄清楚誰是條件,誰是結(jié)論.9、D【解析】
選取為基底,其他向量都用基底表示后進行運算.【詳解】由題意是的重心,,∴,,∴,故選:D.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積,解題關(guān)鍵是選取兩個不共線向量作為基底,其他向量都用基底表示參與運算,這樣做目標明確,易于操作.10、B【解析】
判斷函數(shù)的奇偶性,可排除A、C,再判斷函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值與的大小,即可得出答案.【詳解】解:因為,所以,所以函數(shù)是奇函數(shù),可排除A、C;又當,,可排除D;故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)表達式判斷函數(shù)圖像,屬于中檔題.11、A【解析】
利用函數(shù)的對稱性及函數(shù)值的符號即可作出判斷.【詳解】由題意可知函數(shù)為奇函數(shù),可排除B選項;當時,,可排除D選項;當時,,當時,,即,可排除C選項,故選:A【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷,函數(shù)對稱性的應(yīng)用,屬于中檔題.12、A【解析】
直接將兩邊同時乘以求出復(fù)數(shù),再求其模即可.【詳解】解:將兩邊同時乘以,得故選:A【點睛】考查復(fù)數(shù)的運算及其模的求法,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
本問題轉(zhuǎn)化為曲線交點個數(shù)問題,在同一直角坐標系內(nèi),畫出函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可.【詳解】問題函數(shù)在的零點個數(shù),可以轉(zhuǎn)化為曲線交點個數(shù)問題.在同一直角坐標系內(nèi),畫出函數(shù)的圖象,如下圖所示:由圖象可知:當時,兩個函數(shù)只有一個交點.故答案為:1【點睛】本題考查了求函數(shù)的零點個數(shù)問題,考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.14、或【解析】
函數(shù)的零點方程的根,求出方程的兩根為,,從而可得或,即或.【詳解】函數(shù)在區(qū)間的零點方程在區(qū)間的根,所以,解得:,,因為函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點,所以或,即或.【點睛】本題考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系,在求含絕對值方程時,要注意對絕對值內(nèi)數(shù)的正負進行討論.15、8【解析】
分析:將題中的式子進行整理,將x+1當做一個整體,之后應(yīng)用已知兩個正數(shù)的整式形式和為定值,求分式形式和的最值的問題的求解方法,即可求得結(jié)果.詳解:x2-3x+1+2點睛:該題屬于應(yīng)用基本不等式求最值的問題,解決該題的關(guān)鍵是需要對式子進行化簡,轉(zhuǎn)化,利用整體思維,最后注意此類問題的求解方法-------相乘,即可得結(jié)果.16、【解析】
求出橢圓與雙曲線的離心率,根據(jù)離心率之積的關(guān)系,然后推出關(guān)系,即可求解雙曲線的漸近線方程.【詳解】,橢圓的方程為,的離心率為:,雙曲線方程為,的離心率:,與的離心率之積為,,,的漸近線方程為:,即.故答案為:【點睛】本題考查了橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì),掌握橢圓、雙曲線的離心率公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出,結(jié)合正弦定理求出;(2)結(jié)合第一問的結(jié)論以及余弦定理即可求解.【詳解】解:(1)∵,且,∴,由正弦定理,∴,∵∴銳角,∴(2)∵,∴∴∴在中,由余弦定理得∴【點睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運用.考查了學(xué)生對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的綜合運用.18、(1)(2)3+3【解析】
(1)利用余弦的二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡整理并結(jié)合范圍0<A<π,可求A的值.(2)由正弦定理可求a,利用余弦定理可得c值,即可求周長.【詳解】(1),即又(2),∵,∴由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA,∴,∵c>0,所以得c=2,∴周長a+b+c=3+3.【點睛】本題考查三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦定理,余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.19、(1);(2)存在,.【解析】
(1)根據(jù)拋物線的定義,容易知其軌跡為拋物線;結(jié)合已知點的坐標,即可求得方程;(2)由拋物線方程求得點的坐標,設(shè)出直線的方程,利用導(dǎo)數(shù)求得點的坐標,聯(lián)立直線的方程和拋物線方程,結(jié)合韋達定理,求得,進而求得與之間的大小關(guān)系,即可求得參數(shù).【詳解】(1)由題意得,點與點的距離始終等于點到直線的距離,由拋物線的定義知圓心的軌跡是以點為焦點,直線為準線的拋物線,則,.∴圓心的軌跡方程為.(2)因為是軌跡上橫坐標為2的點,由(1)不妨取,所以直線的斜率為1.因為,所以設(shè)直線的方程為,.由,得,則在點處的切線斜率為2,所以在點處的切線方程為.由得所以,所以.由消去得,由,得且.設(shè),,則,.因為點,,在直線上,所以,,所以,所以.∴故存在,使得.【點睛】本題考查拋物線軌跡方程的求解,以及拋物線中定值問題的求解,涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬綜合性中檔題.20、(1)(2)詳見解析【解析】
由題意,根據(jù)平均數(shù)公式求得,再根據(jù),參照數(shù)據(jù)求解.由題意得,獲贈話費的可能取值為,求得相應(yīng)的概率,列出分布列求期望.【詳解】由題意得綜上,由題意得,獲贈話費的可能取值為,,的分布列為:【點睛】本題主要考查正態(tài)分布和離散型隨機變量的分布列及期望,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.21、(1),單調(diào)性見解析;(2)不存在,理由見解析【解析】
(1)由題意得,即可得;求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再根據(jù)、、、分類討論,分別求出、的解集即可得解;(2)假設(shè)滿足條件的、存在,不妨設(shè),且,由題意得可得,令(),構(gòu)造函數(shù)(),求導(dǎo)后證明即可得解.【詳解】(1)由題可得函數(shù)的定義域為且,由,整理得..(?。┊敃r,易知,,時.故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(ⅱ)當時,
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